[작성자:] snowall

내가 자주 가는 Askhow에서 이런 질문이 나왔다.

대학교 3학년때 기하학 개론을 배운 이후 너무나 오래간만에 만나는 유클리드 기하학 문제다! 반가운 마음에 바로 증명 들어간다.

P : 네 변의 길이가 모두 같고 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형

Q : 두 대각선의 길이가 같고 서로 수직이등분하는 사각형

둘 다 정사각형의 정의가 되기 위해서는 서로 필요충분조건이 되어야 한다.

1단계 – P이면 Q이다

우선 이 부분을 증명해 보자. P이면 Q가 되나?

위의 그림에서, 네 변은 모두 같고 각 A, B, C, D는 모두 같다. 이제 증명해야 하는 것은, 각 AEB가 직각이며, 선분 AE, 선분 BE, 선분 DE, 선분 EC가 길이가 모두 같다는 것을 증명해야 한다.

우선, 삼각형 ABD와 삼각형 BCD가 합동이라는 것은 쉽게 증명된다. SSS합동조건을 만족한다. 따라서, 각 ABE와 각 CBE는 같다.

삼각형 AED와 삼각형 AEB는 합동일까? 일단, 변 AD와 변 AB의 길이가 같다. 변 AE는 공통된 변이므로 같다. 헉. 뭔가 부족하다. 변 DE와 변 BE가 같은건 증명하려고 하는 거니까 쓰면 안되고, 3개의 각 중의 하나가 같아야 하는데, 같아보이질 않는다.

이럴때 쓰는게 보조정리다.

보조정리 1 ) 선분 AD와 선분 BC는 평행하다.

증명 ) 각 DAB와 각 ABC는 직각이다. 따라서 선분 AD와 선분 BC를 아무리 길게 양쪽으로 연장하더라도 서로 만나지 않는다. (유클리드의 5개 공리 중 평행선 공리)

**이 부분에서 각 DAB와 각 ABC는 직각이라는 점은 증명하지 않았다. 평면에서 정사각형의 내각은 모두 직각이며, 이 사실은 쉽게 증명할 수 있다.

아무튼. 선분 AD와 선분 BC가 평행하므로, 각 ADE와 각 CBE는 엇각으로 같다. 그리고 각 CBE는 각 ABE와 같았다. 따라서 각 ADE와 각 ABE는 같다. 마찬가지 이유로, 각 DAE와 각 BAE도 같다. 따라서 삼각형 AED와 삼각형 AEB가 합동인 것을 증명하였다. 따라서 각 AED와 각 AEB는 서로 같고, 또한 직각이다.

이와 마찬가지 방법을 이용하면 변 AE, 변 BE, 변 CE, 변 DE가 모두 같은 길이를 갖는 다는 것도 쉽게 증명할 수 있다. 따라서 P이면 Q이다는 증명 된 명제다.

2단계 – Q이면 P이다

두 대각선의 길이가 같고, 서로 이등분한다고 하였으니 변 AE, 변 BE, 변 CE, 변 DE의 길이는 모두 같다. 그리고 각 AED, 각 BEA, 각 CED, 각 CEB는 모두 같으며 또한 직각이다. 이제 변 AB, 변 BC, 변 CD, 변 AD가 같은지 살펴보고, 각 ADC, 각 ABC, 각 BCD, 각 BAD가 같은지 살펴보자.

일단, 삼각형 AED, 삼각형 AEB, 삼각형 BEC, 삼각형 DEC는 모두 합동이다. 따라서 변 AB, 변 BC, 변 CD, 변 AD가 서로 모두 같은 것은 쉽게 증명 된다.

저기 있는 그 4개의 삼각형은 게다가 직각 이등변삼각형이고 모두 합동이다. 따라서 각 EAD, 각 EAB, 각 EBA, 각 EBC, 각 ECB, 각 ECD, 각 EDC, 각 EDA는 모두 같은 각이다. 따라서, 잘 생각해보면, 각 DAE + 각 EAB는 직각이 된다. 따라서 각 BAD는 직각이다. 나머지 3개의 각에 대해서도 마찬가지 논의로 직각임을 알 수 있다. 따라서 각 ADC, 각 ABC, 각 BCD, 각 BAD가 모두 같은 내각이 되는 것도 확인하였다.

즉, Q이면 P이다.

앞서의 논의에 따라, Q와 P는 서로 필요충분조건이 된다.

따라서 두 정의는 완전히 동치 명제이며, 정사각형을 정의할 때 어느 것을 사용하더라도 문제가 되지 않음을 알 수 있다.

난 송유근 군이 대학원에 입학할만한 재능과 열정이 있다고 생각한다.

수리물리학 관련 연구를 하고 싶다고 하니, 기특하지 않을 수 없다. 수리물리학 교과서에 그의 이름이 붙은 공식이 나온다면 얼마나 기쁠까.

난 다만, “10대 박사 만들기”라든가 “최연소 박사학위 취득자”라는 타이틀을 만들기 위해 뭔가 억지로 이루어지는 것이 아니기를 바란다.

