성공하지 않고 행복한 것은 불가능할까? 행복이 성공을 의미하는 것일까? 아니면 성공이 행복을 의미하는 것일까?

아니면, 행복하지 않지만 성공할 수 있을까?

이런 생각들은 내가 행복한 이후에 해야 하는건가, 아니면 행복하기 전에도 해도 되는 걸까

성공한 이후에 행복에 대해 논할 수 있을까?

한 30%정도 알아들었다. 나는야 망할 귀먹은 인간 -_-;

실험을 다시 할 여유는 없고 뭔가 적당한 땜빵을 통해서 처리하고 싶다고 해서 통계과에 물어 봤더니 로그를 취해서 통계를 내 보라고 했댄다.

로그로 그래프를 그리는 것도 물론 의미가 있는 행위이기 때문에 그럴 수 있긴 한데, 문제는 로그를 취하는 시점이다.

1. 평균을 내고, 분산을 구한 후, 각각에 로그를 취한다.

2. 원래의 실험값에 로그를 취한 후, 각각에 평균을 내고 분산을 구한다.

이 두가지 방법은 비슷해 보이지만 다른 결과를 내놓는다. 그 친구의 질문 중에는 상용로그냐 자연로그냐 아니면 다른 밑을 선택해야 하느냐는 질문도 있었지만, 모든 로그는 고등학교때 배운 밑변환 공식을 통해서 서로 상수배의 차이밖에 없으므로 그건 중요하지 않은 질문이다. 바꾸고 싶으면 숫자 하나만 곱해주면 되기 때문이다.

값 2개만 생각해 보자. 10과 100이다. 알다시피 평균은 55이고 분산은 45이다. 여기에 상용로그를 취해주면 1.74와 1.65가 각각 평균의 로그값과 분산 로그값이다. (분산과 표준편차는 로그의 세상에서는 2배차이밖에 없으므로 아무거나 써도 된다.)

하지만 로그를 먼저 취하면 1과 2가 된다. 간단히 계산해 보면 평균은 1.5이고 분산은 0.25이다. 평균은 뭐 그럭저럭 비슷한데 분산은 완전히 달라진다. 이렇게 된 이유는 무엇일까?

사실 로그를 취한다고 해서 통계적인 값들이 달라지면 안된다. 의미가 달라져도 안된다. 그런데 위와 같은 과정에서는 값이 달라지고 의미도 달라졌다.

우선, 평균을 내고 분산을 구한 다음에 나중에 로그를 취하는 것은 원래의 값이 어땠는지 그대로 놔두고 그 값의 경향성을 로그로 분석한다는 의미가 된다. 하지만 로그를 먼저 취하고 그 값의 평균과 분산을 구하는 것은 원래의 값보다는 원래의 값에 붙어있는 지수에 대해 평균과 분산을 구하는 것이 된다. 물론, 지수함수와 로그함수는 원래의 수가 커지면 함수값도 커지는 Definitely increasing 함수들이기 때문에 이렇게 하는 것이 원래 값들의 경향성을 바꾸지는 않는다. 하지만 지수에 대해 분석하는 것과 원래의 값에 대해 분석하는 것은 그래프를 그려보면 원래의 그래프와 비교해서 왜곡이 생긴다는 것을 알 수 있다.

로그 그래프를 그려서 비교하는 이유는, 가령 어떤 현상이 지수함수적인 경향성을 갖고 있을 때에나 가능하다. 즉, 예를 들면 측정값이 1000이 나오는 경우가 10번에 1번, 100이 나오는 경우가 20번에 1번, 10이 나오는 경우가 30번에 1번 등으로, 그런 경향성이라면 측정값에 로그를 취해서 측정값의 지수와 출현 빈도를 비교하는 것이 좋다. 그런데 솔직히 말해서 친구가 물어본 위와 같은 경우에는 로그를 취하는 것이 통계적으로 큰 의미가 없다. 단지 그래프의 왜곡을 통해서 오차 범위가 작아 보이도록 하는 효과가 있을 뿐이다.

어쨌거나 이렇게 해도 오차가 그다지 줄어들지는 않기 때문에 그 친구는 그냥 원래 값 그대로 그래프를 그리고 실험 결과 분석에는 그냥 적당히 억지를 썼다는 허무한 결말로 이 글을 마친다.

친구가 실험실에서 얻은 결과를 분석하는데 어떻게 해야 할지 모르겠다고 나에게 구원 요청을 해 왔다. 어떤 실험인가 하면, A라는 약품의 효과를 샘플에 주입해서 샘플에서 나오는 빛의 양을 측정하여 알아내는 실험이다. 즉, 가정은 A물질을 샘플에 투입한 양과 샘플에서 나오는 빛의 밝기 I사이에 상관관계가 있다고 주장하는 것이다. 그리고 이 실험을 진행하면, A물질을 샘플에 투입한 후 지난 시간에 따라서도 빛의 밝기가 변한다.

