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세상은 내가 원하는 방식으로 작동하지도 않고, 내가 아는 방식으로도 작동하지도 않는 것 같다.

위의 그림은 피로도를 측정하기 위해 특별히 고안된 그림이다. 피곤한 사람은 노란색이 더 많이 보이고 아니면 파란색이 더 많이 보인다고 한다.

그래서, 위의 그림을 RGB영역에서 다시 한번 바라보았다.

일단 위의 그림은 녹색 영역이다. 양쪽이 유사하다는 것을 알 수 있다.

그 다음은 빨간색 영역이다. 예상대로 오른쪽이 밝고 왼쪽이 어둡다.

물론 이것은 파란색 영역이다. 왼쪽이 밝다.

어느쪽 영역이 더 넓은가 평가하기 위해, 세로축으로 픽셀의 값을 모두 더한 후, 가로축 픽셀에 따라 그래프를 그려보았다.

세개의 그래프가 어딘가에서 교차하는데, 그 위치가 바로 가장 어두운 지점이다.

이 그래프의 극소점은 빨간색과 녹색이 왼쪽에서 242픽셀, 파란색이 251픽셀에 있다.

전체가 530픽셀인 그림이므로 그 중앙은 265인데 242픽셀이면 중앙으로부터 20픽셀, 전체의 5%정도 벗어나 있는 셈이다.

따라서, 두 일렁이는 그림의 면적이 같다는 주장은 거짓이라고 생각된다.

필요는 발명의 어머니이다. 필요하지 않은 것은 발명되지 않는다.

만약 당신이 현재의 상황에 불만을 느끼고 있다면, 그것은 현재 상태로부터 벗어나기 위해 무엇을 해야 하는가에 대한 기초가 된다.

아무 불만이 없다면, 부럽다.

대칭성이란, 일반적으로 “어떤 변환에 대하여 변하지 않는 성질”을 의미한다.

변환이란 이것을 저것으로 바꾸는 것인데, 가령 앞면을 바라보는 동전을 뒷면으로 뒤집는다거나, 자동차 타이어를 바꾼다거나 하는 것들이 변환의 예이다.

예를 들어서, 다보탑이 보이는 동전을 뒤집으면 10이라는 숫자가 보인다. 이 동전의 양면은 뒤집기에 대하여 대칭적이지 않다. 그러나 이 동전을 뒤집지 않고 회전시키는 경우, 동전의 옆면은 아무런 변화 없이 여전히 맨질맨질하다. 이 경우 이 동전의 옆면은 회전에 대하여 대칭적이다.

연애를 하기 전에는 아무나 자유롭게 만날 수 있다. 이 사람을 만나다가 저 사람을 만나도 아무런 일이 일어나지 않는다. 즉, 만나는 사람을 바꾸는 일에 대하여 대칭적이다. 그러나 연애를 하게 되면 아무나 만났다간 혼난다. 즉, 대칭성이 깨졌다.

물론 에미 뇌터의 정리에 의하면, 어떤 대칭성이 존재하면 그 대칭성에 상응하는 보존량이 존재한다. 연애를 하지 않음으로써 발생하는 대칭성에 상응하는 보존량은 돈이다.

대칭적인 세상이 아름답다고 생각하는 당신, 이래도 대칭성이 아름답기만 한가?

스마트폰 운영체제인 안드로이드는 보안을 위하여 9개의 점을 이어서 만드는 패턴을 사용한다.

과연 이 패턴은 몇가지 경우의 수가 있을까?

규칙은 다음과 같다.

1. 최소한 4개의 점을 이어야 한다. 즉, 1개, 2개, 3개로 이루어진 패턴은 만들 수 없다.

2. 한번 지나간 점은 다시 지나갈 수 없다. 단, “꼭지점”으로 기능하지 않으면 스쳐지나갈 수는 있다.

3. 고르는 순서가 다르면 서로 구분되는 경우이다.

4개의 점을 가진 패턴을 생각해 보면, 우선 최초에 9개의 점 중에서 1개를 골라야 한다. 그 다음에는 8개의 점 중에 골라야 하고, 마찬가지로 7개중에 1개, 6개중의 1개를 고르면 된다. 이 모든 경우의 수는 9*8*7*6가지 경우인데, 계산해보면 3024가지 경우이다.

5개의 점은 여기에 5개중의 1개를 더 골라야 하므로 15120가지 경우가 가능하다.

마찬가지로 6개의 점은 4개중의 1개를 고를 수 있다. 이것은 60480가지 경우이다.

7개의 점을 잇는 경우는 181440가지 경우, 8개의 점을 잇는 경우는 362880가지 경우가 있다.

9개의 점을 잇는 경우는 8개의 점을 고른 상황에서 선택할 점이 1개밖에 없으므로 8개의 점인 경우와 마찬가지로 362880가지 경우가 있다. 물론 8개의 점을 고르느냐 9개의 점을 고르느냐의 차이가 있기 때문에 두가지 종류의 경우는 경우의 수는 같더라도 서로 다른 경우로 처리된다.

따라서 전체적으로 3024+15120+60480+181440+362880+362880=985824가지 경우가 존재한다.

물론 이 경우의 수는 4자리수 비밀번호인 10000가지보다 98배 이상 많은 경우의 수이다.

수식으로 멋있게 쓰면, N개의 점 중에 k개 이상의 점을 사용하여 패턴을 만드는 경우의 수 $F_N(k)$는

$F_N(k)=\Sum_{i=k}^N \frac{N!}{(N-i)!}$

이 된다.

유명한 보너스 문제. 선분 4개만 사용해서 9개의 점을 모두 잇는 방법은?

더보기

나도 어느새 어른 10년차다. 50년차 넘으신 어르신들께서 보면 아직도 새파랗게 어린것이겠지만.

정신적으로 성숙하고 싶은데 어떻게 해야 하느냐는 질문에,

“정신적으로 성숙해 보이고 싶다면, 남을 배려하는 인간이 되라”라고 답해주었다. 아는 것과 실천하는 것의 간격이 커서 문제일 뿐 사실 답은 뻔한 내용이다.

덧붙여서, “정신적으로 성숙하고 싶다면, 자신의 주관을 뚜렷이 아는 인간이 되라”라고 답해주었다. 남의 추천과 강요와 설득에 관계 없이, 자신의 경험과 느낌으로 좋고 싫은 것을 결정하는 것이 중요하다.

