Melotopia

[카테고리:] 학술

  • Living Theorems

    여름은 덥고 겨울은 춥다.

    1년 중에서, 적당한 온도를 가지는 날이 하루라도 있을까?

    이것은 중간값 정리(Mean-value Theorem)에 의해서 증명할 수 있다.

    어쨌든, 그런 적당한 온도를 가지는 날은 반드시 존재한다.

  • 물리 용어의 한글 번역

    up quark – 위 쿼크

    down quark – 아래 쿼크

    charm quark – 맵시 쿼크

    strange quark – 야릇한 쿼크

    top quark – 꼭대기 쿼크

    bottom quark – 바닥 쿼크

    쿼크(Quark)란, 현재까지 알려진 물리학 이론에 의하면, 이 우주를 구성하는 가장 작은 입자들이다.

    눈으로는 보이지도 않으며, 현미경으로 본다고 보여지는 것도 아니고, 유럽 입자물리학 연구소에 있는 초대형 입자가속기에서 입자를 광속의 99.99999999999999…%까지 가속시켜서 때려박아야 “그런게 있나보다” 하는 신호를 얻을 수 있는 입자들이다.

    그런데서 야릇함 느끼지 말자.

    근데…몇년만에 느껴지는 이 야릇한 감정은 뭐지?!

  • 오늘의 실험일기?

    오늘은 실험을 안했다. -_-;

    1.

    요즘 하고 있는 일은 실험 결과 분석 프로그램인데, 이제 거의 다 완성되어간다. paint 이벤트 처리할 때 뭔가 이상하게 잘못되어서 그림이 지워져 버리는건데, 일단 수동으로 다시 그려주면 되긴 한다.

    2.

    어제는 연구소 연구성과 심사받는다고 그저께 실험실 청소를 했다. 오늘은 교육과학기술부 장관이 온다고 했다. 외부에서 그런 사람들 오면 일이 없어도 실험실 안에 들어가서 쇼를 하고 있어야 한다. 프로그램 만들고 있는 사람에게 실험실 안에 들어가서 있으라니, 이건 너무하다고 생각한다. 하지만 그걸 업무라고 생각했다. 역시 지겹다.

    안에 있는 흥미로운 읽을 거리는 초고출력 레이저 사용 및 운영 설명서. 읽다가 10줄 읽고 포기했다. 이건 Academic writing도 아니고 Technical writing이라서 훨씬 딱딱하다. 논문을 읽을 때 바싹 마른 오징어를 씹는 느낌이라면 이건 돌을 씹는 느낌이랄까.

    3.

    휴가다.

    ㅋㅋ

  • 격자 덮기 문제

    이런 문제가 수학에서 다뤄진적이 있는지는 모르겠다.

    (근데 아마 가우스가 다뤄봤을 것 같은 문제다 -_-;)

    나중에 수학과 친구에게 물어봐야겠다.

    특수한 경우 (가장 처음에 떠오른 문제)

    가로가 a, 세로가 b인 사각형 모양의 평평한 판이 있다. 이 판으로 2차원 격자를 덮으려고 한다.

    격자의 간격은 가로와 세로가 각 n, m이라고 한다. 격자점의 크기는 0이라고 하자.

    a, b, n, m이 정해져 있다면, 덮을 수 있는 최대한의 격자점의 수는 몇개일까? 그리고 최소한의 수는 몇개일까?

    (판을 놓는 방향은 아무렇게나 놓을 수 있다. 격자점과 변이 평행하게 놓을 필요가 없다는 뜻이다.)

    일반화된 경우

    단일 폐곡선으로 이루어진 어떤 평면 도형이 있다. 이 도형으로 2차원 격자를 덮으려고 한다.

    격자의 간격은 가로와 세로가 각 n, m이라고 한다. 격자점의 크기는 0이라고 하자.

    그 평면 도형의 모양과 넓이가 정해져 있고, n과 m이 정해져 있다면, 덮을 수 있는 최대한의 격자점의 수는? 그리고 최소한의 수는 몇개일까?

