[작성자:] snowall

직사각형 함수를 푸리에 변환 해보자. 간단하다.

f(x) = 1 if -1 f(x) = 0 otherwise

적분 구간은 원래는 실수 전 구간이지만, 어차피 다른 구간에서는 0이므로, x가 1인 구간에서만 적분하면 된다.

f(x)의 푸리에 변환을 g(k)라고 하면

$g(k) = \frac{-2}{ik} sin(k)$

이 적분을 어떻게 했는지 궁금한 사람은 인터넷 검색을 하시기 바라며…

보다시피, sinc함수가 튀어나왔다. 물론 이 함수는 연속함수다. 이제, 직사각형 함수가 주기적으로 변하는 경우 어떻게 되는지 살펴보자.

f(x) = 1 if 2n-1/2 < x < 2n+1/2 for any integer n
f(x) = 0 otherwise

이런거 적분하려면 좀 골치아플것 같지만, 사실 저 함수는 n에 대해서 잘 정의된 함수의 무한급수다. 가령

$f_n(x) = 1$ if 2n-1/2 < x < 2n+1/2 for the given integer n
이렇게 정해놓고 나면

$f(x) = \sum f_n(x)$

이렇게 된다. 따라서, 푸리에 변환을 할때는 $f_n$만 잘 해주면 된다. 마찬가지로, 휘리릭 계산해 주면

$g_n (k) = exp(-2nik) \frac{-2}{ik}sin(k/2)$

그럼

$g(k) = \sum g_n(k) = (cot(k) – i)\frac{-4}{ik}sin(k/2)$

음…생긴게 조금 이상하긴 하지만, 아무튼 sinc함수에 다른 함수를 곱한 형태가 등장했다. (검산 해보기 바람. 적분한 다음 무한급수의 합 공식을 쓰면 됨.) 아마 이 함수는 연속함수일 것이다. (추측임. 증명은 안해봤음.)

그럼, 직사각형 함수가 주기적이지 않을 때에는 어떻게 될까? 이번엔 f(x)를 다음과 같이 정의하자.

$f(x) = \sum f_n(x)$

$f_n(x) = 1 $ if a_n < x 이것도 앞서 한 것과 마찬가지로 대충 적분하고 덧셈으로 꾹 눌러담아 주면 된다. 그러나 좀 까다롭게 된다. 앞에 나온 것처럼 하나의 함수가 되는 것이 아니라, 무한급수를 그냥 놔둬야만 한다.

$g_n(k) = exp(-ik\frac{b_n+a_n}{2})\frac{-2}{ik} sin(\frac{b_n-a_n}{2}k)$

$g(k)=\sum g_n(k)$

대충 보면, sinc함수는 맞는데, 앞에 삼각함수 하나가 곱해져 있다. 이건 왜 이렇게 되었을까? (물론 이 함수도 연속함수다. 아마)

두가지 경우의 직사각형 함수에 대해서 달라진 것은 단지 “주기성” 뿐이다. 이전의 글에서, 주기 함수를 푸리에 변환 하면 특정한 진동수의 함수들만 살아남게 된다는 것을 이야기 했었다. 하지만 함수에서 주기성이 깨져버리는 경우, 주기함수가 아닌 것을 주기함수(즉, 삼각함수)의 합으로 표현하려면 모든 종류의 주기성이 전부 다 포함되어야 한다. 뒤섞여 버리지 않으면 안된다는 것이다.

음…그런데, 어쨌든 impulse 형태는 보이지 않는다. 어떻게 된 걸까. 내 계산이 틀린건가?

흥미로운 질문이다 – 비주기 함수의 푸리에 변환은 어째서 연속 함수가 되는가?

그것도, 수학 공식 없이 개념으로만 설명해 달라는 요청이다. 흠…한번 시도해 본다.

이 글은 푸리에 변환의 기초적인 공식과 개념은 알고 있다는 가정 하에 작성되었다.

자. 반대로 짚어보자. 주기 함수의 푸리에 변환은 어째서 불연속함수가 될까? 잠깐…! 그 전에, 주기 함수의 푸리에 변환이 어떻게 되는지, 그걸 먼저 생각해 보자.

주기 함수의 가장 간단한 원형은 삼각함수다. 가령, 사인함수의 푸리에 변환은 델타 함수가 나온다. (디랙의 델타 함수) 그것은 정확히 바로 그 주파수 성분 이외에는 없기 때문이다. 이것은, 델타 함수의 푸리에 변환이 삼각함수라는 것을 생각해 보면 당연할 수밖에 없다.

1. 푸리에 변환은 어떤 변수 영역과 그 변수의 진동수 영역을 서로 변환한다.

2. 푸리에 변환은 함수를 “서로 다른 진동수를 가진 삼각함수의 합”으로서 표현한다.

3. “어떤 함수”가 있는데, 그 함수의 진동수가 정확히 1개밖에 없다

4. 그럼 당연히 그 함수는 삼각함수이고, 진동수가 정해진 삼각함수일 수밖에 없다.

잠깐. 다시. 그런데, 톱니 모양의 함수인 경우는? 계산하기 귀찮으므로 검색을 활용하자.


http://www.math.gatech.edu/~harrell/pde/ch4wr.html


여길 참고하면, 톱니 모양의 함수는 푸리에 변환하면 톱니 모양의 함수가 갖는 진동수의 정수배 진동수를 가지는 삼각함수들만의 합으로 표현이 된다. 즉, 이 경우에도 진동수의 스펙트럼은 불연속적으로 변한다.

