[작성자:] snowall

  • 신비의 원소 게르마늄 vs. 반도체 저머늄

    Germanium : 원소기호 Ge, 원자번호 32번

    위키피디아를 참고하면 Germanium은 다음과 같은 역사를 가지고 있다.

    In 1871 germanium (Latin Germania for Germany) was one of the elements that Dmitri Mendeleev predicted to exist as a missing analogue of the silicon group (Mendeleev called it “ekasilicon“). The existence of this element was proven by Clemens Winkler in 1886. This discovery was an important confirmation of Mendeleev’s idea of element periodicity.

    Property Ekasilicon Germanium
    atomic mass 72 72.59
    density (g/cm³) 5.5 5.35
    melting point (°C) high 947
    color gray gray

    The development of the germanium transistor opened the door to countless applications of solid state electronics. From 1950 through the early 1970s, this area provided an increasing market for germanium, but then high purity silicon began replacing germanium in transistors, diodes,and rectifiers. Silicon has superior electrical properties, butrequires much higher purity samples—a purity which could not becommercially achieved in the early days. Meanwhile, demand forgermanium in fiber optics communication networks, infrared night visionsystems, and polymerization catalysts increased dramatically. These enduses represented 85% of worldwide germanium consumption for 2000.

    뭐, 그렇다더라. 이게 우리나라에선 두가지 원소로 분리되어 있다. “게르마늄”과 “저머늄”이다. 게르마늄은 Germanium을 독일 본토 발음을 한국어로 받아적은 것이고, 저머늄은 그 단어의 미국식 발음을 한국어로 받아적은 것이다. 문제는, 두 원소의 용도가 다르다는 거다.

    게르마늄 : 신비의 원소
    아래는 http://www.32ge.org/newboard/qacontent.asp?id=150&read=667&pagec= 로부터 퍼옴

    게르마늄이란 신비의 약리작용을 하는 게르마늄을 1886년경에 발견한 사람은 독
    일의 윔클러인제 자신의 조국 이름을 따서 게르마늄이라고 하였으며 원소기호 Ge
    로 명명한 것이며 원자번호는 32번으로 되어 있다. 
    
    이는 회색 빛깔로 되어 있으며 반도체를 만드는데 중요한 것으로 알려져 있다. 
    
    우리가 얼핏 생각하기에는 반도체가 어떻게 인체에 이로운 작용을 하는지 의심
    을 할 수 있느나 게르마늄이 금속이 아닌 반도체임은 생리적으로도 대한히 편리
    하다.
    
    왜냐하면 혈액을 비롯한 각세포는 반도체의 성질을 지니고 있는데 반도체 끼리
    는 그 전자 물성으로 보아 공존 할 수가 없기때문에 여러분의 게르마늄이 체내
    에 축적될 우려가 전혀 없으며 축적 될수 없다는 것은 아무리 많이 장기간 투여
    해도 여분의 게르마늄은 배설되기 때문에 부작용이 없다는 뜻이기도 하다.
    
    우리 인체에 존재하고 있는 미약한 전류가 몸안을 흐르고 있다.
    
    즉, 생체란 보는 관점에 따라 전기의 극초 미립자의 응집체라고 할 수 있다.
    
    때문에 각 부분은 정해진 전위가있고 그 전위가 뒤틀린것이 질병이다.어떤 이유
    로 과잉 축적이 되면 그곳에 전위가 뒤틀리게 되며 통증이 오는 것이다.
    
    이런곳에 반도체가 침투하게 되면 방전을 시키기 때문에 통증이 사라지게 되는 
    것을 볼수 있다.
    
    본래 반도체란 괴 전류가 흐르게 되면 약화 시키로 전기가 잘 흐르지 않으면 통
    전을 시키는 특성이 있다.
    
    게르마늄은 그 높은 전위를 지닌 암세포로 부터 전자를 빼앗아 전위를 낮추는 작
    용을 한다. 
    
    게르마늄에는 유기성 게르마늄과 무기성게르마늄이 있는데 무기성 게르마늄은 절
    대로 복용할 수 없지만 체외에 부착하거나 살갗에 닿게 하여 통증을 해소 하는
    등 성인병 질환에 좋은 효과가 있다.
    