    다차원으로 일반화된 경우

    k차원에 닫힌 도형이 있다. 이 도형으로 k차원의 격자점을 덮으려고 한다. 격자의 간격은 k_1, k_2, …, k_k라고 하자. 격자점의 크기는 0이라고 하자.

    그 도형의 모양과 크기가 정해져 있고, 격자의 간격이 정해져 있다면, 이 도형이 포함할 수 있는 최대한의 격자점의 수는? 그리고 최소한의 수는?

    1차원인 경우는 쉬워보인다.

    2차원인 경우는… 나는 상상도 안된다. 아직은.

    이 문제는, 내가 지금 일하고 있는 실험실에서 내가 맡아서 하는 일과 관련되어 떠오른 수학문제이다.

    뭐…이걸 풀든 말든 내가 하는 실험의 성공 여부와는 관련이 없긴 하지만.

  • 나노미터급 회뜨기

    어제랑 오늘은 12시간동안 실험실에서 회를 떴다.

    재료는 성분을 잘 모르는 폴리머로 된 것과 순수한 탄소로 된 것이다.

    두께는 10 나노미터부터 1마이크로미터까지 다양하다.

    근데 이거 완전 쌩 노가다 작업이다. 집중력을 발휘해야만 성공할 수 있다.

    가로세로 각 25밀리미터 크기의 박막에 두께가 10나노미터니까, 가령 1센치미터짜리 판을 같은 비율로 만든다면 250미터정도 되는 판이 된다. 두께가 너무 얇다는 것이 문제다. 이놈을 유리 기판에서 떼어내서 다른 기판에 옮겨 붙여야 하는데, 그게 바로 테크닉이다. (자세한건 영업비밀. -_-;)

    이제 10나노미터까지는 해봤고…

    3주쯤 후에는 1나노미터를 도전해 보라고 시킬 것 같다. 이건 밤새 도전해야 할텐데…

    할줄 아는게 너무 많아도 곤란하다.

    사용한 과학적 원리 또는 기구

    표면장력

    사이폰

    원심력

    중력

    유체역학

    …

    이런걸 왜 썼더라.

    추가 : 오늘 깨달은 건데, 순수한 물(증류수)은 피부에 안좋은 것 같다. 증류수에 젖은 손을 말렸더니 피부가 하얗게 튼다.

  • 자외선 차단 코팅3

    자외선 차단 코팅의 두께는 대체 얼마가 되어야 하는 걸까.

    매질 속에서의 빛의 속력은 굴절률과 반비례한다. 그리고 파장은 빛의 속력과 비례한다. 따라서, 파장은 굴절률과 반비례한다. 만약 코팅을 하는 물질의 굴절률이 n이라고 하면, 우리는 90nm의 두께를 빛이 실제로 체험하게 되는 파장인 90/n nm로 바꾸어 주어야 한다.

    대략적으로 자외선 차단 코팅은 산화 알루미늄을 쓴다고 어디서 주워 들은적이 있다. 그 외에도 다양한 물질을 쓰는 것 같다.


    http://www.dmo.co.kr/glasses07.asp


    (전혀 관계없는 URL임.)

    아무튼, 산화 알루미늄을 코팅한다 치고, 이 코팅의 두께는 얼마가 되어야 할까요.


    http://www.cerac.com/pubs/proddata/al2o3.htm


    우리의 친구 위키백과를 참고하면 산화 알루미늄의 굴절률은 1.76이라고 되어 있다. 그럼 당연히 90/1.76 nm가 최종적인 코팅의 두께일 것이다. 산수 계산을 잠깐 해본다면 51nm가 된다. 50나노미터급 박막이라면 금방 만들 수 있다.

    하지만 여기서 끝이 아니다. 빛의 비밀은 한가지 더 남아있는 것이었다.

    빛은 파장에 따라서 그 빛이 갖고 있는 에너지가 달라진다. (정확히는, 진동수에 따라 달라진다.)

