장난을 한번 쳐 보자.

아무튼간에 여러가지 메타 블로그 서비스에는 “랭킹”이라는 것이 있다. 올블로그도 있고 블로그코리아에도 있고 다른데도 있겠지. 요약하자면 추천수, 읽은수, 댓글수 등등등등등의 여러가지 변수를 이용해서 점수를 매기고 이 점수를 기준으로 줄을 세워서 많은 사람들의 우수한 글을 선택하는 것이다.

자, 흥미롭게 해 보자. 이것은 아직 가설에 불과하다.

메타 블로그에 올라오는 rss정보에 추천수, 읽은수, 댓글수 등등의 정보를 포함시킨다. 즉 x라는 블로그를 선택하면 x의 추천받은 수, x를 읽은 수 등이 손에 쥐어지는 것이다. 이것을 통해서 사용자는 랭킹 공식에 넣고 점수를 산출하여 순위를 만드는 것이다.

즉, rss에 더 많은 정보를 넣어서 사용자가 활용하자는 것이다. 물론 이렇게 하면 rss의 simple이 더이상 단순하지 않겠지만. 아무튼.

랭킹 공식은 대충 (추천수*3 + 읽은수 *4 )/(추천수+읽은수) 등으로 적당히, 사용자마다 알아서 만들면 되지 않을까.

물론 변수 이름은 미리 주어져야 할 것이다.

이것을 snowall이 제안하는 최적의 랭킹 알고리즘을 찾아내는 웹2.0의 방식이라고 해 두자.

메타 블로그 서버에서 하면 좋겠지만 그럼 서버 부하가 너무 늘어날 것이고 로컬 pc에서 처리하는 것이 맞겠다.

“마잇”님의 글을 KLDP에서 CC라이센스에 의해 복사해 왔습니다. 원문 링크는 다음과 같습니다.


http://kldp.org/node/88087

자유 소프트웨어, GPL 주는 것일까? 받는 것일까?

리눅스를 시작으로 GNU, 자유소프트웨어, GPL, 오픈소스 등에 관해서 얘기하다 보면 이것을 ‘베푼다’, ‘도움을 주다’, ‘기부한다’의 개념으로 생각하시는 분들이 정말 많은 것 같습니다.

맨날 쓰기만 하고… 기여좀 해야 하는데 시간은 없고… 이런 얘기, 오픈소스 관련 커뮤니티들의 글타래에서 어렵지 않게 볼수 있는 내용들입니다. 물론 그런 감정이 잘못되었다는 얘기는 아닙니다. 다만 저런 글을 쓰게 만드는 그 심리적인 배경에는 ‘도움을 받았으니 나도 뭔가 해야 되지 않겠는가’라는 부담감이 느껴진다는 것입니다.

리눅스 커널과 GNU의 핵심 프로그램들, GPL과 많은 오픈소스 라이센스로 제공되는 프로그램들이 한데 뭉릴瀏좋 집약돼있는 배포본들을 사용해보면 독점적인 방식으로 개발되면서 유료로 제공되는 다른 운영체제와 비교해서 그다지 뒤쳐지는 품질이 아닙니다. 주류가 아니고 기존 기업들에게 생소한 개념 때문인지 적극적인 후원을 받지 못해서 상대적으로 아직 뒤쳐지고 불편한점이 있는 것은 사실입니다. 하지만 그런 것을 잊고 생각하더라도 단순히 매니아들의 장난감 수준을 넘어선지는 오래되었습니다. 국내에는 아직이겠지만 북미나 유럽시장에서는 주류 하드웨어 제조사, 판매사들이 리눅스를 심어서 팔기 시작했습니다.

그럼 이렇게 쓸만하고 훌륭한 물건들을 공짜로 쓸 수 있기 때문에 이 모든 개발자들을 자원 봉사자로 보아야 할까요? 독점 소프트웨어 개발로 갑부가 된 배부른 프로그래머들이 불쌍한 대중들을 위해 뿌리는 공짜 배급품일까요? 아름다운 세상을 위해 헌신하는 숭고한 프로그래머들?