    유기 게르마늄은 일본 아사이 박사가 30년간의 연구한 끝에 복용 할 수 있는 합
    성 용해성 유기 게르마늄을 만드는데 성공하여 백쥐와 살람들에게 실험한 결과 
    병치료에 탁월한 효과를 보임으로써 일대 센세이션을 일으키고 주목을 받고 있
    다.
    
    게르마늄은 토양속에 있으며 식물속에도 있고 또한 유명한 약수에도 약간은 있
    다. 
    
    게르마늄 미립자의 전자가 구석구석 들어가서 밖에있는 하나의 각질(자유전자)
    이 피속에 산화된 수소이온에 흡착하여 20여 시간내에 신장을 통해서 소변으로 
    배출된다. 
    
    그러기에 다른 약과는 달리 몸에 오랫동안 머물지 못하기 때문에 해가 없다.
    
    이것은 게르마늄이 반도체의 성질을 지니고있으므로 생기는 결과이다. 
    
    게르마늄은 우리 몸 안에 이물질이 침입하게 되명 이런것을 방어하기위하여 자동
    적으로 인터페론이나 대식세포인 매크로파지들이 유발되게 되는데
    
    게르마늄은 우리 몸안에서 촉매작용을 하여 몸에서 자연 발생되는 양의 20~30배 
    가량이 더 유발하게 되므로 암이라는 세포인자들을 더 이상 침입하지 못하게 하
    거나 죽여 없애는데 획기적인 역할을 하는 독특한 물질이다.
    
    게르마늄은 암 환자들에게 있어서 크게 고무적인 것이었으며 또한 이런 특성을 
    가진 게르마늄으로 치료효과를 나타낼수 있다는 학술적 입증을 더욱 크게 증가 
    시켰다. 
    
    그후에 이에 대한 일본의 연구소에서는 수많은 암환자들에게 실제로 
    게르마늄을 투여하여 암세포를 억제 시키는데 성공했다는 점 등 많은 예를 들어 
    발표하였다.

    1. 생체의 세포는 반도체가 아니다. 물이 많고 이온이 녹아 있으므로 도체에 가깝다.
    2. 반도체끼리 공존할 수 없으면 현대 반도체 기술은 성립 자체가 불가능하다.
    3. “전기의 극초 미립자의 응집체라고 할 수 있다” : 물론 전자와 이온이 모여 있으니 맞는 말이긴 하다. 그러나 이건 생명체 뿐만이 아니라 모든 물질에 대해 맞는 말이다.
    4. 어떤 반도체가 과전류를 흐를 때 방지하고 전류가 약할때 보강해주는지 궁금하다. 게르마늄이? 저머늄은 안그런데?
    5. 암은 외부 세포가 침입한게 아니라 내부 세포가 돌연변이를 일으켜 형성된다. 또한 암 유발 인자들은 바이러스, 방사선, 흡연 등이므로 대식세포나 항생물질로 잡히는 것들이 아니다.

    저머늄 : 주로 반도체 (이하 위키피디아 참고)

    Unlike most semiconductors, germanium has a small band gap, allowing it to efficiently respond to infrared light. It is therefore used in infrared spectroscopes and other optical equipment which require extremely sensitive infrared detectors. Its oxide’s index of refraction and dispersion properties make germanium useful in wide-angle camera lenses and in microscope objective lenses.

    Germanium transistors are still used in some stompboxes by musicians who wish to reproduce the distinctive tonal character of the “fuzz”-tone from the early rock and roll era. Vintage stompboxes known to contain germanium transistors have shown marked increases in collector value for this reason alone.

    The alloy Silicon germanide (commonly referred to as “silicon-germanium”, or SiGe)is rapidly becoming an important semiconductor material, for use inhigh speed integrated circuits. Circuits utilising the properties ofSi-SiGe junctions can be much faster than those using silicon alone.

    Other uses:

    • Alloying agent (see below)
    • Phosphor in fluorescent lamps
    • catalyst
    • High purity germanium single crystal detectors can precisely identify radiation sources (e.g. for airport security)
    • Germanium substrate wafers for high-efficiency multi-junction solar cells for space applications

    Certain compounds of germanium have low toxicity to mammals, but have toxic effects against certain bacteria. This property makes these compounds useful as chemotherapeutic agents.