왜 성숙해 보이는 것과 성숙하는 것이 답이 다른가? 남이 보았을 때 나를 평가하는 기준과 내가 나를 평가하는 기준이 다르기 때문이다. 남에게 잘 보이는 것도 중요하고 스스로를 소중하게 여기는 것도 중요하다.

요즘들어 소통이 화두가 되고 있다. 과연 소통이 중요한 것인가?

트위터, 페이스북, 그 외의 수많은 사회 관계망 서비스들. 이런걸 잘 쓰면 소통이 되는건가?

1. 소통이 중요한가

소통, 의사소통은 사람이 다른 사람의 뜻을 알 수 없기 때문에 요구되는 가장 기본적인 인간의 능력 중 하나이다. 소통이 중요하다고 한다면, 사람이 다른 사람의 뜻을 아는 것이 중요하다는 것과 같다. 사람이 다른 사람의 뜻을 아는 것이 어째서 중요할까?

예를 들어, 어떤 인간이 혼자 살고 있다면 다른 사람이 없으므로 소통이 필요 없다. 만약 모든 사람이 말하지 않아도 모든 사람의 뜻을 알고 있다면 역시 소통이 필요 없다.



<sup>[각주:

1

]</sup>



많은 사람들이 함께 살아갈 때, 내가 아닌 다른 사람의 뜻을 일부만 알고 있을 때 소통이 필요하다. 소통이 중요한 경우가 있다면, 다른 사람의 뜻을 알지 않으면 안되는 경우라는 뜻이다.

소통이 누구에게나 중요할까? 앞서 말했듯이, 소통은 다른 사람의 뜻을 모를 때 필요한 일이다. 따라서, 다른 사람의 뜻을 알고 싶어하는 사람에게 소통이 중요하다.

누가 다른 사람의 뜻을 알고 싶어하고, 누가 다른 사람의 뜻을 알아야만 하는가? 내가? 왜?

2. 어떻게 소통하는가

그런데 나에게 소통이 중요하다고 해서 다른 사람들과 소통이 항상 잘 이루어질 수는 없다. 나의 뜻은 전할 수 있으나 상대방이 그의 뜻을 전해주지 않으면 소통은 일어나지 않는다. 앞서 말했듯이, 소통이 이루어지기 위해서는 상대방의 뜻이 궁금해야 한다. 문제는, 내 뜻을 전달해서 상대가 나의 뜻을 알았다고 해도, 여전히 상대는 나에게 자신의 뜻을 알려주지 않는 경우가 발생할 수 있다는 점이다. 즉, 뜻을 전달하는데는 성공했으나 그 뜻을 받지 못해서 소통이 이루어지지 않는 경우다.

이런 상대와는 어떻게 소통해야 하는가. 상대가 나에게 자신의 뜻을 알려주지 않는 이유는, 요약하자면 “넌 알 필요가 없다”라든가 “알면 다쳐”라든가 하는 이유이다. 이게 왜 문제가 되는가 하면, 답답한건 나이기 때문이다. 상대방은 내 뜻과 자신의 뜻을 알고 있으므로 전혀 답답하지 않다. 이런 경우 소통을 하려면 어떻게 해야 할까. 지식인에 물어보면 되는걸까.

된다. 어떤 경우, 상대방이 지식인에서 활발히 활동하고 있고 내 질문이 충분히 섹시하다면 그 상대방은 자신의 뜻을 담은 대답을 올리게 된다.

이런 방법론을 확장하면 우리는 책을 통해서도 소통할 수 있고 따라서 죽은 사람과도 소통할 수 있다. 책의 저자는 독자가 무슨 뜻을 품고 있는지 전혀 궁금해하지 않는다.



<sup>[각주:

2

]</sup>



더군다나 죽은 사람은 산 사람의 뜻을 궁금해하지 않는다.



<sup>[각주:

3

]</sup>



자신의 생각을 충분히 담고 있는 여러가지 흔적을 남겼다면, 그 흔적을 해석하여 소통하는 것이 가능하다.

사실, 위와 같이 소통을 접근한다면 소통의 방법론은 무궁무진하다. 협박해서 알아낼 수도 있고 돈을 주고 알아낼 수도 있다. 도덕과 윤리와 법률의 한계를 넘어선 각종 방법이 많이 있고, 그 한계를 넘지 않더라도 다양한 방법을 생각해 볼 수 있다.

3. 어떻게 소통하는가??

소통이 이루어지기 위해서는 1. 나의 뜻을 전하고 2. 상대의 뜻을 받아야 한다. 나의 뜻을 전하기 위해서는 일단 대사를 뭐라고 쳐야 할지 깊이 생각해야 한다. 적당히 읊었다가 혹시 음이탈이라도 발생한다면 상대가 나의 뜻을 오해할지도 모른다. 또한, 상대방을 2.1 말하게 하고 2.2 뭔가 말해주면 말한걸 잘 들어야 한다. 말하게 하는 것도 힘들고 말한걸 잘 들어주는 것도 힘든 일이다. 잘 들어주는 것은 그나마 좀 쉬운데 대체로 “응?”, “아하”, “어머”, “우와” 같은 적절한 추임새를 말이 끊길 것 같은 위기의 순간마다 사용하여 상대방에게 말할 수 있는 용기를 심어주는 것이 중요하다. 10분동안 말없이 눈만 깜빡이면서 바라만 보고 있다가 “우와”같은 말을 내뱉지는 말자.

4. 소통이, 다시, 왜 중요한건가?

요즘 시대에 갑자기 소통이 화두가 되고 이래저래 떠오른 이유는 소통이 잘 안되고 있어서 사람들이 답답하기 ‹š문이다. 그런데, 사실 소통은 그 자체로 중요할 수가 없다. 나랑 아무 관련도 없는 저 사람이 무슨 생각을 하고 있든지 역시 나랑 아무 관련이 없기 때문이다. 저 사람의 생각이 행동으로 나타나고, 그 행동이 나에게 어떤 영향을 줄 때, 그 영향이 나에게 좋을 수도 있고 나쁠 수도 있다. 그 영향이 좋건 나쁘건, 사람은 호기심의 동물이라 대체 저 사람이 나한테 왜 그러고 있는 것인지 궁금해 한다. 바로 이 부분이 소통이 필요한 점이다.