    이건 파동의 기본적인 성질이기도 하고, 아인슈타인이 제창한 광양자설에 의해 그렇기도 한데, 아무튼 진동수에 비례하는 에너지를 갖고 있다. 그리고 물질 또한 자신이 갖고 있는 고유진동수에 맞는 에너지 준위들을 갖고 있다. 이러한 에너지 준위는 전자기장에 반응하는 정도가 전자기장의 진동수에 따라서 다 다르다. 이것은 곧 빛이 지나갈 때에도 빛에 반응하는 정도가 다르다는 것을 의미한다. 쉽게 말해서, 빛이 색깔에 따라서 속력이 달라진다는 뜻이다.

    헉…

    자외선은 그럼?


    http://www.cerac.com/pubs/proddata/al2o3.htm


    이번엔 다른 자료를 찾아 보았다.

    우리가 원하는 360나노미터 파장 대역에서의 산화 알루미늄의 굴절률은 대략 1.65정도가 된다. 따라서 90/1.65 = 54nm가 우리가 찾는 코팅의 두께가 될 것이다.

    여기까지 이해하였다면, 이 글을 읽은 독자들은 안경의 자외선 차단 코팅이 어떻게 만들어지는지 알 수 있을 것이다.


    http://snowall.tistory.com/1817

  • 마법의 분배함수 보충설명


    $k_i = exp(-\beta(E_i – \mu))$

    이 식을 일단 뚫어지게 살펴보도록 한다.

    이 식의 의미는, i번째 상태에 $k_i$개의 입자가 들어갈 확률이라는 뜻이다. 라고 지난번 마법의 분배함수 2부에서 설명하였다. 이 식은 1부에서 가정한 n개의 입자를 N개의 방에 채우는 경우의 수를 세면서 나온 식이다.
    이것이 어째서
    $k_i=n*exp(\betaE_i)/Z$
    로 변신하는가에 대해 궁금해 하는 분이 있어서 이 보충 설명을 붙인다.




    확률은 전부 더하면 1이 되어야 한다. (100%이상의 확률은 없으니까)
    그럼 $k_i$를 전부 더해보자.
    $\Sigma k_i = \Sigma $ $


    exp( -\beta ( E_i – \mu )) $ $= exp(\beta \mu)\Sigma


    exp(-\beta E_i ) $

    이렇게 된다. 이걸 $


    exp(\beta \mu )


    Z$라고 하자.

    물론 사람들은 Z를 분배함수(Partition Function)이라고 부른다.

    사실 $Z$는 $k_i$로 주어지는 확률분포의 전체 크기이다.

    예를들어, 동전을 100번을 던졌는데 30번은 앞, 70번은 뒤가 나왔다고 하자. 우리는 앞면이 나올 확률을 “30번”이라고 하는가? 아니면 “100번 중에서 30번”이라고 하는가? 당연히 “100번 중에서 30번”이라고 한다. 그냥 “30번”이라고만 하면 30번 중에서 30번이 나온건지, 1000000번 중에서 30번이 나온건지 알 수가 없기 때문이다. 그리고 똑같이 30번이 나오더라도 시행 횟수가 다르다면 그건 다른 확률이 되기 때문이다. 따라서 확률은 언제나 확률분포의 전체 크기로 나눠주고, 그 결과 확률을 모두 더하면 크기가 1이 되어야만 한다. (여기서도 그렇듯이 30/100 + 70/100 = 100/100 =1 이다)

    따라서 $k_i$를 실제로 “확률” 처럼 쓰기 위해서는 $Z$로 나누어 줘야만 한다는 뜻이다. 그런 의미에서 $k_i$를 다시 쓴다면 다음과 같다.

    $h_i = k_j /(


    exp(\beta \mu)


    Z) =


    exp(-\beta(E_i – \mu)) /


    exp(\beta \mu)\Sigma


    exp(-\beta E_i ) =


    exp(-\beta( E_i) / \


    Sigma


    exp(-\beta E_i )$

    그런데 굳이 $h_i$로 쓸 이유는 없다. 앞으로 $Z$로 나누지 않은 $k_i$는 절대로 쓸 일이 없으므로, $h$대신에 $k$를 써도 괜찮다. 따라서



    $k_i=exp(- \betaE_i)/Z$


    처럼 쓸 수 있게 된다.

