[작성자:] snowall

운동량 보존 법칙이란, 관찰자가 관성계에 있으면, 외력이 작용하지 않는 한 주어진 계 전체의 운동량의 합은 변하지 않는다는 법칙이다. 왜??

이론적으로는 다음과 같다. 라그랑지안을 다음과 같이 쓰자.

$L = L(q, \dot{q} ; t)$

이제, 라그랑지안 $L$을 이용해서 운동 방정식을 찾아내자.

$\frac{\partial L}{\partial q} – \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0$

여기서, 외력이 없다는 건

$\frac{\partial L}{\partial q} = 0$

이라는 뜻이고, 따라서

$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0$

이다. 근데 우리는 $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} $를 “운동량”이라고 부르기로 했다. 따라서 운동량은 시간에 대해서 상수가 된다.

한마디 더 말하자면, 에미 뇌터의 대칭군과 보존법칙에 관한 정리에 따르면, 운동량은 공간적인 평행이동에 대해서 라그랑지안이 대칭성을 갖기 때문에 보존되는 양이다. (원래는 이 정리를 써서 운동량이 보존량임을 증명해야 하지만, 어차피 위의 수식도 이해하기 힘든 마당에 이 정리까지 설명하려면 지면과 시간이 모두 부족하다.)

이게 뭔 개소리여…-_-; (물리학 전공자가 아니면 대부분 이렇게 말할 것이고, 물리학 전공자도 대부분은 이렇게 얘기한다.)

쉽게 가자.

일단, 운동량이 뭔지부터 좀 알아보자. 운동량이란 쉽게 말해서 질량과 속도를 곱한 값이다. 우선, 우리는 “질량”이라는 것이 뭔지 감은 잡고 있다. 대충, 물체가 무겁고 가벼운 정도를 숫자로 나타낸 것이다. “속도”라는 것도 뭔지 알고 있다. 어떤 물체가 어느 방향으로 얼마나 빨리 움직이고 있는지를 화살표와 화살표의 길이를 이용해서 나타낸 것이다. 질량과 속도를 곱한다는 것은 무슨 의미인가? 간단히 말해서, 화살표를 하나 그리고, 그 화살표의 길이에 질량에 해당하는 수를 곱해서, 그 화살표와 함께, 우리는 “운동량”이라고 부르기로 하는 것이다.

아니, 대체, 어디로 어떻게 움직이는지 알면 된거지 걔가 왜 무거운지 가벼운지를 따져야 하나? 이렇게 따지는 사람이 있을 수 있다. 당연한 질문이다. 이렇게 따지는 사람이 있으면 그 사람에게는 물리학적인 소질이 있는 것이니까 각 대학 물리학과로 입학 문의 바란다.

왜 따질까? 그건, 우리가 “충격량”이라는 것을 어떻게 좀 해보기 위해서이다. 아무리 빨리 움직이더라도 그것이 가볍다면 큰 충격을 주지 못한다. 어떤 공기 분자는 초속 1000km로 움직이는 것도 있지만, 그 공기 분자는 매우 가볍기 때문에 우리 몸을 아무리 때려 봤자 전혀 느껴지지 않는다. 하지만 축구공은 시속 30km로 움직이든 시속 10km로 움직이든, 맞으면 아프다. 어떤 자동차는 완전히 정지해 있는데, 그런 자동차는 내가 직접 가서 들이받지 않는 한 나를 때리지 않을 것이다. 즉, 얼마나 처 맞아야 아플지 안아플지는 걔가 얼마나 빠르게 움직이는지, 얼마나 무거운 놈인지 둘 다 관련있다는 뜻이다. 물론, 무거운놈이 빠르게 움직이는데 나한테서 멀어지는 방향으로 가고 있다면 전혀 겁낼 필요가 없다. 따라서 어느 방향으로 움직이는지도 중요하다.

그래서, 우리는, 운동량이라는 것을 어떤 물체가 얼마나 무겁고 얼마나 빠르고 어디로 가는지를 한번에 표시하려고 만들어 낸 것이다. (그러기 싫어도 어쩔 수 없다. 뉴턴이 이미 그렇게 하기로 했으니까.)

그럼 이제 운동량이 어떻게 보존되는지를 한번 살펴보자. 간단히, 물체가 1개 있다고 하자.

텅 빈 우주 공간에, 나는 그냥 둥둥 떠다니는데, 눈앞에 축구공 하나가 있다. (축구공이 싫으면 맘에 드는 연예인, 자동차, 뭐 아무거나 좋다. 그냥 그런거 하나가 눈앞에 있다 치자. 물론 난 그것을 축구공이라고 부르겠다. 소녀시대 태연을 눈앞에 두고 싶은 사람은 그렇게 두고 내 글에서 축구공이라는 단어를 태연으로 알아서 치환해서 읽을 것.)