연인이 나한테 화를 냈다. 왜 화를 내는 것인가 궁금하다. 정부에서 어떤 정책을 시행한다. 왜 시행하는 것인가. 길을 가다가 눈이 마주친 저 아저씨가 나를 보더니 썩소를 흘렸다. 미소인가? 아무튼 왜 웃는걸까.

답답하다. 아.

바로 그 순간, 눈이 마주친 순간, 그 아저씨는 나와 관련되었고, 영향을 받고야 말았다. 소통이 필요한 순간이다.

맑은 하늘에, 산자락에 올라서, 맑은 공기를 들이쉬며, 상쾌한 느낌을 만끽하고 있어도 연인만 생각하면, 정부 정책만 생각하면, 올라오는 길에 썩소짓던 아저씨만 생각하면 떠오르는 그 답답함.

인간은 그 답답함을 해소하기 위하여 소통을 하려고 한다.

5. 삼천포

그래서 소통의 도구인 트위터가 등장했다. 트위터는 사람들에게 자신의 뜻을 계속해서 내던지게 만듦으로서, 누군가의 뜻을 알고 싶어하는 사람이 그 사람의 계정을 팔로우하여 그 뜻을 알 수 있고, 멘션을 통해서 자신의 뜻을 전달하도록 할 수 있는 아주 기가막힌, 맥가이버칼 같은 도구이다.

문제는 트위터는 내 뜻을 전달하려면 상대방이 내 뜻을 알고싶어해야 한다는 점이다. Follow me, plz.

나한테 아무런 관심도 가지지 않는 저 사람을 내가 아무리 따라다녀봐야 그가 나를 따라다니지 않으면 소통은 이루어지지 않고 단지 전달만 이루어진다.

아까는 뜻을 받는게 문제였는데 이번엔 뜻을 주는게 문제다. 아니, 그런데 말이다. 잘 생각해 보자. 내가 답답한 것은 원래 내 뜻은 전달했으나 상대방의 뜻을 모르기 때문에 발생하는 것 아니었던가? 내 뜻을 상대방이 모르기 때문에 답답한건 도대체 무슨 이유일까. 그보다, 상대방이 내 뜻을 모를 것이라는 것은 어떻게 안 것일까? 음?!?!?

6. 결론

소통을 하든 말든 그건 중요한게 아니다. 왜 소통을 해야 하는지, 어떻게 소통을 해야 하는지, 누구랑 소통을 해야 하는지, 그게 소통이 잘 된거 맞는지, 그런 것들을 고민하지 않으면 소통을 해봐야 쓸모가 없다. 인생에 의미도 없다. 하지 마라.

웹 서핑중 괜찮은 글을 발견해서 번역해 보았다.
http://tutorial.math.lamar.edu/Extras/StudyMath/HowToStudyMath.aspx

무허가 발번역이므로 재배포 및 기타 다른 어떠한 용도로의 이용도 금지한다. 그대로 인쇄해서 당신의 학생들에게 전달해 주는 것은 괜찮다. 당신의 영어 실력 향상을 위해서 원문으로 읽어보는 것을 적극 권장하는 바이다.

How to study math. by Paul Dawkins.

© Paul Dawkins 2006 http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx

Translated by Kee hwan Nam. Kee hwan Nam has no right and no authority for this document.

번역: 남기환. 이 번역 문서에 대한 저작권을 비롯한 모든 권리는 Paul Dawkins에게 있습니다.

수학공부를 어떻게 할 것인가

수학을 어떻게 공부하는가에 관한 팁을 소개하기 전에, 이것부터 말해두어야겠다. 모든 사람이 다르게 공부 하고, 수학 공부에 정답이란 없다. 이 문서에 많은 조언이 있고, 또한 시간 제약 때문에 여기에 있는 모든 조언을 시도해볼 수 없을수도 있고, 당신은 얼마든지 이 글의 모든 사항에 동의하지 않을수도 있다. 물론 정 답은 없다. 우리 모두는 각자 자신만의 방법으로 공부하고 있고, 우리는 단지 할 수 있는 최선을 다하는 것 을 요구받을 뿐이다. 여기의 조언들로 당신이 최선을 다하는데 도움이 되기를 바란다.

우선, 이 글을 읽어야 하는 사람들을 두 부류로 나누어 보겠다. 하나는 자기 성적에는 만족하지만 내가 말하 려고 하는 것에 관심있는 사람들이고, 다른 하나는 성적때문에 행복하지 않지만 어떻게 성적을 올릴 수 있 을지 관심있는 사람들이다. 각 부류에 따라 몇가지 조언을 해줄 수 있다.

만약 당신이 수학 수업에서 원하는 성적을 얻을 수 있고 또한 행복한, 그런 공부 방법을 갖고 있다면, 이 글 이 읽어볼만할 것이다. 물론, 당신이 이미 성공적인 공부습관을 갖고 있다면 그걸 바꿔야 할 이유는 전혀 없다. 그러나, 여기에 제시된 조언과 비교해보면서 개선할 점을 찾을지도 모른다.

만약 당신이 수학 성적에 만족하지 못하지만 성적을 올릴 방법을 찾고 있다면, 이 글의 조언을 따르기 전에 먼저 알아야 할 사항이 있다. 수학을 못하는 대부분의 사람들은 다음의 세가지 부류로 나누어진다.

가장 많은 사람들이 포함되는 첫번째는, 단지 좋은 공부 습관을 갖지 못하고, 또는/또한 정말로 수학을 어떻 게 공부해야 하는지 전혀 모르는 사람들이다. 여기에 속하는 학생들은 이 글의 조언에서 도움되는 부분을 찾아야 한다. 그리고 이 조언들을 모두 따를 수 없을지도 모르지만, 가능한 도움이 되는 방법들을 찾아내서 따를 수 있기를 바란다.

다음 부류는, 매일 몇시간씩 공부하는데도 잘 안되는 사람들이다. 이 부류에 속하는 사람들 대부분은 비효율적인 공부 습관으로부터 손해를 보는 사람들이다. 이들은 이 글에서 좀 더 효율적이고 시간을 낭비하지 않는 방법을 찾을 수 있기를 바란다.

