디락이 어떻게 반입자를 생각했을까?라는 질문이 들어와서 답변을 작성해 보았다. 이하 답변 내용.
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일단, 음의 해와 양의 해, 두개가 나왔을 때 디락이 반입자가 존재한다는 결론을 도출한 과정은 ‘디락의 바다’라는 개념을 통해서입니다. 스포일러부터 말씀드리자면 디락의 바다 개념은 틀린 개념으로, 완전한 개념은 아닙니다. 아무튼 디락은 디락의 바다 개념을 통해서 음의 해와 양의 해 두개가 반입자의 존재를 나타낸다고 추론했고, 어쨌든 맞았으니 대단하긴 대단한 사람인거죠.
디락의 바다까지 가기 위해서, 즉 디락의 바다 개념을 이해하기 위해서 관련이 없어 보이는 부분에서부터 시작해 봅니다. 디락의 바다가 틀린 개념이라고 해도 그걸 이해하는 것은 꽤 중요한 개념들을 이해하는 중간 과정이므로 의미가 있습니다. 교양 물리학 강의 듣는다고 생각하시면 될 거예요.
물리학에서 가장 중요한 개념중의 하나는 ‘대칭성’입니다. 대칭성이란 무언가를 바꾸더라도 결과적으로 바꾸지 않은 것과 마찬가지인 경우를 말합니다. 또는, 그런 특징이 있는 경우를 말합니다. 예를 들어서, 우리가 물리 실험을 여기서 하든 저기서 하든, 미국에서 하든 북한에서 하든 결과가 같다는 사실은 물리학 법칙 그 자체가 공간의 이동에 대해서 대칭적이라는 사실을 뜻합니다. 우리가 북한의 핵 개발을 물리학적으로 막을 수 없는 이유죠. 또는, 동쪽을 보고 실험을 하든 남쪽을 보고 실험을 하든 결과가 변하지 않는 것도 대칭성의 좋은 예가 됩니다. 낮에 하든 밤에 하든 상관없이 똑같다는 것도 좋은 사례죠.
대칭성은 심지어 두 물체를 바꾸는 것에도 관여하는데, 실생활에서의 사례를 들어보자면, 콜센터에 전화를 걸었을 때 이 직원이 받든 저 직원이 받든 처리 결과가 같은 것과 유사하다고 보면 됩니다. 다시 말해서, 물리학에서 두 입자를 바꾸었을 때 바꾸기 전과 실험 결과가 같다면 두 입자는 같은 입자입니다. 반대로, 두 입자가 같은 결과라면 두 입자를 바꾸더라도 실험 결과는 반드시 같아야 합니다. 여기서 말하는 실험은 어떤 종류의 실험이든 상관 없습니다. 던지든 때리든 부수든 똑같은 실험을 하면 같은 결과를 얻습니다. 이것을 물리학에서는 ‘구분 불가능성(indistinguishbility)’라고 부릅니다. 작은 입자들은 개성이 없다는 뜻이죠. 전자1번, 전자2번 이런식으로 구분하는 것은 불가능합니다. 양성자도 마찬가지고, 중성자도 마찬가지입니다. 빛도 마찬가지고요. (빛도 입자입니다.) 여기서, 이게 구분 불가능하다는 것은 ‘진짜로 모른다’는 뜻입니다. 이게 뭐 당구공 같은 거면 펜으로 칠해 둔다거나 해서 구분할 수 있겠지만, 입자는 그보다 더 작은 무언가가 없기 때문에 양성자나 전자에 뭘 표시해 둘 수 있는 펜이 있을리가 없죠. 그렇기 때문에 우리는 진짜로 두개의 전자를, 두개의 양성자를 서로 구분할 수 없습니다. 바꾸는걸 우리가 보지 못한다면, 누군가 슬쩍 바꿔놓더라도 우리는 그 사실을 절대로 알 수 없습니다. ‘절대로’ 알 수 없다는 점이 중요합니다.
