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아무래도 나는 노빠인듯…-_-

물론 여기서 노빠가 고 노무현 전 대통령의 추종자가 아님은 자명하다. 난 노장사상 신봉자니까.

생명의 가치와 사회적 취향을 분리해야 한다고 해설한 책



<sup>[각주:

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을 다시 읽고 있는데, 다시 읽어도 감칠맛 난다.

어떻게 하면 아무것도 일부러 하지 않는 경지에 도달할 수 있을까? 아마 불가능할 것이다. 그것을 어떻게 도달하려고 하는 것 자체가 도달할 수 없게 만드는 장벽일 수 있다.

어릴 때에는 아무런 편견과 생각 없이 세상을 바라본다. 어른이 되어서도 그렇게 세상을 바라볼 수 있다면 참 좋을 것이다.

근데 이 글은 지난번 글과 별 연관성이 없을지도 모른다.-_-;

에너지 보존법칙을 이해하려다가 막힌 이유는 일-에너지 정리를 이해해야 에너지가 왜 보존되는지 알 수 있는데, 이걸 이해하려면 “힘”이 뭔지 알아야 하고, 힘이 뭔지 알기 위해서는 우주의 기본적인 상호작용을 알아야 하기 때문이다. 즉, 어렵다는 뜻이다. 그래서 조금 다르게 접근해 보기로 한다.

우주에는 에너지가 위치에너지와 운동에너지밖에 없다. 따라서 에너지가 보존된다는 뜻은 이 둘의 합이 일정하다는 뜻이고, 다르게 말하면 어떤 물체의 위치에너지가 줄어들면 운동에너지가 정확히 그만큼 늘어난다는 뜻이다. 그 반대의 경우도 마찬가지이다. 이것을 쉽게 말하면 위에서 아래로 내려가면 속도가 빨라진다는 뜻이다. 속도가 빨라진다는 것은 운동량이 변했다는 뜻이다. 운동량에 대해서 이해할 때 하나 빼먹은 것이 있는데, 운동량의 변화를 힘이라고 부른다는 것이다. 물리학에서는 “=”를 같은 의미로 생각할 때 사용한다. F=ma라는 유명한 공식이 있는데, 이 공식은 사실 $F=\dot{p}$이다. “힘”이라고 부르는 명사를 “운동량이 변한다”는 동사적 표현으로 쓰려면 시적인 감각이 필요할지도 모르겠지만 아무튼 운동량의 변화를 만드는 것은 힘이고, 오직 힘만이 운동량의 변화를 만들어 낼 수 있다. 즉, 위에서 아래로 내려가는 것은 힘이 작용했기 때문이다. 그런데 운동량이 커졌다는 것은 또한 운동에너지가 변했다는 것을 의미한다.

내가 계속 주장하고 있었던 것은, 운동에너지와 위치에너지의 합이 변하지 않는다는 것인데, 운동에너지가 커졌다고 했으니 위치에너지가 줄어들었다는 것을 설명해야 한다. 그런데 운동에너지가 커지게 했다는 것으로부터 힘이 작용했다는 것을 알 수 있다. 그렇다면 위치에너지를 줄이면 힘이 작용하는 것일까? 반대로, 힘이 작용하면 위치에너지가 줄어드는 것일까?

우리는 힘에 대해서는 어떻게든 알 수 있다. 왜냐하면, 운동량에 대해서 잘 알고 있기 때문에 운동량을 변하게 하는 힘에 대해서도 알 수 있다. 그렇다면, 우리가 잘 알고 있는 것을 사용해서 잘 모르는 것을 설명한다면 조금 편해질 것이다. 이제, 힘과 에너지를 생각해 보자.

힘과 운동에너지를 관찰해 보면 몇가지 흥미로운 사실을 알 수 있다. 우선, 어떤 물체에 힘이 운동방향과 평행한 방향으로 오랫동안 작용하면 운동에너지가 더 커진다.



