함수를 함수로 미분하기: 변분


물리학 문제를 풀다보면 흔히 변분 문제를 풀어야 하고, 변분 문제를 풀기 위해서는 라그랑지안이라는 함수에 관한 함수를 함수로 미분해야 하는 문제가 발생한다. 이것을 어떻게 해석해야 할까? 일단은 흔한 미분법에서부터 시작을 해야 한다.

 \frac{d}{dx} f(x) = \lim_{\Delta\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta}

이 경우 f(x)는 변수가 1개인 함수이고, 그 값도 스칼라로 주어져 있게 된다. 여기서 x을 x=\vec{a}\cdot\vec{v}로 정의해 보자. 그리고 \vec{v}=(v_1,v_2,...v_n)이라고 해 보자. 그럼 이제 다음과 같은 미분이 가능해 진다.

\frac{\partial f}{\partial v_i}=\frac{df}{dx}\frac{\partial x}{\partial v_i}

여기서 x=\vec{a}\cdot\vec{v} 라고 했으므로 \frac{\partial x}{\partial v_i}=a_i가 성립한다. 즉, 다시 쓰면 다음과 같은 식이 성립한다.

\frac{\partial f}{\partial v_i}=\frac{df}{dx} a_i

그럼 i는 인덱스인데, 이 인덱스를 연속화 한다면 어떻게 될까? 벡터 \vec{a}\vec{a}=(a_1,a_2,...,a_n) 으로 주어져 있고, 이 벡터는 일종의 유한수열이다. 또, 수열은 인덱스 i가 주어지면 그 인덱스에 해당하는 값인 a_i을 주기 때문에 일종의 함수로 볼 수도 있다. 그럼 일반화시켜서 \vec{a}=a(t)라고 해 보자. 과감하지만 그렇게 봐 보자. 이 경우에도 \vec{a}는 벡터이며, 거기에 해당하는 함수 \vec{v}=v(t)와 내적도 잘 정의된다.

\vec{a}\cdot\vec{v}=\int a(t)v(t)dt

이걸 다시 앞에서 썼던 f(x)에 넣고 위와 비슷한 방식의 편미분을 취해 보자.

\frac{df}{d(v(t))}=\frac{df}{dx}\frac{\partial x}{\partial v(t)}

자, 뭔가 이상하다는 느낌이 들지 않는가? 안 이상하다면 이상한 것이므로 여기서 당신은 이상하게 여겨야 한다. 앞에서 인덱스 i를 이야기 했을 때에는 자연스러웠는데, 그걸 연속화해서 변수 t를 쓰니까 뭔가 이상하다. 그렇다. 이상하다. 따라서 여기서는 “미분”이라는 것의 정의를 따라가야 한다. 편미분에서 시작했으니 편미분의 정의를 다시 살펴보자.

 \frac{\partial}{\partial v_i} f(x) = \lim_{\delta v_i\rightarrow 0} \frac{f(\vec{a}\cdot(\vec v+\delta \vec{v}))-f(\vec{a}\cdot\vec v)}{\vec{a}\cdot\delta \vec{v}}\frac{\vec{a}\cdot\delta \vec{v}}{\delta v_i}

위의 극한을 이용한 정의는 앞부분과 뒷부분으로 나눠지게 되는데, 그중 앞부분은 df/dx와 같으므로 뒷부분을 연속화 하는데만 신경쓰면 된다.

뒷부분은 인덱스 i가 주어져 있을 때 그 벡터의 변화량이다. 마찬가지로 매개변수 t가 주어져 있을 때 그 벡터의 변화량은 함수 자체의 변화량으로 주어진다. 따라서, 어떤 함수 v=v(t)가 주어져 있을 때, 그 함수의 변화량은 역시 어떤 함수로 주어지며 v+\delta v = v(t)+\delta v(t)이 된다. 이 때, 불연속적인 인덱스를 쓰는 경우에서 i이 바뀔 때마다 \Delta v_i이 바뀌어 가며 주어지므로 (즉, 극한으로 달려가는 속도가 각각 독립이므로), 연속적인 인덱스를 쓰는 경우에도 \delta v(t)는 매개변수 t에 관한 함수가 된다. 이제 다음과 같은 해석이 가능하다.

\frac{\partial x}{\partial v(t)}=\lim_{\delta v(t)\rightarrow 0}\frac{\vec{a}\cdot\delta \vec{v}}{\delta v(t)}=a(t)

이렇게 생각하는 것은 수학자들이 들으면 천인공노할 만행이기 때문에 이런식으로 정의하는 것이 변분의 엄밀한 정의는 아니다. 하지만 수열을 일반화한 것이 함수이고, 벡터의 내적을 함수에 대해 일반화한 것이 적분이라는 관점에서 편미분을 연속화해서 일반화한 것이 변분이라고 생각하면 변분법에 대해 조금 더 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

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