Super Sexy CPR
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훈련소 가서 이런것도 배웠었다.
참고 : CPR은 Cardiopulsary Resuscitation의 약자로, 우리말로는 “심폐소생술”이다. 위의 동영상은 CPR교범이다. 훈련소에서 저걸로 배웠으면 교육효과가, 과장 없이 200%정도 되지 않았을까.
http://www.skepticalleft.com/bbs/board.php?bo_table=01_main_square&wr_id=88338
써봤는데, 쓸만한것 같다. (벌써 엄청난 사람들이 사용중인 언어인데 쓸만하지 않을리 없지…-_-;)
kldp.org 에 올린 답.
http://kldp.org/node/118661
동전을 던져 보죠.
나는 앞/뒤를 동전을 던져서 결정하고, 추첨은 동전을 던져서 앞/뒤가 나오는 겁니다.
그럼 4가지 경우가 있습니다.
앞-앞
앞-뒤
뒤-앞
뒤-뒤
4가지 경우 중, 당첨은 2가지 경우, 낙첨은 2가지 경우이므로 50%의 당첨 확률이 있습니다.
이걸 여러번 하는 것이 내가 로또 번호를 랜덤하게 선택하고, 로또 추첨기도 번호를 랜덤하게 선택하는 경우입니다.
이번엔 로또 번호를 고정해 봅니다. 나는 “앞”만을 고릅니다.
그럼 두가지 경우가 있죠
앞-앞
앞-뒤
2가지 경우 중 당첨은 1가지 경우이므로 50%의 당첨 확률이 있습니다.
동전 던지기와 로또 시스템은 다르지 않은가? 라고 생각한다면, 이렇게 해 보죠
로또 번호가 46개중 6개를 고르는 시스템인데, 그럼 나도 로또 추첨기를 하나 사서 로또 번호를 선택하고, 로또 추첨에서도 추첨기를 사용합니다.
그럼, 당첨될 확률은?
46개중 번호 6개를 골라서 만들 수 있는 경우의 수를 n가지 있다고 해 보죠. 그걸 적당한 순서대로 늘어놓습니다.
내가 가진 로또 추첨기는 그 n가지 경우의 수 중 1개를 고르는 겁니다. 대략 800만개중 1개를 찍는거죠. 따라서 이 문제는 800만개의 공 중에서 1개를 고르는 문제가 됩니다.
로또 추첨에 쓰는 로또 추첨기 역시 그 800만개중 1개를 고르는 겁니다.
그럼 “당첨 확률”은?
대충 보면, 가능한 전체 경우의 수는 n*n가지 경우가 있는데, 그중 당첨되는 경우는 n가지 경우입니다. 따라서 n/(n*n) = 1/n
만약 내가 고정된 번호만을 고른다고 하면, 당연히 당첨 확률은 1/n입니다.
따라서 매주 번호를 바꾸든 말든 로또 당첨 확률은 전혀 변하지 않습니다.
이건 참인가?
여기서 dim(A)는 A의 차원이고, im(A)는 A의 이미지 공간(치역)이다.
V가 5차원이고, L의 rank가 5이고 W가 5차원이면 위의 명제가 참이 되는 사례중의 하나이다.
V가 3차원이고, L의 rank가 5이고, W가 5차원이면, 위의 명제가 거짓이 된다. dim(im(L)=3이고 Rank of L=5이다.
V가 5차원이고, L의 rank가 3이고, W가 5차원이면, 위의 명제가 참이 된다. dim(im(L))=3이고 Rank of L=3이다.
L의 Rank라는 개념을 어떻게 이해해야하나?
Rank는 L이라는 연산자가 갖고 있는 행공간, 또는 열공간의 차원이다. 만약 행렬을 행벡터나 열벡터로 분해해서 본다면, 어떤 벡터 공간에 연산자를 적용한다는 것은 행렬의 행벡터와 내적을 취해서 그 각각의 값을 새로운 공간의 성분으로 본다는 뜻이다. 따라서, 연산자의 적용은 주어진 벡터 공간의 벡터를 행벡터가 표현하는 공간으로 사영시킨다는 것으로 생각해도 무방하다. 공역은 단지 연산자에 적용된 후 실제로 사용하기 위해 벡터를 표현하기 위해 마련된 공간이다.
그럼, 위의 명제가 참이 되기 위해서 어떤 조건이 필요한가?