    Germanium is useful for single crystal neutron or synchrotron X-ray monochromator for beamlines. The reflectivity has advantages over silicon in neutron and High energy X-ray applications.

    While germanium has been claimed as an attractive nutritional supply, able to cure even cancer and AIDS, FDA research has concluded that the offered supplements “present potential human health hazard”.[1]

    In recent years germanium has seen increasing use in precious metal alloys. In sterling silver alloys, for instance, it has been found to reduce firescale, increase tarnish resistance, and increase the alloy’s response to precipitation hardening (see Argentium sterling silver).

    아, 그런데 중간에 보면

    “While germanium has been claimed as an attractive nutritional supply, able to cure even cancer and AIDS, FDA research has concluded that the offered supplements “present potential human health hazard”.[1]

    라는 말이 있다. “Germanium을 영양학적으로 공급했을 때, 심지어 암과 에이즈도 치료할 수 있다는 썰이 있지만, 미국 식품의약품안전청FDA의 연구는 인체 건강에 잠재적 위험이 있다는 결론을 내렸다.

    그래서 저 [1]이라 붙은 링크를 따라가 봤다. 논문은 9페이지이고 57.64$로 유료에 볼 수 있다. 쳇 -_-;
    논문 요약을 읽어봤더니 다음과 같다.

     

    Hazard Assessment of Germanium Supplements

    Authors: Tao S.H.; Bolger P.M.

    Source: Regulatory Toxicology and Pharmacology, Volume 25, Number 3, June 1997, pp. 211-219(9)

    Publisher: Academic Press

    Abstract:
    Germanium-containing dietary supplements became popular in the 1970s inJapan and later in other countries, as elixirs for certain diseases(e.g., cancer and AIDS). Germanium is not an essential element. Itsacute toxicity is low. However, at least 31 reported human cases linkedprolonged intake of germanium products with renal failure and evendeath. Signs of kidney dysfunction, kidney tubular degeneration, andgermanium accumulation were observed. Other adverse effects wereanemia, muscle weakness, and peripheral neuropathy. Recovery of renalfunction is slow and incomplete even long after germanium intake wasstopped. The total dose of ingested germanium (as dioxide, carboxyethylgermanium sesquioxide, germanium-lactate-citrate, or unspecified forms)varied from 15 to over 300 g; the exposure duration varied from 2 to 36months. In laboratory animals, elevated germanium in tissues andimpaired kidney and liver function were observed in a life-timedrinking water (5 ppm germanium) study. Other toxicities associatedwith ingested germanium products in human cases were also demonstratedin animal studies with germanium dioxide and sometimes other germaniumcompounds. Based on the evidence of persistent renal toxicityassociated with germanium dioxide, the lack of conclusive findings ofdifferential nephrotoxicity of organic germanium compounds, and thepossibility of contamination of the organic germanium products withinorganic germanium, it is clear that germanium products present apotential human health hazard.

    영어의 압박이 있지만, 한번 전문을 번역해 봤다.

    Abstract:
    게르마늄을 포함한 음식 섭취는 70년대에 일본에서, 그리고 그 뒤로 다른 나라에서 마치 특정 질병(예 : 암, 에이즈)에 대한 신비의 만병통치약(엘릭서)으로서 대중화 되었다. 게르마늄은 (영양학적으로) 기본 원소가 아니다. 그 독성은 낮다. 하지만, 적어도 신장 기능 상실이나 죽음에까지 이른 게르마늄 섭취에 대한 31가지 사람의 경우가 보고되어 있다. 신장 이상의 징후, 신장 관 억제, 게르마늄 축적 등이 보고되었다. 그리고 다른 부정적인 효과로 빈혈, 근육 약화, 말초신경 장애가 있었다. 신장 기능의 복구는 아주 느리며 심지어 게르마늄 섭취가 끝나고 아주 오랜 시간이 지난 후에도 완전해지지 않았다. 게르마늄의 섭취 총 량은 15그램에서 300그램 이상까지였고, 복용 기간은 2개월에서 36개월까지 였다. 동물 실험에서, 조직 내의 게르마늄 양의 상승과 신장과 간 기능의 손상이 5ppm의 게르마늄을 물에 타서 먹이는 실험에서 관찰되었다. 사람의 경우 게르마늄 섭취와 관련된 다른 독성이 게르마늄 이산화물과 다른 게르마늄 합성물질을 이용한 동물 연구에서 또한 보여졌다. 게르마늄 이산화물이 신장에 미치는 관련한 항구적인 독성에 관한 증거와, 유기 게르마늄 화합물의 특이한 nephrotoxicity의 결정적 증거의 부족, 무기 게르마늄으로 유기 게르마늄 화합물이 오염될 가능성 등에 기초하여, 게르마늄 화합물이 인체 건강에 잠재적 위험을 제공한다는 것은 분명하다.