이 축구공은, 처음에 가만히 멈춰 있었다. 그리고 나도 가만히 멈춰 있다. 이제 우리가 할 일은 축구공을 계속 지켜보는 것이다. 하지만 솔직히 말해서, 지겨운 일이다. 축구공은 움직이지 않을 테니까. 우리는 운동량을 “질량과 속도의 곱”이라고 말했다. 분명히 축구공의 질량은 0이 아닐 것이다.



<sup>[각주:

1

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하지만 속도는, 아무리봐도 어느 방향으로도 움직이지 않는다. 따라서 0이다. 당연히 운동량도 0이다. 질량이 아무리 커봐야 0이다. 내가 보기에 축구공의 운동량은 보존된다.

그런데, 친구가 마침 내 옆을 스쳐지나가고 있다. “어, 안녕? 뭐하냐?” 라고 물어보기에 “축구공 관찰중. 건들지 마” 이렇게 대답해줬다. 친구는 ‘이새끼 이짓을 왜하고 있나?’라는 바보스러운 눈빛으로 나를 바라보며 지나간다. 그 친구가 보기에 축구공의 운동량은 어떻게 될까? 이 친구 역시 가던 길이 있기 때문에 방향을 바꾸지 않고 빠르기를 바꾸지도 않고 계속 갈 것이다. 그럼 축구공은 이 친구가 멀어지는 속도로, 이 친구로부터 멀어질 것이다. 가령 그 친구가 나로부터 1초에 3미터씩 멀어지고 있었다면, 축구공으로부터도 대략 1초에 3미터 정도씩 멀어지고 있다고 말할 수 있을 것이다. 아무튼, 이 친구가 보기에는 축구공은 움직이고 있는 것이고 따라서 이 친구의 관점에서 볼 때는 축구공의 운동량은 0이 아니다. 그럼? 당연히 축구공의 질량에 그 친구가 움직이는 속력의 반대방향 속력을 곱한 것이 그 친구가 보기에 느끼고 있는 축구공의 운동량이 될 것이다.

그렇다면 그 친구가 보고 있는 축구공의 운동량은 바뀔까? 바뀔거야? 응?

이 친구가 보기에도 솔직히 자기가 움직이는 방향을 바꾸지 않는 한 축구공은 계속 가던 방향으로 움직인다. 당연하겠지만, 따라서 그 친구가 스스로 움직이는 방향을 바꾸지 않는다면 축구공의 움직이는 방향도 변하지 않을 것이고 움직이는 빠르기도 변하지 않을 것이다. 왜냐하면, 내 관점에서 보기에 축구공은 가만히 있어야 할 것이고, 만약 아무도 안 건드렸는데 축구공이 움직였다면 그거야말로 “기적”이라고 부르기에 손색이 없는 일이 될 것이다. 그럼, 그 친구의 관점에서도 축구공은 아무도 건드리지 않은 것이 될 것이고, 축구공은 가던 방향으로 가고 있을 것이다. 여기서 잠깐. 물리 법칙의 대칭성이라는 개념을 알고 넘어가야 하는데, “내가 보든 니가 보든 물리 법칙은 똑같다”는 것이다. 이것은 실제로 엄청나게 위대하고 엄청나게 중요하고 엄청나게 어렵지만 말로는 쉽다. 내가 보기에 축구공을 아무도 안 건드렸으면, 다른 누가 보기에도 축구공은 건드려지지 않았다는 것이다. 그렇다면, 이것은 곧 움직이면서 축구공을 보던 사람이 적당히 속도를 조절하면 축구공이 멈춰있는 것 처럼 보이도록 할 수 있다는 뜻이다. 만약, 속도를 어떻게 조절하더라도 축구공이 멈춰있는 것처럼 보이도록 만들 수 없다면 축구공의 운동량은 보존되지 않은 것이다. 그런데, 적어도 한명은 그것이 가능하다. 앞서 예로 들었던 사람 중에서 적어도 나는 축구공이 멈춰있는 것으로 보인다. 그럼 다른 사람들도 내 앞에서 멈춰선다면, 그 사람들도 똑같이 축구공이 멈춘 것으로 보일 것이다.



<sup>[각주:

2

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당연히 축구공의 운동량은 변하지 않는다. 따라서 축구공의 운동량은 보존되었다.

축구공을 관찰하는 사람이 가만히 있든 움직이든 상관 없이 축구공의 운동량은 보존된다. 여기서 혼란스러워질 수 있는게, 아니! 보는 사람이 바뀌면 운동량이 바뀌잖아? 라는 점이다. 운동량 보존법칙 뿐만 아니라 모든 보존법칙은 보는 사람은 바꾸지 않기로 약속하고 있다.



