어떤 사진작가가 흥미로운 실험을 했다. 크래용의 색은 어떤 색일까?
그의 블로그에 올라온 그래프를 참조한다면 다음과 같다.
이 그래프를 해석하는 방법은, 가로축은 파장(=색)이고 세로축은 그 파장을 반사하는 정도이다. 물론 세로축이 로그 그래프로 되어 있기 때문에, 그래프에서 보여지는 차이는 엄청난 차이이다.
잘 보면 yellow-green과 green-yellow의 차이를 발견할 수 있다. 두 색은 붉은색 영역(파장이 긴 영역)에서 차이가 나타난다.
사용한 크래용은 크레욜라의 24색 크래용이고, 분광분석기(Spectrophotometer)가 사용되었다. 저 장비는 우리 옆 실험실에도 있긴 한데, 저렇게 써볼 생각은 못했네…
과학자라면 저런걸 연구해야 정말 재미있는데.
http://www.hankookm.com/08/01.php?table=es_free5&mode=view&uid=8&skind=
대체로 비타민C는 몸에 좋다.
http://doctorvitamin-c.co.kr/health4-5.shtml
비타민C를 찬양하는 글도 있다. (물론 비타민C는 몸에 좋다.) 밥먹을 때 비타민C를 같이 먹으라는 내용이 있다.
http://www.cancerline.co.kr/html/2504.html
이런 글을 보면 밥먹을 때 비타민C를 같이 먹으면 발암물질이 형성될 수 있다고 한다.
논란…
http://www.hani.co.kr/section-014005506/2001/07/014005506200107021808020.html
http://www.hani.co.kr/section-014005506/2001/06/014005506200106201649010.html
바빠서 관련된 논문을 읽어보지 못했다. 그러나 한번 찾아서 읽어본다면 흥미로운 것들을 볼 수 있지 싶다.
자신의 인생을 스스로가 평생을 걸쳐 열심히 만들어 갔다면, 이것도 명품의 범주에 들어간다. 그러니 열심히 살면 대체로 그 인생은 명품이다.
피타고라스의 정리: 직각삼각형에서 직각의 대변의 길이의 제곱은 다른 두 변의 길이를 각각 제곱한 것의 합과 같다.
증명: 생략.
문제는, 저건 물리학을 잘 모를 때 쓴 글이라, 이미 “할만큼 했다”고 생각하는 사람에게는 적용되지 않는다.
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쉬운 문제는 하찮아 보이고 어려운 문제는 풀기가 귀찮아 진다. 인터넷의 발달로, 웬만한 문제들은 검색부터 하게 된다. 매너리즘에 빠진 상태에서는 공부를 어떻게 해야 하는가. 물리학을 중심으로 알아보자.
…다음 시간에.
1. 독서부터 시작
단 한순간도 빼놓지 않고 뭔가를 읽어야 한다. 신문, 잡지, 소설 등 매체와 장르를 가리지 말고 무조건 많이 읽는다. 고1 국어 성적이 50점 이하라는 것은 기본적인 한국어 독해가 안된다는 뜻이다. 즉, 한글로 되어있는 글자를 여러개 읽었으나 단어와 단어, 문장과 문장 사이의 관계를 전혀 파악하지 못한다는 뜻이다. 이 간극을 메꾸기 위해서는 눈에서 피눈물이 나도록 읽어야 한다. 시험기간을 제외한 모든 시간을 투자해서 독서를 해야 한다. 그냥 읽으면 의미가 없으며, 하나의 문단을 읽고 하나의 문장으로 요약하는 연습을 한다. 한 페이지를 읽을 때마다 다시 하나의 문장으로 요약한다. 그리고 글 전체를 읽은 후에 다시 하나의 문장으로 요약하는 연습을 한다. 신문의 경우 첫면부터 끝면까지 한장도, 한개도 빼놓지 않고 꼼꼼히 정독한다. 기한은 최소 6개월.
2. 질문
이해가 되지 않는 모든 것을 질문한다. 아무리 간단한 것, 사소한 것, 남들 다 아는 것이라도 스스로 이해가 되지 않는다면 질문한다. 전에 가르쳐 줬던 것이라도 모르겠으면 반복해서 질문한다.
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각 과목 선생님에게 가서 물어보자. “너 저리 가!”라고 할 때 까지. 저리 가라고 하면, 반에서 1등을 공략한다. 반에서 1등이 저리 가라고 하면, 2등에게 물어본다. 선생님과 친구가 다 떠나면 snowall에게 물어보면 된다. 이해가 될 때까지 기초부터 가르쳐 줄테니. 기한은 인생에서 공부 끝날 때까지
3. 공부 일기
스스로 오늘 무슨 공부를 몇시간 했는지 써야 한다. 전체 공부한 시간을 측정하는 것도 있고, 앞서 말한 독서의 빠르기를 향상시키기
위해 눈에 보이는 수치를 적어야 한다. 즉, 신문 읽는데 몇시간 걸렸는지, 책 한권을 읽는데 얼마나 걸렸는지 적당히 기록해
둔다. 수업 듣다 졸았으면 졸았던 시간을 계산해서 적는다. 자신이 어떻게 공부하고 있는지 파악하기 위해서 무조건 매일 기록할 것.
그날 누군가에게 질문한 내용과 그 답도 요약해서 적어둔다. 기한은 인생에서 공부 끝날 때 까지.