스펙트럼이란? – 푸리에 변환을 했을 때, 특정 진동수의 삼각함수가 갖는 진폭의 크기. 다른말로는, 푸리에 변환을 한 목적함수. 스펙트럼을 다시한번 푸리에 변환하면 원래의 함수가 등장한다.

왜그럴까? 왜?

주기 함수인 경우 x에다가 특정 주기 T를 더하면 원래의 함수가 그대로 나와야 한다. 즉, f(x)와 f(x+T)는 같은 함수 값을 갖게 된다. 삼각함수에다가 특정 x를 하나 정해놓고, T를 아무거나 더해봐라. 그래봐야 cos(x)와 cos(x+T)가 같을 가능성은 전무하다. 이걸 같게 맞추기 위해서는 T를 굉장히 잘 골라야 한다. 물론, 상식적으로 T는 $2\pi$의 정수배가 되면 OK다. 여기서 힌트를 얻어야 한다. T는 특정한 숫자의 정수배가 되지 않으면 안된다.

푸리에 변환이라는 것이 원래 함수를 삼각함수로 표현하고 싶었던 것이므로, 원래 함수와 삼각함수의 합이 서로 같으려면, 삼각함수에 들어가는 주기 T는 원래 함수의 주기 T와 같아야만 한다. 바로 앞의 설명에서는 주기 T를 그냥 $2\pi$의 정수배로 맞출 수 있었지만, 이번엔 반대로 주기 T 자체는 결정되어 있는 상태다. (T를 바꾼다는건 원래 함수를 바꾼다는 뜻이므로 말도 안되는 얘기다) 그럼 어떻게 해야 할까? 중이 싫으면 절을 떠나야 한다고…

삼각함수가 맞춰주는 수밖에 없다. 즉, 주기 T가 $2\pi$의 정수배가 되도록 하는 진동수를 선택해야만 한다. 따라서, 이번엔 거꾸로 특정 진동수에 해당하는 삼각함수들만 살아남을 수밖에 없다.

자. 이제 원래의 질문으로 돌아와서, 비주기 함수의 푸리에 변환이 왜 연속함수가 나오는지 생각해 보자. 잠깐 – 이 명제의 대우를 생각해 보자. 불연속함수의 푸리에 변환은 주기 함수일까?

이렇게 생각하는건 이상하지 않다. 푸리에 변환의 역 푸리에 변환은 또한 그 자체로 푸리에 변환이다. 그리고 모든 함수는 주기함수이거나 비주기 함수이고, 모든 함수는 연속함수이거나 불연속함수이다. 따라서 대우 명제로서 잘 성립한다.

불연속함수의 푸리에 변환은 당연히 주기 함수다. -> 이상하다

가령, 잘 정의된 불연속함수로 다음과 같은 것이 있다.

f(x) = 1 (x가 유리수)

f(x) = 0 (x가 무리수)

이런 함수를 푸리에 변환하면 어떻게 될까?

음…이 함수의 푸리에 변환은, 놀랍게도, 0이다. (추측이긴 하지만, 아마 맞을 거다 -_-; 저 함수는 measure가 0이라서 적분하면 0이고, 저기에 뭘 곱해서 적분해도 0일 수밖에 없다. 이걸 어떻게 적분하고, 적분값이 왜 0인지는 Lebesgue 적분론을 이해해야 한다.)

미안하다. 처음부터 반례가 나왔다. (0함수는 상수함수이고, 상수함수는 주기함수다. 따라서 이 예는 내가 잘못 들었다.)

다른 함수를 선택해 보겠다.

$f(x) = \sum _{n=1}^{\inf} \delta(x-\frac{1}{n})$

이 함수는 델타 함수를 좀 많이 더한 것이다. 확실하게 불연속이다. 이 함수의 푸리에 변환은 계산하기 쉽다.

$g(k) = \sum _{n=1} ^{\inf} exp(i (\frac{k}{n})$

보다시피, 이 함수는 전혀 주기적이지 않다. 주기가 서로 다른 삼각함수를 모두 더했기 때문이다. 즉, 비주기 함수의 푸리에 변환이라고 해도 항상 연속함수가 나오는 것은 아니다.

그럼 흔히 수학자들이 생각하는 대로, 푸리에 변환을 했는데 연속함수가 나오는 경우는 도대체 어떤 경우일까?

연속함수의 푸리에 변환은 연속함수인가? 아니다. 사인 함수 1개를 푸리에 변환하면 연속이 아닌 함수가 나온다.

비주기 함수의 푸리에 변환은 연속함수인가? 아니다. 앞서 설명했듯, 반례가 있다.

그럼, 연속인 비주기 함수의 푸리에 변환은 연속함수인가? 물론 아니다. 방금 설명한 반례는 연속인 함수다.

흠…이 조건은 잠깐 생각해서는 답이 나오지 않을 것 같다. 일단, 여기까지의 결론을 내리자면, 비주기 연속함수라고 하여 그 푸리에 변환이 무조건 연속함수인 것은 아니라는 것이다.