한국의 희망

알다시피 나는 정치 전문가가 아니다. (내 전공은 물리학이다.)

하지만 난 좋으나 싫으나 한국 사람이고, 한국이 망하면 내 장래희망은 실현되기가 꽤나 어려워질 것이다. 나라가 그다지 쉽게 망하는 건 아니겠지만, 아무튼 현재 한국의 상황을 내가 아는 한에서 짚어본다.

경제 상황

세계적 경제위기에 따라서 우리나라도 같이 경제 위기가 왔다. 이건 누가 대통령을 했건 누가 경제 정책을 수립했건 올 수밖에 없는 경제 위기라 생각된다. 미국의 서브 프라임 모기지 대출의 부도로 시작된 경제 위기는, 마치 한껏 부풀은 풍선이 터지듯 한방에 전 세계를 불황으로 몰아 넣었다. 다만, 이러한 위기 상황을 해결해 나가는 방법에 있어서는 각 나라마다 조금씩 다른 방법을 사용하는 것 같다. 물론, 한국은, 다들 알다시피, 노동 집약적인 방법을 선택한 것 같다. 커다란 국가 기반 시설의 발주를 해서 건설경기 부양을 통한 내수시장 활성화와 물류 비용 절감을 통한 국제적인 물류 허브로 도약하고자 하는 움직임이 바로 그것이다. 이것에 대한 비판은 다른 글에서 하고자 한다.

외교 상황

미국 – 알다시피. 원래 부시랑 친하게 지내던 대통령이었는데, 지난번 미국 대선에서 부시네 정당은 떨어지고 반대편이 미국 대통령으로 취임했다. 즉, X됐다.

일본 – 일본이랑은 친하게 지내려고 노력중이다. 다만, 아무리 친해도 똥꼬는 닦아주지 않았으면 좋겠다.

중국 – 중국은 자기네 경제 위기를 헤쳐 나가기 위해 다른 나라는 아웃 오브 안중이다. 다른 나라가 망하건 말건 돈 되는건 전부 하는 것 같다. 문제는, 한국은 이러한 중국의 노력에 대응을 못하고 있다는 점. 기술을 빼가건 말건 신 자유주의 기조에 따라 “돈”에 의해서 이루어진 일이면 뭐든 허용하는 것 같다.

북한 – 싸우잰다. 이쪽이 제일 답답하다. 대통령은 우리나라가 미국이랑 친하니까 북한도 미국도 우리나라의 협력 없이는 제대로 협력을 못할 거라고 얘기하지만(아마 그렇게 생각하니까 그렇게 말했겠지?) 내 생각엔, 앞서 말했듯이, 북한도 남한은 포기한 것 같고, 미국도 굳이 남한이랑 얘기할 이유가 없다. 이라크에 파병한 병력도 되돌아 오는데 더이상 남한의 눈치(?)를 볼 미국이 아니라는 얘기다. (사실, 본 적도 없겠지만…) 실제로 전쟁이 난다고 가정하면 북한을 편 들어줄 나라가 그다지 없기 때문에 북한이 실제로 전쟁을 내지는 않겠지만, 난 이명박 대통령이 북침을 할까 두렵다. 워낙에 역발상을 잘하는 위인이라…

그 외의 나라들 – 포기한 듯.

군사 상황

사실 나는 잘 모르지만, 듣자 하니 서비스업까지 전문연구요원을 확대한다고 한다. 그리고 롯데월드 하나 더 짓는다고 공군력을 약화시켰다. 한국에서 전쟁 나면 한국에서 가장 귀중한 존재인 대통령은 제일 먼저 외국으로 떠날 것 같은 느낌이다. 그래야 나라가 살지 않겠나…

물론, 지난 1950년의 한국 전쟁때는 그게 통했다. 하지만 21세기에, 대통령이 가장 먼저 도망갔다고 하면, 국민들은 아마 적군의 편에 서서 대통령부터 쏴죽이려고 할 거다. (실제로 전쟁이 난다는 얘기는 아니지만, 지금 국민 감정이 그래요…)

국내 치안

경찰력이 수십만명씩 모이는 촛불시위 “진압”에 동원되다 보니 오히려 동네 방범에 구멍이 생겼다. 그건 뭐 그렇다 치자. 시대가 시대이니만큼 시위와 강력범죄가 늘어나는건 어쩔 수 없다. 근데, 막지 않았을 때 더 심각한 문제가 생기는 건 시위일까 강력범죄일까.

