위와 같은 숫자로 된 피라미드가 있다. 가장 위쪽에서 가장 아래까지 한칸씩 움직이면서 내려온다. 그리고, 내려오면서 그 경로에 있는 숫자를 모두 더한다. 위에 빨간색으로 표시된 길은 그 합이 최대가 되는 경로에 해당한다.
문제. 다음 숫자 피라미드의 꼭대기에서 밑바닥까지 내려갈 때, 합이 최대가 되는 경로를 지난다고 하면, 그 합의 값은 얼마인가?
해설에 의하면, 위의 피라미드는 겨우 16단이고, 따라서 가능한 경우가 16384가지밖에 없다. 따라서 모든 경로를 모두 테스트 하는 것이 가능하다. 그런데, 67번 문제는 좀 더 막장이다.
59
73 41
52 40 09
26 53 06 34
10 51 87 86 81
61 95 66 57 25 68
90 81 80 38 92 67 73
30 28 51 76 81 18 75 44
84 14 95 87 62 81 17 78 58
21 46 71 58 02 79 62 39 31 09
56 34 35 53 78 31 81 18 90 93 15
78 53 04 21 84 93 32 13 97 11 37 51
45 03 81 79 05 18 78 86 13 30 63 99 95
39 87 96 28 03 38 42 17 82 87 58 07 22 57
06 17 51 17 07 93 09 07 75 97 95 78 87 08 53
67 66 59 60 88 99 94 65 55 77 55 34 27 53 78 28
76 40 41 04 87 16 09 42 75 69 23 97 30 60 10 79 87
12 10 44 26 21 36 32 84 98 60 13 12 36 16 63 31 91 35
70 39 06 05 55 27 38 48 28 22 34 35 62 62 15 14 94 89 86
66 56 68 84 96 21 34 34 34 81 62 40 65 54 62 05 98 03 02 60
38 89 46 37 99 54 34 53 36 14 70 26 02 90 45 13 31 61 83 73 47
36 10 63 96 60 49 41 05 37 42 14 58 84 93 96 17 09 43 05 43 06 59
66 57 87 57 61 28 37 51 84 73 79 15 39 95 88 87 43 39 11 86 77 74 18
54 42 05 79 30 49 99 73 46 37 50 02 45 09 54 52 27 95 27 65 19 45 26 45
71 39 17 78 76 29 52 90 18 99 78 19 35 62 71 19 23 65 93 85 49 33 75 09 02
33 24 47 61 60 55 32 88 57 55 91 54 46 57 07 77 98 52 80 99 24 25 46 78 79 05
92 09 13 55 10 67 26 78 76 82 63 49 51 31 24 68 05 57 07 54 69 21 67 43 17 63 12
24 59 06 08 98 74 66 26 61 60 13 03 09 09 24 30 71 08 88 70 72 70 29 90 11 82 41 34
66 82 67 04 36 60 92 77 91 85 62 49 59 61 30 90 29 94 26 41 89 04 53 22 83 41 09 74 90
48 28 26 37 28 52 77 26 51 32 18 98 79 36 62 13 17 08 19 54 89 29 73 68 42 14 08 16 70 37
37 60 69 70 72 71 09 59 13 60 38 13 57 36 09 30 43 89 30 39 15 02 44 73 05 73 26 63 56 86 12
55 55 85 50 62 99 84 77 28 85 03 21 27 22 19 26 82 69 54 04 13 07 85 14 01 15 70 59 89 95 10 19
04 09 31 92 91 38 92 86 98 75 21 05 64 42 62 84 36 20 73 42 21 23 22 51 51 79 25 45 85 53 03 43 22
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42 89 36 27 78 91 24 11 17 41 05 94 07 69 51 96 03 96 47 90 90 45 91 20 50 56 10 32 36 49 04 53 85 92 25 65
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61 31 61 68 96 34 49 39 05 71 76 59 62 67 06 47 96 99 34 21 32 47 52 07 71 60 42 72 94 56 82 83 84 40 94 87 82 46
01 20 60 14 17 38 26 78 66 81 45 95 18 51 98 81 48 16 53 88 37 52 69 95 72 93 22 34 98 20 54 27 73 61 56 63 60 34 63