    완벽한 번역은 아니지만, 아무튼 위험할 가능성이 꽤 크니까 유기건 무기건 게르마늄 화합물은 먹지 말라는 뜻으로 보인다. 이게 미국의 음모가 아니라면, 게르마늄은 자연적으로 먹게 되는 것을 제외하고서는 안먹는게 좋겠다.

    위키피디아에서 긁어온 설명 중간에 보면

    Certain compounds of germanium have low toxicity to mammals, but have toxic effects against certain bacteria. This property makes these compounds useful as chemotherapeutic agents.

    라는 말이 있다. 포유류에는 저독성이지만 박테리아에는 독성이 있으므로 게르마늄 화합물을 화학 치료법에 사용하기도 한다는데, 이건 의사나 약사같은 의약학 전문가들이 사용하는 방법일 테니까 함부로 쓰면 안되겠다.

  • 난 측면 비판을 받겠어!

    이번엔 과감하게 자기자랑을 할테니, 이건 정면 비판을 피하여 측면으로 비난받겠다는 의도적 글이 되겠다.

    그만님의 글 (

    그만의 블로그 정면 비판!

    )을 읽고, 성실히 반성해 보았다. 그 결과, 걸리는게 없어 난감할 따름이다.

    1. 작은 권력에 흥분하는 완장형 블로거

    메타 블로그 포털에서 상위권에 들어간 글을 몇개 쓴 적은 있지만, 별로 흥분했다거나 유명세를 타고 싶어서 썼다거나 하지는 않다. 나보다 더 많은 추천을 받은 글을 쓴 분들도 많다. 유명해지는 건 나도 바라마지 않는 바이지만, 거기에 비벼볼려고 억지로 글을 쓴다거나 하지는 않는다. 사실 더 많은 사람들이 읽어줬으면 좋겠지만, 구독률 때문에 내 생각을 왜곡될 정도로 심하게 표현할 생각은 없다.

    2. 자기 콘텐츠는 없고 짧은 상념만 있는 사색형 블로거

    짧은 상념이 없진 않다. 꽤 많지만, 내가 창작한 콘텐츠도 많이 있다. 수학이랑 물리 분류에 올라온 글들은 나름 의미있는 글들이라고 생각한다.

    3. 토론은 없고 비방만 넘치는 비난형 블로거

    남을 욕할 때는 그만큼 욕먹을 각오를 하고 돌을 던진다. 물론 방패를 만들기 위해 비난의 근거를 찾아두는 것도 잊지 않는다. 그리고 일단 내 글 중에 다른 무언가를 비난한 글이 많지 않다.

    4. 광고를 덕지덕지 붙여 놓은 낚시형 블로거

    광고 없다.

    5. 펌질과 남의 콘텐츠 빼면 남는 거 하나 없는 복사형 블로거

    명시적인 허락없이 퍼온글 없다. 퍼온글 빼도 남는거 많다.

    6. 우리나라 블로그는 바닥이 좁다고 불평불만만 늘어놓는 자학형 블로거

    바닥이 좁긴 하지만, 별로 불만은 없다. 웹은 넓으니까.

    덕분에 시사적인 문제에 대해서 조금 둔감한 블로그인 것 같기도 하지만, 이공계 문제에 있어서는 이해 당사자인만큼 아무래도 민감해질 수밖에 없다. 아무튼, 앞으로도 그럭저럭 봐줄만한 블로깅을 목표로 열심히 정진하도록 하겠다.

  • 신기한 경험

    믿거나 말거나

    내 전화기 SCH-E560에는 기본 게임으로 고스톱(3인)이 내장되어 있다. 게임을 실행시키려면 처음에 성인인증을 받아야 한다. -_-;

    아무튼 현재 전적은 5522전 2668승 2854패. 셋이서 하는 거니까 기본 승률은 33%가 되어야겠지만 그보다 높으니 나름 성공.

