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캐리비안의 해적 스포일러가 있습니다.

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질문은 다음과 같다.

주관적인 기준 이외에 별다른 판정 기준이 없는 상황에서 참여한 사람 전원이 수긍하고, 받아들여야만 하는 대표 선정 방법이 있는가?

그러니까, 9명중 1명만 뽑아야 하는데, 주사위를 던지는 방법 이외에 모두가 동의할만한 공정한 선정 방법이 존재하느냐는 질문이다.

생각해보자. 모두가 자신이 뽑히기를 원하고 다른 사람이 뽑히는 것을 원하지는 않는다. 그러므로, 위의 민주적인 투표 방식에 의해서는 아무도 선출될 수 없다. 저 방법을 약간 변형해서, 누구나 쉽게 생각할 수 있는 방법은 자신에게 투표하는 것을 금지하는 인기투표 방법이다. 이 경우, 9명이 있으면 자기 자신을 제외한 8명중 한명에게 표를 던져야 한다. 하지만 이 경우에도 문제는 있는데, 9명이 모두 같은 숫자의 표를 얻을 가능성이 분명히 존재한다는 것이다. 따라서, 어떤 경우에도 1명만 고를 수 있는 방법이 아니게 된다. 여기에 만약 제 3의 존재가 있다면, 다른 사람들의 의견과 상관 없이 제 3의 존재가 모든 결정권을 갖게 된다고 할 수 있다.

지난번 국회의원 선거 때의 의석수 배분에서 보여졌었는데, 한나라당과 열린우리당이 거의 절반씩 차지해서 어느 한쪽이 우세수를 점하지 못하는 상황에서, 민주노동당이 10석 정도를 점유하여 찬/반의 임계값을 좌지우지 할 수 있는 힘을 갖게 된 적이 있었다. 즉, 모든 구성원이 충분히 이기적이고 논리적이라면, 아주 작은 차이가 전체의 추세를 좌우할 수 있게 되는 일이 벌이지게 된다.

가장 쉬운 예를 들어, 단 두명 중에서 한명을 선발한다고 하자. 양쪽 모두 욕심을 내고 있으며, 어느 한쪽이 양보하는 것은 어렵다. 그러나 둘이 합의하는 공정한 방법에 의해서 한명이 결정된다면 따르기로 하였다. 이 상황에서, 어떤 규칙이 가능할까?

*답이 없다.

이글은 내 유서가 아니다. -_-;

생각해보니, 유서는 죽고나서 공개되는 것이다.

티스토리는 글의 공개 날짜를 설정할 수가 있다. 텍스트큐브도 되겠지.

아무튼, 공개 날짜를 미래로 밀어버리면 그 날짜가 지날때까지는 공개가 되지 않는다.

자신이 50년쯤 뒤에 죽는다 해도, 앞으로 50년간 열심히 블로그를 관리할 사람이라면 모레쯤으로 공개일을 설정해서 유서를 써 두는건 어떨까. 그리고 매일매일 하루씩 늦추는 것이다.

유사시에는, 내가 하루 이상 블로그 접속이 불가능할 것 같은 경우에는 미리미리 한두달 뒤로 넣어두고. 군대를 가야 한다면…3년쯤 미뤄두자. -_-;

그러나 내가 그런 관리가 불가능해지게 되는 날이 오면, 유서가 공개되는 것이다.

흠. 실수로 날짜관리 잘못하면 살아있는 나의 유서가 만천하에 공개되는 비극이 벌어지겠지만.

아무튼 유서는 관리자로 접속하면 항상 첫 화면에 보일테니까, 자신의 삶을 매번 각성하면서 살아갈 수 있는 좋은 강화제가 되지 않을까.

우린 항상 손가락을 접어가면서, 또는 펴면서 “하나, 둘, …” 이렇게 셈을 한다. 이렇게 세는 것으로 10까지 셀 수 있다. 옆사람을 도입하면 20까지도 셀 수 있다. 가령, 전 세계 인류를 모두 동원하면 대략 120억까지는 셀 수 있다. 하지만 그래도, 항상 부족하다. 숫자의 끝까지 세려면 인류가 아무리 많아야 소용없다. 그래서 사람들은 숫자를 만들었다. 세다보니 몇개나 되는지를 말로 쓰게 되고, 말을 기록으로 남긴 것이 문자인데 문자 중에서 몇개인지 쓰는 부분에 해당하는 기호를 숫자라고 부른다.

