달, 나로호, 케플러

뉴턴이 만유인력의 법칙을 발견하는데 큰 도움이 되었던 것이 바로 케플러의 법칙들이다. 그 중, 직접적으로 만유인력의 법칙이랑 관련된 것은 첫번째 법칙과 세번째 법칙이다. 첫번째 법칙은 ‘행성 궤도는 타원이다’라는 법칙이고, 너무 간단해서 자세히 설명할 것도 없다. 세번째 법칙은 ‘어떤 행성의 궤도 장반경의 세제곱은 주기의 제곱에 비례한다’이다. 물론 간단하긴 하지만, 제곱이니 세제곱이니 하는 말들이 나오면 머릿속이 복잡해 지기 때문에 간단한 설명이 필요하다.

일단, ‘궤도 장반경’이 뭔지 알아야 한다. 이건 어려운 개념은 아니고



타원 궤도를 돈다고 했으니, 위에서 보면 그 움직임이 타원 모양일 것이고, 그럼 그 타원이 찌그러져 있으니 길쭉한 쪽의 크기와 짤막한 쪽의 크기가 구분될 것이다. 그중 긴게 장반경, 짧은게 단반경이다. 궤도의 반경이니 궤도 장반경이 된다.

다시 말해서, 케플러의 세번째 법칙은 다음과 같다.

장반경 x 장반경 x 장반경 = 비례상수 x 주기 x 주기

중요한건 같은 뜻 다른 모양의 다음 공식이다.

(장반경 x 장반경 x 장반경) / (주기 x 주기) = 비례상수

장반경을 세번 곱한것을 주기로 두번 나누면, 이것은 일정한데, 그 중심에 있는 천체가 같으면 일정하다. 쉽게 말해서, 태양계에 있는 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성, 천왕성, 해왕성, 명왕성은 궤도 장반경과 그 공전 주기 사이에 위와 같은 관계가 똑같이 성립한다는 뜻이다. 또, 목성에 있는 16개의 위성들끼리도 위와 같은 관계가 성립한다. 물론 태양계의 행성들과 목성의 위성들 사이에는 성립하지 않는다. 태양계의 행성은 태양을 중심으로 돌고, 목성의 위성은 목성을 중심으로 돌기 때문이다.

그나저나, 달은 궤도 장반경이 384400킬로미터이고, 공전주기가 27.3일이다. 나로호는 궤도 장반경이 900킬로미터이고 공전주기가 103분이다. 뭔가 이상하다. 내가 뭘 틀렸지?

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추가 – 정진명 님의 소중한 힌트에 힘입어…

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위에서는 지구의 반지름을 고려 안했다. 당연히 틀리게 된다.

지구의 반지름은 6738킬로미터라고 되어 있으므로, 달의 궤도에 대해서는 무시해도 크게 틀리지 않겠지만, 나로호에 대해서는 무시하면 완전히 틀리게 된다.

큰거 재기 시리즈

그림자

그래서, 우선 그림자에 대해 알아보자. 그림자(shadow)란 다들 알다시피 빛이 물체에 가로막혀서 그 뒤에 나타나는 어두운 부분이다. 그런데 그림자를 자세히 본 사람은 알겠지만,

큰거 재기 #4 – 태양의 크기

달의 크기와 달까지 거리를 알아냈으면, 이제 그 다음으로 멀리 떨어져 있는 태양까지의 거리를 알아낼 차례다. 비례식을 두번 사용해야 하기 때문에 계산이 복잡해 보일 수는 있겠지만, 사실 비례식이나 도형의 닮음 같은 개념들은 중학교 때 다 배우는 것들이라 이게 어렵다면 어떻게 할 수가 없다. 더 쉽게 하려면 초등 수준으로 가야 할텐데, 그럼 자로 대서 재보는 수밖에 없고, 1억 5천만 킬로미터는 자로 재기엔 너무 먼 당신이다.

(지구 크기까지는 자로 쟀었다.)

우선, 천문학 공부를 간단히 해야 한다. 별까지 거리를 알아보는 것 자체가 천문학 공부이긴 하지만.

지구와 태양 사이의 거리를 알아내기 위해서는 일식과 월식 현상을 조사해야 한다. 일식(Solar eclipse)은 태양이
달에 가려지는 현상이다. 당연히(!) 낮에만 볼 수 있는 현상이다. (밤에는 가려질 태양이 없으니까.) 반대로, 월식(Lunar
eclipse)는 달이 지구 그림자에 가려지는 현상이다. 물론 밤에만 볼 수 있는 현상이다. 천만 다행으로, 인간을 위해서 그런건 아니었겠지만, 지구 주변에는 아주 적당한 크기를 가진 달이 아주 적당한 거리에서 아주 적당한 궤도로 돌고 있다. 여기서 아주 적당한 궤도란, 지구의 공전면과 달의 공전면이 거의 같은 평면에 있기 때문에 적당하다는 뜻이다.