<sup>[각주:

3

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(2편에 계속…)



http://snowall.tistory.com/1684

어떤 물질이 직육면체 모양으로 형성되어 있을 때, 이 물질의 3차원적 구조 중에서 비교적 짧은 쪽을 흔히 “두께”라고 부른다. 직육면체를 정의하는 길이가 가령 7x4x1이라면, 보통 가장 짧은 길이인 1을 두께라고 부른다.

나노미터 수준의 얇은 막을 만들다 보면 도대체 이놈이 얼마나 두꺼운지 알 수가 없다. 대충 보면 두꺼운 놈은 짙은 색이고 얇은 놈은 옅은 색이니 “그런가보다” 하고 넘어가긴 하지만…

하지만 두께 자체가 정확해야 하는 정밀 반도체의 세계에서는 그런 어물쩡 넘어가는 것은 용서받지 못한다. (= 논문이 반려된다.)

내가 반도체를 연구하는건 아니지만 어쩌다보니 태양전지 반도체 만들때 쓰는 물질을 이용해서 박막을 만들고 이 박막의 두께를 재는 실험을 해야만 하게 되었다. 그래서 요점을 정리해 둔다.

누구나 알다시피, 두께를 재고 싶으면 자로 재봐야 한다. 하지만 나노미터 수준의 자는 있지도 않을 뿐더러 있어도 눈으로 보이지도 않는다. 10억분의 1미터라니깐. 현미경으로 봐도 안보이는 수준이다. 그래서 나타났다, 직접 표면을 만져보면서 두께를 측정해주는 장비이다.

Surfcorder ET-3000이라는 장비이다. 옆에 프린터는 선택사항이랜다. 사고 싶은 사람은 Kosaka Lab.으로 연락하면 된다. 어차피 내가 여기서 이 제품을 광고해줘봤자 아무도 안 살테니 안심하고 홍보해 준다.

이 장비를 이용하면 바늘을 직접 움직이면서 박막의 두께를 잴 수 있다. 정확히는, 다음과 같은 그래프가 나온다.

잘 보면 0.23부터 0.32정도 사이에 아래로 푹 꺼진 부분이 있다. 여기 부분과 나머지 부분의 높이 차이가 바로 두께가 된다. 박막에 칼등으로 흠집을 내고 실제로 측정을 하는 것이니까.

이 방법의 문제점은 보다시피 값을 정하기가 심히 곤란하다는 점이다. 튀는 점들도 많고 어느 점을 기준점으로 잡아야 할지가 난감하다. 또한 특정한 부분을 일직선으로 따라가면서 측정한 값이기 때문에 저것이 박막 전체의 두께를 대표할 수 있는지도 의문이 된다. 이런 문제를 해소하기 위해서 사용하는 방법이 광학 밀도(Optical density)를 이용한 방법이다. 광학 밀도란 빛이 얼마나 흡수되는가를 측정하는 것인데 물질마다 다 다른 값을 갖는다. 물론 이것은 투명한 물질에 대해서만 측정할 수 있으며 불투명한 물질은 당연히 이 방법을 이용할 수 없다. 원래는 용액에 녹은 용매의 농도를 알기 위해서 사용하는 방법이지만 이래 쓰나 저래 쓰나 내게는 두께만 재면 되는 방법이므로 넘어가자.

빛이 통과할 때 물질이 두꺼워지면 두꺼워질수록 많이 흡수되는 것은 너무나 당연할 것이다. 그렇다면 얼마나 흡수될 것인가? 절반?

가령, A라는 물질을 유리판에 코팅해서 똑같은 두께의 코팅판을 2개 만들었다고 하자. 이 코팅판에 빛을 통과시키는데, 만약 한장을 통과하면 빛의 밝기가 절반으로 줄어든다고 하자. 두장을 통과하면 어떻게 될까? 물론 절반의 절반으로 줄어들 것이다. 통과하기 전의 빛의 밝기와 통과한 후의 빛의 밝기를 관찰해 보면, 다음과 같은 사실들을 알 수 있을 것이다.

1. 통과하기 전의 빛이 밝을수록 통과한 후의 빛도 밝다.

2. 두꺼우면 두꺼울수록 빛이 어두워진다.

지극히 당연한 사실이다.

두께에 따라 어두워지는 빛의 밝기는 어떻게 설명할 수 있을까? 여기에 광양자 모형을 도입해 보자. 아인슈타인의 광양자 모형에 의하면 빛은 특정 진동수를 가지는 입자로 되어 있는데, 그 빛의 밝기는 입자의 수에 의해서 결정되고 빛이 가지는 에너지는 입자의 진동수에 의해서 결정된다. 이런 특징을 가진 어떤 것이 광학적 매질을 통과할 때, 어떤 일이 일어나는 것인가? 이것을 생각해 보면 광학 밀도를 이용해서 두께를 어떻게 알아낼 수 있는지 탐구할 수 있다.

…그래서 어쩌라고?