이걸 의미있게 분석하기 위해서 통계적으로 가설 검증을 한다. 실험 결과의 분석은 다음과 같다. A물질을 샘플에 투입하기 전의 빛의 밝기를 Baseline으로 잡는다. 즉, 그만큼은 원래 있었다는 뜻이다. 그리고 A물질을 샘플에 투입한 직후의 밝기를 Initial으로 잡는다. 시작할 때 값이라는 뜻이다. 이래 놓고서 시간에 따른 빛의 밝기를 측정한다. 시간에 따라 밝기는 대체로 어두워지는 편이다.

모든 과학적인 실험은 반복성, 재현성이 있어야 하기 때문에 동일한 샘플을 만들어서 동일한 양의 A물질을 투입하고 동일한 실험을 하였다. 하지만 샘플이 사실은 생물학적 샘플이다 보니 아무리 조건을 동일하게 하더라도 결과가 조금씩은 달라지고, 눈에 드러나는 반복성은 A물질이 많이 들어갈수록 Initial이 더 커진다는 것과 시간이 지날수록 밝기가 어두워진다는 것 정도이다. 이정도는 통계적 검증을 하지 않고 주관적으로 말할 수 있는 사실이긴 한데, 문제는 통계적 검증을 해야 논문을 쓸 수 있다는 것이다.

하지만 매번 같은 실험을 하더라도 Baseline도 바뀌고 Initial도 바뀌기 때문에 어떻게 할 수 없는, 그런 문제가 발생했다. 1번 실험과 2번 실험을 합쳐서 통계적 유의미함을 얻어낼 수가 없다. 생물학적으로 바뀌는 부분을 보정해 줘야 이 실험이 어떤 유의미함을 갖게 될 것이다. 그래서 내가 제안한 방법들은 다음과 같다.

1. Scaling은 어떨까?

실험이 어떻게 되는진 정확히 모르겠지만, 1번 실험과 2번 실험에서 얻은 각 측정값에 어떤 상수 a를 곱해주면 같은 경향이 되지 않을까? 하지만 Baseline의 비율이나 Initial의 비율 중에 하나를 기준으로 삼아야 하는데, 어떤걸 기준으로 삼아도 그 이후의 경향성을 제대로 분석할 수 없다는 결론을 얻었다.

2. 그냥 빼버리면?

비율은 상관 없이 각 실험의 측정값들이 어떤 상수 a만큼만 차이가 있다면? 이것도 바로 기각되었는데, 그래프 생긴게 “시간이 지날수록 어두워진다”는 경향성만 같을 뿐 수치상으로는 별 관련이 없었다.

3. 1번과 2번을 다 합쳐서 Y=aX+b의 관계가 있는건 아닐까?

역시 계산해봤는데 별 관련이 없었다.

4. 푸리에 변환을 해보면 주파수 영역에서 뭔가 관련성이 나오지 않을까?

푸리에 변환을 하고 싶었는데 점이 8개밖에 없어서 분석이고 자시고 할 게 없었다.

5. Y=f(X)의 관계가 있다 치고 그걸 찾아내는건 어떨까?

무슨수로…-_-;

6. Convolution을 공부해서 해보자.

그 친구에게 Convolution을 가르치는건 뭐 어떻게 한다 쳐도, 그 논문을 읽고 심사할 그 분야의 다른 연구자들까지도 Convolution을 잘 알거라고 크게 기대하기 힘들다. 그리고 어쨌든 Convolution은 그 분야에서는 잘 쓰는 방법은 아니라고 하더라.

그래서 그냥 그 친구는 아무런 보정도 하지 않고 그냥 평균을 냈다.

나만 허무했지 뭐.