이런 잘못된 믿음을 좀 다시 생각해봐야 할 필요가 있다고 봅니다. 이러한 미신적인 믿음이 기존 독점 소프트웨어의 방식으로 자라난 세력들이 선뜻 자유 소프트웨어 세상에 발을 담그지 못하게 만드는 큰 원인으로 작용하고 있다고 저는 생각합니다. 이쪽으로 돈이 흘러드는 것을 방해하고 있지요. 그래서 저의 이 멋진 15인치 와이드 델 노트북이 리눅스에서 제 힘을 다 못쓰는 안타까운 사태가 벌어지기도 합니다. 뭐 이게 이 글을 쓰게 만든 동기는 절대 아닙니다만… 🙂

자유 소프트웨어가 점점 널리 퍼지고 있는 원인은 숭고한 마음을 가진, 헌신적인, 돈은 쓸만큼 있고 그래서 시간은 좀 남아도는 프로그래머들이 점점 많아지고 있기 때문이 절대로 아닙니다. 소프트웨어를 만들어보고 사용해 본 사람이라면 누구나가 인정할 수 밖에 없는 가치들을 자유 소프트웨어 세상의 규칙안에서 보다 더 자연스럽고 효율적으로 만들어 낼 수 있기 때문입니다.

독점이든 자유든 ‘좋은 소프트웨어가 사랑 받는다’는 것은 누구에게나 통용되는 진실이 될 수 있습니다. 독점이기 때문에 혹은 자유이기 때문에라는 이유만으로 사용되지는 않습니다.

우리는 대부분 옆사람이 쓰는 소프트웨어를 사용합니다. 그 옆사람은 또 누군가가 쓰는 소프트웨어를 사용했겠지요. 이 트리 구조를 따라 뿌리를 찾아보면 최초에 능동적으로 이것저것 사용해보고 그중 가장 좋은 소프트웨어를 선택하고 사용한 사람이 있습니다. 그러므로 우리 모두는 좋은 소프트웨어를 사용하려고 하는 경향이 있다는 결론에 다다릅니다 : )

자유 소프트웨어 즉, GPL은 바로 그러한 좋은 소프트웨어를 만들기 위한 가장 일반적인 규칙을 모아 놓은 것입니다. 뭔가 베풀고 싶은데 상업적인 착취는 막기 위해서 만들어 놓은 그런 규칙은 절대 아닙니다. 상업적이냐 아니냐를 떠나서 우리 인류에게 새로운 자산과 가치로 떠오른 ‘소프트웨어’라는 이 무형의 물건을 어떻게 만들어가는 것이 가장 자연스럽고 효율적이냐를 규정한 것이 바로 GPL 입니다.

왜 아무나 자유롭게 사용할 수 있게 하고 다른 사람들하고 돌려 쓰는 것도 허락하고 만드는 방법이 고스란히 담긴 소스까지 공개하는 것이 더 좋은 소프트웨어를 만드는 방법이 될 수 있을까요.

반대로 한 번 질문해 봅시다.

아무나 쓸 수 없고 정해진 계약을 한 사람만 쓸 수 있고 만드는 방법도 알 수 없어서 고쳐 쓸 수도 없게 하는 것이 더 좋은 소프트웨어를 만드는 방법이라고 할 수 있을까요.

누군가 돈을 벌어야 한다는 생각을 잠시 잊어버리고 좋은 소프트웨어를 만들어야 한다는 생각만 해보겠습니다. 저는 널리 사용될 수 있다는 가능성 한가지 만으로도 자유 소프트웨어의 규칙이 단연 우월함을 가진다고 생각합니다. 널리 사용된다는 것, 이것은 당장의 기술적 우월성을 떠나 발전 가능성 면에서 대단한 가치를 가지게 됩니다. 사용할 수 없는 기술이 어떤 가치를 가질 수 있을까요. 저는 과학을 이야기 하는 것이 아닙니다. 기술입니다. 흔하게 언급되는 VHS와 베타맥스의 예를 생각해 보십시오. 블루레이와 HD-DVD 중에서 누가 승리할까요? 더 널리 사용될 수 있는 가능성을 가지고 있는 것이 승리할 것입니다. 그런 관점에서 둘 다 망할수도 있겠지요.