<sup>[각주:

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여기서 “오래”라는 말은 시간적으로 길다는 뜻이기도 하고 공간적으로 멀다는 뜻이기도 하다. 일-에너지 정리란 이것을 수학적으로 멋있게 쓴 것에 불과하다. 힘이 작용하면 운동에너지가 변한다는 뜻이다. 이건 정말 당연한데, 힘이 작용하면 운동량이 변할 것이고, 운동량이 변하면 운동에너지도 변한다. 너무 당연해서 기가차다. 하지만 어쩔 수 없다. 물리학은 원래 이렇다.

자세한 수식을 생략하면, 우리는 “일(work)”이라는 것을 정의할 수 있다. 물리학에서 말하는 일은 힘이 작용하는 방향으로 물체가 움직인 거리를 곱한 것으로 정한다. 왜 하필 거리를 곱할까? 시간을 곱하면 안되나? 이런 질문을 하는 사람도 있겠지만, 안타깝게도 힘에 시간을 곱한 것은 “운동량의 변화량” 또는 “충격량(Impulse)”이라는 이름이 따로 붙어있다.



<sup>[각주:

2

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그런데, 힘이 작용하면 속도가 점점 빨라지기 때문에 같은 거리를 가는데 걸리는 시간이 줄어든다. 다시말해서, 똑같은 충격량을 받는데 걸리는 거리가 짧아진다는 뜻이다. 이것을 정확히 계산하면, 힘이 한 일의 양의 두배가 운동량의 제곱을 질량으로 나눈 값이 변한 것 만큼과 같다는 것을 알 수 있다. 그런데 우리는 운동에너지를 운동량의 제곱의 절반으로 하기로 했으므로, 사실은 힘이 한 일의 양이 운동에너지가 변한 것과 같다는 것을 알 수 있다.

힘이 한 일의 양 = 운동에너지의 변화

이제 위치에너지에 대해서 생각해 보자. 위치에너지는 그냥 주어진 함수에 따라서 그때그때 갖다 쓰면 된다고 했다. 위의 법칙에서 0을 만들려면, 운동에너지의 변화 – 힘이 한 일의 양 = 0이 된다. 아무 생각 없이 본능적으로

위치에너지의 변화 = – 힘이 한 일의 양

이라고 해보자. 그럼

운동에너지의 변화 + 위치에너지의 변화 = 0

따라서

(운동에너지+위치에너지)의 변화 = 0

운동에너지 + 위치에너지 = 일정함

어라? (뭔가 지나갔다.)

어물쩡 넘어간 느낌이 드는데, 에너지가 보존된다는 것을 이해한 느낌이 들기도 한다. 조금 더 자세히 생각해 보자.

힘의 원인이 무엇일까?

(축구 봐야 하기 때문에 다음 글에 계속…)

http://www.newdaily.co.kr/html/article/2010/07/08/ART51338.html

뉴데일리 같은 미디어의 조회수를 올려준다는게 별로 맘에 안들지만.

지금 학생들이 교사를 욕하는 이유는 애들이 나쁜놈들이라 그런게 아니라 인권 보장이 안되니 사람 이하의 취급을 받고 있고, 그에 따라 그들은 사람 이하의 행동을 하고 있을 뿐이다.

학생을 사람으로 취급해봐라. 사람이 안되겠나?

뉴데일리 기자들 중1부터 고3+무한 재수까지 한번 더 돌려줘야 정신차리려나. 서울대 의대나 법대에 정시 합격할때까지 재수 시키고.

정사면체 대칭군 $A4$에서는

$3\times 3 = 1+1’+1”+3+3’$

이라는데

순열 대칭군 $S4$에서 $3\times 2$가 뭐가 되어야 하는지 도저히 모르겠다. 인터넷 검색하는데 공부하다 포기했던 Modules이랑 Semi-simple group은 왜 다시 나오는겨…

$3\times 2=1+2+3$이거나 $3\times 2 = 3+3’$일텐데…

대충 곱해 봤는데, 일단 $2\times 2 = 1+1’+2$가 맞는 것 같다.

ronmayer.pdf에 액세스하려면 클릭하세요.