마지막 부류는, 공부를 충분히 하지 않는 사람들이다. 여기에 속하는 사람들은 다양한 이유가 있다. 어떤 학생들은 일하느라, 그리고 집안 사정상, 수학 성적을 올리는데 필요한 충분한 시간을 쓸 수가 없다. 솔직히 말해서, 이런 경우라면, 이 글을 읽은 후에 좀 더 효율적으로 공부하라는 것 밖에는 해줄 수 있는 조언이 없다. 이 부류에 있는 학생들의 대다수는 불행히도 그들이 이 부류라는 것을 깨닫지 못한다. 많은 사람들이 수학을 잘하는데 공부를 얼마나 많이 해야 하는지 알지 못한다. 바라건대, 이 글이 당신이 더 많이 공부해야 할 필요가 있다는 것을 깨닫는데 도움이 되기를 바란다. 많은 사람들은 단지 그들 삶에 더 중요한 다른 것 들이 있기 때문에 공부할 시간이 없는게 아니다. 만약 수학 공부를 잘하고 싶다면, 더 많은 시간을 투자해야 한다는 것을 알기 바란다.

이제, 본론으로 들어가자. 일반적인 공부 조언과 같은 내용을 특정 분야로 한정해보려고 시도할 것이다. 예를 들면 숙제, 시험공부같은 것들이다. 그러나, 어떤 경우에도 해당되는 세가지 일반적인 영역이 있다.

수학은 보기만 하는게 아니다

선생님의 수업을 듣고 문제를 풀기만 한다고 수학을 공부할 수 없다. 수학을 배우기 위해서, 당신은 반드시 학습 과정에 적극적으로 참여해야 한다. 수업을 들을 때는 완전히 빠져들어야 한다. 노트 필기도 열심히 해 야 하고, 선생님이 내주지 않았더라도 숙제를 열심히 해야 한다. 평소에 열심히 공부해야 하며, 시험 전날 밤새지 마라. 다시 말해서, 학습 과정에 성실하게 참여해야 한다는 뜻이다.

현실은, 많은 사람들이 수학을 포기할 수 없는 상황이다. 일반적으로 그런 사람들은 다른 과목보다 수학을 더 열심히 공부한다. 만약, 시험 공부를 각 과목마다 2시간씩 하기로 한다면, 수학은 그정도로는 어림도 없다는 것을 알게 될 뿐이다.

수업에서든 바깥에서든 수학을 배우는 과정에 적극적으로 참여하고 싶지 않다면, 수학 시험을 통과하는데 애로사항이 꽃필 것이다.

원리를 이해하려고 노력해라

역사 과목이라면, 날짜와, 이름과, 사건을 외우는 것으로 통과할 수도 있다. 그러나, 수학을 통과하려면 단지 공식을 외우는 것 이상의 뭔가를 더 해야 한다. 수학 공식을 어느정도 외웠으면, 거기에 좀 더 필요한 것이 있다. 바로, 외운 공식을 어떻게 사용하는지 알아야 하고, 그게 그냥 외우는 것과는 다르다는 것도 알아야 한다.

어떤 공식들은 그걸 정확하게 사용하기 위해서 알아야 하는 조건들이 있다. 예를 들어, 이차방정식의 근의 공식을 사용하려면 이차방정식의 표준형이 어떻게 생겼는지 알아야 한다. 이런 것들을 모른다면 오답을 얻을 수밖에 없다. 일반적으로, 수학 공식들은 문제를 풀기 위해서 문제의 어느 부분을 공식에 대입해야 하는지 알아야 한다. 만약 공식이 어떻게 작동하는지, 그리고 공식에 숨어있는 원리를 모른다면, 공식을 사용하기가 매우 어려울 것이다. 예를 들어, 미적분 수업에서 부분 적분 공식을 외우는 것은 그렇게 어려운 일이 아니다. 하지만 그 공식을 실제로 어떻게 쓰는지 이해하지 못하고 적분의 어느 부분을 어떻게 적용해야 하는지 모른다면, 그렇게 외운 공식이 쓸모없다는 사실만을 알게 될 것이다.

수학은 누적된다

수학 실력은 누적된다는 것을 항상 명심해라. 수학 수업에서 배우는 모든 내용은 대부분 그 이전에 배운 내용에 따라 달라진다. 뿐만 아니라, 단지 지난 시간에 배운 내용을 알기만 한다고 해서 되는 것도 아니다.

대학교에서 배우는 수학은 고등학교 수준의 수학을 모르면 매우 어렵다. 예를 들어, 대수학이랑 삼각함수 수업을 듣지 않고서는(그리고 이해하지 않으면) 미적분 수업을 따라갈 수 없다.

그래서, 이 세가지의 기본적인 내용을 바탕으로, 수학을 공부하는데 좀 더 구체적인 조언들을 이야기해 보자. 또한, 이 조언들 중 몇가지는 여러개의 항목에 걸쳐서 등장한다. 왜냐하면 그만큼 중요하기 때문이다.

수학 공부를 위한 일반적인 조언

다음의 내용들은 딱히 어디에 넣기 쉽지 않은 일반적인 조언들이다

• 수업 빼먹지 마라. 수학은 누적된다는 점을 명심해라. 만약 수업을 빼먹게 되면, 그 다음 시간에 배워야 할 중요한 내용들을 놓치게 된다.
• 지각하지 마라. 중요한 내용이 초반에 나올 수도 있다. 특히, 시작한지 몇분 사이에 나올 수 있다.
• 수업을 들어라. 수업 중에 뭔가를 얻기 위해서는, 수업을 들어야 한다. 어려울지도 모르겠지만 매우 중요하 다. 어떤 경우에는, 중요한 내용인데 선생님이 칠판에 적지 않고 말로만 하는 경우도 많다. 몇마디 안되는 것이라 하더라도 선생님이 강조하는 것을 찾아내라. 다시 말해서, 선생님은 그게 중요하다고 생각한다는 점이다. 선생님이 그걸 중요하다고 생각하는게 왜 중요하냐면, 그게 시험에 나올 가능성이 매우 높기 때문이다.
• 필기를 잘 해라. 선생님이 칠판에 쓴 모든 것을 적으려고 해라. 그것은 선생님에게 집중할 때 더 쉬울 수 있다. 그러나 막상 그렇게 해야 할 때가 되면 쉽지 않다. 좋은 필기는 문제를 어떻게 풀어야 하는지 기억해 내는데 도움이 된다. 어떤 경우에는, 선생님이 써준 모든 것을 적는 것이  어려울 수 있다. 그러나 이 경우에도 가능한 많이 적으려고 노력해야 한다.