국민 여론

대통령 지지율 30%로, 집권 여당보다 대통령 지지율이 더 높다는게 자랑인 시대이니 뭐라 할말이 없다. 30%인건 안 부끄럽나? -_-

알다시피, 대한민국 국민은 대통령을 지지하는 사람들과 지지하지 않는 사람들, 지지하지도 않고 지지하지 않는것도 아닌 사람들, 이렇게 세 부류로 나눠진다. (지지하면서 지지하지 않는 사람들은 빼자…제발.)

이들이 각각 몇%씩 되느냐는 전혀 중요하지 않다. 중요한건 그 어떤 부류의 사람도 100%는 아니라는 점이다. 그리고 어느 부류에 들어가 있더라도 대한민국 국민의 범주에 들어간다는 점이다. 그럼 국민 여론 수렴은 이러한 부류들의 의견을 모두 들어야 하는데, 대통령은 처음부터 의견을 정해놓고, 자기 의견에 맞는 의견만 들으면서, 국민 100%가 그 의견을 지지한다고 생각한다. 이건…무슨 밴드 패스 필터도 아니고…

툭 까놓고 얘기하자.

이대로는 그다지 희망이 없다. 대통령은 한국이 가장 먼저 경제 위기를 탈출할 것이라 예측했지만, 내 생각엔 가장 늦게 탈출할 것 같다. 그리고 경제 위기를 탈출한다고 해도 그건 대통령의 공은 아니다. 그리고, 대통령의 공이라 하더라도 대통령은 그걸 자랑하는 순간 그 공을 빼앗긴다. 경제 위기를 탈출시키는건 대통령이 잘한 것이 아니라 의무다. 당연히 해야 할 일은 자랑하는 놈이 병신인 거다. (남들 다 가는 군대 갔다온 것이 칭찬받아 마땅하지만, 자랑하려고 하면 다른 남자들이 다들 무시하듯이.)

희망이라. 그런 듣기 좋은 말은 마약이다. 지금 한국에서 희망을 이야기하는건 마약을 먹는거나 마찬가지다. 그런건 버려라. 잘될거라는 낙관주의도 버리자. 희망을 말하지 말자.

다만, 좌절할 필요도 없다. 혼자 할 수 있는 일은 혼자 하고, 같이 해야 하는 일은 도와달라고 하자. 물론 그렇게 한다고 잘될거라는 보장은 없다. 더 나빠질 수도 있다.

하지만, 상황이 더 나빠질 수도 있다는 걸 아는 것과, 마냥 좋아지지라고 기대하는 것은, 그 이후의 대응에서 차이가 생긴다.

내가 언제나 얘기했듯, 가장 좋은 결과를 대비하면 안된다. 가장 나쁜 결과를 예측하고 그보다 더 나쁜 상황에도 견딜 수 있는 대비를 해야 살아남을 수 있다. 그리고, 지금 우리가 사는 시대는 살아남는 것이 성공인 시대가 되었다.

살자. 좀. 제발.

직사각형 함수의 푸리에 변환

**수식은 인터넷 익스플로러에서는 제대로 표현되지 않음. 파이어폭스 웹 브라우저를 권장함.

직사각형 함수를 푸리에 변환 해보자. 간단하다.

f(x) = 1 if -1 f(x) = 0 otherwise

적분 구간은 원래는 실수 전 구간이지만, 어차피 다른 구간에서는 0이므로, x가 1인 구간에서만 적분하면 된다.

f(x)의 푸리에 변환을 g(k)라고 하면

$g(k) = \frac{-2}{ik} sin(k)$

이 적분을 어떻게 했는지 궁금한 사람은 인터넷 검색을 하시기 바라며…

보다시피, sinc함수가 튀어나왔다. 물론 이 함수는 연속함수다. 이제, 직사각형 함수가 주기적으로 변하는 경우 어떻게 되는지 살펴보자.

f(x) = 1 if 2n-1/2 < x < 2n+1/2 for any integer n
f(x) = 0 otherwise

이런거 적분하려면 좀 골치아플것 같지만, 사실 저 함수는 n에 대해서 잘 정의된 함수의 무한급수다. 가령

$f_n(x) = 1$ if 2n-1/2 < x < 2n+1/2 for the given integer n
이렇게 정해놓고 나면

$f(x) = \sum f_n(x)$

이렇게 된다. 따라서, 푸리에 변환을 할때는 $f_n$만 잘 해주면 된다. 마찬가지로, 휘리릭 계산해 주면

$g_n (k) = exp(-2nik) \frac{-2}{ik}sin(k/2)$

그럼

$g(k) = \sum g_n(k) = (cot(k) – i)\frac{-4}{ik}sin(k/2)$

음…생긴게 조금 이상하긴 하지만, 아무튼 sinc함수에 다른 함수를 곱한 형태가 등장했다. (검산 해보기 바람. 적분한 다음 무한급수의 합 공식을 쓰면 됨.) 아마 이 함수는 연속함수일 것이다. (추측임. 증명은 안해봤음.)