93 42 94 83 47 61 27 51 79 79 45 01 44 73 31 70 83 42 88 25 53 51 30 15 65 94 80 44 61 84 12 77 02 62 02 65 94 42 14 94
32 73 09 67 68 29 74 98 10 19 85 48 38 31 85 67 53 93 93 77 47 67 39 72 94 53 18 43 77 40 78 32 29 59 24 06 02 83 50 60 66
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92 48 22 99 15 95 64 43 01 16 94 02 99 19 17 69 11 58 97 56 89 31 77 45 67 96 12 73 08 20 36 47 81 44 50 64 68 85 40 81 85 52 09
91 35 92 45 32 84 62 15 19 64 21 66 06 01 52 80 62 59 12 25 88 28 91 50 40 16 22 99 92 79 87 51 21 77 74 77 07 42 38 42 74 83 02 05
46 19 77 66 24 18 05 32 02 84 31 99 92 58 96 72 91 36 62 99 55 29 53 42 12 37 26 58 89 50 66 19 82 75 12 48 24 87 91 85 02 07 03 76 86
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67 60 38 06 88 04 17 72 10 99 71 07 42 25 54 05 26 64 91 50 45 71 06 30 67 48 69 82 08 56 80 67 18 46 66 63 01 20 08 80 47 07 91 16 03 79 87
18 54 78 49 80 48 77 40 68 23 60 88 58 80 33 57 11 69 55 53 64 02 94 49 60 92 16 35 81 21 82 96 25 24 96 18 02 05 49 03 50 77 06 32 84 27 18 38
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76 46 73 30 10 20 60 70 14 56 34 26 37 39 48 24 55 76 84 91 39 86 95 61 50 14 53 93 64 67 37 31 10 84 42 70 48 20 10 72 60 61 84 79 69 65 99 73 89 25 85 48 92 56 97 16
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49 80 56 90 93 87 47 13 75 28 87 23 72 79 32 18 27 20 28 10 37 59 21 18 70 04 79 96 03 31 45 71 81 06 14 18 17 05 31 50 92 79 23 47 09 39 47 91 43 54 69 47 42 95 62 46 32 85
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57 95 64 06 53 36 82 51 40 33 47 14 07 98 78 65 39 58 53 06 50 53 04 69 40 68 36 69 75 78 75 60 03 32 39 24 74 47 26 90 13 40 44 71 90 76 51 24 36 50 25 45 70 80 61 80 61 43 90 64 11
18 29 86 56 68 42 79 10 42 44 30 12 96 18 23 18 52 59 02 99 67 46 60 86 43 38 55 17 44 93 42 21 55 14 47 34 55 16 49 24 23 29 96 51 55 10 46 53 27 92 27 46 63 57 30 65 43 27 21 20 24 83
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22 97 41 13 34 31 54 61 56 94 03 24 59 27 98 77 04 09 37 40 12 26 87 09 71 70 07 18 64 57 80 21 12 71 83 94 60 39 73 79 73 19 97 32 64 29 41 07 48 84 85 67 12 74 95 20 24 52 41 67 56 61 29 93 35 72 69
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이건 100줄짜리인데, 2의 100제곱 만큼의 경로가 있다. 이걸 모든 경로를 다 해본다는 것은 사실상 불가능하다. -_-;
즉, 그보다 좀 더 똑똑한 방법을 생각해야 한다.
물론 난 두 문제 모두 알고리즘으로 풀었으므로 이 해설을 쓸 수 있는 거다. 알고리즘만 잘 짜면 펜티엄3 800MHz로도 0.1초만에 답이 나오게 할 수 있다.
이 문제를 풀기 위해서는, 경로를 실제로 알아내야 할 필요가 없다는 점을 깨달아야 한다. 따라서, 각 지점까지 도달하면서 각 점에 도착할때까지의 최대 합을 알아내면 된다. 그런데, 그 값에 도착하기 위해서는 단 2개의 값으로부터 올 것이다. 처음이 예로 돌아가 보자.