이런 우월함때문에 소프트웨어를 만드는 기술자들은 자연스럽게 자유 소프트웨어의 규칙에 끌려들 수 밖에 없습니다. 더 많은 사용자를 확보할 수 있다는 이 마력을 무시할수는 없겠지요. 그럼 도대체 돈은 어떻게 버느냐? 이것은 솔직히 저의 관심 밖입니다. 저는 소프트웨어 만드는 기술자가 아니거든요. (이런 무책임한…)

자고로 어떤 사회 계층에서든지 돈을 많이 버는 부류는 기술자가 아닙니다. 돈을 잘 버는 사람은 기업가나 정치가죠.

어쨌든 한가지 말씀드릴 수 있는건 자유 소프트웨어 세상이 점점 커짐에 따라서 ‘새로운 형식의 이력서’를 작성할 수 있게 되었다는 점입니다. 기술자로서 자신의 증명 – 보유한 기술, 협업 능력, 대화의 기술, 사용자와의 의사 소통 능력 등을 보다 직접적으로 표현할 수 있는 이력서를 작성할 수 있게 되었다는 것이죠.

좋은 소프트웨어를 만들수 있고 만들어 본 사람이 더 좋은 일자리를 얻을수 있다는 것은 꽤 타당한 결론이라고 생각되는데 뭐 아무래도 현실은 좀 차이가 있겠지요.

혹시나 해서 말씀드리지만, 자유 소프트웨어가 주류가 되면 소프트웨어로 먹고 사는 기업 즉, 취직할 직장이 없어진다는 허황된 생각하시는 분들은 없으시겠죠. 독점 소프트웨어가 주류일때보다 더 널리, 더 많이 소프트웨어가 사용될 것은 뻔한데 그런 일은 물론 없을 것이라고 저 장담할 수 있습니다.

기존의 어떤 기술이나 재화도 가지지 못했던 고유의 특성 때문에 소프트웨어는 매우 빠르고 쉽게 우리 생활 모든 곳에 사용되어지고 있습니다. 그래서 보다 널리 사용되어질 수 있고 발전 가능한 잠재력이 풍부한 쪽을 선택하는 쪽이 개인으로서나 사회 전체로서나 매우 자연스러운 행동이 됩니다.

기존의 독점 소프트웨어의 규칙으로는 이런 욕구를 충족할 수가 없었죠. 사회 전체와 마찰이 생겨날 수 밖에 없습니다. 운영체제에 웹 브라우저 끼워 판다고 천문학적인 벌금 때려 맞는 마이크로소프트의 경우는 한편의 코미디 같습니다. 웹 브라우저든 뭐든 사용자들이 일상적으로 사용하는 거 운영체제에 기본 탑재해주는 건 좋은 겁니다. 편하죠. 문제는 마이크로소프트 제품이 독점 소프트웨어라는 겁니다. 사회 전체가 이 독점 소프트웨어의 규칙이 좋지 않다는 것을 깨달았기 때문에 어떻게든 제재하고 싶어서 까는 것으로 밖에는 해석이 안됩니다. 당하는 입장에서는 참 억울한 일이겠지요. 사회 전체의 합의에 의한 이런 부당한 행동은 독점 소프트웨어의 방식이 자연스럽지 않다는 사실에 대한 간접적인 증명입니다.

자유 소프트웨어는 ‘베품’이 아닙니다. 자원 봉사도 아닙니다. 보다 좋은 기술을 만들어내기 위한 냉정하고 합리적인 선택입니다. 저 또한 사용자로서 거대 독점 기업에 맞서거나 단순히 남들과 다른 특별한 것을 위해서 자유 소프트웨어를 사용하는 것이 아닙니다. 보다 좋은 소프트웨어들이 여기에 있고 잠재적인 발전 가능성이 더 우월하기 때문에 당장 소수로서의 불편함을 감수하면서도 사용하는 것입니다.

