이에 대해서 함수 A(E), B(E), H(E) 를 다음과 같이 정의한다.
A(E) = #{ i | a(i) = E}
B(E) = #{ i | b(i) = E}
H(E) = #{ i | a(i) – b(i) = E}
이때, 어떤 집합 K={ i }에 대해서 #K 는 집합 K가 가지는 원소의 수이다.
그리고, 어떤 함수 C에 대해서 다시 함수 N을 다음과 같이 정의한다.
N(C) = $\sum_E C(E)E$
그렇다면
N(A)-N(B) = N(H)
인가?
이에 대한 나의 증명은 YES이다. 즉, 위의 주장은 참이다.
증명은 다음과 같다.
N(A) = $\sum_E C(E)E$ = $\sum_i a(i)$
왜냐하면 a(i)=E인 원소의 수에 E를 곱한 후, 모든 가능한 E에 대해서 전부 더한 값은 a(i)의 각 값을 전부 더한 것과 같기 때문이다.
B와 H에 대해서도 마찬가지로 쓸 수 있다.
N(B) = $\sum_i a(i)$
N(H) = $\sum_i a(i) – b(i)$
N(H)에 대해서, 급수 안의 덧셈과 뺄셈은 급수 밖으로 꺼낼 수 있다. 따라서 다음의 등식이 성립한다.
N(H) = $\sum_i a(i) – b(i) = \sum_i a(i) – \sum_i b(i)$ = N(A) – N(B)
증명 끝.
검토해주실 분 있으신가요…-_-;
추가 : 수학 전공한 친구에게도 확인해봤고, 처리해야 할 실험 결과 갖고도 검증해 봤는데, 내 증명은 옳다.
아마 그런것 같다.
수렴하는 경우로 한정해야겠군요.
어떻게 하면 수렴하는 것들만 따져볼 수 있을까요? –;
비밀댓글입니다
비밀댓글입니다
네. 그렇습니다.
하지만 일단 유한급수에서는 문제가 없구요…
무한급수에서는 조건을 좀 따로 줘야겠네요 –;;;
저는 실험 결과를 분석하는거라 유한급수에 한정됩니다.
댓글 감사합니다. ^^
비밀댓글입니다
증명은 맞는것 같습니다…
모르겠습니다. ^^;;
사실 문제 해석도 제대로 안 해 봤어요. 해석이 좀 까다롭네요. 해석에 성공하면 답을 알아낼 수 있을듯 싶을 정도로…ㅎㅎㅎ
근데…
결국은 안써먹게 되었습니다. -_-;
어렵네요