[작성자:] snowall

옛날에 콜럼버스는 지구가 둥글다는걸 증명하기 위해 한바퀴 돌았다. 수학적으로 표현하자면, 콜럼버스가 한 증명은 지구가 닫힌 곡면이라는 걸 증명한 것이다.

우주론의 어떤 이론에 의하면, 우리 우주가 닫힌 우주일 수도 있다고 한다. 근데 그럼 그걸 알아내려면 직접 한바퀴 돌아봐야 하는데, 갔다 올 사람이 있으려나 모르겠다. 닫혀있는데 평평하다면 대충 빛을 관찰해서 300억광년 저편에 있는 300억년 전의 지구 모습을 관찰한다면 직접 가지 않아도 되겠지만, 닫혀있으면서 평평한 우주는 가능하지도 않고



<sup>[각주:

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, 300억광년 저편에 있는 빛을 관찰하려면 일단 150억년 더 기다려야 한다.

우주에서 제일 빠른 빛을 이용해도 이모양인데, 그보다 훨씬 느린 유인 우주선이 우주가 닫혔나 열렸나 살펴보려면 더 오래 걸릴 것이다. 게다가, 하필 열려 있으면 … 상상도 하기 싫다.

언젠가 불로불사의 비술이 개발된다면 가볼만도 하겠지만, 그래도 꽤 지겨운 여행이 될 것임에는 틀림없다.

경찰청장이 집회 해산을 위해 음향대포를 사용하겠다고 했다.

그 실험결과는 다음과 같다고 전해진다.


http://segye.com/Articles/News/Society/Article.asp?aid=20101001003142&ctg1=01&ctg2=00&subctg1=01&subctg2=00&cid=0101080100000

100미터에서 106dB

64미터에서 109dB

32미터에서 115dB

거리가 3배나 늘어났는데 별로 줄어든 것 같지 않다. 왜 그럴까?

데시벨(dB)의 정의는 다음과 같다.

dB = 10log(A)

여기서 log는 밑이 10인 상용로그이다.

에너지 밀도A가 얼마인지는 모르겠지만, 아무튼 소리에 대해서 에너지 보존법칙이 적용된다고 하면, 가우스 법칙을 대충 사용해 보면 에너지 밀도가 거리의 제곱에 반비례해서 줄어든다는 것을 알 수 있다. 그리고 파동이 전달하는 에너지 밀도는 진폭의 제곱에 비례한다. 물론 우리가 느끼는 소리의 크기도 에너지 밀도에 관계된다. 그 관계식이 바로 데시벨이다.

dB = 10log(A/$r^2$) = 10log(A)-20log(r)

잘 보면 소리의 크기가 거리의 로그값에 따라 줄어드는 것을 볼 수 있다.

만약 r이 3배가 된다면

dB = 10log(A)-20log(r) – 20log(3) = 10log(A)-20log(r) – 9.5

즉, dB에서 9.5데시벨이 작아진 것을 볼 수 있다. 실제로 위의 실험 결과를 보면 거리가 약 3배인 경우 9dB이 작아지는 것을 확인할 수 있다.

여기서,

이 관계식이 맞다는 것은 소리가 퍼진다는 것을 의미

한다. -_-;

http://news.chosun.com/site/data/html_dir/2010/09/28/2010092801940.html


조선일보에서 “레이저빔처럼” 진행한다고 했는데, 위에서 내가 증명한 바와 같이 이건 물리학적으로 오류인 보도이다. (그 조선일보 기자가 물리학 전공자일리는 없고, 물리학 전공자라고 해도 기사를 물리적으로 검토해서 쓰지는 않았겠지만.)

레이저빔은 수십km를 가더라도

많이

퍼지지 않는다.

음향대포는 그냥 “좋은 확성기” 정도의 성능을 갖는 것 같다.

음향대포가 집회 현장에 실제로 도입되면, 귀마개 착용자가 집회 참가 현행범으로 몰리는 일이 발생할 것이다. (아마 소지만 해도 걸릴 듯. 마스크 쓰지 말라고 했으니 귀마개도 쓰지 말라고 할거다.)

그리고 3M 주식을 사두길 권한다. 귀마개는 3M 제품이 제일 좋더라.ㅋ

그리고 음향대포에 이어 도입될 장비는 레이저를 이용해 눈부시게 해서 집회를 해산시키는 시각적 장비가 될 것이다. 왜냐하면 시위 진압 장비의 역사를 볼 때, 촉각(진압봉)-후각(최루탄)-청각(음향대포) 다음 순서는 미각 아니면 시각이다. 미각은 도입되기 힘들 것 같은데, 그 이유는 강제로 뭔가 진짜 맛없는걸 맛보게 해서 시위를 진압한다는 생각은 아무리 경찰청장이 아무리 아무리 무식해도 그 생각은 정말 안할 것이라고 보여지기 때문이다.