이 조언들은 모순되는 것 처럼 보일 수 있다. 열심히 들으면서 필기도 잘하는 것은 어렵기 때문이다. 그러나 열심히 연습하면 할 수 있다. 수업의 중요한 부분을 필기하는 도중에도 강의를 들을 수 있어야 한다. 만약 들으면서 필기하는데 어려움을 느낀다면, 녹음기를 갖고 와서 녹음해라. 그러나, 이 경우에는 선생님에 게 우선 말해두는 것이 좋다. 자기 강의를 녹음해 가는 것을 별로 좋아하지 않는 선생님들도 있기 때문이다.

• 물어봐라. 만약 뭘 잘 이해하지 못하겠으면, 선생님에게 물어봐라. 당신만 모르는게 아닐지도 모른다.
• 다른 사람이 질문할 때 들어라. 다른 친구가 질문을 했으면, 그 질문과 대답을 모두 열심히 들어야 한다. 당신이 생각하지 못한 뭔가를 그 친구가 물어봤을지도 모른다.
• 복습해라. 수업이 끝나면 꼭 복습을 해야 한다. 선생님이나 조교에게 물어봤던 문제들과 수업시간에 헷갈 렸던 내용들은 잘 정리해두어야 한다.
• 암기장을 만들어라. 중요한 공식과 그 개념을 요약한 암기장을 만들어라. 나중에 공식을 찾아볼 때 몇분이 라도 아낄 수 있다. 또한, 중요한 공식과 개념을 외우는데 도움이 된다.
• (그들만의) 표기법을 배워라. 선생님들은 학생들이 자기가 쓰는 표기법들을 다 알거라고 생각한다. 그리고 수많은 선생님들은 그 표기법을 날림으로 쓴다.
• 스터디 그룹에 참여해라. 여럿이 모여서 공부하는게 도움이 되는 경우가 많다. 서로 다른 관점에서 바라볼 수 있기 때문에, 헷갈리는 내용이나 이해하기 어려운 문제를 푸는데 도움이 된다.
• 날짜를 적어놔라. 숙제랑 시험보는 날짜는 잘 보이는데 적어둬라. 그래야 안 잊어먹는다.
• 공부와 숙제를 하는데 적당한 시간을 배분해라. 수학을 공부하는것은 다른 과목을 공부하는 것보다 더 오 래 걸린다. 숙제를 하다보면 당신이 생각한 것 보다 더 오래 걸릴 수 있다. 이 점을 생각해서 시간을 배분해 야 한다.
• 수업이 끝나면 바로바로 숙제를 해라. 각 수업이 끝나면, 숙제를 하는데 며칠이 걸리는지 생각해 보고, 바로바로 하려고 해라. 이렇게 하면 그날 배운 개념을 이해하는데 충분한 시간을 확보할 수 있다. 숙제를 미루 기만 하다보면 이해도 못하고 숙제도 망한다.
• 숙제를 필기와 교과서 없이 해라. 처음의 몇 문제를 빼면, 책과 노트는 덮어버리고, 보지 않고 문제를 해결 하려고 해라. 어차피 시험 볼 때는 못보는 것들이다.
• 더 많이 풀어라. 선생님이 내준 것만 풀지 말고, 더 많이 풀어라. 더 많이 풀어볼수록 실력은 올라간다.
• 연습, 연습, 연습. 가능한 많이 연습해라. 문제를 어떻게 푸는지 배우는 방법은 해보는 것 밖에 없다. 더 많이 풀어볼수록 시험이 쉬워진다.
• 남겨라. 수업에 배운 모든 것들을 바로 이해할 수는 없다. 완전히 이해할 때 까지는 계속 붙들고 있어야 하는 문제가 있을 것이다. 이런 내용들은 집에 가서도 계속해서 생각해 보고, 관련된 문제를 많이 풀어봐야 깨달음을 얻게 된다. 처음에는 몰랐던 것들도 조금만 생각해보면 갑자기 깨달음이 오는 때가 있다.
• 지난 숙제와 시험도 다시보자. 숙제 냈다고, 시험 끝났다고 던져버리지 마라. 숙제는 시험 공부하는데 중요 한 자료이고, 중간고사 문제는 기말고사를 준비하는데 중요한 자료이다.
• 교과서는 필수다. 수업중에 나온 얘기를 잘 모르겠다면, 교과서를 봐라. 책에는 수업에서 다루지 않은 예제 들이 있고, 문제를 해결하는 여러가지 방법들이 나온다.
• 필요하면 도움을 구해라. 수학 공부를 하다가 문제가 생겼다고 해도, 많은 해결방법이 남아 있고, 거기서 배우는 것도 많다. 교무실로 찾아가서 물어볼 수도 있고, 학원을 가거나 과외를 받을수도 있다.
• 태도가 중요하다. 언제나 최선을 다해라. 적당히 하려고 하지 마라. 그렇게 하면 더 큰 문제가 생길 수 있다. 대충 공부하다가 시험 망치면 망하는 것이다. 항상 최선을 다하고, 가능한 최고점수를 노려라.

 

필기하기

필기할 때 필요한 몇가지 조언이 있다.

• 수업을 들어라. 칠판에 적힌걸 단순히 받아 적지 마라. 말로 해도 되는걸 칠판에 다 적어주는 선생님도 없 고, 칠판에 적힌게 다 중요한 것도 아니다.
• 설명을 적어라. 선생님이 설명한 내용이 있으면 잘 받아적어라. 이런건 칠판에 써주지 않는다. 그러나 어떤 문제를 풀 때, 또는 그 공식이 문제에 어떻게 적용되는지 이해하는데 도움이 되는 것들이다.
• 중요한 공식과 개념을 적어라. 선생님이 어떤 공식이나 개념을 강조했다면 필기해둔다. 다시한번 말하지만, 선생님이 중요하게 생각한다는 것은 시험에 나올 가능성이 높다는 뜻이다.
• 질문해라. 분명하지 않은게 있으면, 물어봐라.
• 이해가 안된 내용을 적어라. 필기한 것 중에 이해하기 어려운 내용이 있으면, 여백에 적어둬라. 적어도, 나 중에 생각날 수 있도록 몇 단어정도로라도 요약해서 적어둔다. 나중에 부족한 부분을 채워넣다보면 이해하 는데 도움이 될 수 있다.
• 다시 보고 고쳐라. 수업이 끝나면 바로 필기한걸 보고 틀린것이나 생략한 것들을 찾아라. 그리고 수업 시 간에 놓친 내용을 뭐든지 써넣어라.
• 계속 다시 봐라. 주기적으로 필기를 다시 보는 것은 공부하는데 큰 도움이 된다. 수학을 공부하다보면 다 시 필요한 날이 있는 내용이기 때문에, 그걸 공부하는데 최선을 다해야 한다.