저는 베품과 기여를 부정하고자 이 글을 쓴것은 아닙니다. 단지 망설이고 있는 많은 수의 개발자들이 자유 소프트웨어에 숨어 있는 잠재력을 올바르게 보고 결정할 수 있도록 도움이 되었으면 합니다. 독점 소프트웨어를 개발하면서 여가 시간에 짬짬이 참여 하는 것이 자유 소프트웨어가 아니라 더 좋은 기술, 더 많은 사용자를 원한다면 당연히 자연스레 선택할 수 밖에 없는 것이 자유 소프트웨어라고 생각하시기를 바랍니다.

어쨌든 우리는 꼭 뭔가를 베풀거나 봉사하면서 살 필요는 없습니다. 좋은 소프트웨어를 만들고 사용할 수 있다면 그뿐입니다.

이재율씨의 논리는 자명한 것을 자명하다고 주장하고, 듣는 사람으로 하여금 “어, 정말 그런가?” 생각하게 만든다. 그리고 그렇게 생각하는 순간 “당연하잖아, 그거 당연해. 모르는 니가 바보야”라고 주장한다.

“어, 정말 그런가?”라고 생각하는건 맞는데, 이재율씨의 논리를 쭉 읽다보면 자명하다고 건너뛴 부분이 너무 많다.

대한수학회는 그 부분을 입증할 것을 요구했고, 이재율씨는 더 자세한 설명 없이 자명하다고만 한다. 근데 사실 수식이 조금만 복잡해져도 이해하기 힘든 것은 사실이고, 이 부분을 입증할 책임은 주장하는 사람에게 있지 그것을 심사하는 사람에게 있는 것이 아니거든. 설령, 백만명이든 천만명이든 그 부분을 자명하다고 넘어갔다 해도 단 한명이 이해 못하겠다고 하면 더 자세하고 더 상세하고 더 명확하게 설명하는 것이 그야말로 자명한 이치인데 그걸 하지 못하겠다고 한다.

이재율씨는 지금 나에게 자신의 주장을 “증명”할 것을 강요하고 있다. 그리고 그렇지 않을 거라면 조용히 자신의 논리를 인정하라고 한다. 물론 당연히 되겠지. 아마 맞겠지. 근데 난 그걸 내가 직접 “증명”할 생각은 없고, 따라서 그걸 받아들일 생각도 없거든. 시간도 없다.

끝까지 해보자고? 그럼 20년만 기다려 주세요. 20년쯤 후에 시간이 좀 되면 그때 천천히 생각해 보려구요. 이재율씨가 160억원의 경제적 빛을 진 건 불쌍해 보이긴 하는데, 이렇게 제 여가활동을 방해하면 제 생활에서의 생산성이 저하되어 제 미래와 생계에 악영향을 미칠 수도 있습니다.

이재율씨가 제 블로그에 드디어 입성하셨군요. 저는 명백한 스팸 광고글이 아닌한 절대 차단하거나 삭제하지 않습니다. 혹시라도 차단된 분이 있다면 이메일 snowall a t gmail.com 으로 연락주세요. a t은 @이고, 앞뒤의 공백은 삭제하셔야 합니다.

이재율씨의 논리는 “내 주장을 부정하려면 반례를 들어라” 라는 부분인데, 이 부분에 대해서는, 적어도 제가 아는 수학 상식에서는

반례를 들지 못한다고 주장이 참이라는 것이 지지되지 않으므로

주장하는 사람이 “반례가 없음”을 증명해야 할 책임이 있습니다. 이것은 어떤 수학자에게 물어보더라도, 또는 어떤 논리학자에게 물어보더라도, 사실은 어떤 일반인에게 물어보더라도 받아들이는 사실일 겁니다. 이 부분을 받아들일 수 없다면, 이재율씨는 수학이 아니라 논리학의 기초부터 공부하셔야 합니다.

반례를 아무도 들지 못하기 때문에 증명된다면, 페르마의 추측은 이미 300년전에 증명이 완료되었어야 할 문제입니다. 또한 100만 달러씩 현상금이 걸린 밀레니엄 수학문제들도 문제로서의 가치가 없습니다.