    그런데 어제 이놈이 미쳤다.

    무려, 파토가 났다. 컴퓨터 프로그램이 패를 잘못 나눠주는 경우도 있나?

    아니, 이게, 나는 낼거 다 내고 다른 둘 중에 하나가 스톱을 부르겠거니 했는데 이놈들이 점수를 내질 못하고 나한테 다시 넘어온다. 보통 이 상황에서는 “무승부”선언인데, 낼 것도 없는 나한테 차례가 넘어오더니 게임이 안끝난다. 이런 난감한…

    인증샷을 첨부하고 싶지만 그대로 닫아버려서…;

    다음번에 또 이러면 인증샷 넣어야겠다.

  • 텍스트큐브 건의사항

    이런기능/플러그인이 이미 있으면 알려주시길 바랍니다.

    내가 사용한 태그 갯수 세주세요!

    (끝)

  • 푸리에 변환(Fourier Transformation) #2

    0.벡터(Vector)

    벡터는 공간에서 어떤 점들을 갖고 덧셈을 하고 싶을 때 쓰는 개념이다. 공간은 점을 많이 모아둔 것인데, 점마다 이름이 있다. 점들이 갖고 있는 이름을 좌표라고 부르는데, 흔히 숫자를 많이 쓴다. 굳이 숫자를 쓰지 않아도 되지만 무한히 많은 대상을 표현하는데는 숫자를 사용하는 것이 아무래도 편리하다. 매번 특정 숫자를 놓고 얘기를 할 수 없으므로 수학자들은 아무 숫자나 갖다 놔도 된다는 뜻에서 $$a,b,c…x,y,z, \alpha,\beta…$$등의 이상한 문자들을 숫자 대신 적어둔다. 아무튼, 공간에 있는 점들이 벡터가 되면 그 공간은 벡터 공간(Vector Space)이라고 부른다. 잠깐. 그 전에 벡터가 뭔지 알아야 하는것 아닌가.

    수학적으로 벡터는 다음과 같이 정의된다.(좀 더 엄밀한 정의는 선형대수학 책을 참고하기 바란다)

    어떤 공간을 V라고 하고, 그 안에 x, y, z가 있다고 하면,

    1. x+y가 V안에 있다
    2. x+y = y+x (교환법칙)
    3. x+(y+z) = (x+y)+z (결합법칙)
    4. V안에 0이 있다. 0은 V안에서 x+0=0+x=x인 특징을 가져야 한다. ()
    5. V안에 있는 아무 x에 대하여, x+(-x) = 0이 되도록 하는 “-x”라는 것이 존재한다. (역원이 있다)

      여기까지 만족하면 V는 Abelian Group이 된다. (덧셈이 잘된다는 뜻)

      또한 아무 벡터 x, y와 그냥 숫자 a, b에 대해서
    6. ax가 V안에 있다
    7. (a+b)x=ax+bx
    8. a(x+y)=ax+ay
    9. (ab)x=a(bx)
    10. 1x=x (1은 곱셈에 대한 항등원)

    여기까지를 만족하면 V는 Scalar Multiplication이 잘된다.

    위의 열가지 조건을 모두 만족하면 V가 벡터 공간이 된다. 요약하자면,

    덧셈 잘되고 길이를 바꿀 수 있으면 벡터 공간이라는 뜻이다.


    이것은 우리가 길찾기 할 때 동쪽으로 가고 남쪽으로 가든, 남쪽으로 가고 동쪽으로 가든 상관 없다는 것을 의미한다.

    참고로 $$f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$$인 함수를 모두 모아둔 공간도 벡터 공간이다. 이것은 아주 중요한 얘기이다.

    1.사영(Projection)

    벡터에 대해서 공부하다보면 “내적(inner product)”이라는 개념이 등장한다. 이것은 그냥 두 벡터 사이에 어떤 연관성이 있는지 알아보기 위해서 등장한 것인데, 계산은 단순하다.

    $$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$$ 이고 $$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$$ 라고 하면, 이제 두 벡터에서 숫자 한개를 만들어 낼 수 있다.

    $$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$$

    이런식으로 각각의 성분 순서대로 짝을 지어서 더한 것을 그냥 내적이라고 부른다. 저 가운데의 점 찍은건 그냥 두 벡터 사이의 연관성이라는 뜻을 갖고 있다고 보면 된다.