3
7
5
2
4
6
8 5
9
3
여기서, 가운데에 있는 4를 보면, 4에 도달하려면 그 위에 있는 7 아니면 5에서밖에 오지 못한다. 가장 아랫줄에 있는 9 역시 마찬가지다. 그 바로 윗줄의 4 아니면 6에서밖에 오지 못한다. 따라서, 그 점에서의 최대값은 어차피 바로 윗줄의 두 값 중, 큰쪽을 선택하면 된다. 다시말해서, 바로 전 단계까지의 합이 최대값이었다면, 이번 단계에서의 최대값은 그 값에 도착하기 직전의 2개의 값 중, 큰 것을 선택해서 더해주면 된다는 뜻이다. 그리고 이것을 첫 단계부터 시작한다면 가장 아랫줄에는 해당 숫자까지 오면서 가능한 모든 경로의 합 중, 최대값만 남아있게 된다.
따라서, 아랫줄까지 오기 위한 모든 경로 중 숫자의 합이 최대가 되는 것은 그중에서도 최대값을 찾아내면 된다.
그래서, 잘 풀면 다음과 같이 된다.
#define TRISIZE 100
#include
#include
#include
#include
int max(int, int);
int main(int argc, char* argv[]){
if(argc==1){
printf(“ERROR. There are no inputs.\n Usage : %s file1\n file1 includes pascal triangle\n”, argv[0]);
exit(1);
}
FILE *TRIDATA;
if(!(TRIDATA=fopen(argv[1], “rt”))){
printf(“ERROR. %s does not exists.\n”,argv[1]);
exit(1);
}
//여기까지는 파일을 읽어오는 부분이다.
int a[TRISIZE+1][TRISIZE+1];
int i,j;
for(i=0;i
for(j=0;j
a[i][j]=0;
}}
//여기까지는 커다란 배열을 만들어서 모든 값을 0으로 초기화 하는 부분이다.
i=0;
char buf[400];
char **buffera;
//g_strsplit을 쓰기 위한 변수 선언이다.
for(i=0;i
if(fgets(buf,400,TRIDATA)==NULL){
break;
}
buffera=g_strsplit(buf,” “, -1);
for(j=0;j
a[i][j]=atoi(buffera[j]);
}
}
//여기까지는 커다란 배열에다가 파일에서 읽어온 값을 집어넣는 부분이다.
for(i=0;i
a[i+1][0]+=a[i][0];
for(j=0;j
a[i+1][j+1]=max(a[i][j],a[i][j+1])+a[i+1][j+1];
}}
//이 윗부분이 핵심 코드다. i행 j열에서 다음 줄로 넘어갈 때 i+1행 j열로 가거나, i+1행 j+1열로 가거나, 둘 중 하나의 선택만이 가능하다.
//따라서, i+1행의 0번째 열은 선택지가 하나밖에 없으므로 그냥 가고, i+1번째 행의 i+1번째 열은 양쪽에서 올 수 있긴 한데, 어차피 바깥쪽은 0으로 도배되어 있으므로 큰 수를 선택하면 왼쪽에서 온 숫자를 고르게 된다. 그 이외의 경우, 가운데 있는 숫자들은 그곳에 도달할 수 있는 두가지 가능성 중에서 큰 숫자를 골라서 원래 숫자에 더한다.
//원래 숫자에 더할 때, 양쪽 선택지 중에 큰 숫자를 더하면서 오게 되면 최종적으로 나타나는 값은 그곳에 도착할 때 까지의 숫자들의 합의 최대값이 나오게 된다. 경로는 모르더라도.
for(i=0;i
for(j=0;j
printf(“%d “,a[i][j]);
}
printf(“\n”);
}
//그 덧셈을 출력하는 부분이다.
int b=0;
for(i=0;i
if(b
b=a[TRISIZE-1][i];
}
}
printf(“max sum is %d\n”,b);
return 1;
}
//최대값을 찾아서 출력하는 부분이다.
int max(int a, int b){
if(a>b){
return a;
}
else if(b>a){
return b;
}
else if(b=a){
return a;
}
}
//두 숫자 중 큰 수를 찾아주는 함수다.
사실은 알고리즘 만드는데 2주쯤 고민했고, 코딩에 1시간쯤 썼고, 오류 잡는데 30분쯤 걸렸다.
아무튼, 한번에 2문제를 풀었으니 된거다.