해서, 아무튼 세다보니 숫자가 발명되었는데, 문제가 생겼다. 몇개인지 세다보면 마주치는 문제가, “여기에 있는 계란이 저기에 있는 계란보다 두배 많은데, 저기에 계란이 열개가 있으면 여기엔 대체 몇개가 있을까?”와 같은 갯수를 모르는 경우에 대해 푸는 문제이다. 이것을 방정식이라고 부르고, 방정식의 해를 찾는 수학을 대수학(Algebra)이라고 부른다. 그런데 수학을 하다보면 항상 문제를 만들어 내게 된다. 예를 들어보자. 자를 갖고서, 가로로 한칸, 세로로 한칸 가는 정사각형을 만들었는데 대각선 길이를 알고 싶은 거다. 자로 재보니까 두칸은 좀 안되는데, 그렇다고 한칸은 넘고. 해서 대충 한칸 반이라고 했는데, 한칸 반보다는 아무리 봐도 약간 모자라는 것이다. 이 문제를 처음으로 도전했던 사람이 피타고라스고, 피타고라스와 그의 제자들은 이 문제를 땅속에 묻었다. 아무튼 그 사람은 가로가 세칸, 세로가 네칸인 직사각형의 대각선 길이가 다섯칸이라는 사실을 알고 있었다. 해서, 이런 문제를 풀다 보니 갯수 세는데 하등의 쓸모가 없는 무리수가 등장한 것이다. 사실 유리수의 등장은 그다지 신기하지가 않다. 왜냐하면 이집트에서는 단위분수로 숫자를 나타내는 방법이 이미 사용되고 있었으므로, 언제나 자연수를 분모와 분자로 가지는 분수로 표현 가능한 유리수들은 그다지 무서울 것이 없다. 하지만 무리수는 다르다. 아무리 끝장을 보려고 해도 끝이 없고, 아무리 정확히 쓰려고 해도 오차가 생긴다. 즉, 피타고라스는 무리수에 대해서 정확히 알 수 없다는 것을 굉장히 두려워한 것 같다.

아무튼 숫자에는 유리수와 무리수가 있고, 이들을 합쳐서 실수(Real number)라고 부른다.

실수는 숫자의 집합이다.

집합이라는 것을 생각한 다음에는, 항상, 그리고 습관적으로, 그 집합이 가지고 있는 원소의 갯수를 세고 싶어한다. 따라서 수학자들은 실수의 갯수를 세기 위해 도전했다.

우선 자연수가 무한히 많다는 것은 증명되어 있었다. 페아노의 공리계에 의하면

자연수 n은 항상 그 다음 숫자인 n+1을 가진다. 또한 1은 어떤 숫자의 다음 숫자도 아니다.

따라서 자연수는 무한히 많다.

실수는 어떻게 셀까? 일단, 두 집합에서 1:1대응 관계를 단 1개라도 발견할 수 있으면 두 집합의 “기수(Cardinality)”가 같다고 한다. 이때, 기수는 무한 집합에서 갯수를 말하는 용어이다. 원래는 기수라는 단어로 써야하지만 난 그냥 친숙하게 갯수라고 부르도록 하겠다.

자연수와 정수는 대응 관계가 있다.

1. 0
2. 1
   
3. -1
4. 2
5. -2
6. …

등등. 짝수일 때는 양수, 홀수일 때는 음수, 짝수인 경우는 반으로 나누고, 홀수인 경우는 1을 빼서 반으로 나누면 항상 대응시킬 수 있다. 물론 이렇게 하지 않고 다르게 할 수도 있다.

1. 1
   
2. 0
   
3. -1
4. -2
5. 2
6. …

규칙을 뭐라 말하기는 힘들지만, 이 경우는 원형으로 소용돌이치면서 돌아가는 듯한 느낌으로 대응시키는 것이다.