4. 시험 공부
선생님이 나눠준 요점정리와 칠판 필기 내용을 모두 암기한다. 내가 자주 사용하는 암기법은 처음부터 무한반복법인데, 예를들어 전체 외워야 할 내용이 ABCD라고 한다면, 일단 A를 노트에 써가면서 완벽히 써질 때 까지 외우고 그 다음 AB를 써가면서 외운다. 마찬가지로 ABC, ABCD를 반복한다. 보지 않고 전부 내용을 노트에 다시 써내려갈 수 있을 때 까지 반복한다. ABCD를 나누는 단위는 공책 기준으로 반페이지나 1/4페이지 정도가 적당하다.
5. 수학 공부
http://snowall.tistory.com/1805
그 외의 각 과목별 상담은 나중에. 그리고 국사, 한자, 중국어는 내 동생에게.
물론, 일반인들도 고등학교를 정상적으로 다녔으면 행렬의 연산에서 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하지 않는다는 사실을 배운다. 그러나 과연 그것이 “곱셈”일까? (그리고 고등학교 졸업하고 기억하는 사람은 없다.)
덧셈이나 곱셈은 어릴 때 부터 배우는 가장 기본적인 대수 연산이다. 그리고 어릴 때에는 항상 체(field)인 집합으로만 대수학을 배우기 때문에 교환법칙이 성립하는 것은 너무나 당연한 일이다.
예를 들어, “철수가 사과 3개를 먹고, 다시 5개를 먹었다. 철수는 모두 몇개의 사과를 먹었는가?”
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라는 문제에서, 3+5=8이라는 대수적 연산을 할 수 있다. 그런데, “철수가 사과 5개를 먹고, 다시 3개를 먹었다. 철수는 모두 몇개의 사과를 먹었는가?”라는 문제는 명백히 5+3=8이라는 대수적 연산으로부터 문제를 해결하게 된다. 5+3=3+5라는 덧셈의 교환법칙이 성립한다. 그리고 그 이후로 교환법칙이 성립하는 문제들만 거의 10년을 공부하게 된다. 그러니까 행렬을 공부할 때 왜 불편하게 교환법칙이 성립하지 않는지 이해하는 것은 그 자체로 꽤 성가신 일이다.
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이런것들을 좀 더 통합적으로 살펴보려면, 집합 안에 있는 대상들을 수로 바라볼 것이 아니라 각각을 연산으로 바라보는 것이 편하다. 가령, “3+5″라는 연산은 “3에 +5를 시행한 것”이라고 생각할 수 있다. 그렇다면, 임의의 자연수 n에 대해서 어떤 자연수 m을 더하는 연산, 즉 n과 m의 모든 짝에 대해서 연산과 결과물이 있어야 한다는 건데 그럼 너무 낭비가 된다. 그래서, 모든 연산을 임의의 자연수에 대해 +n이라 생각하고, “+3+5″처럼 생각하자는 것이다. 물론 저 연산의 대상은 언제나 항등원이다. “0+3+5″로 생각하면 된다. 이런 방식으로 생각하는 것은 행렬의 곱셈을 이해할 때 조금 도움이 된다. 항등원 E에 대해서 두 행렬 A와 B를 연산한 것이 “ABE”가 되는데, 이것은 E에서 출발해서 B와 A를 순서대로 적용한 것이다. 반대로 BAE는 E에서 출발해서 A와 B를 순서대로 적용한 것이 된다.
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행렬은 그 자체로 변환을 표현하기 때문에, ABE는 어떤 변환에 관한 표현이다. 대표적으로, 2차원에서 회전변환을 2차 정사각 행렬로 나타낼 수 있다. 그리고 흥미롭게도, 2차원에서의 회전 변환에 관한 행렬들은 행렬로 이루어진 연산이지만 곱에 관한 교환법칙이 성립한다.
3차원에서의 회전 변환은 교환법칙이 성립하지 않는데, 어떤 물체를 위에서 봤을 때 60도 돌리고 옆에서 봤을 때 40도 돌린 것과, 옆에서 봤을 때 40도 돌리고 그 다음에 위에서 봤을 때 60도 돌린 것은 서로 다르다.
연산이라는 걸 어떻게 바라보아야 할까? 어떤 물건을 조립할 때에도 조립 순서가 있다. 3+5=8이 될 때, 조립이라는 관점에서 바라보면 8을 만들기 위해서 0에 3을 더하고, 다시 5를 더하는 순서로 작업을 진행해야 한다. 그리고 특별히, 이 경우에는 0에 5를 먼저 더하고 3을 나중에 더해도 8을 조립할 수 있다. 그러나 전화를 걸 때, 전화를 걸고 상대방이 받으면 말을 해야지 말을 먼저 해놓고 상대방이 받은 후에 전화를 걸 수는 없다. 다시 말해, 8은 어떤 연산의 결과물이 아니라, 작업 설명서에서 목표로 하는 지향점이 되고 3+5는 그 목표를 달성하기 위한 작업 순서가 된다. 이 관점에서 모든 대상을 바라보면, 이제 세상이 대수적으로(algebraic) 보인다.
그리고 한가지 알아두면 좋은 건, 대수적인 세계의 모든 것은 행렬을 사용해서 표현할 ??있다는 점이다. 물론 고등학교 때 배운 2차 정사각 행렬로는 표현이 안되지만, 그래도 케일리-해밀턴 정리는 유용한, 그런 세상이다.
근데 난 대수학은 잘 못하는데 왜 이런글을 쓴 걸까. (수학과 수업 중 정수론이 성적이 제일 낮고(D), 대수학이 그 다음(B+)이다.)
정답은 아래 링크 참조.
http://www.ceid.upatras.gr/courses/probweb/lectures/lecture16.ps