미분기하학의 실용적 응용

“미분기하학”이라고 하면 사실 굉장히 어려운 과목이다. 어느정도냐 하면, 아인슈타인도 잘 모르고 있다가 일반 상대성이론을 만들려고 동료 수학자에게 배웠을 정도이다.



[각주:

1

]


미분기하학에서 다루는 주제는 공간 그 자체이다. 공간이라고 하면 우리가 살고 있는 바로 이 세상이 공간으로 구성되어 있다. 특히, 그중에서도 거리를 잴 수 있는 공간을 다룬다. 물론 우리가 살고 있는 바로 이 세상이 거리를 잴 수 있는 공간의 가장 대표적인 사례이다. 그 공간에서 뭘 하냐면, 크기를 잰다. 크기를 어떻게 재느냐 하면, 선은 길이를 재고, 면은 넓이를 재고, 입체는 부피를 잰다.

크기를 재면 뭘 알 수 있냐면, 크기를 잰 부분에서 공간이 얼마나 구부러져 있는지 알 수 있다.


http://www.imaeil.com/sub_news/sub_news_view.php?news_id=28985&yy=2010

  1. 이렇게 말하니 어느정도인지 나도 감이 잘 안오지만.

    [본문으로]

로피탈 정리


http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A1%9C%ED%94%BC%ED%83%88%EC%9D%98_%EC%A0%95%EB%A6%AC


위키백과의 로피탈 정리 부분을 참조하자.

로피탈의 정리는 도함수의 극한과 원래 함수의 극한을 이어주는 정리이다.

그 내용은 실수값을 갖는 두 함수 f(x)와 g(x)가 x=a에서 f(a)=g(a)=0이라고 할 때, 두 함수를 나누어준 함수인 (f/g)(x)의 x가 a로 수렴하는 경우의 극한이 f와 g의 도함수끼리 나누어 준 f’/g’의 극한과 같다는 정리이다. 엄밀한 내용은 위키 백과를 참조하자.

그런데, W. Rudin의 “Principles of Mathematical analysis, 3rd Edition”을 읽다가, 로피탈 정리의 가정에 학교에서 배운 내용과 다른게 있었다. 가령 f와 g가 x가 a로 수렴할 때 둘 다 무한대로 발산하는 경우인데, 루딘 책의 로피탈 정리의 가정에는 이 경우에 분자인 f는 무한대로 발산해야 한다는 부분에 대한 언급이 없다.

루딘 책은 인터넷에 돌아다니긴 하므로 궁금하면 사서 보거나 찾아보도록 하자.


http://math.stackexchange.com/questions/62916/how-to-show-that-lim-limits-x-to-infty-fx-0-implies-lim-limits-x


위의 글에서 Bill Dubuque 가 댓글 단 부분에 해당 부분을 인용해 두었다.

그래서 루딘 책에 오타가 있나 싶어서 찾아봤는데 그것도 아닌 듯 싶다.


http://math.berkeley.edu/~gbergman/ug.hndts/m104_Rudin_notes.pdf

뭐, 아무튼. 오타가 있으면 교수들이 오타를 이야기 했을 것이고, 검색하면 나오는 법이니 오타는 아닌 것 같다. 사실 오타건 아니건간에 증명을 깊이 이해하고 스스로 맞는지 틀리는지 생각해 보면 되는 문제인데, 아직 수학적으로는 그정도 내공이 쌓여있지 못해서 검색을 사용하였다.

어쨌든 그렇다 치자. 그럼 지금까지 배운 로피탈 정리는 뭔가 틀린 내용이었다는 뜻이다. 물론 0/0형태는 맞는 내용이다. 흥미로운건, 무한대/무한대 내용에서, 증명에 분자가 무한대라는 가정이 들어가지 않는다는 부분이다. 왜 그런지 잘 모르겠지만, 아무튼 책을 다 읽고 나중에 이 부분만 깊이있게 다시 읽어봐야겠다.

4급 받은게 죄인가?


http://news.chosun.com/site/data/html_dir/2012/02/26/2012022600252.html

강용석이 “박 시장의 아들이 바로 지난주에도 교회 수련회 4박5일을 멀쩡하게 잘 갔다 왔다 하던데, 그런 아들을 원래 현역이던 것을 4급으로 뺐으면 국민에게 용서를 구해야지, 어떻게 저를 용서한다고 하는지 납득이 안 된다”라고 했다.