우선 dim(V)=n, dim(W)=m, Rank(L)=k라고 하자.
im(L)이 어떻게 될지 생각해 보면, 일단 dim(im(L))<=m이다. 치역이 공역보다 더 클 수는 없기 때문이다.(치역은 공역의 부분집합이다.)
둘째로, dim(im(L))<=n이다. 치역이 정의역보다 더 큰 차원을 가질 수 없다. 왜냐하면, 정의역의 기저가 연산자에 의해서 치역에서도 기저가 되는데, 차원은 기저 집합의 원소의 수이기 때문이다.
셋째로, dim(im(L))<=k이다. 앞에서 언급했듯이, 연산자를 적용한다는 것은 연산자의 행공간에 벡터를 사영시킨다는 뜻이기 때문에, 행공간이 표현할 수 있는 차원이 치역의 한계이다.
이게 항상 참이 되려면…
일단 n=m=k이면 충분하다. (증명은 생략.)
이보다 좀 더 느슨한 조건을 찾아보자
n
n=m, n
n=k, m
n
우주론의 어떤 이론에 의하면, 우리 우주가 닫힌 우주일 수도 있다고 한다. 근데 그럼 그걸 알아내려면 직접 한바퀴 돌아봐야 하는데, 갔다 올 사람이 있으려나 모르겠다. 닫혀있는데 평평하다면 대충 빛을 관찰해서 300억광년 저편에 있는 300억년 전의 지구 모습을 관찰한다면 직접 가지 않아도 되겠지만, 닫혀있으면서 평평한 우주는 가능하지도 않고
1
, 300억광년 저편에 있는 빛을 관찰하려면 일단 150억년 더 기다려야 한다.
우주에서 제일 빠른 빛을 이용해도 이모양인데, 그보다 훨씬 느린 유인 우주선이 우주가 닫혔나 열렸나 살펴보려면 더 오래 걸릴 것이다. 게다가, 하필 열려 있으면 … 상상도 하기 싫다.
언젠가 불로불사의 비술이 개발된다면 가볼만도 하겠지만, 그래도 꽤 지겨운 여행이 될 것임에는 틀림없다.
그 실험결과는 다음과 같다고 전해진다.
http://segye.com/Articles/News/Society/Article.asp?aid=20101001003142&ctg1=01&ctg2=00&subctg1=01&subctg2=00&cid=0101080100000
100미터에서 106dB
64미터에서 109dB
32미터에서 115dB
거리가 3배나 늘어났는데 별로 줄어든 것 같지 않다. 왜 그럴까?
데시벨(dB)의 정의는 다음과 같다.
dB = 10log(A)
여기서 log는 밑이 10인 상용로그이다.
에너지 밀도A가 얼마인지는 모르겠지만, 아무튼 소리에 대해서 에너지 보존법칙이 적용된다고 하면, 가우스 법칙을 대충 사용해 보면 에너지 밀도가 거리의 제곱에 반비례해서 줄어든다는 것을 알 수 있다. 그리고 파동이 전달하는 에너지 밀도는 진폭의 제곱에 비례한다. 물론 우리가 느끼는 소리의 크기도 에너지 밀도에 관계된다. 그 관계식이 바로 데시벨이다.
dB = 10log(A/$r^2$) = 10log(A)-20log(r)
잘 보면 소리의 크기가 거리의 로그값에 따라 줄어드는 것을 볼 수 있다.
만약 r이 3배가 된다면
dB = 10log(A)-20log(r) – 20log(3) = 10log(A)-20log(r) – 9.5
즉, dB에서 9.5데시벨이 작아진 것을 볼 수 있다. 실제로 위의 실험 결과를 보면 거리가 약 3배인 경우 9dB이 작아지는 것을 확인할 수 있다.
여기서,
이 관계식이 맞다는 것은 소리가 퍼진다는 것을 의미
한다. -_-;
http://news.chosun.com/site/data/html_dir/2010/09/28/2010092801940.html
조선일보에서 “레이저빔처럼” 진행한다고 했는데, 위에서 내가 증명한 바와 같이 이건 물리학적으로 오류인 보도이다. (그 조선일보 기자가 물리학 전공자일리는 없고, 물리학 전공자라고 해도 기사를 물리적으로 검토해서 쓰지는 않았겠지만.)
레이저빔은 수십km를 가더라도
많이
퍼지지 않는다.
음향대포는 그냥 “좋은 확성기” 정도의 성능을 갖는 것 같다.