    하지만 이게 끝이 아니다. 이건 어떤 1개의 공이 i번째 방에 들어가 있을 확률이 된다. 만약 공을 여러번 넣게 되면, i번째 방에는 전체 시행의 횟수인 n을 곱한 수 만큼의 공이 들어가 있을 것이다. 가령, 1번째 방에 들어갈 확률이 30/100인데, 여기에 공을 70개를 던져보았다면 1번째 방에 들어가 있을 공의 수는 평균적으로 30*70/100 = 21개가 되는 것이다. 따라서 우리는 n을 곱해줘서 쓸 필요가 있다.



    $k_i=n*exp(\betaE_i)/Z$


    이 식은 이렇게 유도되었다.

  • 오늘의 실험 일기

    며칠분량을 몰아서 쓴다.

    실험에 사용하는 비싼 CCD가 있다. 1개에 100만원정도 한다. 환율이 오르면 가격이 더 올라간다고 한다. 더군다나, 이건 발주 후 납기가 2~3개월정도 걸리기 때문에 돈을 주고도 구하기 힘든 것이다. 이 CCD의 촛점을 맞추고 배율을 측정한 후 실험용 챔버 안에 넣는 것이 나의 임무였는데…

    이놈이 작동을 안한다. 어디가 문제가 발생했는지 찾기 위해서 이것저것 해보다가, CCD를 제어하는 보드가 고장난 것 같다는 진단을 내렸다. 이 CCD는 비싸기 때문에 별도의 보드를 이용해서 제어한다. 영상을 찍는것도 별도의 프로그램이 제공된다. 스팀팩이라 부르는 “정품 하드락 USB 키”를 먹여줬는데도 안된다. 그래서 CCD를 멀쩡히 돌아가는 다른 보드에 꽂아보았더니 정상작동한다. 보드의 문제였다. 보드를 갈아치웠더니 잘 된다.

    이제 CCD의 보정을 마치고 챔버 안에 넣었다. 근데 다시 안된다. 보드에 다른 CCD를 연결해서 체크해 봤는데 잘 된다. CCD를 다른 보드에 연결해 보았더니 역시 잘 된다. 그렇다면 연결하는 선의 문제일 것이다. 선을 뽑아서 하나씩 체크해 봤는데 문제는 없었다. 최종적으로 우리의 결론은 피드스루의 문제라는 것이었다. 그래서 피드스루의 연결을 체크해 보았더니 역시나…

    이 CCD는 별종이라서 그런지 보드와의 연결에 랜선을 쓴다. 랜선은 RJ-45라고 부르는 선이다. 당연하겠지만, RJ-45 선에는 8개의 선이 있는데, 각 1번부터 8번까지 번호가 붙어 있다. 피드스루는 챔버의 안과 밖을 연결해주는 놈이니까 당연히 1번은 1번으로, 8번은 8번으로 넣어줘야 하는데 1번이 8번으로, 8번이 1번으로 들어가게 되어 있었다. 아…

    하지만 피드스루를 고쳐올 시간은 없다. 그것도 10만원인가 하는데다가, 주문하면 두어달 걸린다. 결국 랜선을 끊어서 1번부터 8번을 역순으로 꽂아서 해결했다.

    별게 다 말썽이다.

    며칠분량을 몰아서 쓰려고 했는데 하나밖에 기억나지 않는다. 어쩌지…

  • 자외선 차단 코팅2

    이번엔 자외선을 어쨌든 차단하도록 코팅을 잘 해보자.

    지난번 그림을 다시한번 복습해 보자.