그럼 박 시장 아들이 훈련소에 가서 “장애를 딛고” 3급 이상 판정 받은 현역과 함께 허리가 부러지는 한이 있어도 끝까지 군 복무를 수행해야 하는건가?

얘기해보자. 디스크 환자는 “멀쩡하게” 살면 안되는 건가? 누워만 있으라는 건가?

아주 많은 사람들이 “법대로”를 외치고 있다. 월급 안주는 악덕 기업주도, 규정에 없다며 복지혜택을 주지 않는 관공서도, “법대로” 처리하고 있기 때문에 아무런 문제가 없다고 주장한다. 그런 관점에서, 박 시장의 아들은 모든 절차를 법대로 처리했다. 그 좋아하는 법대로 했고 거기서 무죄였는데 도대체 누가 누구보고 용서를 빌어야 하는 것인가.

박 시장 아들이 아니더라도, 현역 판정을 받아 훈련소에 들어갔다가 통증으로 퇴소한 후에 진단서 끊어서 4급 판정 받은 사람도, 심지어 5급으로 면제받은 사람도 많을 것이다. 그런 사람들이 모두 죄인인가? 그사람들 부모가 모두 국민에게 용서를 빌어야 하나?

군대를 가기 싫었든 가고 싶었는데 못 가게 되었든 현역 입영의 면제 사유에 의도는 중요하지 않다. 중요한건 병무청이 “넌 오지 마라”고 합법적으로 판정을 내린 부분이고, 그럼 이야기 끝이다. 이건 내 아들이건, 시장 아들이건, 대통령 아들이건, 강용석 아들이건 공히 적용되는 사항이다.

컴퓨터에게 어떻게 일을 시킬 것인가

컴퓨터에게 일을 시키기 위해서는 컴퓨터가 작동하는 방식과 컴퓨터가 사용하는 언어를 알아야 한다.

컴퓨터가 작동하는 방식은 간단히 말해서 “절차적”이다. 절차를 정하면 그대로 수행하고, 절차를 저장해 두었다가 반복할 수도 있다. 여기서 절차적이라는 말은 자료를 받아서 결과를 내놓는다는 것을 뜻한다. 프로그래밍 방법론에서 나오는 절차적-재귀적이라는 용어와는 조금 다르다.

그러면, 어떤 절차를 만들 수 있을까?

거의 대부분의 프로그래밍 언어는 4가지의 기본적인 기능이 있다.

1. 변수 선언, 관리

2. 사칙연산

3. 조건분기

4. 반복

이 네가지 기능을 조합하면 별걸 다 만들 수 있다. 아이폰도 구글 검색도 이 네가지 기능을 아주 많이 조합해서 만든 것이다.

저 네가지 기능을 어떻게 조합해야 내가 풀고싶은 문제를 해결하라고 시킬까?

그것이 바로 “알고리즘”과 “자료구조”가 된다. 알고리즘은 결국 문제를 해결하기 위한 절차의 집합이다. 1단계 2단계 3단계 … 를 다 모으고, 그렇게 모인 것이 문제를 반드시 해결할 수 있음을 증명하면 알고리즘이 완성된다.

뒤에 나오는 증명은 전문가에게 남겨둔다고 쳐도, 단계를 어떻게 쪼개야 할까?

일단 가장 중요한건 이 문제를 풀어야 하는 절박함이다. 컴퓨터 문제는 풀 필요가 없으면 풀지 않는 것이 좋다.

주어진 문제를 반드시 풀어야 한다고 할 때, 누구나 이런 생각이 들 것이다. “아…!!!! 이것만 알면 저거 푸는건데!”

바로 그 알고 싶은것을 적는다. 그것이 바로 풀어야 하는 문제의 “가장 마지막 절차”가 된다.

그것을 알았을 때, 그걸 알면 그것으로부터 답을 어떻게 구하는지 적는다.

예를들어, 삼각형에서 어떤 하나의 각x을 알고 싶다고 하자. 그럼 나머지 두 각a, b만 알아낼 수 있으면 두 각의 합을 180에서 빼면 원하는 각도를 알아낼 수 있다.

x = 180-a-b

다음으로, 이제 a와 b를 알아내는 방법을 마찬가지로 적는다. 무엇만 알아내면 그것들을 알아낼 수 있는 것인지. 물론 각각을 따로 적어야 할 수도 있다. 그리고 그 각각에 대해서 또 여러개의 알아내야 하는 세부 사항들로 나누어질 수도 있다. 그러나 각각은 하나의 절차로 이루어져 있다. 다음과 같이 적어보자.

