문제 : 모서리 길이가 모두 1인 정사면체와 정팔면체가 있다. 꼭지점과 모서리를 맞추어서 정사면체의 한 면과 정팔면체의 한 면을 붙인다면, 서로 맞붙게 되는 모서리와 꼭지점은 그대로 남아 있는가? 또는 평면이 되기 때문에 사라져 버리는가?
해답/증명/해설은 나중에…
여백보다는 시간이 없어서.
정사면체와 정팔면체를 붙이면…
문제 : 모서리 길이가 모두 1인 정사면체와 정팔면체가 있다. 꼭지점과 모서리를 맞추어서 정사면체의 한 면과 정팔면체의 한 면을 붙인다면, 서로 맞붙게 되는 모서리와 꼭지점은 그대로 남아 있는가? 또는 평면이 되기 때문에 사라져 버리는가?
작성자
태그:
댓글
“정사면체와 정팔면체를 붙이면…”에 대한 6개의 응답
-
생각을 좀 더 확장시켜보면, 정팔면체의 서로 이웃하지 않은 네개의 면에 같은 변의 길이를 같는 정사면체 네개를 붙이면 한변의 길이가 2배로 커진 새로운 정사면체가 나오게 되네요.
-
먼저 모서리 두개가 아니라 세 개가 사라지게 되는데 잘못 생각했었네요.;;
정사면체의 이면각의 cos값이 1/3이 되는 이유를 설명하는 방법 두가지가 생각이 나서 두가지를 다 써 보겠습니다.
[설명1]
먼저 정사면체 A-BCD를 생각합니다. 점 A에서 삼각형BCD로 수선을 내려 수선의 발을 G라 합니다. 정사면체는 정.직.삼각뿔의 특수한 형태입니다. 따라서 꼭지점에서 내린 수선의 발은 밑면의 무게중심이 됩니다. 즉 G는 BCD의 무게중심이 됩니다.
이제 BC의 중점 M을 잡습니다. 삼각형 ABC 에서, 선분AM 은 선분BC와 수직입니다. 삼각형 BCD에서, 선분DM 은 선분BC와 수직입니다. 공간에서 이면각의 정의에 의해 AM과 DM의 각이 정사면체에서 면들간의 이면각이 됩니다. DM은 GM 을 포함하므로, AM과 GM의 각 또한 정사면체에서 이면각이 됩니다.
삼각형 AMG 를 찾습니다. 여기서 각AMG 가 이면각이 되는데요. 각AGM은 직각입니다. 따라서 (GM)/(AM) 의 값은 이면각의 코사인 값이 됩니다.
무게중심의 정의에 의해 [ 선분 DM = 3 * 선분GM ]입니다. 그리고 정사면체 이므로 선분 AM = 선분 DM 입니다.
이상의 관계에 의해 (GM)/(AM) = 1/3 입니다.[설명2]
정사면체는 정육면체의 꼭지점에서 네개의 점을 택하여 만들 수 있습니다. 공간좌표에서 A(0,0,0) B(1,1,0) C(1,0,1) D(0,1,1) 네 점을 그려보면 알 수 있습니다. 점 C와 D에서 직선AC로 수직선을 그립니다. 교점은 직선 방정식을 사용하여 찾습니다. 그 교점을 N이라 합시다. 삼각형CND에서 각CND가 정사면체의 이면각 입니다. 선분CN, ND, CD 의 길이를 알고 있으므로 코사인 제2법칙을 사용하여 이면각의 코사인값을 구하면 역시 1/3 이 나옵니다.정팔면체의 경우는 아시는 것 같아 설명하지 않았습니다.
-
좀 더 깊이있게 생각을 해 봐야 할 것 같습니다…
-
예각 두개를 더한거니 180 이 넘을수 없을것 같은데요?
– 아 팔면체쪽은 예각이 아닌가… -0-
-
이면각의 코사인 값이 왜 1/3이 되는지는 잘 상상이 안되네요. 그럴 것 같긴 한데 말이죠…^^;
-
정팔면체에서 면들 사이의 이면각을 θ라고 하면 cosθ= -⅓
정사면체에서 면들 사이의 이면각을 φ라고 하면 cosφ= ⅓
두 각 모두 π를 넘지 않는 것은 정다면체라는 조건에 의해 자명합니다.0 이상 π이하의 두 각의 cos 값의 합이 0이 되면 두 각의 합은 π가 되죠.
즉 θ+φ=π 가 되니까..면이 되어 버려서 모서리 두개는 사라져 버리겠네요.
댓글 남기기