    일단, 코팅-공기 경계면에서 반사되는 것은 당연히 고정단 반사가 될 것이다. 따라서, 위상이 180도가 반전된다. 이말은, 다시 바꿔 말하면, 들어갔다가 나올 때의 위치가 뒤집혀진다는 것을 뜻한다. 그리고 움직이는 방향도 반대로 뒤집혀서 나온다는 뜻이다. 그림에서 볼 때는, 좌-우가 뒤집히면서(반사) 위-아래가 뒤집혀진 것(위상 반전)을 생각하면 된다. 렌즈-코팅 경계면에서는 어떨까? 이 경우, 코팅은 굴절률이 좀 더 높고 렌즈는 상대적으로 낮기 때문에 자유단 반사가 될 것이다. 이것은 곧 들어갈 때의 위치가 그대로 나온다는 뜻이다. 그림에서는 좌-우가 뒤집히면서(반사) 위-아래는 그대로인 것을 생각하면 된다.

    이제 다시한번 생각해 보자. 렌즈-코팅 경계면에서 반사된 빛은 코팅의 두께만큼 조금 더 진행하게 된다. 파동은 언제나 진동하고 있기 때문에 오래 진행하면 그만큼 더 진동되어서 위상이 바뀌게 된다. 즉, 렌즈-코팅 경계면에서 반사된 빛이 코팅을 통과해서 코팅-공기 경계면으로 빠져나오는 순간의 위상과 코팅-공기 경계면에서 바로 반사된 빛이 가지는 위상이 딱 일치한다면 그것은 곧 보강간섭이 된다는 것을 의미한다. 그렇다면, 어떻게 하면 자유단에서 반사된 빛이 조금 더 진행되어서 고정단에서 반사된 빛과 위상을 맞춰줄 수 있을까? 어차피 파동은 진동한다. 위상이 반전되는 순간은 파동이 갖고 있는 자기 파장의 절반 만큼 진행했을 때이다. 즉, 자유단에서 반사된 빛이 조금 더 진행해서 고정단의 빛과 일치하려면 정확히 반파장만큼 진행하면 된다.

    우리가 목표로 하는 빛은 자외선이다. 자외선은 얼마나 되는 파장을 갖고 있을까?


    http://en.wikipedia.org/wiki/Ultraviolet


    위키백과를 찾아보면 UV는 UVA, UVB, UVC가 있다. 일반적으로 알려진 것은 UVA랑 UVB다. UVA는 400nm에서 320nm의 파장을 갖는다. UVB는 320nm에서 280nm를 갖는다. 위키백과의 내용을 참고하면 UVA가 UVB보다 더 위험하다고 한다. 그럼 우리의 목표는 UVA를 차단하는 것으로 하자.

    아무튼 400에서 320의 파장 대역을 갖고 있으니까, 그 중간정도인 360nm의 파장을 차단하기로 하면 대충 잘 맞지 않을까? 앞에서 얘기한대로, 360nm를 차단하려면 위상을 뒤집어 주는 만큼만 빛이 더 진행해야 하니까 코팅의 두께는 파장의 절반만큼인 180nm로 맞추면 될 것이다. 뭐, 여기에 10%정도는 오차가 있더라도 우리가 차단하려는 자외선의 파장 범위 안에 들어오니까 그다지 문제는 되지 않을 것 같다. 자. 이제 결론을 짓자. 코팅은 180nm로 하면 된다. 끝?

    그럴리가 있나. 우리의 생각이 너무 짧았다. (내 생각이 짧았을지도…)

    생각해보면 지금 이 상황은 통과해버리는게 아니라 반사되는 상황이다. 반사라는 것은 “들어갔다가” “빠져나오는” 두가지 과정이 한번에 일어난다. 만약 180nm로 코팅을 해버린다면 빛은 들어갈때 180nm를 진행하고, 나올때 다시한번 180nm를 진행하므로 파장의 전체 길이 만큼 진행하게 된다. 이것은 위상이 전혀 변하지 않는다는 것을 뜻한다. 또한 결과적으로 반사된 빛들 사이의 보강간섭이 아니라 상쇄간섭이 일어나게 되므로 투과율이 높아진다. 선글라스에 이런식으로 코팅을 만드는 것은 안과적 자살행위라 할 수 있겠다. 그러지 말자.

    들어갔다가 나올 때의 전체 진행거리가 파장의 절반이 되려면, 코팅의 두께는 파장의 절반의 절반이 되어야 한다. 즉 90nm일 필요가 있다.