유리수는? 약간 복잡하지만 규칙을 찾을 수 있다. 어차피 분모랑 분자랑 정수로 떨어지기 때문에, 잘 대응시키면 분모와 분자를 이루는 숫자 2개에서 숫자 1개로 가는 1:1 함수를 찾아낼 수가 있다. 1:1함수라는 뜻은, 숫자 1개를 주면 원래의 숫자 2개가 뭔지도 알아낼 수 있다는 뜻이다.

실수를 보자. 이 실수의 갯수에 대해 논의한 사람이 칸토어다. 증명은 다음과 같다. 실수를 셀 수 있다고 가정하자. 즉, 자연수에 1:1대응을 시킬 수 있다고 하자. 그럼, 0과 1사이의 실수에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

1. 0.
   
   2
   
   9462486294862…
2. 0.3
   
   8
   
   6478472184785…
3. 0.93
   
   8
   
   9786517486714…
4. 0.913
   
   8
   
   57198571486…
5. 0.9459
   
   6
   
   8194614614…
6. 0.49847
   
   2
   
   646276545
7. …

뭐, 쓰자면 끝도 없겠지만, 아무튼 다 할 수 있다고 했으니 다 했다고 하자. (가정이다!)

이제, 난 저 목록에 없는 숫자를 만들 수 있다.

0.399973…

이 숫자가 저 목록에 없다는 것은 확실하다. 왜냐하면, 첫번째 자리는 1번 숫자랑 다르고, 두번째 자리는 2번 숫자랑 다르고, … 이런 식으로 n번째 자리는 n번째 숫자와 다르게 할 수 있다.

어떤 n을 갖고 오더라도, 아무리 황당하게 큰 n을 들고 오더라도, 난 그 n번째 숫자와 n번째 자리가 다른 숫자를 제시할 수 있기 때문에 상관 없다. 내가 만들어낸 숫자는 목록에 없다.

아, 딱 떨어지면? 가령 0.5랑 5번째 자리가 다른 숫자는 어떻게 하냐고? 0.50001이면 된다. 아무 문제 없다.

아무튼, 그래서 저 숫자를 적당히 끼워넣자. 목록이 부실하면 채워 넣어야지.

하지만 여전히 또 다른 숫자를 찾아낼 수 있다. 왜? 똑같은 작업을 한번 더 하면 되거든. 따라서 저 목록은 아무리 잘 만들어도 부실한 목록일 수밖에 없다.

따라서, 자연수는 실수보다 훨씬 적다.

이것은 무한이라고 해서 다 같은 무한이 아니라 규모에서 차이가 생긴다는 것을 알 수 있다.

근데 문제가 생긴다. 연속체 가설(Continuum Hypothesis)이라고 하는, 풀 수 없다는 것이 증명된 문제이다.

자연수의 갯수와 실수의 갯수 사이의 갯수를 가지는 어떤 집합이 존재한다.

이 가정은 어떠한 수학적 공리계와도 모순을 일으키지 않는다. 심지어, 이 가정의 부정형 (~존재하지 않는다)도 모순을 일으키지 않는다. 그리고 이것은 폴 코헨에 의해 증명되었다.


http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%B0%EC%86%8D%EC%B2%B4_%EA%B0%80%EC%84%A4

교류전류는 다음과 같이 표현된다.

$V=V_0\sin(\omega t)$

사인함수나 코사인함수같은 삼각함수는 한주기동안 적분하면 0이다. (해보시라)

보통은 rms값을 사용한다. rms값은 root-mean-square 값이다. root-mean-square는 제곱한 숫자의 평균의 제곱근이다. 즉 제곱해서 평균을 내고 제곱근을 취한 것이다. 따라서

$ V_{rms}^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}V_0^2\sin^2(\omega t) dt$

물론 이 적분은 아주 쉽게 계산할 수 있는데

$ V_{rms}^2 = \frac{V_0^2}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}-\frac{\sin(2\omega t)}{2} dt$

이 적분은 암산으로 계산하면 $\frac{2\pi}{2}$ 이다. 따라서 $V_{rms}=\frac{V_0}{\sqrt{2}}$이다.