이어서, 또 다른 개념을 끌어옵니다. 물리학에서 작은 입자들을 기술하는 방법은 파동함수를 이용하는 것인데요, 파동함수는 이해하기 꽤 어려운 개념이지만 소리나 물결파 같은 것을 상상하셔도 충분합니다. 그냥 어떤 진동 같은 것이 공간을 퍼져나가서 저편으로 전달된다는 것이죠. 이것이 어째서 입자인가? 하고 물어보신다면 양자역학을 절반은 이해한 겁니다. (나머지 절반은 ‘이게 입자구나’하고 깨닫는 부분이라 쉽지 않습니다.) 가령, “내가 공을 던지면 이 공은 포물선을 그리며 100m를 날아서 떨어진다”는 표현을 물리학자들은 파동함수로 나타냅니다. 이상한 공식으로 되어 있는 파동함수의 그 어디에 도대체 저 문장이 숨어있는지 전공하지 않은 분들은 도저히 찾아낼 수가 없겠지만, 아무튼 물리학자들은 실제로 저렇게 된다는 사실을 수많은 실험을 통해서 검증해왔습니다. 사실 저 문장은 논문에 써 있게 되는 말이고, 파동함수를 해석한 결과입니다.
자. 이제, 디락의 바다를 이해하기 전에, 먼저 물리학에서 입자를 구분하는 가장 근본적인 기준 중의 하나를 알고 있어야 합니다. 즉, 이 기준은 입자가 갖고 있는 ‘스핀’이 짝수의 절반(1,2,3,4…)인가 홀수의 절반(1/2, 3/2, 5/2, 7/2, …)인가 하는 기준입니다. 스핀이 짝수의 절반인 입자들을 보존(Boson)이라고 하고, 스핀이 홀수의 절반인 입자들을 페르미온(Fermion)이라고 부릅니다. 이게 왜 중요하냐면, 참고로 두 입자의 이름은 보즈와 페르미라는 물리학자들 이름에서 따온 것으로, 특히 ‘보존’은 ‘에너지가 보존된다’는 데 나오는 보존과 아무 관련이 없습니다. 물리학자들은 ‘보손’이라고 부르려고 시도했는데 국립 국어원에서 외국어 표기법 기준으로 ‘보존’이 맞다고 해서 보존이 되었습니다.(보손도 인정하긴 하는 것 같아요.)
보존과 페르미온을 구분하는 기준은 스핀인데, 보존과 페르미온이 나타내는 가장 중요한 차이는 두 입자를 바꾸는 경우에 대한 대칭성입니다. 여기서 두 입자를 바꾼다는 것은 보존과 페르미온을 바꾸는 것이 아닙니다. 두개의 같은 보존입자가 있을 때 그 둘을 바꿔보거나, 두개의 같은 페르미 입자가 있을 때 그 둘을 바꿔보는 일을 할 수 있는데, 그렇게 하더라도 물리적인 상황에 아무런 변화가 없다는 뜻입니다. 아까 말했듯이, 우리는 바꾸기 전과 바꾼 후를 절대로 구분할 수 없습니다. 그런데, 파동함수에서는 중요한 차이가 나타납니다. 즉, 두 입자를 바꾸기 전과 바꾼 후의 부호가 달라집니다. 좀 더 정확히 말해서, 보존의 경우에는 두 입자를 바꾸기 전과 바꾼 후의 부호가 같지만, 페르미온의 경우에는 두 입자를 바꾸기 전과 바꾼 후의 부호가 다릅니다. 쉽게 말해서, 다음과 같은 건데요
AB=BA 이렇게 되면 보존이고, AB=-BA 이렇게 되면 페르미온입니다. 논문에도 저렇게 써 있는 것을 확인하실 수 있습니다. 서로 바꾼다는 행위에 대해서 파동함수가 왜 부호가 바뀌는지 이해하려면 좀 더 복잡한 수식을 거쳐야 하므로 생략하겠습니다.
이게 왜 문제가 되는가 하면, A와 B가 같은 경우에 나타납니다. A=B라고 하면, 보존의 경우 AA=AA이므로 A는 아무 값이나 가질 수 있지만, 페르미온의 경우 AA=-AA이므로 무조건 0이 되어야 합니다. 이걸 해석하자면, 페르미온은 두 입자의 파동함수가 같으면 무조건 그 파동함수가 0일수밖에 없다는 뜻입니다. 파동함수가 0이라는 것은 그런 입자가 존재하지 않는다는 뜻입니다. 그래서 뭐 어쨌다는 건가? 곧, 두개의 같은 페르미온은 같은 장소에 존재할 수 없다는 뜻입니다. 좀 더 정확히는 두개의 같은 페르미온이 같은 상태에 존재할 수 없다는 것이고, 여기서 ‘상태’에는 위치, 운동량, 에너지 등 입자가 가질 수 있는 여러가지 숫자들이 모두 포함됩니다. 뭐 하나라도 다르면 괜찮은데, 모든것이 다 똑같은 두 입자는 존재할 수 없다는 뜻이죠. 이것을 파울리의 배타원리(Pauli’s exclusive principle)이라고 부릅니다. (사실 AB=-BA라는 성질이 그 자체로 디락 방정식의 유도에 매우 중요한 역할을 합니다.)