문제P

P는 a, b를 알면 된다.

소문제A

a는 a1과 a2를 알면 된다

소문제A1



소문제A2



a1과 a2를 알면 a는 간단하게 구할 수 있다.

소문제B

b는 b1과 b2를 알면 된다.



a와 b를 알면 P는 간단하게 구할 수 있다.

저렇게 해서 점점 작은 문제로 분해해 나가면 된다.

가장 작은 문제는 앞에서 설명한 4가지 기본 기능을 사용해서 풀 수 있는 수준까지 쪼개야 한다. 문제를 작게 쪼개고 각각의 작은 문제를 절차로 변환하는 것은 한번에 되지 않지만, 많은 연습을 하면 머릿속에 전체적인 구도가 금방 잡히게 된다.

저축은행사태

부산 저축은행을 비롯한 여러 저축은행들이 후순위 채권같은걸 1인당 5천만원 이상 넣도록 만들어서 사람들에게 손해를 주었었다. 이 돈은 예금주들의 피같은 돈이므로 당연히 보상받아야 한다. 문제는 특별법인데, 그 특별법에서는 국가가 보상해 주는 것으로 되어 있다. 그럼 거기서 이익을 본 사람들로부터는 추징 안하나?

빠른 피해자 구제 처리를 위해서 국가가 우선 지원하고 나중에 저축은행 관계자로부터 환수하는 방안은 적극 검토할 수 있겠으나, 이런식으로 먹고 도망가는걸 방치하면 못먹는 놈만 바보가 되는 세상이 된다.

개인적으로는, 횡령한 범죄자들에게는 근로기준법상 최저임금으로 추징금을 갚을때까지 강제로 일을 시켜야 한다고 본다. 일하기 싫으면 숨겨둔 추징금을 내든가.

스마트폰 광고

요즘들어 스마트폰 광고가 TV에서 끝나질 않는다. 사실 스마트폰에서 자랑할만한 스펙이 얼마 없는것도 문제긴 하다.

손을 안 대고도 그 근처에서 손을 휘저으면 작동한다거나, 신용카드 대신 결제할 수 있다거나.

광고의 메시지는 “이 제품은 이것도 되고 저것도 되고 요것도 되고… 그러니 질러라” 이다.

그런데 그 기능이 그렇게 중요한가? 꼭 필요한 기능일까?

내가 스마트폰을 산지 2년이 다 되어가는 이 시점에서, 사실 나침반 기능은 단 한번도 필요한 적이 없었다. 물론 언젠가 요긴하게 써먹을 일이 있을지도 모르지만. 광고에서 자랑하는 그 기능들 중 한달에 한번도 필요하지 않을 것 같은, 그런 최첨단 기술들을 사용하기 위해서 새로 사는 것은 아무래도 낭비라는 생각이 들 뿐이다.

물론, 게임을 더 부드럽게 즐기기 위해서 새로 사는건 나쁘지 않은 것 같다.

노트북 리뷰

3년만에 지른 “내” 노트북 P425의 소감을 적어두어야겠다.

지금까지 사본 노트북은 삼성의 Q20, LG의 LM60, R410, R560, T290, 후지츠의 ST5025가 있었고 여기에 P425를 추가한다.

일단 가격은 사기 안당하고 샀다는 점에서만 만족한다. 원래는 다른 스펙이 좀 더 줄어들더라도 가격이 쌌으면 좋았겠지만.

스펙은 인텔 2세대 코어i5 2450이고 그 속도는 2.5GHz이다. 램은 기본 4GB인데 2만원 더 주고 8GB로 업그레이드했다. 나중에 8GB모듈이 나오면 2개 질러서 16GB까지 확장 가능하다고 한다. “그렇게까지 쓰실 일 없으실거예요”라고 우기던 매장 직원의 미소가 눈앞에 선하다. 기본적으로 750GB 용량의 하드디스크가 딸려나온다. 무선랜과 블투 통합된 모듈이 내장되어 있다. USB포트는 3개인데 아직 USB2.0이라는 것이 약간 불만스럽다.

