[작성자:] snowall

11명 중에 한 사람을 선정하기 위해서 주사위를 굴리기로 했다.

주사위를 유한한 횟수 이내로 굴려 균등한 확률로 11명 중의 한 명을 선정할 수 있는 방법을 서술하시오. (단, 주사위는 정 6면체이다.)

*읽기전에 알아둘 것 :

이 논리는 틀렸습니다!


$(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$

기본 아이디어는 이항전개다.

각 면에 써 있는 숫자를 n이라고 놓고, k번 던진 다음에 나오는 숫자를 계산해 보면

$\left(\sum^6_{i=1}e^n \right)^k$

으로 쓸 수 있고, 이 식에서 각 항마다 있는 계수는 정해진 합에 대해서 그 합이 나오는 경우의 수가 몇개인지 알려준다. 그럼, 적당히 큰 k를 고르고, 그중에 계수가 11을 넘는 합 하나를 가져오자. 합 자체는 얼마가 되든 상관 없다. 그냥 a라고 하자. 그리고 그 계수를 m이라고 하자. m은 이항전개에서 해당 항이 나오는 횟수가 몇번인지 알려준다. 따라서, 이항전개에서 그 항은 11번 이상 나온다.

이 말은 바꿔 말하면, 주사위를 k번 던질 때 전체 가능한 경우의 수 중에서 합이 a가 되는 경우가 m번 있다는 뜻이다. 그럼, 이제 합이 a가 되는 경우 각각을 11명의 사람들에게 배정한다. 경우의 수가 11을 넘어갈 수도 있지만, 나머지는 무시해 버려도 된다. 순서 따져서 각각이 구별 가능하기만 하면 된다.

이제 주사위를 k번 던지는데, 합이 a가 되지 않으면 무시하고, 합이 a가 되면 그렇게 된 경우가 11명의 사람이 배정받게 된 경우 중 어느 것에 해당하는지 따져본다. 아무도 배정받지 않았다면 다시 던진다.

이것이 가능한 이유는 전체 경우의 수 각각이 발생할 확률은 똑같기 때문에, 우리가 원하는 만큼만 골라내고 나머지는 다 버려도 문제가 없다는 것이다.

또한, 합이 a가 나올 확률은 0이 아니므로 반드시 유한한 횟수 안에 끝난다. (물론 계속 합이 a가 나오질 않아서 조금 더 길어질 수는 있으나, 확률이 0이 아니기 때문에 무한히 시행하다보면 실제로 무한까지 가기 전에 유한 횟수 내에 끝나는 것이 보장된다.)

Askhow.co.kr 에 올라왔던 질문이다.

만약, 레이저포인터를 수평 방향으로 해 놓고 킨 뒤,

그 레이저 포인트의 레이저에 수직한 거울을 놓으면 다시 반사되는데,

이 때 재빠르게 거울에 또 다른 거울을 평행하게 놓으면 거울에 반사되어 나가던 빛이 또 반사되고 반사되고…. 할 수 있나요?

그리고 그 거울의 거리를 계속 줄여나가면 빛이 짧아지고, 그 상태에서 거울과 거울 사이를 밀봉하면 빛이 그 안에서 못 빠져나오겠죠?

또, 그런 빛을 적외선으로 하고 위와 같은 과정을 한다면 밀봉한 거울 상자에서 열이 나올 수 있나요?

대칭성을 이용한 간단한 증명.

사고실험을 해 보았다. 몇가지 간단한 가정들이 필요한데, 다음과 같다.

1. 거울은 완벽하게 평평하고 완벽하게 매끄러워서 난반사란 없다. 오직 정반사만 있을 뿐이다. (정반사 = 입사각과 반사각이 같은 반사)

2. 빛은 정확히 직진한다. (즉, 기하광학을 쓰겠다는 얘기)

상황 1. 거울 두개가 완벽하게 평행하게 있다.

이 상황에서, 빛이 진행하는 방향이 거울의 면에 대해서 수직이 되지 않는다면, 빛은 분명히 삼각형 톱날 모양을 그리면서 거울 사이를 왕복할 것이다. 그리고 이 때의 톱날 모양의 크기는 진행 방향이 직각에 가까워짐에 따라 점점 작아질 것이다. 따라서 직각이 되면 완벽하게 크기가 0이 되고, 한 위치에서 왕복할 것이다.