아까는 두 입자가 서로 같으면 절대로 구분 불가능하다더니 이제와서는 다 똑같을 수 없다는 거냐?고 물어보실 수 있는데, 우리는 입자가 존재하는 위치나 입자의 에너지는 다를 수도 있다고 봅니다. 우리가 입자를 구분하는 기준은 입자의 정지질량, 입자의 전하량, 입자의 스핀 값 등으로 구분하고, 이 값들이 같으면 같은 입자라고 봅니다. 즉, 아까 얘기한 구분 안된다는 것은 정지질량과 전하량과 스핀이 같은 두 입자가 서로 다른 위치에 있을 때, 이 두 위치를 바꾸는 것은 구분이 안된다는 뜻이었습니다. 아무튼 똑같은 두 입자는 완벽하게 똑같은 장소에 동시에 존재할 수 없습니다.
이제 입자-반입자 얘기를 해 보죠. 디락은 아인슈타인의 상대성이론이 슈뢰딩거의 양자역학과 맞아떨어지지 않는다는 사실을 슈뢰딩거가 슈뢰딩거 방정식을 발표하자마자 알았습니다. 어떻게 알았냐면, 간단한데요, 간단히 수식을 몇 줄 써보겠습니다. 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 구조로 된 미분방정식입니다. 미분방정식은 어려운 개념이지만, 미분은 빼고 그냥 방정식만 쓰죠.
슈뢰딩거 방정식: 입자의 에너지 = 운동에너지 + 위치에너지
슈뢰딩거 방정식은 이런 구조인데, 아인슈타인은 질량-에너지 등가 원리를 통해서 다음과 같은 공식을 썼습니다.
아인슈타인 방정식: 에너지 = 상대론적인 질량
뭔가 익숙한 E=mc^2 형태가 아니지만, 에너지=질량이 좀 더 이해하기에 쉽죠. 사실은 아인슈타인이 처음에 얘기했던건 저게 아니라 다음과 같은 식입니다.
아인슈타인 방정식: 에너지^2 = 정지질량에너지^2 + 상대론적인 운동에너지^2
위의 두 아인슈타인 방정식은 조금 달라보이지만, 실제로는 같습니다. 둘이 왜 같은지 설명하려면 조금 긴 수식이 필요하므로 또 생략합니다.
여기서 중요한건 아인슈타인 방정식에서 에너지가 제곱으로 나온다는 점입니다. 자, 슈뢰딩거는 에너지를 그냥 쓰는데 아인슈타인은 제곱해서 씁니다. 이것은 매우 큰 차이를 낳습니다. 슈뢰딩거 방정식은 에너지를 1차로 다룹니다. y=ax+b라는 1차 방정식은 그 해가 딱 1개 존재합니다. 즉, 슈뢰딩거 방정식에서는 우변의 값들이 정해지면 좌변은 하나로 정해집니다. 그러나 아인슈타인 방정식에은 2차 방정식입니다. 우변의 값들이 정해져도 좌변이 하나가 아니라 2개가 나온다는 뜻이죠. 하나가 나오는 경우는 딱 하나인데, 우변의 값이 0이 되는 경우입니다. 물론 이렇게 되려면 입자의 정지질량이 0이어야 하고, 정지질량이 0인 물질은 없으므로 물질에 대해서는 항상 에너지가 2가지가 나오게 됩니다. 음수의 에너지 개념은 이제 디락에게 충격을 주게 됩니다. 사실 입자는 그 에너지를 양수로만 가질 수 있는데, 음수의 에너지는 상상할 수 없는 것이었죠.
그러나 디락은 자기가 얼마나 잘하는지 아는 천재였으므로 자기가 맞다고 생각합니다. 즉, 에너지가 음수인 경우가 실제로 가능하다고 생각한 것이죠. 엄밀히 말해서 이건 그냥 ‘직관’에 해당합니다. 실제로 디락이 어떻게 생각했는지는 모르지만, 저는 다음과 같은 과정을 거쳤다고 생각합니다. 일단 아인슈타인의 상대성 이론은 맞는 것으로 간주됩니다. 그리고 에너지가 양수인 상태가 존재한다는 것도 분명하죠. 그럼 에너지가 음수인 경우는 어떻게 되는가?