    수학적으로 내적은 다음과 같이 정의된다. 그냥 a와 b가 벡터 공간에 있는 두 벡터라고 하면 x, y가 벡터이고 k가 그냥 숫자일 때,

    $$=$$

    $$=+$$

    $$=k$$

    $$\le 0$$

    내적이 잘 정의되는 공간을 내적 공간(Inner product space)라고 부른다.

    내적이 잘 이해가 안된다면,

    한 벡터에서 다른 벡터로 빛을 쐈을 때 보이는 그림자의 길이

    를 내적이라는 숫자로 생각하면 된다.

    2.벡터 공간의 기저

    basis : 기저

    3차원 공간에는 방향이 3개 있다. 물론 n차원 공간에는 방향이 n개 있다. 이렇게 말할 수 있는 이유는 적당한 벡터 3개만 있으면 3차원 공간에 있는 모든 벡터를 그 3개의 1차 결합으로 표현할 수 있기 때문이다.

    1차 결합이란 다음과 같다. a와 b가 숫자이고, x와 y가 벡터이면 ax+by는 당연히 벡터 공간 안에 있는 다른 벡터인데, ax+by는 x와 y의 1차 결합으로 표현된 벡터이다.

    앞서 예를 들었듯이 함수를 모아둔 공간도 벡터 공간이다. 예를들어 sin(x)와 cos(x)가 실수에서 실수로 가는 함수라면, sin(x)+4cos(x)도 실수에서 실수로 가는 함수이므로, 벡터로서 잘 더해진 것이다. 그런데 이런 공간에서 방향을 찾는다는 것은 어떤 것일까? 한가지 우리가 생각해볼 수 있는 힌트는 3차원 공간에서 방향 3개는 서로 독립적이라는 것이다. 예를들어, 남쪽 방향에 있는 집은 때려 죽여도 동쪽으로 가서 찾을 수 없다. 벡터에서 이런 것을 서로 독립이라고 말하며, x, y가 벡터이고 a가 숫자일 때 y=ax인 a가 한개도 없는 것을 말한다.

    가령, 남쪽 2층 집은 “남쪽” 벡터와 “위” 벡터 두개를 적당히 조합하여 만들 수 있다. 그러나 동쪽집은 남쪽 벡터와 위쪽 벡터로는 절대 도착할 수가 없다. 만약 남쪽, 동쪽, 위쪽 벡터를 갖고 있으면 우리는 어느 집이나 갈 수 있다. 남쪽으로 100미터, 동쪽 반대(서쪽)로 50미터, 위로 4층 등등. 이렇게 되는 경우 3차원 공간은 3개의 벡터로 완전히 표현된다고 말한다.

    함수들에서도 이런 관계를 찾을 수 있는데, sin(x)에 어떤 숫자를 곱하더라도 cos(x)가 나오지는 않는다. 따라서 이 두 함수는 서로 독립이다. 그렇다면, 함수로 이루어진 벡터 공간은 방향이 몇개일까? 어려운 얘기지만, 일반적으로 무한히 많은 방향을 가질 수 있다. 감히 서너개 정도의 방향으로 상상해볼 범주가 아닌 것이다. 그래서 수학자들은 이러한 방향에 대해 생각하다가 규칙을 찾게 되었다.

    무한히 미분 가능한 매끄러운 함수들을 표현하는데 가장 편한 것은 테일러 급수이다. 여기서는 $$x^n$$형태의 함수들이 방향을 표현하는 기본적인 함수가 된다. 이것들은 마치 (1,0)이나 (0,1)처럼 함수 공간을 표현해주는 기본 함수가 된다. 하지만 이런 함수들은 문제가 있는데, 서로 직각을 이루지 않는다는 것이다. 엥? 직각? 눈에 뵈지도 않는 함수 공간에서 웬 직각?