일단 월식을 먼저 알아보자.



월식은 부분월식과 개기월식이 있다.

특히, 개기월식 때는 위와 같은 과정으로 달이 지구를 통과하게 되는데, 대충 지구 그림자의 크기는 달 크기의 2.5배가 된다는 사실을 알 수 있다.




https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9B%94%EC%8B%9D

지구 그림자의 크기가 달 크기의 2.5배 정도 된다는 사실은 다음의 개략도를 보고 이해할 수 있다.



from

http://eclipse.gsfc.nasa.gov/OH/OH2007.html

Eclipse map/figure/table/predictions courtesy of Fred Espenak,
NASA/Goddard Space Flight Center.

For more information on solar and lunar eclipses, see Fred
Espenak’s Eclipse Web Site:

sunearth.gsfc.nasa.gov/eclipse/eclipse.html

지구의 본그림자 안에 달이 대충 2개 반 정도 들어간다는 사실을 알 수 있을 것이다. 이 사실로부터, 우리는 지구의 그림자가 멀어질수록 작아지는데, 지구와 달 까지의 거리 정도로 멀어지면 저만큼으로 작아진다는 사실을 알 수 있다.



이제, 위와 같은 그림을 그려보자. 우리는 B와 r과 C를 알고 있다. 그럼 초등학교와 중학교때 배운 간단한 비례식을 사용해서 R의 크기를 알 수 있다. 수능에도 나왔을지도 모른다. 일단 삼각형의 닮음만을 생각한다면, 달이 있는 위치인 C의 오른쪽에 있는 꼭지점을 보자. 이 꼭지점을 기준으로 하면, 달이 지나간 지구의 그림자(C)가 이 꼭지점과 함께 삼각형을 만들 수 있고, 지구(B)의 지름을 한 변으로 해도 삼각형을 만들 수 있고, 태양(A)을 한 변으로 해도 삼각형을 만들 수 있다. 이 세개의 삼각형은 모두 닮음이다. (각 하나가 닮았고, 변 세개가 모두 평행하다.) 무슨 뜻이냐 하면, 각 삼각형의 거리의 비율이 각 삼각형의 밑변(=각 천체의 지름) 비율과 같다는 뜻이다.

그리고 삼각형을 만들지 않더라도, 사다리꼴만 만들어도 비례식을 세울 수 있다. 이것도 일단은 별다른 설명 없이 넘어간다. 이런게 궁금한 독자라면 직접 풀어볼 수 있을 것이다.

그러므로 C:B=r:(r+R)이 된다. 여기서 C와 B와 r을 알고 있으니, R을 구할 수 있다. 이 비례식으로부터 Br=Cr+CR이 되므로, 우리가 원하는 R은 (B-C)r/C가 된다.

이렇게 하면 태양의 크기를 대충 알아낼 수 있다.

큰거 재기 #3 – 달의 크기

달까지 거리를 알아냈으면 달의 크기를 재는 방법은 아주 쉽다. 오백원짜리 동전 하나만 있으면 간단히 알아낼 수 있다.



초등학교에서 배운 도형의 닮음과 비례식의 성질을 이용하면, 지구에서 달을 바라보고 서서 오백원짜리 하나를 들고 있으면 된다. 오백원짜리로 달을 가리고 점점 멀리 떨어트리면서 달이 오백원짜리와 딱 같은 크기로 보이는 그 시점에 멈추고 눈과 오백원짜리 사이의 거리 a를 잰다. 그리고 오백원짜리의 크기 r을 잰다. b는 알고 있다. 따라서 R을 구하면 되는데, 다음과 같은 비례식이 성립한다.


http://www.topianet.co.kr/topia/6/6s/6s040002.htm

안쪽 것들끼리 곱한 것과 바깥쪽 것들끼리 곱한 것이 같다는 비례식의 성질을 이용해서, 다음과 같은 공식을 얻어낼 수 있다.

이렇게 해서 알아낸 달의 크기는 대략 3476킬로미터 정도 된다.

큰거 재기 #2 – 달까지의 거리

지구의 반지름을 알았으면 그 다음은 달까지의 거리를 알아볼 차례다.

달까지 거리는 현대에 와서는 아주 간단히 알아볼 수 있는데, 레이저를 달에 쏘아서 되돌아오는 시간을 재면 된다.



속력 = 거리 / 시간

우리는 빛의 속력이 299,792,458m/s 이라는 사실을 알고 있으므로, 시간만 정확히 재면 지구에서 달까지의 거리를 정확히 알 수 있다.


http://en.wikipedia.org/wiki/Lunar_Laser_Ranging_experiment



모서리거울의 원리.