물론 빛이 레이저 포인터를 출발한 후, 거울에 반사되어 다시 되돌아 오기 전에 레이저 포인터를 없애는 것은 실제로 가능하다. 거울이 충분히 멀리 있기만 하면 갔다 오는데 시간이 걸리므로 얼마든지 할 수 있는 일이다.

상황 2. 거울 두개가 평행하지 않다.

이 상황에서, 마찬가지로 빛은 거울에 대해서 수직으로 입사하지 못하므로 톱날 모양을 그리게 될 것이다. 거울 두개를 점점 평행하게 만들면서 두 거울 중의 한개를 빛의 진행 방향에 대해서도 수직으로 서게 만든다면, 앞서와 마찬가지로 톱날 모양은 점점 작아지면서 한 위치에서 왕복하게 된다.

상황 3. 따라서 한 위치에서 왕복한 후, 거울을 좁혀나간다.

거울을 좁혀나가게 되면 빛이 왕복할 수 있는 거리는 짧아질 것이다. 만약 빛이 충돌하는 순간에 거울이 움직이고 있었다면 도플러 효과가 있을 것이므로 빛의 파장도 같이 짧아질 것이다. 기술적으로 빛이 충돌하는 순간에는 거울이 움직이지 못하게 할 수 있다면, 빛의 파장은 유지될 것이다.

상황 4. 그래서 거울 두개가 붙어버리면?

거울 두개가 붙어버리면 빛은 점점 갈 곳이 없어지다가 완벽하게 거울 두개가 붙은 이후에는 반드시 거울에 흡수될 것이다. 따라서 거울의 온도가 올라간다.

아무튼, 밀봉할 필요는 없다. 적외선이 될 필요도 없다. 거울에 반사만 되는 정도의 빛이면 충분하다.

빛을 파동으로 생각하면 이 논의는 이제 산으로 흘러가게 된다.

상황 5. 빛이 파동이면?

빛이 파동이라면 거울에 닿을 때마다 반사되는 점을 기준으로 구면파 형태로 퍼져나가게 된다. 따라서 빛이 흩어져 버릴 것이다. 이 경우에도 빛이 가진 에너지는 흩어지기만 할 뿐 사라지지는 않으므로 거울을 좁혀나가다 보면 거울에 반드시 흡수되어야 할 것이다. 물론 거울이 충분히 (무한히) 커야 할 것이다.

넓이는 어쨌든 2중 적분을 잘 해주면 된다.

f(x)>0인 함수를 적당한 구간에서 x축을 중심으로 회전시켜서 회전체를 만들었다고 하고, x=[a,b]인 구간에서 회전각 $\theta$에 해당하는 넓이는 어떻게 구할까?

적분은 어쨌든 면적소를 잘 잡으면 되는데, 어쨌든 $ds$를 어떻게 잡느냐가 관건이다.

좌표계를 회전좌표계로 잡으면 돌아가는 방향 $\theta$방향으로는 길이가 $f(x)d\theta$만큼일 것이고, x방향으로는 길이가 $\sqrt{dx^2 + df^2}$ (피타고라스 정리 사용) 일 테니까, $\sqrt{1+(df/dx)^2} dx$가 길이가 된다.

그럼 넓이는 가로 x 세로 이므로 $ds=f(x)\sqrt{1+(df/dx)^2}d\theta dx$가 된다.

이제 적분만 잘 하면 된다. 원하는 넓이를 S라고 하면,

$S = \int_{x=[a,b],\theta=[0,\Theta]} f(x)\sqrt{1+(df/dx)^2}d\theta dx $

이 적분을 잘 해주면 된다.

**수식 플러그인이 좀 이상하게 작동해서 수식이 이상하게 보입니다. 2자는 모두 제곱의 의미로 사용된 숫자들이예요.

**파이어폭스에서는 정상적으로 보이고 IE에서는 이상하게 보일 겁니다.