사실 말이 안되는 경우를 도입해서 문제를 일반화하고 답을 구하는 경우는 수학에서는 흔히 있는 일인데요, 자연수에서 정수, 유리수, 무리수, 복소수를 도입하는 과정에서 나타납니다. 잠시 옆길로 새서 딴얘기를 해 보겠습니다. ‘수’라는 개념이 처음 발명되었을 때에는 자연수만 존재했습니다. 실제로 셀 수 있는 것이니까요. 하나, 둘, 셋,…
그러다가 덧셈이 발명됩니다. 둘 더하기 둘은 넷. 셋 더하기 둘은 다섯.
덧셈이 발명되었으면, 매우 자연스럽게 뺄셈이 나타납니다. 왜냐하면, 셋에다가 얼마를 더해야 일곱이 되는가? 하는 문제를 풀기 위해서는 일곱에서 셋을 뺀다는 생각을 할 수 있어야 하거든요. 그럼 사람들은 항상 더 큰 수에서 더 작은 수를 빼는 것만을 생각합니다. 그러다가 어떤 수에서 그 수 자신을 뺀다면 무엇이 되는가? 라는 질문을 하다가 0을 발견합니다. (다만, 이건 0이라는 기호를 발명한건 아닙니다.) 0을 발견한 것은 굉장히 중요한 발견인데, 어떤 수에 더하더라도 그 수가 그대로 남아있는 유일한 수이기 때문이죠. 그리고 사람들은 금단의 영역에 들어갑니다. 즉, 더 작은 수에서 더 큰 수를 빼면 어떻게 될 것인가? 하는 생각을 하게 되는 것이죠. 감히 상상도 못하던 ‘음수’라는 개념이 여기서 발견됩니다. 동시에, 자연수로만 이루어져 있던 수 체계는 정수로 확장됩니다.
또, 덧셈과 뺄셈을 발견했으니 곱셈도 발견하게 됩니다. 둘 곱하기 셋은 여섯이죠. 넷 곱하기 다섯은 스물이고요. 어, 그럼 나눗셈도 발견할 수 있습니다. 셋에 얼마를 곱해야 여섯이 되는가? 하는 문제들이죠. 하지만 이번에도 마찬가지로 문제가 생기는데요, 어떤 수들은 나눠지고 어떤 수들은 나눠지지 않는다는 겁니다. 즉, 여섯은 셋으로 나누어지지만 여섯은 다섯으로 나눌 수 없습니다. 하나가 남죠. 여기서 수학에서 두가지 중요한 개념이 나오는데, 나눠지지 않는 경우들을 제대로 분석해서 소수(prime number)라는 개념이 등장하고, 나눠지지 않는 경우들을 나눌 수 있도록 해서 유리수(rational number)라는 개념이 나오게 됩니다.
유리수를 통해서 나눗셈을 다룰 수 있게 되면서, 드디어 수를 갖고 노는 사칙연산이 모두 발견됩니다. 네, 그럼 이제 곱셈을 통해서 사각형의 넓이를 구할 수도 있고 직각삼각형의 빗변의 길이를 구할 수도 있습니다. 이게 피타고라스의 정리가 됩니다. 피타고라스의 정리는 다시 세 변중 두 변의 길이가 1인 직각이등변삼각형은 빗변의 길이가 유리수로 나타나지 않는다는 것을 보여주죠. 여기서 유리수가 아닌 수, 즉 무리수가 등장합니다. 이제 유리수와 무리수가 합쳐져서 실수 체계를 완성하게 됩니다. 자세한 설명은 생략하겠지만, 2차 이상의 방정식을 풀다 보면 모든 해를 구하기 위해서 허수를 도입해야 하고, 허수는 실수와 합쳐져서 복소수 체계가 됩니다. 여기까지 보면, 수학에서는 뭐가 안풀릴 때 마다 새로운 수 개념을 도입하고, 그렇게 도입한 수 개념이 제대로 작동하기 위해서 어떻게 되어야 하는지 여러가지 정리들을 증명해 왔습니다.
디락은 물리와 수학을 둘 다 잘했는데, 특히 물리학을 기술하는 수학 방정식에서 나온 답은 그 어느것 하나도 버릴 것 없이 의미가 있다는 것을 알고 있었습니다. 따라서, 아인슈타인의 에너지 방정식에서 나온 양수 에너지 해가 물리학적인 의미를 갖고 있고, 그것이 우리가 관찰하는 우주에 잘 맞아떨어지고 있다면 음수 에너지 해도 마찬가지로 의미가 있고 그것은 실제로 우리가 관찰하는 우주에 잘 맞아떨어져야만 한다고 볼 수 있습니다. 이것이 제가 생각하는 디락의 사고 과정입니다. (실제로 디락이 이렇게 생각했다는 근거는 없습니다.)