들어온 곳으로 빛을 되돌려 보내는 거울. Retro-reflector.

http://en.wikipedia.org/wiki/Lunar_Laser_Ranging_experiment Copyright@NASA

예전에 미국 사람들이 달에 여행갔을 때 두고온 모서리거울이 있는데, 이 거울에 레이저를 쏘면 쏜 곳으로 다시 되돌아오므로 꽤 강력한 레이저와 측정기만 있으면 누구나 달이 얼마나 멀리 떨어져 있는지 알 수 있다. 그리고

앞서 이야기했듯

, 시간은 매우 정확하게 잴 수 있기 때문에 달까지의 거리를 매우 정확하게 알아낼 수 있다.

그러나 이 방법은 일단 달에 다녀와야 하기 때문에 돈이 많이 들어간다. 인간이 달에 다녀오기 전에 달까지의 거리를 재는 방법은 시차 측정이었다. 시차(示差)는 서로 다른 두 위치에서 하나의 물체를 바라보면, 물체의 위치가 보는 위치에 따라 달라 보이는 현상이다. 대표적으로, 손가락을 눈 앞에 세우고 바라보면 어디에 집중하느냐에 따라 배경이 두개로 보이든가 손가락이 두개로 보이든가 하는데, 이것이 바로 시차 때문에 나타나는 현상이다.

달은 그 뒤에 아주 많은 별들을 배경으로 깔고 있다. 따라서, 동시에 달을 바라보더라도 위치가 다르면 그 뒤에 보이는 별들의 위치가 달라 보이는데 이 때의 각도를 알아내면 달까지 거리를 알 수 있다.


http://100.daum.net/encyclopedia/view.do?docid=b13s2175b001



직접 찍은 달 사진.

땅에서 봤을 때 어떤 천체를 올려다 본 각도를 그 천체의 고도라고 한다. 이 각도를 a라고 하자.



그럼, 지구에서 달을 바라보면, 위와 같은 사각형을 그릴 수 있다. 지평면에 대해서 올려다 본 각도를 잰 것이므로 a는 지평면과 달 사이의 각도가 된다. 그리고, 지평면과 지구 중심에서 관찰자 위치까지는 90도의 각도를 이룬다. 마찬가지로, 지구 저편의 어딘가에서 같은 관찰을 할 수 있는데 그곳에서 잰 달의 고도를 b라고 하자. 그럼 두 관찰 지점 사이의 각도를 c라고 할 수 있다. c는 지구 반지름을 알고 있으므로, a지점과 b지점 사이의 거리를 재면 호와 원주각 사이의 관계로부터 각도를 얻어낼 수 있다. 그럼, a, b, c, d는 사각형을 이루므로 a+90도+b+90도+c+d = 360도가 되어야 한다. 간단한 산수를 통해서, d = 180-(a+b+c) 라는 사실을 알아낼 수 있다.

각도 d를 알아냈으면 이제 지구에서 달까지 거리를 알아낼 수 있는데, 고등학교 때 배운 간단한(!) 삼각함수 공식을 사용해서 얻을 수 있다.



먼저, 두 지점 사이의 거리 H를 알아내야 한다. 간단히 제2코사인 공식을 사용하면 된다. 제2코사인 공식이 기억나지 않아도 별로 상관은 없다. 모르는 사람은 몰라도 되니까 모르고 사는 것이고, 아는 사람은 아니까 된 것이고.

중요한건, 그렇게 해서 H를 구한 다음에, 다시 제2코사인 공식을 사용해서 D를 알아낼 수 있다는 것이다. 이 때, D는 d에서 a로 간 것과 c로 간 것이 차이가 있을 수 있는데, 어차피 큰 차이가 없을 것이므로 둘이 같다고 가정해도 된다. 그러고 싶지 않다면 각도a와 각도b가 같아지는 지점에서 이 관측을 수행하면 된다. 어쨌든 삼각형 adb는 이등변삼각형이라고 치자.

이렇게 된다. 그럼 우리가 필요한건 D일 뿐 H가 아니므로, 위의 공식과 합치고, 관찰한 a와 b를 이용해서 한번에 쓸 수 있다.

이렇게 해서, 우리는 달이 얼마나 높이 떴나 관찰하는 것 만으로 달이 얼마나 멀리 있나 알아낼 수 있다.

학교 자랑

광주에 가족 여행을 갔다가 들렀던 식당에서, 식당 사장님이 알바로 일하고 있는 자기 조카가 이번에 서울대 들어갔다고 자랑하셨다. 그래서 나도 카이스트 들어간다고 자랑했다.

갑자기 뜬금없이 손님한테 왜 자랑한거지?

이번에 서울대 경영학과 들어가시는 보배 씨, 축하해요.

도(道)와 길

옛날엔 누가 길가다 붙잡고 물어보는게 길 물어보는 것이었는데, 요새는 道를 묻는다. 그거나 그거나 같은 뜻인데 왜 말하는 내용이 달라진 것일까.

친구랑

친구랑 수다떨다가, 그 친구 왈 “이제 서른인데 아홉수가 끝나지 않아”

이에 대한 나의 해답, “만 나이로 따지는 것 같아”

– 빠른 생일자들의 대화 –

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