명동을 걷다보면 3초마다 한번씩 마주친다는 명품 핸드백이 있다는 전설을 들었다.

명동 거리의 사람의 밀도, 사람들의 보행 속도, 기타등등의 변수들이 잘 정의되어 있다고 하면, 명동 거리를 걷는 사람 중 몇%의 사람이 이 명품 핸드백을 갖고 있어야 3초백이 될 수 있는지 알아낼 수 있을까?

벡터를 처음 배울 때, 화살표를 갖고 배운다. 그리고 가장 쉽게 그릴 수 있는 2차원 평면 위에 있는 화살표를 갖고 배운다. 2차원 화살표는 2개의 수로 표현할 수 있다. (x, y) 처럼. 만약 2개의 화살표가 있다면 더할 수 있다. (x, y) + (w, z) = (x+w, y+z) 처럼. 이것은 실수(또는 복소수)에서만 정의된 +라는 연산의 정의를 벡터에 대해서 확장한 경우이다. 이걸 다시 임의의 n차원에 대한 벡터로 확장하고, n이 무한대로 갈 경우에 대해 생각한다. 그럼 벡터의 각 성분은 어떤 수열이 될 것이다. 수열의 첨자 n을, 지난번에 말했듯이 연속성을 갖도록 새롭게 정의하면, 이제 f(x)라 부르는 함수가 사실은 우리가 잘 알던 화살표의 한 형태라는 사실을 알게 된다.



<sup>[각주:

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그럼, 하나의 화살표에 하나의 수를 대응시키는 규칙이 있다면, 그것 또한 함수이다. 그리고 그걸 Functional이라고 부른다.

가장 쉽게 생각할 수 있는 예제로는 사영(Projection)이 있다. 이건 어떤 벡터A의 k번째 성분을 선택하는 함수이다. 임의의 벡터 A에 대해서, f(A) = Ak라고 정의하면 된다. 만약 벡터A가 수열이 아니라 연속적인 변수를 갖는 함수F로 주어져 있다면 k대신에 특정한 변수 a를 써서 f(F) = F(a)라고 정의하면 된다.

또 다른 예제로는 내적(Inner product)이 있다. 이것은 특정한 벡터 하나를 정해놓고, 그 벡터와 내적한 값을 함수값으로 선택한다. 가령, V가 정해져 있다고 하면 f(A) = V$\cdot$A 라고 정의한다. 벡터가 수열이 아니라 연속 함수로 주어지는 경우에는 덧셈이 아니라 적분으로 그 값을 계산해야 하지만, 계산이 복잡해질 뿐 그 본질적인 측면에 있어서는 전혀 변하지 않는다.

가장 유명한 Functional은, 이 블로그에서도 여러번 얘기했던 적이 있는 라그랑지안(Lagrangian)이다. 라그랑지안은 위치와 위치의 도함수에 대한 범함수이다. 그리고 위치는 시간에 대한 함수이다.



<sup>[각주:

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이제 범함수의 미분에 대해서 생각해 보자. 사실 범함수의 미분은 편미분의 일반화된 형태이다. 미분을 처음 배울 때, f(x)에 대해서 f(x+D)가 f(x)와 얼마나 차이가 날 지 생각해서, df/dx = (f(x+D)-f(x))/D로 정해놓고 D를 0으로 보내는 극한을 취해서 계산한다고 배웠다. 편미분은 x가 하나의 수가 아니라 벡터로 주어져 있을 때, 그 벡터중에서 다른 성분은 다 고정되어 있고 어떤 k번째 성분에 대한 함수라고 생각하고 미분을 계산한다. 그럼 k가 1부터 n까지 다 등장하므로, 편미분한 함수들을 다 긁어모으면 하나의 벡터가 등장한다. 여기에 다시 어떤 방향으로 움직이는지에 대한 정보를 알려 주면, 그 방향으로 향할 때의 도함수를 구하게 된다.

범함수의 미분은 편미분의 첨자를 연속적으로 일반화 시킨 형태이다.

수학에서 말하는 “함수”는 Function이라고 부르는데, 사실 그 속에 잘 보면 Fun이 숨어있다. What so funny!

함수에 관한 글을 쓰려고 보니, 학부 4학년때 함수 해석학(Functional Analysis)라는 과목을 들었던 기억이 난다. 결국 그때 배운건 Fourier Analysis였지만. 진정한 의미의 Functional Analysis는 대학원에 가서 들었던 함수 해석학 시간에 배울 뻔 했는데, 그땐 또 결국 Real analysis를 배웠다. 요약하자면, 나는 함수론 따위 들은적 없다는…ㅡㅡ;

우리는 처음 함수를 배울 때, 집합 X와 집합 Y를 연결하는 규칙이라고 배웠었다. 수학에서는 아주 많은 종류의 집합을 다루는 데, 보통 X와 Y는 수의 집합을 사용한다.