…생각. 광양자 하나하나를 갖고 매질에 통과시켜보면서 뭔가를 해볼 수는 없는 노릇이므로 우리가 사용할 수 있는 유일한 도구인 두뇌만을 갖고 뭔가를 상상해보자. (사실 광학 실험실 아니면 정밀한 측정은 하기 어렵다.)

광양자가 물질을 지나갈 때 일어날 수 있는 일은 딱 2가지 종류가 있다. 흡수(Absortion) 아니면 방출(Emission)이다. 이때, 하나의 물질 입자가 광양자를 흡수하고 다시 방출하는 것을 “산란(Scattering)”이라고 부른다. 알을 낳는 것이 아님에 주의하자.



<sup>[각주:

1

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산란에서도 광양자의 진동수가 바뀌는 산란이 있고 바뀌지 않는 산란이 있는 등 다양한 일들이 일어나지만, 여기서는 그런건 신경쓰지 말고 “흡수”만을 생각해 보자.

물질을 통과하기 전에 100개의 광양자가 있었다. 그런데 이 광양자가 물질을 통과하고 났더니 30개만이 남아있었다. 그렇다면, 만약 물질을 통과하기 전에 1000개의 광양자가 있었다면 물질을 통과한 후에는 광양자가 몇개나 남아있을까? 복잡하개 생각할 필요 없이, 100개씩 10번 통과시키면 될 일이다. 따라서 300개의 광양자가 남아있음을 알 수 있다. 그렇다면, 이 물질을 통과해서 나온 광양자를 다시한번 그 물질에 또 통과시킨다면? 100개씩 3번 통과시키면 되니까, 이번엔 90개의 광양자만이 남게 된다. 한번 더? 100개씩 0.9번?? 슬슬 감이 왔겠지만, 언제나 살아남는 광양자의 수는 통과하기 전의 30%가 된다. 따라서 이번엔 27개의 광양자이다. 한번 더 통과시키면 얼마나 남을지 물어보는건 직접 생각해 보자.



<sup>[각주:

2

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이 시점에서, 빛이 흡수되는 양과 두께 사이에 어떤 양적인 관계가 있음을 알아야 한다. 정확히는, 두께의 지수함수가 빛이 흡수되는 양이다. 흡수되는 양은 두꺼워질 수록 곱셈으로 늘어난다. 두께는 덧셈으로 늘어난다. 하나는 곱셈이고 하나는 덧셈인데, 덧셈과 곱셈을 연결시켜주는 함수는 딱 두가지 종류가 있다. 하나는 지수함수이고, 다른 하나는 로그함수이다. 여기서는 지수함수를 사용해 보자.

요점만 말하자면, 처음의 빛의 밝기가

라고 했을 때, 두께 t이고 빛을 통과시키는 물질을 통과했을 때, 만약 이 물질이 균일하다고 한다면 물질을 통과한 후의 빛의 밝기

는 다음과 같이 쓸 수 있다.

이때

는 물질마다 달라지는 어떤 상수값이다. 그렇다면, 반대로 우리가 그 값을 알고 있다면, 통과하기 전과 통과한 후의 빛의 밝기를 측정해서 두께를 알아낼 수 있지 않을까?

이렇게 알아낼 수 있다.

그런데, 이런 종류의 함수는 여기서만 나오는 것이 아니다. 사실 위와 같이 어떤 양에 따라서 지수함수의 형태로 감소하는, 그런 값들은 물리에서 너무 자주 나온다. 가령, 다음과 같은 볼츠만 분포가 있다.

이때도 마찬가지로 에너지는 더해지는 값이고 확률은 곱해지는 값이다. (k는 볼츠만 상수이고 T는 온도이다.)

또한, 반감기 문제에서도 자주 나오는 것들이다.

(T는 반감기이고 t는 시간,

는 원래 있었던 양이다)

그럼 도대체 이 문제들에는 어떤 공통점이 있길래 비슷한 형태로 나오게 되는 것일까? 공통점을 찾아본다면, 확률에 의해서 지배되는 현상을 표현한다는 것이 있다. 볼츠만 분포를 빼고, 나머지 두개는 반응 속도가 남아있는 양에 비례한다는 특징이 있다. (화학 반응식에서도 비슷한 수식을 발견할 수 있다.)

아무튼. 다시 본론으로 돌아오자.

아주 얇은 박막의 두께를 재고 싶으면 물질에 빛을 투과시켜서 얼마나 빛이 어두워지는지 조사하면 된다. 위에 얘기한

값만 미리 측정해 둔다면 뭐든지 다 조사할 수 있다.

(글을 한달 넘게 붙들고 쓰다보니 원래 뭘 쓰려고 했었는지 잊어서 여기까지만 적어둔다. 궁금한점, 오류, 오타, 보충 등은 댓글로…)