그럼, 직사각형 함수가 주기적이지 않을 때에는 어떻게 될까? 이번엔 f(x)를 다음과 같이 정의하자.

$f(x) = \sum f_n(x)$

$f_n(x) = 1 $ if a_n < x 이것도 앞서 한 것과 마찬가지로 대충 적분하고 덧셈으로 꾹 눌러담아 주면 된다. 그러나 좀 까다롭게 된다. 앞에 나온 것처럼 하나의 함수가 되는 것이 아니라, 무한급수를 그냥 놔둬야만 한다.

$g_n(k) = exp(-ik\frac{b_n+a_n}{2})\frac{-2}{ik} sin(\frac{b_n-a_n}{2}k)$

$g(k)=\sum g_n(k)$

대충 보면, sinc함수는 맞는데, 앞에 삼각함수 하나가 곱해져 있다. 이건 왜 이렇게 되었을까? (물론 이 함수도 연속함수다. 아마)

두가지 경우의 직사각형 함수에 대해서 달라진 것은 단지 “주기성” 뿐이다. 이전의 글에서, 주기 함수를 푸리에 변환 하면 특정한 진동수의 함수들만 살아남게 된다는 것을 이야기 했었다. 하지만 함수에서 주기성이 깨져버리는 경우, 주기함수가 아닌 것을 주기함수(즉, 삼각함수)의 합으로 표현하려면 모든 종류의 주기성이 전부 다 포함되어야 한다. 뒤섞여 버리지 않으면 안된다는 것이다.

음…그런데, 어쨌든 impulse 형태는 보이지 않는다. 어떻게 된 걸까. 내 계산이 틀린건가?

비정규직 사용기간을 4년으로 연장한다는군

원래…

비정규직은 해고하기가 쉽다.

그래서, 비정규직을 보호하기 위해서 2년 이상 사용했으면 정규직으로 인정하거나, 인정하지 않더라도 좋건 싫건 법적으로 정규직으로 쳐서 함부로 해고하지 못하게 한다.

그러자, 모 전자 회사의 AS기간도 아닌 것이, 2년이 지나기 직전에 해고해 버린다. 왜냐하면 2년이 지나버리면 정규직으로 인정해야 하고, 그럼 비용이 늘어나니까.

그래서, 그 기간을 4년으로 늘린댄다. 그럼 4년동안은 비정규직이니까 4년이 지나기 전에 해고할 일은 없다는 것이다.

야. 해고할 일이 없으면 정규직이지..-_-

처음부터 논점이 틀렸다.

이건 비정규직 사용기간을 늘려서 해결될 문제가 아니라 오히려 줄여야 해결되는 문제다. 비정규직 사용기간을 줄이면 오히려 잦은 해고와 채용을 반복해야 하고, 여기서 오게 되는 업무 인수인계 문제라든가 피고용인의 전문성 문제라든가 채용 과정에서의 비용 증가 등을 생각하면 오히려 정규직을 채용하는 것이 더 나을 수 있게 되기 때문이다.

비정규직이 서러운건 정규직이랑 같은 일을 하는데 적게 받는다는 것이다. 그러면서 불만 있으면 언제든지 떠나야 한다. 떠나지 않고 해결할 방법이 없다.

이딴걸 비정규직 문제 해결책이라고 내놓다니.

대통령도 비정규직으로 뽑으면 안될까. 4년 중임제라고, 좋은거 있는데.

비주기 함수의 푸리에 변환

방명록에 질문이 들어왔다.

흥미로운 질문이다 – 비주기 함수의 푸리에 변환은 어째서 연속 함수가 되는가?

그것도, 수학 공식 없이 개념으로만 설명해 달라는 요청이다. 흠…한번 시도해 본다.

이 글은 푸리에 변환의 기초적인 공식과 개념은 알고 있다는 가정 하에 작성되었다.

자. 반대로 짚어보자. 주기 함수의 푸리에 변환은 어째서 불연속함수가 될까? 잠깐…! 그 전에, 주기 함수의 푸리에 변환이 어떻게 되는지, 그걸 먼저 생각해 보자.