    sin(x)와 sin(2x)는 서로 다른 방향을 가리키는 함수다. 이것은 앞서 얘기한대로 어떤 숫자를 곱하더라도 어느 하나를 다른 하나로 바꿀 수 없다는 뜻이다. 수학자들은 이 두가지 벡터 사이의 각도를 재는 방법을 고심하다가 이 함수라는 것이 무엇인지 깨달았다. 함수는 수열의 확장판인데, 수열은 벡터인 것이다. 즉 벡터를 (1,2,4)처럼 유한한 것만이 아니라 (3,4,1,4,5,2,7,7,8,…)등으로 무한 차원에서는 무한히 길게 적을 수 있으므로 저 각각은 수열이다. 그런데, 수열은 첫번째, 두번째 등으로 순서를 매겨서 그 순서에 해당하는 숫자를 정해준 것이다. 그리고 함수는, 조금 단순히 말하자면 그 첫번째, 두번째의 사이사이에 모든 숫자를 다 넣어준 것이라고 보면 된다. 따라서, 벡터의 내적을 찾을 때 첫번째 끼리 곱하고, 두번째 끼리 곱해서 짝맞춰서 곱한걸 모두 더했으므로 함수도 마찬가지 방법을 이용하면 된다. 그리하여 두 함수 f(x)와 g(x)사이의 내적은, x번째 짝을 맞춰서 곱한 f(x)g(x)를 모두 더한 $$\int dx f(x)g(x)$$ 가 되는 것이다. 이 내용이 어렵다면, 아무튼

    두 함수 사이의 각도를 잴 수 있다

    는 것만 알아두자.

    어떤 두 벡터를 내적시키면 다음의 관계가 성립한다.

    $$\vec{A}\cdot\vec{B} = \mid A\mid \mid B \mid \cos\theta$$

    따라서 각도 $$\theta$$를 알아낼 수가 있으며, 만약 내적이 0이면 두 벡터는 직각을 이룬다고 부른다. 다른건 몰라도 직각인지 아닌지는 확실히 알 수 있다.

    직각인 두 벡터는 서로 끼어들어가는 성분이 없다. 즉, A에다가 B를 백날 비춰봐야 그림자가 생기지 않는다는 뜻이다. 쉽게 말해서, 남쪽으로 달려가면 아무리 달려가도 동쪽으로는 단 한발짝도 움직여지지 않는다는 뜻이다.

    함수공간에서는 이러한 직교하는 기저 벡터들을 찾아내는 것이 아주 중요한데, 수학자들이 여러가지를 찾아내서 자기 이름을 붙여놨다. Legendre, Laguerre, Hermit, Hankel…

    그리고 우리의 영웅 Fourier도 직교하는 기저 벡터들을 찾았는데, 안타깝게도 Fourier가 찾아낸 것은 삼각함수들이라 그냥 삼각함수라고 부르게 되었다. 너무 오래전부터 써 오던거라 이름을 바꿀 수가 없었다. sin 함수를 Fourier 1번 함수라고 부르면 어색하잖아.

    sin(ax)*sin(bx)라는 함수를 모든 구간에서 적분하면, a와 b가 같지 않으면 반드시 0이 된다. cos끼리 곱한 것도 마찬가지이다. sin과 cos을 곱한 것은 a와 b에 상관 없이 반드시 0이다. 따라서 삼각함수는 모든 함수를 표현할 수 있는 직교 기저가 된다!

    푸리에의 정리 : 모든 연속함수는 삼각함수의 선형 결합으로 표현할 수 있다.

    푸리에 변환 : 주어진 함수를 삼각함수의 선형 결합으로 표현할 때, 그 결합을 표현하는 계수만 골라내서 새로운 함수로 간주한다. 이것을 푸리에 변환이라고 부른다.

    (3편에서 이어집니다…)

  • 영어 블로그를 시도해 볼까

    영어로 된 블로그를 한번 꾸며볼까 생각해 봤다. 내용은 물론 이 블로그 글들의 번역. 어차피 새로 쓰나 그냥 쓰나 그게 그것이니. 언젠가는 한글로 쓰지 않고 곧장 영어로 작성하는 essay도 쓸 날이 오겠지.

    그리하여, 남아있는 티스토리 초대장으로 분점을 내볼까 생각중인데, 도메인 이름으로 무엇이 멋지려나.




    melotopia.tistory.com


    : melotopia니까


    snowall2.tistory.com


    : 단순히 snowall 2호점이라는 뜻으로


    nambach.tistory.com


    : 미국에서 쓸 예정인(?) 닉네임. 남-박 이라 불러주세요.


    nam.tistory.com


    : 그냥 성만 따서?


    susy.tistory.com


    : super-symmetry의 약자 susy. 외우기도 쉽다. 이쁜 이름이기도 하고.