 

도움을 구하기.

문제가 생겼을 때 도움을 구하는 것은 수학 수업에서 할 수 있는 가장 중요한 일 중의 하나이다. 몇가지 조 언을 제시한다.

• 필요할 때 도움을 요청해라. 끝날 때를 기다리지 말고 도와달라고 해라. 문제가 생기기 시작할 때가 도움 이 필요한 때이다. 수학은 누적된다는 것을 명심해라. 만약 적절한 도움을 받지 못한다면, 나중에 나오는 내 용을 이해하는 것이 더 어려워질 뿐이다.
• 수업시간에 물어봐라. 이것은 도움을 얻을 수 있을 뿐만 아니라 수업에 열심히 참여하는 방법이기도 하다. – 선생님을 만나라. 선생님은 당신을 돕기 위해 존재한다. 그러므로, 철저히 활용해라.
• 스터디 그룹을 만들어라. 많은 사람들이 스터디 그룹에서 공부하는 것을 좋아한다. 사람들은 제각각 다른 관점에서 문제를 바라보기 때문에, 당신이 어떻게 풀어야 하는지 모르는 문제를 해결하는데 다양한 방버을 알려줄 수 있다.
• 보충수업을 들어라. 만약 방과후 교실 같은 것이 있으면, 가라.
• 과외를 받아라. 도움이 필요하면 과외를 받는 것도 좋다.
• 좋은 질문을 던져라. “여기가 이해가 안되요”라든가 “이거 모르겠어요”같은 질문은 별 도움이 안된다. 그건 당신이 문제를 모르겠다는 것 뿐만 아니라, 답을 알려줘도 모를 것이라는 뜻이다. 질문을 명확하게 해라. 여 기서 이해가 안되는 것이 정확히 뭔가? 많은 선생님들은 당신이 뭘 이해를 못했는지, 뭘 모르겠는지 명확히 하지 않으면 당신을 도와줄 수가 없다. 어떤 부분을 정말 다 모르겠다면, 그것도 괜찮다. 그러나, 선생님에게 뭐가 문제인지 말할 준비는 해 두어야 한다. 개념을 이해 못한 것인지? 문제를 풀기 시작하는데 어려운 것인지? 문제를 풀기 위해서 그 부분의 어 떤 것들을 가져다 써야 하는지 모르겠다는 것인지?
• 해보려고 노력해라. 도움을 받을 때는, 당신이 문제를 풀기 위해서 뭘 해봤는지 알려주어야 한다. 이것은 당신을 도와주는 사람이 당신의 어느 부분이 문제인지 아는데 도움이 된다.

다시 말하지만, 문제를 풀기 위해서 최소한 뭔가 노력을 해봤다는 걸 보여주지 않으면, 대부분의 선생님들은 널 도와줄 수 없다. 문제를 푸는데 감히 시작조차 못하겠다면, 그럼 이미 해결한 것들이라도 가져가서 같이 물어봐라. 이것은 두가지 장점이 있다. 선생님이 당신이 뭔가 노력은 했다는 걸 알 수 있고, 그 선생님이 당신이 풀어보려고 한 그 문제를 왜 못풀고 있는지 알 수 있다.

 

숙제

다음은 숙제를 위한 조언이다.

• 숙제의 의도를 이해해라. 선생님들이 당신을 괴롭히기 위해서 숙제를 내주는 것은 아니다. (뭐, 누군가는 그럴지도 모르지만 대부분은 아니다.) 숙제는 당신이 수업시간에 배운 내용들을 이해하고 문제를 푸는 방법 과 논리력을 키우는데 도움이 된다.

수학은 선생님의 강의를 듣는다고 해서 각각의 내용들이 그 즉시 이해되는 과목이 아니다. 많은 사람들은 그 내용을 제대로 이해하기 위해서 문제를 풀어볼 필요가 있다. 그것이 숙제의 요점이다. 그 문제들은 당신 이 내용을 이해하는데 필요한 문제들이다.

선생님이 풀어주는 걸 볼 때는 쉬워도 실제로 해보려면 어렵다는 점을 명심해라. 만약 숙제를 풀어보지 않는다면, 당신이 그 내용을 정말로 이해했는지도 모를 것이고 그 문제를 풀 수 있는지 없는지도 모를 것이다.

• 숙제로 낸 것을 풀어라. 바보같은 얘기로 들리겠지만, 숙제 내용과 기한을 정확히 확인하고 적어두어야 한다. 이것은 학생들이 숙제를 할 때 가장 자주 하는 실수중의 하나이다.

• 즉시 해라. 머릿속에 수업 내용이 남아 있을 때, 가능하면 수업이 끝나자 마자 숙제를 해라. 선생님이 해준 얘기가 머릿속에서 지워질 때까지 숙제를 미루지 마라. 선생님이 해준 얘기들이 그때는 별로 중요해보이지 않아도, 숙제를 하다보면 그 얘기를 왜 했는지 알게 된다.
• 잘 정리해 둬라. 숙제를 풀기 시작할 때, 교과서나 필기 공책처럼 숙제를 푸는데 필요한 모든 자료를 갖고 있어야 한다.

• 다시 봐라. 각 부분의 강의와 수업시간에 선생님이 풀어준 예제들을 복습해라. 선생님이 자주 틀리기 쉽다 고 말해준 것들은 노트를 만들어 둬라. 교과서로도 똑같이 해야 한다. 각 부분을 읽고, 예제들을 풀어보고, 교과서에 나온 틀리기 쉬운 내용들을 알아둔다.

내가 만났던 학생들이 숙제를 할때 만난 가장 큰 장애물 중의 하나는 걔들이 교과서와 필기를 아예 무시한 다는 점이다. 걔들은 문제를 보고, 어떻게 풀어야 하는지 모르겠으면 곧바로 포기하고 다음 문제로 넘어간다. 교과서와 필기 내용에서 비슷한 문제를 찾아보자.