가장 쉬운 건 일단 수 1개에서 시작하는 것이다. (일단은 실수(real numbers)집합만 생각하자.)

a

a가 어떤 실수라고 하면, 재미가 없다. 그러니까, 좀 더 재밌게 하기 위해서 친구를 붙여주자.

a, b

a와 b가 어떤 실수라고 해도, 사실 별 재미는 없다. 더 재밌어 지려면 아주 많은 친구가 필요하다.

a, b, c, d, ……

a, b, c, d, … 들이 모두 어떤 실수라고 하자. 이걸 우리는 수열이라고 부를 수 있을 것이다. (사실 수 1개만 있어도 유한 수열로 간주할 수 있다.)

a, b, c, d, … , z

하지만 알파벳은 한계가 있다. 따라서 알파벳 이름을 붙여준 수들의 집합은 수열이긴 하지만 유한 수열이다.

그러니까 무한히 많은 수를 사용해서, 무한 수열을 만들어 보자.

a1, a2, a3, …, an, …

n은 적당한 정수로, 끝도 없이 계속할 수 있다.

이걸 갖고서 집합을 하나 만들어서 A라고 불러 주자. 집합에 A라는 이름을 주었을 때, 그 집합은 내게로 와서 수열이 되었다.

A = {a1, a2, … , an , … }

해석학 수업을 처음 들으면, 수열의 수렴성에 대해서 배운다.


http://snowall.tistory.com/15

수렴성은 A가 어떤 놈인지 알기 위해서 알아야 할 가장 기초적인 것들 중의 하나이다. 왜냐하면 만약 A가 수렴한다고 하면, 우린 A가 어디서부터 어디까지 원소를 갖고 있는지 알 수 있고, 따라서 어디까지 가면 괜찮을지 알 수 있기 때문이다. 하지만 수렴하지 않는다면 알 수 있는게 별로 없다. 수렴하지 않는다는 것 정도?

수렴성을 판정하는 방법은 여러가지가 있지만 이 글은 해석학 강의가 아니므로 넘어가자.

수열을 갖고 이것저것 하다보면, an에 붙어 있는 n이라는 수가 왜 자연수가 되어야 하는지에 대한 의문을 가질 수 있다. 왜냐하면, 자연수를 확장해서 정수가 나왔고, 정수를 확장해서 유리수, 실수, 복소수 등이 나왔기 때문에 수열의 n에도 자연수 말고 좀 더 매끈한 수를 써보고 싶은 본능적 충동이 발생한다.



<sup>[각주:

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이걸 하기 위해서 수열을 함수로 확장해 볼 수 있다. 수열도 자연수집합에서 실수 집합으로 가는 함수이다. 따라서 수열의 n을 실수로 확장한다면 자연스럽게 실수 집합에서 실수 집합으로 가는 어떤 함수를 생각할 수 있다. 그게 우리가 보통 f(x)



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라고 이름을 붙인, 바로 그 함수이다.

실수는 연속적인 집합이므로 함수에서도 연속성을 생각할 수 있다. x와 y가 가까이 있다고 할 때 f(x)와 f(y)도 가까이 있으면 그런 함수는 연속함수이다.



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여기까지는 그냥 수 1개에 대해 다른 수 1개를 엮어주는 정도의 단순한 함수들이다. 이런 함수들을 갖고서 미분도 하고 적분도 하고 길이도 재고 각도도 재고 여러가지를 할 수 있다.



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그런데 세상에는 그런것만 있는게 아니다. 벡터라는 것도 있고 텐서라는 것도 있다. 이건 수 여러개를 엮어서 하나의 대상으로 보는 개념이다. 가장 쉽게는, 위에서 나온 n개의 원소를 갖는 유한 수열을 n차원 공간의 한 벡터로 생각할 수 있다. 그럼 n차원 공간의 한 원소를 수 하나에 대응시켜주는 그런 함수를 생각할 수도 있다. 물리학에서 등장하는 그런 함수가 대표적으로 포텐셜 함수가 있다.

그리고 무한 수열도 하나의 벡터가 될 수 있고, 그 수열 자체에 대해서 통째로 수 하나에 대응시켜주는 함수도 생각할 수 있다. 즉, 수열이란 1, 2, 3, …에 대해서 a1, a2, a3, … 를 대응시켜주는 규칙인데, 그 규칙 자체에 수 하나를 대응시킬 수 있다는 것이다. 물론 원한다면 수열들의 수열도 만들 수 있다. 하기 싫겠지만.



<sup>[각주:

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