음향대포가 집회 현장에 실제로 도입되면, 귀마개 착용자가 집회 참가 현행범으로 몰리는 일이 발생할 것이다. (아마 소지만 해도 걸릴 듯. 마스크 쓰지 말라고 했으니 귀마개도 쓰지 말라고 할거다.)
그리고 3M 주식을 사두길 권한다. 귀마개는 3M 제품이 제일 좋더라.ㅋ
그리고 음향대포에 이어 도입될 장비는 레이저를 이용해 눈부시게 해서 집회를 해산시키는 시각적 장비가 될 것이다. 왜냐하면 시위 진압 장비의 역사를 볼 때, 촉각(진압봉)-후각(최루탄)-청각(음향대포) 다음 순서는 미각 아니면 시각이다. 미각은 도입되기 힘들 것 같은데, 그 이유는 강제로 뭔가 진짜 맛없는걸 맛보게 해서 시위를 진압한다는 생각은 아무리 경찰청장이 아무리 아무리 무식해도 그 생각은 정말 안할 것이라고 보여지기 때문이다.
명동 거리의 사람의 밀도, 사람들의 보행 속도, 기타등등의 변수들이 잘 정의되어 있다고 하면, 명동 거리를 걷는 사람 중 몇%의 사람이 이 명품 핸드백을 갖고 있어야 3초백이 될 수 있는지 알아낼 수 있을까?
그럼, 하나의 화살표에 하나의 수를 대응시키는 규칙이 있다면, 그것 또한 함수이다. 그리고 그걸 Functional이라고 부른다.
가장 쉽게 생각할 수 있는 예제로는 사영(Projection)이 있다. 이건 어떤 벡터A의 k번째 성분을 선택하는 함수이다. 임의의 벡터 A에 대해서, f(A) = Ak라고 정의하면 된다. 만약 벡터A가 수열이 아니라 연속적인 변수를 갖는 함수F로 주어져 있다면 k대신에 특정한 변수 a를 써서 f(F) = F(a)라고 정의하면 된다.
또 다른 예제로는 내적(Inner product)이 있다. 이것은 특정한 벡터 하나를 정해놓고, 그 벡터와 내적한 값을 함수값으로 선택한다. 가령, V가 정해져 있다고 하면 f(A) = V$\cdot$A 라고 정의한다. 벡터가 수열이 아니라 연속 함수로 주어지는 경우에는 덧셈이 아니라 적분으로 그 값을 계산해야 하지만, 계산이 복잡해질 뿐 그 본질적인 측면에 있어서는 전혀 변하지 않는다.
가장 유명한 Functional은, 이 블로그에서도 여러번 얘기했던 적이 있는 라그랑지안(Lagrangian)이다. 라그랑지안은 위치와 위치의 도함수에 대한 범함수이다. 그리고 위치는 시간에 대한 함수이다.
2
이제 범함수의 미분에 대해서 생각해 보자. 사실 범함수의 미분은 편미분의 일반화된 형태이다. 미분을 처음 배울 때, f(x)에 대해서 f(x+D)가 f(x)와 얼마나 차이가 날 지 생각해서, df/dx = (f(x+D)-f(x))/D로 정해놓고 D를 0으로 보내는 극한을 취해서 계산한다고 배웠다. 편미분은 x가 하나의 수가 아니라 벡터로 주어져 있을 때, 그 벡터중에서 다른 성분은 다 고정되어 있고 어떤 k번째 성분에 대한 함수라고 생각하고 미분을 계산한다. 그럼 k가 1부터 n까지 다 등장하므로, 편미분한 함수들을 다 긁어모으면 하나의 벡터가 등장한다. 여기에 다시 어떤 방향으로 움직이는지에 대한 정보를 알려 주면, 그 방향으로 향할 때의 도함수를 구하게 된다.
범함수의 미분은 편미분의 첨자를 연속적으로 일반화 시킨 형태이다.
함수에 관한 글을 쓰려고 보니, 학부 4학년때 함수 해석학(Functional Analysis)라는 과목을 들었던 기억이 난다. 결국 그때 배운건 Fourier Analysis였지만. 진정한 의미의 Functional Analysis는 대학원에 가서 들었던 함수 해석학 시간에 배울 뻔 했는데, 그땐 또 결국 Real analysis를 배웠다. 요약하자면, 나는 함수론 따위 들은적 없다는…ㅡㅡ;
우리는 처음 함수를 배울 때, 집합 X와 집합 Y를 연결하는 규칙이라고 배웠었다. 수학에서는 아주 많은 종류의 집합을 다루는 데, 보통 X와 Y는 수의 집합을 사용한다.