우선, 안장점이 뭔가에 대해서 알아야 한다. R이 위치를 나타내는 벡터라 치고, f(R)=z인 어떤 그래프가 있을 때, 안장점은 R의 어떤 방향으로는 극대값이고 다른 어떤 방향으로는 극소값을 갖는 지점이다. 어떤 방향으로 극대값인데 그 방향으로도 극소값을 갖는다면 그건 그 방향으로 상수함수니까 별로 중요하지 않다. 이 안장점을 찾아야 하는 이유는, 내가 졸업논문에 안장점 찾기 알고리즘을 쓰기로 했기 때문만이 아니라, 여러가지 물리적인 현상을 컴퓨터를 이용해 계산하는데 있어 안장점이 중요한 역할을 하기 때문이다. 어떤 물리적인 계가 항상 바닥 상태에만 있다면 그 물리계를 나타내는 상태 함수를 찾아낸 후, 그 상태함수의 극소값을 다 찾아내면 된다. 극소값을 찾아내는 문제는 고등학생이면 다 알다시피 미분해서 0되는 지점을 찾아내는 것이다. 그런데, 미분해서 0이 된다고 다 극소값은 아니다. 물론, 미분해서 0이 되는 지점을 다 찾아낸 후, 그 지점 각각이 극소값인지 극대값인지 아무것도 아닌지 알아내는 것은 매우 쉽다. 그런데 항상 바닥상태에만 있다면 아무 일도 일어나지 않을 것이고, 아무 일도 일어나지 않는 세계는 우리가 사는 세상이 아니다. 알다시피 매일 사건이 터지는 곳이 바로 현실이다. 즉, 바닥상태에서 다른 곳으로 움직이는 것을 예측해야만 하는데, 물리적인 계는 다른 곳으로 움직일 때에도 웬만하면 가장 에너지가 낮은 곳으로 움직이려고 하기 때문에 에너지가 가장 낮은 경로를 따라서 움직인다. 다만, 바닥상태는 아니니까 한쪽으로는 점점 위로 올라가는 것이다. 한없이 올라갈 수는 없으므로 언젠가는 다른 바닥상태에 도착할 것이다. 즉, A에서 B로 가는 방향인데 가면 갈수록 점점 올라가긴 한다. 하지만 원래 가는 방향이 아닌 다른 방향으로 가면 더 힘들다. (극소점) 그리고 바닥에서 다른 바닥으로 가는 거니까, 올라가다가 언젠가는 내려가야 하고, 따라서 어딘가에서는 극대값을 갖는다. 바로 이 지점, 극소값이면서 극대값을 갖는 지점이 안장점이다.

우리가 관심을 갖고 있는 물리적인 계가 여기서 저기로 움직일 때 어느 곳을 통해서 가는지 알아내려면 안장점을 알아내야 한다. 이것이 안장점이 흥미로운 이유다. 물론 내가 졸업논문에 쓰기로 했으니까 더더욱 흥미로운 주제가 된다. 만약 이 주제가 흥미롭지 않다면, 당신은 내가 아니라는 것이 증명될 뿐이다.

아무튼 원래 문제는 극소값이 아니라 안장점이므로.

안장점은 어떤 방향으로는 극대값이고 다른 방향으로는 극소값이 되는 지점이기 때문에, 그 지점에서 함수를 한번 미분하면 0이다. 고등학생이라면 … 다 아는 얘기니까 하는 거지만, … 두번 미분했을 때 그 값이 음수라면 위로 볼록한 부분이고 양수라면 아래로 볼록한 부분이다. 두번 미분했을 때 0이라면 끔찍한 일이 벌어진다. 평평하다. -_-;

안장점의 예


http://www.google.com/images?um=1&hl=ko&client=ubuntu&channel=fs&biw=1276&bih=713&tbs=isch%3A1&sa=1&q=saddle+point&aq=f&aqi=&aql=&oq=&gs_rfai=

어쨌든 안장점인지 아닌지 알아내기 위해서는 이게 오목하지도 않고 볼록하지도 않다는 걸 확인해야 하므로 항상 두번 미분해야 한다. 그런데, y=f(x)같이 1차원에서 1차원으로 가는 함수면 과학자들이 고민하지도 않을 것이다. 과학자들이 풀고 있는 문제는 임의의 n차원에서 n이 300000000000000000000000정도 되는 경우에 안장점을 어떻게 찾을 것인가 하는 문제이다 물론 이건 너무 복잡하니까 이보다 10억배 정도 쉬운 문제인 n=300000000000000 차원 정도에서 풀려고 하는데 그래도 복잡하니까 다시 1000만배 정도 쉬운 문제인 n=30000000차원 정도의 문제를 풀려고 한다. 물론 사람이 계산할 순 없다. 돈 아무리 많이 줘도 이짓은 못하겠다. (옛날엔 했다. 케플러가 살던 시절에는.) 그럼, 여기서 2차 도함수를 계산한다면, 1차 미분한 각각의 함수의 1차미분이니까, 다시 계산해야 하는 수가 900000000000000개가 된다. 하지만 이건 안장점을 알고 있는 경우에 그 점에서 계산해야 하는 수의 개수이고, 어디있는지 모르면 그 안장점을 찾아 헤매이면서 모든 점에서 다 해봐야 안다. 즉, 이건 컴퓨터조차 파업할만한 문제다. (파업하는 컴퓨터가 있다면 그 컴퓨터는 고장났거나, 미래에서 왔을 것이다.)

그래서 컴퓨터에게 삽질을 떠넘기고 그 사이에 편히 쉬면서 좀 더 유용한 일을 하려는 전산물리학자들은 두번 미분 할 필요 없이 한번만 미분해서 문제를 해결하는 방법을 찾아내기 시작했다. 그것이 내 졸업논문에서 다루려고 하는 Stability Boundary Method와 Dimer Method와 Nudged Elastic Band Method이다.

자, 일단 여기까지. 각각의 알고리즘에 대한 자세한 설명은 다음 기회에…