온전히 그의 희망과 재능으로만 이루어진 일이기를 바란다.

물론, 그의 건승을 바란다.

끝으로 내가 부러워 하는 점은, 전체 인생에서 연구할 수 있는 시간이 나보다 10년은 더 길 것이라는 것…-_-;

그건 정말 부럽다.

모두가 열심히 뛸 때는 아무리 열심히 뛰어도 이길 수 없다.

예를 들어 보자.

사슴은 늑대의 공격을 받는다. 그래서, 사슴들은 여러 돌연변이가 일어날 때, 그중 달리는 속력을 빠르게 하는 유전인자가 있으면 그런 유전인자를 가진 사슴들은 많이 살아남게 된다. 즉, 사슴의 달리는 속력은 점점 빨라진다. 그 결과, 늑대들이 먹고살기 힘들어진다. 그럼, 늑대들이 돌연변이가 일어날 때, 빨라지는 사슴을 잡기 위해서 늑대를 빠르게 달리도록 하는 유전인자 또한 더 많이 살아남게 된다. 즉, 늑대의 달리는 속력도 점점 빨라진다.

그 결과는? 둘 다 열심히 진화하긴 했지만, 진화하기 전과 달라진 것이 없는 제자리걸음의 상태이다.

이것이 바로 거울 나라의 붉은 여왕이 앨리스에게 얘기한 “우리 세계에서는 가만히 있기 위해서라도 있는 힘껏 뛰어야만 해. 다른 곳으로 가고 싶으면 두배 더 빠르게 뛰어야 하고” 라는 말의 본질이다. 물론 루이스 캐롤이 진화론을 알고 있었는지는 모르겠지만, 최소한 그는 경쟁의 본질에 대해서는 알고 있었던 것 같다.

그 얘기를 듣고, 우리나라 젊은이들이 겪게 되는 가장 심각한 문제인 “죽음의 트라이앵글”이 절대로 없어지지 않을 것이라는 생각이 들었다. 고등학생들이 대학 입시에서 마주치는 1차 죽음의 트라이앵글과, 대학생들이 취업때 마주치는 2차 죽음의 트라이앵글, 모두 많은 사람들이 “생존”이라는 하나의 목표를 두고 경쟁한 결과 만들어진 것이다. 다른 동물들이 겪는 경쟁과 약간 다른 점이라면, 여기서는 모든 생산자가 각각이 모두 소비자이다. 자신이 살아남기 위해서는 다른 사람들을 밟고 올라서야만 한다. 밟히고 찍힌 사람들은 가난을 벗을 수 없다. 그리고, 바로 그 “가난을 벗을 수 없다”라는 생각이 그 자체로 사람들을 죽이는 절대적 관념이 되고 있다.

그리고 나 또한 그 경쟁 속에서, 다른 사람을 밟으며 위로 올라가고 있구나 – 라는 생각이 들었다.

이러한 현실을 해소하려면, 패러다임을 바꿔야 한다. 모두가 각자 다른 방향에서 경쟁한다면, 한 분야에서 경쟁하는 것 보다 더 낮은 경쟁률로 더 많은 행복을 얻을 수 있다. 대학에 가는 것만이 능사가 아니고, 소위 명문대에 가는 것만이 성공하는 길이 아니어야 한다. 다양한 방법으로 성공할 수 있어야 하며, 모든 사람이 자신의 꿈을 이룰 수 있을 수 있어야 한다.

최근, 뉴스에서 고아원 출신의 한 학생이 서울대에 입학했다는 얘기를 들었다. 내가 그 기사를 읽으면서 궁금했던 것은, 어느 학과에 입학했는가이다. 기사를 아무리 살펴봐도 무엇을 전공하려는지에 대한 얘기는 없었다. 단지, 그 학생은 서울대에 입학했다는 것 만으로 개천에서 용났고, 자수성가한 학생이 되었다. 그게 끝인가? 그 학생이 무엇을 공부하고 싶어하고, 앞으로 무엇이 될 것인가에 대해서는 관심이 없는건가? 서울대에 입학하면 도대체가 성공이 보장되느냐는 말이다. 내 생각에, 서울대가 아니라 그 어떤 학교, 그 어떤 명문 대학에 진학하더라도 자신의 꿈이 없고 그 꿈을 향해 매진하지 않는다면, 그런 삶은 성공할 수가 없다. 난 그래서 그 기사에 많이 실망했다. 기자의 관점은 결국 서울대에 합격했다는 것만 보고 있었기 때문이다. 이런 기사는, 고작해야 서울대에 가면 성공한다는 기존의 인식만을 강화시킬 뿐이다. 서울대에 가는 건 좋은데, 가서 무엇을 공부하고 장차 무엇이 될 것인가가 더 중요한 문제다. 어쨌든, 그 학생이 기사에는 소개되지 않았지만, 자신이 원하는 전공을 선택하고, 자신이 하고 싶은 공부를 많이 할 수 있어서, 자신이 하고싶은 꿈을 이루게 되기를 바란다. (혹시 자유전공학부인가? -_-;)

그리고 나도 꿈을 이루고 싶다.

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