가장 만족스러운 부분은 화면인데, 확실히 R410의 사기 배젤보다 낫다. R410은 화면 가장자리에 광택이 있는 검정색 영역을 주어서 화면이 꺼진 상태에서는 화면이 꽤 커보이도록 설계했었다. R410은 다른건 다 괜찮았는데 그게 맘에 안들었었다. 아무튼, 화면이 나쁘지 않아서 좋다. 해상도는 1366×768인데, 이건 화면이 더 작은 T290이랑 똑같다는 것이 사실 안좋긴 하다.

같은 매장에 전시되어 있던 비슷한 크기의 울트라북을 고려해봤었는데, 결정적으로 울트라북을 사지 않게 된 이유는 키보드 오른쪽 끝의 4개의 기능키이다. 왜 “화면 끄기”라는 기능을 자주 쓸 것이라고 생각한 것일까? 뭐 누군가는 자주 쓸지도 모르지만, 노트북은 그냥 덮어버리면 된다. 아무튼, 이 노트북의 키보드에는 키스킨을 기본제공하는데 이 키스킨은 완소아이템이 되었다. 키스킨을 없이 쓰면 키감이 완전 쓰레기다. 심지어 백스페이스 키는 삐걱거린다. 그러나 키스킨을 덮어서 사용하면 참고 써줄만한 터치가 완성된다. 후회할뻔했지만 참고 넘어가기로 했다.

요즘들어 베젤을 줄이는게 추세라서 그런지 화면 상단 정중앙에 배치되어 있던 화상채팅용 카메라가 화면 좌측 하단으로 옮겨갔다.

디자인은 “얇아보이는 디자인”이다. 1cm정도만 색을 칠해놓고 나머지를 검게 처리하여, 실제로는 꽤 두껍지만 얇아보인다. 낚이면 안된다. 물론 불편할정도로 두껍거나 다시 생각해야 할 정도로 두꺼운건 아니다.

질량은 1.99kg으로 R410보다 300g정도 가벼워졌다. 2kg이 넘지 않는 놀라운 질량이다.

디자인은 하얀색과 파란색이 있는데, 하얀색은 손때타면 가슴이 아플 것 같아서 파란색으로 샀다. 보라색과 파란색의 중간 정도인 색인데, 무난하다.

배터리 부분은 좀 문제가 있었는데, 2중 스프링 걸쇠 부분이 안맞아서 교환을 받아야 하는지 고민했었다. 그러나 3M 스카치테이프 2겹으로 문제를 해결할 수 있어서 다행이었다.

30%정도는 충동구매를 하긴 했지만, 꽤 만족스러운 지름이라는 생각이 든다.

은행 공인인증서

은행 공인인증서를 은행마다 받아야 한다는 기사가 나왔다.


http://www.zdnet.co.kr/news/news_view.asp?artice_id=20120224083903

물론 은행마다 받아야 한다.

그러나 은행마다 받지 않아도 된다. 각 은행 공인인증센터에 가면 다른 곳에서 받은 공인인증서를 등록할 수 있게 되어 있다. 여기서 등록하면 하나의 공인인증서로 다 돌려쓸 수 있다.

1회용 암호장비(OTP)도 마찬가지로 1개 사서 등록하면 된다.

은행마다 받아야 하는 건 각 은행 전용 앱, 각 은행 전용 보안 프로그램 등이다.

짜증나는건 이 부분인데, 각 은행별 앱과 보안 프로그램은 같은 업체에서 개발한 것 같은데 (아무튼 생긴건 똑같다) 기능도 똑같은데 다 따로 설치해야 한다. 게다가 용량은 매우 크다.

공동개발해서 초기화면에서 은행을 선택하도록 하면 안되나?

비용도 절감하고 편의성도 높이고 좋을텐데. 물론 우리나라 은행에서 그런짓을 하게 놔두는 보안 프로그램 업체는 없겠지만.

IT후진국

게임 셧다운제, 인터넷 실명제, ActiveX로 도배된 IE전용 웹뱅킹, 여기에 이어 국공립대에서 클라우드 서비스를 사용하지 못하게 한다는 소식까지 들려왔다.

종합적으로 판단하자면, 우리나라 정부는 더이상 IT산업의 발전에 생각이 없을 뿐만 아니라 오히려 퇴보시키려는 의도를 갖고 있어보인다.

비록 구더기가 무서워서 장을 담글 수는 없지만 벼룩을 잡기 위해서 초가삼간을 태울 수 있는 정부다.

Proudly powered by WordPress | Theme: Baskerville 2 by Anders Noren.

Up ↑