학생때와 연구원때의 가장 큰 차이점은 주어진 문제를 풀 수 있는 해답에 대한 태도이다.

학생때에는 문제가 안 풀리면 해답을 찾아본다. 이 해답을 찾지 못하면 망한거다.

연구원때는 문제가 안 풀리면 해답을 찾아본다. 이 해답을 찾으면 이미 망한거다.

http://sci.esa.int/science-e/www/object/index.cfm?fobjectid=47333

http://sci.esa.int/science-e/www/object/index.cfm?fobjectid=47339

하늘을 제대로 바라보다.

돈주고도 못사는게 인생이다.

따라서 인생을 낭비하는 것이야말로 최고의 사치다.

스스로 인생을 낭비하고 있다고 생각하는 사람들은, 사실은 엄청나게 호사를 누리며 산 것이라고 생각해도 좋다.

뭘 어쩌라는 말은 아니다. 계속 살던대로 살면 된다.

누가 한말인지는 모르겠는데, 멋진 말이다.

하지만 영원히 살 것처럼 꿈꾸다 보면 나태해 지고, 내일 죽을 것처럼 오늘을 살면 내일 죽어야 할 것 같아서 싫다.

아, 그리고 나한테는 이래라 저래라 안했으면 좋겠다능ㅋ

주어진 문제

3차원 공간에 점광원과 구가 있다. 점광원은 모든 방향으로 빛을 방사하며 구는 빛을 가린다. 구가 빛을 가리기 때문에 생기는 그림자가 x-y평면에 만드는 자취의 방정식을 구하여라.

준비단계.

광원이 $A$에 있고, 구의 중심이 $S$에 있다고 하자. 그리고 구의 반지름은 $d$라고 하자.

$k=|A-S|$라 하자.

1단계

광원을 꼭지점으로 하는 원뿔 중, 구에 접하는 것을 구한다.

1-1단계

원뿔이 구에 접한다고 하면, 구와 원뿔의 접점은 원을 이룬다. 이때, 이 원의 중심을 $C$라고 하고, 원의 반지름을 $R$이라고 하자.

1-1-1단계

구에 접하는 원의 중심의 위치는 간단한 비례식을 통해서 구할 수 있다. 또는 피타고라스의 정리를 이용해도 구할 수 있다. 자세한 계산을 생략한 채 구한다면 다음과 같다.

$C = (S-A)(1-\frac{d^2}{k})+X$

1-1-2단계

구에 접하는 원의 반지름을 $R$이라고 하면, 피타고라스의 정리를 이용해서 쉽게 구할 수 있다.

$R = d^2(1-\frac{1}{k})$

1-2단계

원뿔이 구에 접하면서 생기는 원의 방정식을 찾는다. 원 위에 있는 점을 $B$라고 하자. 그럼, 원 위에 있는 점은 다음의 두 방정식을 모두 만족해야 한다.

평면의 방정식

$(A-C)\cdot (B-C) = 0$

원의 방정식

$|B-C|^2 = R^2$

이 방정식은 미지수가 3개인 2차 연립 방정식이다. A, C, R을 알고 있으므로 B도 알 수 있다. 하지만 “원”은 1차원 도형이기 때문에, 1개의 매개변수를 남겨두고 나머지 2개는 그 매개변수 1개로 표현해야 한다. (그렇게 해야만 앞으로 그림자가 만드는 자취의 방정식을 구할 때 그 매개변수를 쓸 수 있다.)

$B=(b_x(\theta), b_y(\theta), b_z(\theta))$

라고 하자.

1-2-1단계

$A-C = G$

$B-C = H$

라고 하자. 그럼 위의 방정식은

$G\cdot H = 0$

$|H|=R$

으로 변신한다. 우린 H가 뭔지 알아내면 된다.