가장 쉬운 건 일단 수 1개에서 시작하는 것이다. (일단은 실수(real numbers)집합만 생각하자.)
a
a가 어떤 실수라고 하면, 재미가 없다. 그러니까, 좀 더 재밌게 하기 위해서 친구를 붙여주자.
a, b
a와 b가 어떤 실수라고 해도, 사실 별 재미는 없다. 더 재밌어 지려면 아주 많은 친구가 필요하다.
a, b, c, d, ……
a, b, c, d, … 들이 모두 어떤 실수라고 하자. 이걸 우리는 수열이라고 부를 수 있을 것이다. (사실 수 1개만 있어도 유한 수열로 간주할 수 있다.)
a, b, c, d, … , z
하지만 알파벳은 한계가 있다. 따라서 알파벳 이름을 붙여준 수들의 집합은 수열이긴 하지만 유한 수열이다.
그러니까 무한히 많은 수를 사용해서, 무한 수열을 만들어 보자.
a1, a2, a3, …, an, …
n은 적당한 정수로, 끝도 없이 계속할 수 있다.
이걸 갖고서 집합을 하나 만들어서 A라고 불러 주자. 집합에 A라는 이름을 주었을 때, 그 집합은 내게로 와서 수열이 되었다.
A = {a1, a2, … , an , … }
해석학 수업을 처음 들으면, 수열의 수렴성에 대해서 배운다.
http://snowall.tistory.com/15
수렴성은 A가 어떤 놈인지 알기 위해서 알아야 할 가장 기초적인 것들 중의 하나이다. 왜냐하면 만약 A가 수렴한다고 하면, 우린 A가 어디서부터 어디까지 원소를 갖고 있는지 알 수 있고, 따라서 어디까지 가면 괜찮을지 알 수 있기 때문이다. 하지만 수렴하지 않는다면 알 수 있는게 별로 없다. 수렴하지 않는다는 것 정도?
수렴성을 판정하는 방법은 여러가지가 있지만 이 글은 해석학 강의가 아니므로 넘어가자.
수열을 갖고 이것저것 하다보면, an에 붙어 있는 n이라는 수가 왜 자연수가 되어야 하는지에 대한 의문을 가질 수 있다. 왜냐하면, 자연수를 확장해서 정수가 나왔고, 정수를 확장해서 유리수, 실수, 복소수 등이 나왔기 때문에 수열의 n에도 자연수 말고 좀 더 매끈한 수를 써보고 싶은 본능적 충동이 발생한다.
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이걸 하기 위해서 수열을 함수로 확장해 볼 수 있다. 수열도 자연수집합에서 실수 집합으로 가는 함수이다. 따라서 수열의 n을 실수로 확장한다면 자연스럽게 실수 집합에서 실수 집합으로 가는 어떤 함수를 생각할 수 있다. 그게 우리가 보통 f(x)
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라고 이름을 붙인, 바로 그 함수이다.
실수는 연속적인 집합이므로 함수에서도 연속성을 생각할 수 있다. x와 y가 가까이 있다고 할 때 f(x)와 f(y)도 가까이 있으면 그런 함수는 연속함수이다.
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여기까지는 그냥 수 1개에 대해 다른 수 1개를 엮어주는 정도의 단순한 함수들이다. 이런 함수들을 갖고서 미분도 하고 적분도 하고 길이도 재고 각도도 재고 여러가지를 할 수 있다.
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그런데 세상에는 그런것만 있는게 아니다. 벡터라는 것도 있고 텐서라는 것도 있다. 이건 수 여러개를 엮어서 하나의 대상으로 보는 개념이다. 가장 쉽게는, 위에서 나온 n개의 원소를 갖는 유한 수열을 n차원 공간의 한 벡터로 생각할 수 있다. 그럼 n차원 공간의 한 원소를 수 하나에 대응시켜주는 그런 함수를 생각할 수도 있다. 물리학에서 등장하는 그런 함수가 대표적으로 포텐셜 함수가 있다.
그리고 무한 수열도 하나의 벡터가 될 수 있고, 그 수열 자체에 대해서 통째로 수 하나에 대응시켜주는 함수도 생각할 수 있다. 즉, 수열이란 1, 2, 3, …에 대해서 a1, a2, a3, … 를 대응시켜주는 규칙인데, 그 규칙 자체에 수 하나를 대응시킬 수 있다는 것이다. 물론 원한다면 수열들의 수열도 만들 수 있다. 하기 싫겠지만.
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