그럼 그 다음에 디락에게 던져진 질문은, 그렇다면 어째서 우리는 에너지가 음수인 입자를 관찰할 수 없는가?입니다. 물리적인 의미가 있다 하더라도 실제로 관찰한 적이 없기 때문에, 어째서 관찰할 수 없는지를 설명하지 못하면 디락의 주장은 그냥 망상에 불과하게 되죠. 그래서 디락은 디락의 바다 개념을 도입합니다.
물리학에서, 입자들은 항상 높은 에너지 상태에서 낮은 에너지 상태로 떨어집니다. 높은 에너지 상태에서 낮은 에너지 상태로 떨어지는 현상을 이해하는 것도 쉬운 일은 아니지만, 일단은 위로 던진 공이 아래로 떨어지는 것과 같다고 봐도 됩니다. 그렇다면 에너지가 높은 어떤 상태가 있다면, 아인슈타인의 에너지 방정식에서 나온 대로 에너지 크기는 같고 부호는 반대인 그런 상태가 있어야 합니다. 이것은 부호가 반대이므로 당연히 에너지가 낮은 상태에 해당합니다. 그렇다면 어떤 에너지를 갖고 있던 입자는 당연히 그 크기에 해당하는 음의 에너지 상태로 내려가야 합니다. 입자는 항상 더 큰 에너지를 가질 수 있죠. (빨리 달리면 운동에너지가 커지고, 그럼 전체 에너지도 더 커집니다. 그리고 얼마든지 더 큰 운동에너지를 가질 수 있습니다.) 그러므로 그에 대응하는 더 낮은 에너지 상태는 항상 존재하고, 따라서 입자는 무한히 아래로 내려갈 수 있습니다. 이런 일은 실제로 일어나지 않습니다. 왜냐하면, 입자는 높은 에너지 상태에서 낮은 에너지 상태로 떨어질 때 빛을 방출하는데, 만약 그렇게 무한히 아래로 내려간다면 우리는 우리 주변이 매우 환한 빛으로 가득 차 있는 것을 봐야 하거든요. 실제로 그렇지 않으므로 무한히 낮은 에너지 상태가 있더라도 실제로 그 상태로 떨어지지는 않는다는 것을 알 수 있습니다. 디락은 그래서 이 낮은 에너지 상태가 ‘이미 가득 차’있다고 가정합니다. 전자가 가득 차 있으면, 파울리의 배타원리에 의해 그 공간으로 들어갈 수가 없습니다. 즉, 전자가 높은 에너지 상태(우리가 실제로 관찰한 상태)에서 아래로 내려가고 싶어도 아래쪽에는 전자가 이미 가득 차 있으므로 아래로 내려가지 못하고, 따라서 빛이 방출되지 않는다는 것입니다.
그렇다면 이것은 어떻게 우리에게 관찰되는가? 위쪽은 텅 비어 있습니다. 즉, 위에서 아래로 내려갈 수는 없겠지만, 아래에서 위로 올라갈 수는 있다는 겁니다. 따라서, 음의 에너지 상태에 있는 전자에게 적절한 에너지를 주어서 양의 에너지 상태로 끌어올리게 되면 전자가 하나 생성됨을 알 수 있죠. 또한, 음의 에너지 상태에는 구멍이 하나 생기게 되는데 이 구멍은 실제로 전자처럼 행동합니다. 전자기장에 대해서 전자와 반대로 행동한다는 것만 빼면요. 이 구멍을 ‘양전자(positron)’라고 부릅니다.
그렇게 디락은 반입자가 존재한다는 것을 주장했고, 이것은 나중에 실험으로 증명됩니다.
그러나 지금은 디락의 바다 개념은 폐기되었는데, 보존 입자에 대해서는 이렇게 설명할 수 없다는 점 때문에 적합하지 않다는 것이 최대의 약점이죠. 보존 입자도 반입자가 존재할 수 있는데, 보존들은 같은 상태에 겹쳐질 수 있으므로 아래쪽이 가득 차 있어도 계속 비집고 들어갈 수가 있거든요. 현재는 파인만이 주장한 대로, 시간을 거꾸로 거슬러가는 입자를 반입자라고 설명합니다. 이 부분을 설명하려면 파인만 도표를 비롯해서 좀 더 많은 개념을 설명해야 하기 때문에 여기서는 생략하겠습니다.