이걸 쉽게 풀려면, 일단 이게 원의 방정식이라는걸 알고 있으니까, 원의 극좌표 형식을 생각해 보자. 가령 $\alpha$와 $\beta$가 크기가 1이고 서로 수직인 벡터라고 하면

$R(\alpha\cos(\theta) +\beta \sin(\theta)) = H$

이제 $\alpha$와 $\beta$가 G에 수직인 벡터이기만 하면 된다. 그런데, G의 수직인 벡터는 쉽게 찾아낼 수 있다.

1-2-2단계

다음의 보조정리를 설명하고 넘어간다.

K와 L이 그냥 어떤 두 벡터라고 하자. 단, 이때 K는 $|K|=1$을 만족한다. 그럼 L로부터 항상 K에 수직이면서 서로 직교하는 두 벡터 M과 N을 찾아낼 수 있다.

벡터 M을 다음과 같이 정의하자.

$M = L – (K \cdot L)$

벡터 M이 K와 직교하는 것은 쉽게 알 수 있다. (내적 해보면 된다.)

이제 K와 M에 동시에 직교하는 벡터도 다음과 같이 알 수 있다.

$N = K\times M$

이때 $\times$는 통상의 3차원 Cross product를 의미한다.

여기서 얻은 M과 N을 크기를 1로 만들어 주면 1-2-1단계의 $\alpha$와 $\beta$를 알아낼 수 있다.

1-3단계

광원과 원 위에 있는 점을 지나는 직선의 방정식을 구한다. 공간에서 두 점 A와 B를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.

$\frac{x-a_x}{b_x – a_x} = \frac{y-a_y}{b_y-a_y} = \frac{z-a_z}{b_z – a_z}$

이때, B의 각 성분은 매개변수 $\theta$에 따라서 바뀌므로 실질적으로 위의 직선의 방정식은 원뿔의 방정식이다!

2단계

그림자가 만드는 자취의 방정식을 알아낸다.

2-1단계

1단계에서 알아낸 원뿔의 방정식에 z=0을 대입해서 그 조건을 만족하는 $(x(\theta), y(\theta))$를 찾아낸다.

2-2단계

필요하다면 위에서 알아낸 매개변수 방정식을 $y=f(x)$ 꼴로 바꿔준다.

이 모든 계산에 A, S, d를 문자로 대입해서 풀어낼 수도 있다. 여백이 부족한건 아니지만 일단 그냥 둔다.

참고로, 문자로 대입해서 명시적으로(Explicitely) 풀고 싶다면 1-3단계 -> 2-1단계 -> 2-2단계를 먼저 해결한 후, 1-2단계부터 1-1단계로 거꾸로 거슬러 올라가는 것이 쉬울 것이다.

http://news.sbs.co.kr/section_news/news_read.jsp?news_id=N1000765954

자외선을 차단한다고 선팅을 진하게 하는 운전자도 있는 것 같다. 이게 다 고등학교때 물리를 귓등으로도 안 배워서 그런듯. -_-; (그냥 눈부셔서 가렸다고 하지…)

http://en.wikipedia.org/wiki/Ultraviolet

원래 유리는 자외선 투과가 잘 안된다. 몸에 많이 해로운 UVB와 UVC는 보통 유리에 대해 50% 이하의 투과율을 갖는다. 물론 쿼츠 유리는 100%의 투과율을 갖긴 하지만 자동차 유리에 쿼츠 유리를 쓰는건 비싸면서 목숨이 위험해지는 일이므로 아마 그런 일은 없을 것이다.

http://www.sinclairmfg.com/datasheets/sodalimecurve.htm

나도 실험할 때 쿼츠 유리랑 그냥 유리랑 섞어 쓰다가 자외선 영역의 결과가 이상하게 나와서 샘플 다 버리고 다시 한적도 많았다. (한 수십만원어치는 그냥 버린듯…)

아무튼 자동차 유리 선팅에 자외선 핑계는 대지 말자. 공부 안한거 티난다.