*이 문제는 Wellington Grey의 블로그에서 허락 없이 그냥 번역해 왔음을 미리 밝힌다.

http://www.wellingtongrey.net/miscellanea/archive/2007-06-10–the-new-physics.html

새로운 물리 시험



<sup>[각주:

1

]</sup>




일러두기 : 문제를 푸는데 수학은 필요없다. 정답을 쓰려면 최대한 노력하여라. 아마 노력한 만큼 나올 것이다.

1. 파동 방정식은 $\nu=f\lambda$ 이다.

a) 어떤 느낌이 드는가?

b) 그리스 문명이 물리학에 미친 영향에 대해 어떻게 생각하는가?

2. 티모시가 아주 무거운 대포알을 낮은 각도로 던졌다.

a) 대포알은 어디에 떨어지겠는가?

b) 티모시가 대포알을 던진 동기는 무엇이라고 생각하는가?

3. 택시가 구급차의 무선 채널을 실수로 사용하게 되었다고 가정하자. 택시가 구급차의 무선 채널을 사용할 때 일어날 혼란에 대해 짧은 이야기를 적어 보아라.

4. 대학에 있는 두명의 과학자가 논쟁이 붙었다. 한명은 지구가 태양계의 중심이라고 하고 다른 한명은 태양이 중심이라고 한다.

a) 양쪽 주장에서 맘에 드는 부분들을 적어라.

b) 어떤 과학자가 좀 더 상식적인가?

c) 두 과학자가 타협할 수 있는 방법을 제시하라.

5. 다음 쪽에는 별들이 그려진 그림이 제시될 것이다.

a) 점들을 이어서 너의 별자리를 그려라

b) 이 별자리 중에서 한개를 골라 그 역사를 적어라.

1. K-Star / ITER 프로젝트

핵융합 장치 연구. 최근에 K-Star가 대전에 완공되었고, 이제 연구를 시작하는 것으로 보아 20~30년정도는 먹고살 수 있는 성장동력.

2. Lattice QCD with Supercomputing

슈퍼컴퓨터를 이용한 양자색역학의 이론적 계산. 섭동 방법론으로 계산하지 못하는 영역에서의 유일한 방법론으로 생각된다. QCD를 배우고 슈퍼컴퓨터도 배울 수 있는 분야. 국내의 슈퍼컴퓨터 인프라 수준을 볼 때 배워오면 먹고살길은 충분히 있을 것으로 생각된다.

3. Quantum Computer / Quantum Information

양자 컴퓨터와 양자 정보론은 아주 어려운 수학 문제를 순식간에 해결한다거나, 순간이동 같은 문제들을 해결하는 분야다. 아직까지는 많은 부분이 낚시에 불과하지만 암호학에서 요구되는 것들도 있는 관계로 성장이 기대되는 분야다.

4. Physics Education

물리교육부분. 가르치는 것도 재미있는 일이다. 어떻게 하면 물리학을 이해시킬 수 있을 것인가에 대한 고민을 할 수 있는 분야.

5. Superstring Theory

초끈이론은 20세기에 우연히 발견된 21세기 물리학이라고 할 정도로 최첨단 과학이다. 따라서 아직 어디에 쓰는지 아무도 모른다. 21세기 말이나 되어야 좀 껍질이 벗겨질까 싶다. 재밌어 보이긴 하는데 내가 잘 할 수 있을지는 아직 미지수.

6. IceCUBE

남극에 1세제곱킬로미터 크기의 입자검출기를 갖다두고 우주에서 날아오는 중성미자를 측정하는 대규모 실험 프로젝트. 3년 뒤에는 끝나 있을지도 모르겠다. 아무튼 재미있어 보이는데, 그것과 별개의 문제로서 남극은 추울 것 같다.

캐리비안의 해적 스포일러가 있습니다.

more..

질문은 다음과 같다.

주관적인 기준 이외에 별다른 판정 기준이 없는 상황에서 참여한 사람 전원이 수긍하고, 받아들여야만 하는 대표 선정 방법이 있는가?