• 설명을 잘 읽어라. 숙제 내용과 각 문제에 붙어있는 설명을 열심히 읽어라.
• 깔끔하게. 숙제는 깔끔하게 해야 한다. 이것은 선생님이 채점할 때 도움이 될 것이고, 나중에 시험 준비할 때에도 도움이 될 것이다.
• 모든걸 보여줘라. 문제 풀이과정을 전부 다 써라. 그냥 답만 쓰지 마라. 대부분의 선생님들은 풀이과정 없 이 답만 쓴 숙제를 별로 좋아하지 않는다. 풀이 과정을 생략하지도 마라. 선생님들이 독심술사도 아니고, 당 신이 문제를 풀 때 2단계를 생략한 채로 1단계에서 3단계로 어떻게 넘어갔는지 알 방법이 없다. 만약 당신 이 2단계에서 실수를 했으면 더 중요하다. 만약 선생님이 당신이 1단계에서 3단계로 어떻게 넘어갔는지 모 른다면, 2단계를 풀다가 틀린 것 보다 점수를 더 많이 깎일수도 있다. 그리고 풀이과정을 다 쓰는 것은 시험 준비할 때 다시 보기에도 좋다.
• 검산해라. 단순 산수 계산이나 부호 같은것에 틀리지 않았는지 다시한번 확인해라.

문제 풀기

앞에서는 숙제 푸는데 도움이 되는 내용들이었다. 여기서는 실제로 문제를 푸는데 도움이 되는 내용이다. 몇 가지는 숙제와 문제에 모두 도움이 되는 내용이다.

• 문제를 읽어라. 문제를 읽고 문제에서 요구하는게 무엇인지 알아내야 한다. 내가 채점하다 보면 가장 많이 점수를 깎는 부분이 이 부분이다. 너무 많은 애들이 문제를 대충 읽고서는 자기가 맞게 풀고 있다고 가정한 다.
• 문제를 두번 읽어라. 이제 문제에서 요구하는게 뭔지 알았으면, 한번 더 읽어라. 이번에는 뭐를 알려주었고 뭐를 구해야 하는지 찾아야 한다. 또한, 문제에서 요구하는 것을 제대로 알고 있는지도 다시 확인해야 한다.
• 문제에서 요구하는 것을 적어라. 노트에 문제에서 요구하는 것을 적어라.
• 당신이 아는 것을 적어라. 문제에서 알려준 사항을 노트에 적어라.
• 그림을 그려라. 적당한 그림을 그린 후, 거기에 알려준 것과 구해야 하는 것을 표시해라. 많은 경우, 그림 은 문제 푸는 방법을 제시하기도 하고, 따라서 그림을 그리는 습관은 문제 푸는 방법을 얻는데 도움이 된다.
• 전략을 짜라. 문제를 풀기 위해서 어떻게 접근해야 할지 명확히 해라. 도움이 될만한 공식을 확인해 보아라. 최종 답을 얻기 위해서 필요한 중간 단계가 어떻게 되는지 확인해라.

• 비슷한 문제를 풀어봐라. 만약 그 문제를 어떻게 풀어야 하는지 모르겠으면, 비슷하지만 좀 더 쉬운 문제 를 찾아봐라. 그렇게 한 후, 다시 원래 풀어야 하는 문제로 돌아와서, 쉬운 문제와 풀어야 하는 문제를 비교 해 봐라.
• 전략대로 풀어라. 일단 전략을 세웠으면, 그대로 답을 얻어 보아라.
• 검산해라. 답이 잘 나왔는가? 말이 되는 답안인가? 가능하다면, 답을 원래의 문제에 대입해서 검산해 본다.
• 문제를 다시 본다. 일단 정답을 얻었다면, 문제를 다시 한번 살펴본다. 문제를 푸는데 사용한 개념, 방법, 공식을 확인한다. 왜 그런 개념, 방법, 공식들이 그 문제에서 사용된 것인지 이해하려고 노력해라. 그런 내용 을 살펴보는 것은 나중에 비슷한 문제를 풀어야 할 때 도움이 될 것이다.

시험공부

• 첫날부터 시작해라. 언제나 다음 시험을 준비해야 한다. 하루에 조금씩 하든가, 아니면 정말 최소한 시험 2~3일 전에는 시작해야 한다. 시험 전날 밤새지 마라. 벼락치기는 정말 오래된 전통이긴 하지만, 성공하기 힘들다. 특히 수학에서는 더욱 힘들다.
• 푹 자라. 시험 전날 푹 자라. 시험 볼 때 맑은 정신을 유지하는 것이 중요하다.
• 중요한 개념과 공식의 목록을 만들어라. 노트를 다시 보면서 중요한 개념과 공식의 목록을 만들어야 한다. 공식을 아는 것 뿐만 아니라, 그걸 어떻게 사용하는지 아는 것이 더 중요하다.
• 숙제를 다시 봐라. 숙제에 나온 문제를 그냥 읽지 말고, 다시한번 풀어본다. 풀이과정을 다시한번 써 보는 것은 외우는데 도움이 될 것이다. 해답 없이 문제를 풀 수 있도록 확실히 공부해 둬라.
• 책과 필기의 예제를 다시 풀어본다. 책과 필기에 나온 예제를 다시 풀어보는데, 이 때는 해답 부분은 보지 않고 해본다. 책에서 문제를 찾을 때는 각 장마다 끝부분에 개념 정리와 문제들이 있다는 것을 알아두면 좋 다.
• 문제의 특성을 확인해라. 숙제를 하는 동안, 각 장에서 뭘 배웠는지 알았었다. 이 과정을 통해서, 문제를 푸는 과정을 알게 된 것이다. 해답지 없이 시험을 보기 때문에 이렇게 하는 것이 도움이 된다. 문제의 특성 을 확인하면, 그러한 유형의 문제를 어떻게 접근해야 할지 생각나게 된다.
• 연습문제를 풀어라. 연습문제를 많이 찾아서 풀어봐야 한다. 노트와 교과서를 보지 않고, 시간 제한을 두고 풀어봐라.

 

시험 치기 시험을 치는 것은 수학 수업에서 가장 중요한 일 중 하나일 것이고, 따라서 무조건 최선을 다해야 된다.