주기 함수의 가장 간단한 원형은 삼각함수다. 가령, 사인함수의 푸리에 변환은 델타 함수가 나온다. (디랙의 델타 함수) 그것은 정확히 바로 그 주파수 성분 이외에는 없기 때문이다. 이것은, 델타 함수의 푸리에 변환이 삼각함수라는 것을 생각해 보면 당연할 수밖에 없다.

1. 푸리에 변환은 어떤 변수 영역과 그 변수의 진동수 영역을 서로 변환한다.

2. 푸리에 변환은 함수를 “서로 다른 진동수를 가진 삼각함수의 합”으로서 표현한다.

3. “어떤 함수”가 있는데, 그 함수의 진동수가 정확히 1개밖에 없다

4. 그럼 당연히 그 함수는 삼각함수이고, 진동수가 정해진 삼각함수일 수밖에 없다.

잠깐. 다시. 그런데, 톱니 모양의 함수인 경우는? 계산하기 귀찮으므로 검색을 활용하자.


http://www.math.gatech.edu/~harrell/pde/ch4wr.html


여길 참고하면, 톱니 모양의 함수는 푸리에 변환하면 톱니 모양의 함수가 갖는 진동수의 정수배 진동수를 가지는 삼각함수들만의 합으로 표현이 된다. 즉, 이 경우에도 진동수의 스펙트럼은 불연속적으로 변한다.

스펙트럼이란? – 푸리에 변환을 했을 때, 특정 진동수의 삼각함수가 갖는 진폭의 크기. 다른말로는, 푸리에 변환을 한 목적함수. 스펙트럼을 다시한번 푸리에 변환하면 원래의 함수가 등장한다.

왜그럴까? 왜?

주기 함수인 경우 x에다가 특정 주기 T를 더하면 원래의 함수가 그대로 나와야 한다. 즉, f(x)와 f(x+T)는 같은 함수 값을 갖게 된다. 삼각함수에다가 특정 x를 하나 정해놓고, T를 아무거나 더해봐라. 그래봐야 cos(x)와 cos(x+T)가 같을 가능성은 전무하다. 이걸 같게 맞추기 위해서는 T를 굉장히 잘 골라야 한다. 물론, 상식적으로 T는 $2\pi$의 정수배가 되면 OK다. 여기서 힌트를 얻어야 한다. T는 특정한 숫자의 정수배가 되지 않으면 안된다.

푸리에 변환이라는 것이 원래 함수를 삼각함수로 표현하고 싶었던 것이므로, 원래 함수와 삼각함수의 합이 서로 같으려면, 삼각함수에 들어가는 주기 T는 원래 함수의 주기 T와 같아야만 한다. 바로 앞의 설명에서는 주기 T를 그냥 $2\pi$의 정수배로 맞출 수 있었지만, 이번엔 반대로 주기 T 자체는 결정되어 있는 상태다. (T를 바꾼다는건 원래 함수를 바꾼다는 뜻이므로 말도 안되는 얘기다) 그럼 어떻게 해야 할까? 중이 싫으면 절을 떠나야 한다고…

삼각함수가 맞춰주는 수밖에 없다. 즉, 주기 T가 $2\pi$의 정수배가 되도록 하는 진동수를 선택해야만 한다. 따라서, 이번엔 거꾸로 특정 진동수에 해당하는 삼각함수들만 살아남을 수밖에 없다.

자. 이제 원래의 질문으로 돌아와서, 비주기 함수의 푸리에 변환이 왜 연속함수가 나오는지 생각해 보자. 잠깐 – 이 명제의 대우를 생각해 보자. 불연속함수의 푸리에 변환은 주기 함수일까?

이렇게 생각하는건 이상하지 않다. 푸리에 변환의 역 푸리에 변환은 또한 그 자체로 푸리에 변환이다. 그리고 모든 함수는 주기함수이거나 비주기 함수이고, 모든 함수는 연속함수이거나 불연속함수이다. 따라서 대우 명제로서 잘 성립한다.

불연속함수의 푸리에 변환은 당연히 주기 함수다. -> 이상하다

가령, 잘 정의된 불연속함수로 다음과 같은 것이 있다.

f(x) = 1 (x가 유리수)

f(x) = 0 (x가 무리수)

이런 함수를 푸리에 변환하면 어떻게 될까?

음…이 함수의 푸리에 변환은, 놀랍게도, 0이다. (추측이긴 하지만, 아마 맞을 거다 -_-; 저 함수는 measure가 0이라서 적분하면 0이고, 저기에 뭘 곱해서 적분해도 0일 수밖에 없다. 이걸 어떻게 적분하고, 적분값이 왜 0인지는 Lebesgue 적분론을 이해해야 한다.)