그러니까, 9명중 1명만 뽑아야 하는데, 주사위를 던지는 방법 이외에 모두가 동의할만한 공정한 선정 방법이 존재하느냐는 질문이다.

생각해보자. 모두가 자신이 뽑히기를 원하고 다른 사람이 뽑히는 것을 원하지는 않는다. 그러므로, 위의 민주적인 투표 방식에 의해서는 아무도 선출될 수 없다. 저 방법을 약간 변형해서, 누구나 쉽게 생각할 수 있는 방법은 자신에게 투표하는 것을 금지하는 인기투표 방법이다. 이 경우, 9명이 있으면 자기 자신을 제외한 8명중 한명에게 표를 던져야 한다. 하지만 이 경우에도 문제는 있는데, 9명이 모두 같은 숫자의 표를 얻을 가능성이 분명히 존재한다는 것이다. 따라서, 어떤 경우에도 1명만 고를 수 있는 방법이 아니게 된다. 여기에 만약 제 3의 존재가 있다면, 다른 사람들의 의견과 상관 없이 제 3의 존재가 모든 결정권을 갖게 된다고 할 수 있다.

지난번 국회의원 선거 때의 의석수 배분에서 보여졌었는데, 한나라당과 열린우리당이 거의 절반씩 차지해서 어느 한쪽이 우세수를 점하지 못하는 상황에서, 민주노동당이 10석 정도를 점유하여 찬/반의 임계값을 좌지우지 할 수 있는 힘을 갖게 된 적이 있었다. 즉, 모든 구성원이 충분히 이기적이고 논리적이라면, 아주 작은 차이가 전체의 추세를 좌우할 수 있게 되는 일이 벌이지게 된다.

가장 쉬운 예를 들어, 단 두명 중에서 한명을 선발한다고 하자. 양쪽 모두 욕심을 내고 있으며, 어느 한쪽이 양보하는 것은 어렵다. 그러나 둘이 합의하는 공정한 방법에 의해서 한명이 결정된다면 따르기로 하였다. 이 상황에서, 어떤 규칙이 가능할까?

*답이 없다.

이글은 내 유서가 아니다. -_-;

생각해보니, 유서는 죽고나서 공개되는 것이다.

티스토리는 글의 공개 날짜를 설정할 수가 있다. 텍스트큐브도 되겠지.

아무튼, 공개 날짜를 미래로 밀어버리면 그 날짜가 지날때까지는 공개가 되지 않는다.

자신이 50년쯤 뒤에 죽는다 해도, 앞으로 50년간 열심히 블로그를 관리할 사람이라면 모레쯤으로 공개일을 설정해서 유서를 써 두는건 어떨까. 그리고 매일매일 하루씩 늦추는 것이다.

유사시에는, 내가 하루 이상 블로그 접속이 불가능할 것 같은 경우에는 미리미리 한두달 뒤로 넣어두고. 군대를 가야 한다면…3년쯤 미뤄두자. -_-;

그러나 내가 그런 관리가 불가능해지게 되는 날이 오면, 유서가 공개되는 것이다.

흠. 실수로 날짜관리 잘못하면 살아있는 나의 유서가 만천하에 공개되는 비극이 벌어지겠지만.

아무튼 유서는 관리자로 접속하면 항상 첫 화면에 보일테니까, 자신의 삶을 매번 각성하면서 살아갈 수 있는 좋은 강화제가 되지 않을까.

우린 항상 손가락을 접어가면서, 또는 펴면서 “하나, 둘, …” 이렇게 셈을 한다. 이렇게 세는 것으로 10까지 셀 수 있다. 옆사람을 도입하면 20까지도 셀 수 있다. 가령, 전 세계 인류를 모두 동원하면 대략 120억까지는 셀 수 있다. 하지만 그래도, 항상 부족하다. 숫자의 끝까지 세려면 인류가 아무리 많아야 소용없다. 그래서 사람들은 숫자를 만들었다. 세다보니 몇개나 되는지를 말로 쓰게 되고, 말을 기록으로 남긴 것이 문자인데 문자 중에서 몇개인지 쓰는 부분에 해당하는 기호를 숫자라고 부른다.