• 진정해라. 시험을 성공적으로 치루기 위한 첫 단계이다. 불행히도, 정말 어려운 일이기도 하다. 시험을 칠 때 긴장하고 신경쓸 수록, 뭔가를 까먹거나 놓치게 된다. 시험칠 때 일어날 수 있는 최악의 상황은 완전히 정신줄을 놓아버리는 것이다.
• 머리를 써라. 이 말은, 머리를 굴려서 시험을 치라는 것이다. 시험을 세번에 나눠서 봐야 한다. 처음에는 당신이 풀 수 있다고 “아는” 문제를 먼저 풀어라. 두번째는 당신이 풀 수 “있을 것 같은” 문제를 풀어야 한다. 끝으로 나머지 문제를 풀어본다. 이것은 가능한 높은 점수를 얻을 수 있다.

• 효율적으로 시간을 써라. 시계를 봐라. 한 문제를 풀기 위해 너무 많은 시간을 쓰면 안된다. 한 문제를 푸 는데 너무 오래 걸리면, 다른 문제를 풀 시간이 없고 한 문제를 풀어서 점수를 얻어봐야 당연히 전체 점수 는 떨어지게 된다.
• 풀다 막혔다면? 문제를 풀다 막혔다면, 일단 다른 문제를 풀고 나중에 다시 풀어라. 10점짜리 문제를 풀겠 다고 20점을 놓치면 안된다. 이 얘기는 반복되는 것 같지만, 그만큼 중요하기 때문에 여러번 이야기하는 것이다.
• 다시 한번 봐라. 선생님이 당신이 얼마나 많이 아는지 쉽게 알 수 있을 정도로, 가능한 최대한 쉽게 답안 지를 써라. 이유가 잘 설명된 풀이를 쓰려고 최대한 노력해라. 만약 답이 틀렸으면, 선생님은 부분 점수라도 주려고 하는데, 이때 당신이 보여준 일부분이 많을수록 더 많이 주게 된다. 선생님이 당신의 생각을 추측하 게 하지 말고 명확히 보여줘야 한다.
• 빈칸을 남기지 마라. 모든 문제는 반드시 풀어야 한다. 만약 어떻게 답을 써야 하는지 모르는 문제가 있겠 다면, 그 문제와 관련해서 아는걸 다 적어라. 만약 대충 맞는 내용이 있다면 부분점수라도 받을지도 모른다. 물론 뭘 써놓는다고 해서 부분점수를 줄지 안줄지는 모르는 것이다. 그러나, 아무것도 적지 않으면 확실히 점수를 받지 못한다.
• 문제를 읽어라. 문제에 답하기 전에, 질문을 주의깊게 읽고 확실히 이해해라. 만약 선생님이 답안을 어떻게 쓰라고 지정했다면, 당신은 그대로 써야 한다.
• 말이 되는 답인가? 상식적으로 말이 되는 답인지 확인해라.
• 검산해라. 시간이 된다면, 가능한 모든 문제를 다시 검산한다. 이것은 백지에서부터 다시 풀어본다는 것을 뜻한다.

 

실수에서 배워라. 다음의 내용들은 더 중요할 수도 있다. 실수에서 배우는 것만이 당신을 도와줄 것이다.

• 숙제를 다시 봐라. 숙제를 다시 보고 틀린 부분을 찾아내라.
• 시험문제를 다시 봐라. 지난 시험문제를 다시 풀어보아야 한다.
• 오답을 이해해라. 숙제나 시험문제를 풀다가 틀린 부분을 찾았다면, 그 오류가 무엇인지 이해하고 뭘 어떻 게 틀렸는지 이해해야 한다. 나중에 다시 틀리지 않으려면 그 오류에서 기억할만한 뭔가를 찾아내야 한다.
• 물어봐라. 만약 뭔가를 틀렸다면, 아니면 왜 트렸는지 모르겠다면, 물어봐라. 선생님이나 과외선생님이나 문제를 제대로 풀었던 학교 친구들에게 물어봐라.
• 급해서 생긴 실수. 산수나 부호같은 단순한 실수를 계속 하고 있다면, 문제를 천천히 풀어라. 이런 유형의 오류들은 대부분 학생들이 서두르다가 집중을 못해서 놓치는 것들이다.
• 반복적인 오류. 만약 어떤 특정 유형의 문제에서 계속 틀리고 있다면, 그 문제를 푸는데 필요한 개념을 잘 이해하지 못한다는 뜻이다. 예제를 더 많이 풀어보고 어디서 뭘 모르는지 이해하려고 노력해야 한다.
• 오답노트. 오답노트를 만들어라. 그리고 거기에는 오답을 적고 정답을 적는다. 나중에 문제를 하나 푼 후에, 오답노트를 다시 살펴보고 하던 실수들을 했나 안했나 알아볼 수 있다.

무한경쟁의 시대다. 최선을 다하는 것은 물론이고, 실력과 노력과 재능을 모두 발휘하지 않으면 살아남을 수 없다.

심지어 운이 나쁜 것조차도 변명할 수 없는 시대이다.

살아남지 못한 자에게 변명의 여지가 없는 잔인한 시대가 되었다.

앞에서는 칭찬하고, 위로하고, 동정하고, 좋게 말하지만

뒤에서는 욕하고, 무시하고, 비난할 수 밖에 없다.

나도 남들에게 그렇게 평가받고 있을 것이고, 나도 누군가를 그렇게 평가하고 있다.

남을 위해서 나를 죽이기만 하다가는 내가 진짜로 죽어버리는 시대가 되었다.

그 시대 속에서, 나는 어떻게 살 것인가.

남을 밟고 올라가는 것이 잘 사는 것인가, 남을 도와주며 서로 돕고 살기 위해 노력하는 것이 잘 사는 것인가.

삶에는 정답이 없다. 교과서도 없다. 공략집도 없다. 재시작도 없다.

어떻게 살든, 이쪽이든 저쪽이든, 자신이 살기로 정한 삶의 방식이 있다면. 그것이 자신의 철학이라면. 끝까지 관철시키고 후회하지 말든가.

후회하겠으면 지금부터라도 바꾸고, 바꿨다는 것에 대해 변절이라고 생각하지 말고 자기합리화를 하든가.

이도 저도 안되겠으면 그냥 한번 크게 울고 썅 욕설한번 내지르고 포기하든가.

아무것도 못한 채, 안타까워만 하고 있는건 정말 동정조차 해줄 수 없다.

충고를 들었으면 바꾸든가, 바꿀 생각이 없으면 처음부터 듣지를 말든가.

말해달라고 해서 말해줬더니 잘 들었다고 말하면서 바꾸지 않는다면 말해주는 사람으로서 그만큼 허무한 것도 없다.