    이제 90nm두께로 코팅을 만들면 되는건가? 글쎄. 아직 끝난게 아니다. 우린 코팅을 어떤 물질을 사용할지도 정해야 한다. 어떤 물질을 사용할지는 모르겠지만, 그 물질의 굴절률을 n이라고 불러보자. 굴절률은 또 무슨 놈인가…왜 snowall은 자꾸 새로운 개념을 도입하는가. 단지 선글라스의 자외선 차단 코팅이 어떤 녀석인지 알고 싶었을 뿐인데.

    굴절률은 빛이 물질을 지나갈 때 얼마나 느려지는지 알려주는 수다. 그냥 하나의 숫자로 주어진다. 절대굴절률과 상대굴절률이 있는데, 절대굴절률은 진공에 대해서 물질이 어떤 특징을 갖고 있는지 알려주는 수이고, 상대굴절률은 진공이 아닌 다른 물질에 대해서 서로 빛의 속력이 어떻게 달라지는지 알려주는 수이다. 솔직히 말해서 절대굴절률은 진공에 대한 물질의 상대굴절률을 뜻한다. 진공의 굴절률은 1이다.


    http://en.wikipedia.org/wiki/Refraction


    다시한번 우리 모두의 백과사전인 위키백과를 찾아보자. 스넬의 법칙이라는 것이 있는데, 어떤 매질에서든지 굴절률과 빛의 속력을 곱하면 일정한 수가 된다. 진공의 굴절률이 1이니까 그 일정한 수라는 것은 결국 빛의 속력과 같은 수이다. 아무튼 매질에서는 빛의 속력은 진공에서보다 느려지기 때문에 매질이 가지는 굴절률은 언제나 1보다 크다. 그럼, 빛의 속력이 바뀌면 대체 뭐가 어떻게 되길래 우리가 앞에서 계산한 코팅의 두께가 틀렸다고 하는 걸까?

    빛은 파동이다. 이건 누구나 다 아는 사실이라고 보자. 파동이 가지는 여러가지 특징중에서, 파동을 특정하는 여러가지 수를 생각해 볼 수 있다. 진폭(Amplitude), 파장(Wavelength), 진동수(주파수, Frequency), 종파/횡파/편광 방향(Polarization) 등등. 이중에서 빛의 경우 진동수는 색과 관련이 있다. 빛의 색이 물질에 들어간다고 해서 바뀔까? 그렇지 않다. 물질의 색은 그 물질이 어떤 빛을 좀 더 흡수하고 좀 더 반사하느냐에 따라서 달라지는 것이지 빛 자체가 바뀌어서 되는 것이 아니다. 빛의 색을 바꾸어주는 물질은 굉장히 특별한 놈이고, 따라서 비싸다.

    빛의 색이 바뀌지 않는다는 것은 진동수가 바뀌지 않는다는 뜻이다. 하지만 빛은 느려진다. 그렇다면 무엇이 바뀔까? 바로 파장이 바뀌게 된다. 빛의 속력은 진동수와 파장의 곱이다. 즉, 빛이 느려지면 파장은 짧아진다.

    일단은 출근시간이 다 되어서…나머지는 3부에서 쓴다.

    http://snowall.tistory.com/1408

  • Sheeple


    http://xkcd.com/610/


    원본은 위의 URL에 있다.

    “여기 인간들 좀 봐, 그저 멍한 눈빛으로 매일을 살아가는, 절대로 주변을 둘러보거나 생각하려고는 하지도 않지. 이런 양들의 세상에, 오직 나만이 정신차리고 살아가는 인간이야”



    (ExtraD 님의 댓글을 참고하여 수정함.)


    “여기 이 인간들 좀 봐, 매일매일의 생활을 열심히 살아가는 렌즈같은 눈빛을 가진, 주변을 두리번 거리고 생각하는걸 결코 멈추지 않는 자동 로봇들이지. 이런 양들의 세상에서 오직 나만이 의식있는 인간이야.”

    (근데 다들 그렇게 생각한다…)


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