미안하다. 처음부터 반례가 나왔다. (0함수는 상수함수이고, 상수함수는 주기함수다. 따라서 이 예는 내가 잘못 들었다.)

다른 함수를 선택해 보겠다.

$f(x) = \sum _{n=1}^{\inf} \delta(x-\frac{1}{n})$

이 함수는 델타 함수를 좀 많이 더한 것이다. 확실하게 불연속이다. 이 함수의 푸리에 변환은 계산하기 쉽다.

$g(k) = \sum _{n=1} ^{\inf} exp(i (\frac{k}{n})$

보다시피, 이 함수는 전혀 주기적이지 않다. 주기가 서로 다른 삼각함수를 모두 더했기 때문이다. 즉, 비주기 함수의 푸리에 변환이라고 해도 항상 연속함수가 나오는 것은 아니다.

그럼 흔히 수학자들이 생각하는 대로, 푸리에 변환을 했는데 연속함수가 나오는 경우는 도대체 어떤 경우일까?

연속함수의 푸리에 변환은 연속함수인가? 아니다. 사인 함수 1개를 푸리에 변환하면 연속이 아닌 함수가 나온다.

비주기 함수의 푸리에 변환은 연속함수인가? 아니다. 앞서 설명했듯, 반례가 있다.

그럼, 연속인 비주기 함수의 푸리에 변환은 연속함수인가? 물론 아니다. 방금 설명한 반례는 연속인 함수다.

흠…이 조건은 잠깐 생각해서는 답이 나오지 않을 것 같다. 일단, 여기까지의 결론을 내리자면, 비주기 연속함수라고 하여 그 푸리에 변환이 무조건 연속함수인 것은 아니라는 것이다.

어떤 여자

어제는 밥먹고 너무 피곤해서 오후 9시에 잠들었다. 난 운명론이나 숙명같은 미래 예정설을 그다지 신뢰하지 않지만, 그게 화근인걸까?

방금 – 즉, 아침 “3시 36분”에 전화가 한통 왔다. 물론…모르는 번호다.

“여보세요?”

오…여자다?

“혹시 김현주 친구분 아니세요?”

“…아닌데요…”

그리고나서 다시 잠들려고 했는데, 4분후에 다시 전화가 온다.

“여보세요?”

“혹시 김현주 남자친구분 아니세요? 현주 핸드폰 뒤져봤는데 그렇게 등록되어 있어서…”

“…뉘신지는 모르겠지만, 정말 잘못 거신 것 같은데요”

뭔 전화를…

김현주씨를 왜 찾는지는 모르겠으나, 새벽 4시에 전화할 정도로 급박한 사정이 있는거겠지만, 받는 입장에서는 그저 짜증날 뿐이다. 진짜로 내가 아는 사람이면 뭐라고 해줬겠지만, 내가 아는 여자중에 이름이 “김현주”인 사람은 없다.

초등학교, 중학교, 고등학교, 대학교, 대학원, 지난번 직장, 현재 직장에서 알고 지냈던 여자들을 전부 떠올려 봤지만 기억 속에 김현주씨는 존재하지 않았다.

대체 누가…나를 남자친구로 등록해 두었단 말인가…-_-;

혹시, “김현정”을 잘못 알고 있거나, 친구들 사이에서 통용되는 이름이 “김현주”인데 나에게는 “김현정”으로 소개한 사람은 아니겠지. 하지만 내가 아는 김현정 씨는 2명이 있고, 그중 1명은 유부녀, 1명은 대학원생이다. 이쪽을 오해하지는 않을 것 같다. “김”씨이면서 “주”로 이름이 끝나는 사람은 한명 알고 있는데, 그 사람은 내 친구의 여자친구고, 가운데 글자가 “현”이 아니다. 가운데 글자가 “현”인건 바로 그 내 친구다. 어떻게 생각해도 시나리오가 나오질 않는다.

그참에…밤 9시에 잠들어서 아침까지 푹 자려는 나의 계획은 산산히 부서지고, 새벽 4시에 눈을 떠버린 슬픈 총각만이 남아있다.

한군데 짐작가는 곳이 있어서 문의를 보냈는데, 아직 답이 없다. 분명, 내 친구중의 어떤 여자친구일 것 같다.

추가 : 이곳은 아닌 것으로 판명되었다. 그럼 대체 누구지?

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