해서, 아무튼 세다보니 숫자가 발명되었는데, 문제가 생겼다. 몇개인지 세다보면 마주치는 문제가, “여기에 있는 계란이 저기에 있는 계란보다 두배 많은데, 저기에 계란이 열개가 있으면 여기엔 대체 몇개가 있을까?”와 같은 갯수를 모르는 경우에 대해 푸는 문제이다. 이것을 방정식이라고 부르고, 방정식의 해를 찾는 수학을 대수학(Algebra)이라고 부른다. 그런데 수학을 하다보면 항상 문제를 만들어 내게 된다. 예를 들어보자. 자를 갖고서, 가로로 한칸, 세로로 한칸 가는 정사각형을 만들었는데 대각선 길이를 알고 싶은 거다. 자로 재보니까 두칸은 좀 안되는데, 그렇다고 한칸은 넘고. 해서 대충 한칸 반이라고 했는데, 한칸 반보다는 아무리 봐도 약간 모자라는 것이다. 이 문제를 처음으로 도전했던 사람이 피타고라스고, 피타고라스와 그의 제자들은 이 문제를 땅속에 묻었다. 아무튼 그 사람은 가로가 세칸, 세로가 네칸인 직사각형의 대각선 길이가 다섯칸이라는 사실을 알고 있었다. 해서, 이런 문제를 풀다 보니 갯수 세는데 하등의 쓸모가 없는 무리수가 등장한 것이다. 사실 유리수의 등장은 그다지 신기하지가 않다. 왜냐하면 이집트에서는 단위분수로 숫자를 나타내는 방법이 이미 사용되고 있었으므로, 언제나 자연수를 분모와 분자로 가지는 분수로 표현 가능한 유리수들은 그다지 무서울 것이 없다. 하지만 무리수는 다르다. 아무리 끝장을 보려고 해도 끝이 없고, 아무리 정확히 쓰려고 해도 오차가 생긴다. 즉, 피타고라스는 무리수에 대해서 정확히 알 수 없다는 것을 굉장히 두려워한 것 같다.

아무튼 숫자에는 유리수와 무리수가 있고, 이들을 합쳐서 실수(Real number)라고 부른다.

실수는 숫자의 집합이다.

집합이라는 것을 생각한 다음에는, 항상, 그리고 습관적으로, 그 집합이 가지고 있는 원소의 갯수를 세고 싶어한다. 따라서 수학자들은 실수의 갯수를 세기 위해 도전했다.

우선 자연수가 무한히 많다는 것은 증명되어 있었다. 페아노의 공리계에 의하면

자연수 n은 항상 그 다음 숫자인 n+1을 가진다. 또한 1은 어떤 숫자의 다음 숫자도 아니다.

따라서 자연수는 무한히 많다.

실수는 어떻게 셀까? 일단, 두 집합에서 1:1대응 관계를 단 1개라도 발견할 수 있으면 두 집합의 “기수(Cardinality)”가 같다고 한다. 이때, 기수는 무한 집합에서 갯수를 말하는 용어이다. 원래는 기수라는 단어로 써야하지만 난 그냥 친숙하게 갯수라고 부르도록 하겠다.

자연수와 정수는 대응 관계가 있다.

1. 0
2. 1
   
3. -1
4. 2
5. -2
6. …

등등. 짝수일 때는 양수, 홀수일 때는 음수, 짝수인 경우는 반으로 나누고, 홀수인 경우는 1을 빼서 반으로 나누면 항상 대응시킬 수 있다. 물론 이렇게 하지 않고 다르게 할 수도 있다.

1. 1
   
2. 0
   
3. -1
4. -2
5. 2
6. …

규칙을 뭐라 말하기는 힘들지만, 이 경우는 원형으로 소용돌이치면서 돌아가는 듯한 느낌으로 대응시키는 것이다.