    내 개인적인 선호도 순서로 적긴 했는데, 사실 짧은 주소가 외우기도 쉽고 좋은데. 댓글로 투표좀 해주세요.

    —————-

    투표 결과에 따라

    susy.tistory.com

    으로 낙찰되었습니다. ㅋㅋ 투표에 참여해주신 모든 분들께 감사드립니다.


  • 일곱하기 일

    일곱하기일은일

    일곱하기일곱하기일은일

    일곱하기일곱하기일곱하기일은일

    일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일은일

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    일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일은일

    일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일은일

    10명중 7명은 직장에 들어간다~

    세상은 일의 시대 ~

    일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일은일

    일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일은일

    일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일곱하기일은일

    일을 하라.

    —————————–

    해보고 싶었다. 이런거.

    이걸 수학 카테고리에 넣을지 감상/노래 카테고리에 넣을지 전략에 넣을지 잡담에 넣을지 20초간 고민했다.

    결국 일은 항등원이므로 수학에 넣었다.

  • 미래는 지식 사회가 아니다

    낚시성 제목을 일부러 붙여봤다.

    말장난이 될 수도 있지만, 미래는 지식 기반이 아니라 지혜 기반의 사회가 될 것이다.

    지식이라는 것은 지혜와 다르다. 예를 들어, 대상 A에 관한 지식은 A가 어떤 특성을 갖는지 알고 A를 잘 다룰 수 있도록 하는 정보를 말한다. 대상 A에 관한 지혜는 A가 어떤 특성을 갖는지 살펴볼 수 있는 능력을 말한다.

    지혜 기반의 사회란 사람들이 행동할 때 지식뿐만 아니라 지혜를 동원하여 자신의 단기적인 이익만 추구하지 않고 자신의 행동으로부터 도출될 수 있는 많은 결과들을 예상하여 지속 가능한 이익과 다른 사람과 함께 성장하는 것을 모두 추구하는 사회를 뜻한다.

    지금은 안그러냐고? 글쎄. 대통령 선거판을 보고 있다보면 그런 느낌은 안드는데. 블로고스피어에 터져 나오는 이슈를 봐도 그런 느낌은 안들고. 인터넷 뉴스를 봐도 그런 느낌은 안든다.

    멀리 보고 크게 생각하라고 맨날 강조하는데, 강조만 하고 보지는 못하는 것 같다. 아무튼, 지혜로운 사람이 성공하는 시대가 올 것이다. 아니, 지혜로운 사람은 성공할 것이다.

  • 갈색추억 (한혜진)

    희미한 갈색 등불 아래 싸늘히 식어가는 커피잔

    사람들은 모두가 떠나고 나만홀로 남은 찻집

    아무런 약속도 없는데 그사람 올리도 없는데

    나도 몰래 또다시 찾아온 지난날 추억속의 그찻집

    우리는 나란히 커피를 마시며 뜨거운 가슴 나누었는데

    음악에 취해서 사랑에 취해서 끝없이 행복했는데

    *어느날 갑자기 그대는 떠나고 갈색등불 빛만 남아

    외로운 찻잔에 싸늘한 찻잔에 희미한 갈색추억*

    *~* 2번 반복

    ————————

    한국음악중에 가사도 괜찮고 음악도 괜찮은 노래.

  • 태터툴즈 건의사항 : 댓글 저작권

    태터툴즈 플러그인 중에 콜백callback 플러그인이 있다. 이것은 글을 퍼갈 경우 플래시를 통해서 원 저작자의 블로그로 돌아오는 링크를 제공하는 플러그인이다. 물론 Html을 직접 수정하면 관련 플래시 부분을 없앨 수 있지만



    [각주:

    1

    ]



    이번에 댓글을 긁어다가 글 하나 쓰면서 느낀 점인데, 콜백 플러그인이 댓글까지 확장되면 어떨까 싶다. 댓글도 저작권이 있는데 말이다.

    그럼 재밌을 것 같다.

    1. 내가 내 글을 퍼다가 다른데 올릴때 나름 귀찮다 -_-;

      [본문으로]