유리수는? 약간 복잡하지만 규칙을 찾을 수 있다. 어차피 분모랑 분자랑 정수로 떨어지기 때문에, 잘 대응시키면 분모와 분자를 이루는 숫자 2개에서 숫자 1개로 가는 1:1 함수를 찾아낼 수가 있다. 1:1함수라는 뜻은, 숫자 1개를 주면 원래의 숫자 2개가 뭔지도 알아낼 수 있다는 뜻이다.

실수를 보자. 이 실수의 갯수에 대해 논의한 사람이 칸토어다. 증명은 다음과 같다. 실수를 셀 수 있다고 가정하자. 즉, 자연수에 1:1대응을 시킬 수 있다고 하자. 그럼, 0과 1사이의 실수에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

1. 0.
   
   2
   
   9462486294862…
2. 0.3
   
   8
   
   6478472184785…
3. 0.93
   
   8
   
   9786517486714…
4. 0.913
   
   8
   
   57198571486…
5. 0.9459
   
   6
   
   8194614614…
6. 0.49847
   
   2
   
   646276545
7. …

뭐, 쓰자면 끝도 없겠지만, 아무튼 다 할 수 있다고 했으니 다 했다고 하자. (가정이다!)

이제, 난 저 목록에 없는 숫자를 만들 수 있다.

0.399973…

이 숫자가 저 목록에 없다는 것은 확실하다. 왜냐하면, 첫번째 자리는 1번 숫자랑 다르고, 두번째 자리는 2번 숫자랑 다르고, … 이런 식으로 n번째 자리는 n번째 숫자와 다르게 할 수 있다.

어떤 n을 갖고 오더라도, 아무리 황당하게 큰 n을 들고 오더라도, 난 그 n번째 숫자와 n번째 자리가 다른 숫자를 제시할 수 있기 때문에 상관 없다. 내가 만들어낸 숫자는 목록에 없다.

아, 딱 떨어지면? 가령 0.5랑 5번째 자리가 다른 숫자는 어떻게 하냐고? 0.50001이면 된다. 아무 문제 없다.

아무튼, 그래서 저 숫자를 적당히 끼워넣자. 목록이 부실하면 채워 넣어야지.

하지만 여전히 또 다른 숫자를 찾아낼 수 있다. 왜? 똑같은 작업을 한번 더 하면 되거든. 따라서 저 목록은 아무리 잘 만들어도 부실한 목록일 수밖에 없다.

따라서, 자연수는 실수보다 훨씬 적다.

이것은 무한이라고 해서 다 같은 무한이 아니라 규모에서 차이가 생긴다는 것을 알 수 있다.

근데 문제가 생긴다. 연속체 가설(Continuum Hypothesis)이라고 하는, 풀 수 없다는 것이 증명된 문제이다.

자연수의 갯수와 실수의 갯수 사이의 갯수를 가지는 어떤 집합이 존재한다.

이 가정은 어떠한 수학적 공리계와도 모순을 일으키지 않는다. 심지어, 이 가정의 부정형 (~존재하지 않는다)도 모순을 일으키지 않는다. 그리고 이것은 폴 코헨에 의해 증명되었다.


http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%B0%EC%86%8D%EC%B2%B4_%EA%B0%80%EC%84%A4

교류전류는 다음과 같이 표현된다.

$V=V_0\sin(\omega t)$

사인함수나 코사인함수같은 삼각함수는 한주기동안 적분하면 0이다. (해보시라)

보통은 rms값을 사용한다. rms값은 root-mean-square 값이다. root-mean-square는 제곱한 숫자의 평균의 제곱근이다. 즉 제곱해서 평균을 내고 제곱근을 취한 것이다. 따라서

$ V_{rms}^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}V_0^2\sin^2(\omega t) dt$

물론 이 적분은 아주 쉽게 계산할 수 있는데

$ V_{rms}^2 = \frac{V_0^2}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}-\frac{\sin(2\omega t)}{2} dt$

이 적분은 암산으로 계산하면 $\frac{2\pi}{2}$ 이다. 따라서 $V_{rms}=\frac{V_0}{\sqrt{2}}$이다.