지난주, 회사에서 보내주는 리더쉽 캠프에 참관하고 왔다.

“성공하는 사람들의 7가지 습관”이라는 책을 쓴 스티븐 코비가 만든 성공론에 관한 교육 과정인데, 실제로 저 제목은 영어로 “7 habits of highly effective people”이다. 교육 자체는 조별 토론 방식이고 Facilitator가 화두를 이끌어 주는 형태를 취하고 있다. 원래 미국에서는 3박 4일동안 하는 교육이라고 하는데, 한국은 아무래도 시간이 없다보니 2박 3일로 압축해서 교육하고, 다시 이 회사에서는 그나마 시간이 나지 않아서 1박 2일로 한번 더 압축하였다. 그 결과 첫날 아침 10시부터 저녁 10시까지, 둘째날 아침 8시부터 저녁 5시까지 쉬지않고 달려가는 초고밀도 교육이 되어버렸다. 아무튼, 그대로 까먹을 수는 없기에 요점을 정리하여 몇자 적어둔다. 교육 내용이 비밀도 아니고 어차피 저 책 보면 다 아는 내용이며 사실 누구든 깨달음만 있으면 실천할 수 있는 내용이므로 상관 없을 것이라고 본다. 이해가 안가는 부분이나 설명이 부족하다고 생각되는 부분은 댓글로 알려주시면 보충하도록 하겠다.

7가지 습관을 요약하면 다음과 같다.

1. 자신의 삶을 주도하라
2. 끝을 생각하며 시작하라
3. 소중한 것을 먼저하라
4. 승-승을 생각하라
5. 먼저 이해하고 그 다음에 이해시켜라
6. 시너지를 내라
7. 끊임없이 쇄신하라

이상이다. 우선, 몇가지 개념들이 필요하다.

리더쉽

다른 사람들을 움직이도록 영향을 미치는 능력이다. 다른 사람을 움직이는 방법으로는 강제력(Position power, 권력), 보상, 정보제공, 전문성, 역량(Character) 등이 있다. 그중 Character에 의한 영향력이 가장 강력하다.

종류를 막론하고 모든 조직이 가지고 있는 문제는 다음과 같다

• 주인의식 결여
• 생산성, 역량 부족
• 상호 불신
• 의사소통 부족
• 시너지(팀웍) 부족

이 문제를 해결하기 위하여 구성원 각각이 리더라는 생각을 갖고 리더쉽을 발휘해야 조직 전체가 성공하게 된다.

아무튼, 그래서 가장 중요한 것은 “생각이 바뀌면 행동이 바뀌고, 행동이 바뀌면 습관이 변하고, 습관이 변하면 성품이 변하고, 성품이 변하면 운명이 바뀐다”는 것을 강조하여 지금 교육이 생각을 바꾸고 습관을 바꾸는 훈련이라는 것을 강조한다.

진정한 리더는 남들을 대할 때 성격과 성품 모두 갖추고 있어야 하는데, 성품은 내재적인 것이고 성격은 외부적인 것이다. 성품은 그 사람이 움직이는 기본적인 원리나 가치관을 뜻하고, 성격은 그 사람이 움직일 때 드러나는 모습이다. 성품은 위급한 상황에서 드러나기 쉽다.



<sup>[각주:

1

]</sup>

신뢰할만한 가치가 있는가?(Trustworthiness) 이 개념은 나도 여기서 처음 들었는데, 이것은 내가

http://snowall.tistory.com/47

에서 한번 다룬 바 있다. 이 교육에서 이야기하는 신뢰할만한 가치 개념은 “그 사람에게 그 일을 맡기고 싶은가?”에 관련된 성품(Character)과, “그 사람이 그 일을 할 수 있는가?”에 관련된 역량(Competence)이 관련된다.

이 교육의 리더쉽에 대한 접근법은 Character based, inside to out, principle centered다.

내가 먼저 바뀌어야 한다는 점은 개인의 변화가 부서의 변화를 바꾸고, 부서와 팀의 변화가 조직 전체의 변화를 이끌어 낸다고 주장하는데, 이것은 우리가 잘 알고 있는 “수신제가치국평천하”와 같은 얘기이다.

패러다임

세상을 보는 관점이다. 세계관, 가치관, 시각 등과 비슷한 뜻이다. 가령, 팀장의 패러다임이 “팀원이 무능하다”라면, 그 결과 팀장은 팀원의 세세한 것까지 모두 관리하려 들 것이고, 따라서 팀원은 팀장이 시키는 것만 하게 되며 그 결과 팀원은 실제로 무능하게 되어 팀장의 패러다임을 강화하는 결과를 낳는다. 이 악연의 순환고리를 깨기 위해서는 패러다임의 변화가 있어야 한다.

패러다임을 바꾸게 하는 것은 바로 기본 원칙(Principle)이다. 원칙이라는 것은 또한 누구에게나 적용할 수 있는 보편적 진실이어야 하고, 시공간을 초월해야 한다. 이것은 판단하는 것이 아니라 판단의 기준 그 자체를 이야기한다. 만약 원칙이 없으면 패러다임은 선입견에 불과하고 판단은 자의적 판단이 된다. 소신껏 살라는 뜻이다.

성공

성공이라는 것은 생산(Production)과 생산 능력(Production Capability) 사이의 균형이 잡혀서 지속적으로 성장하는 것이 가능한 상태를 말한다.

내가 생각하는 성공은

http://snowall.tistory.com/62

에 적혀 있는데, 꼼꼼히 해석해보면 같은 맥락에서 이해할 수 있다.

중요한 개념으로 “주도적Proactive”이라는 말이 나오는데, 이것은 “반응적Reactive”이 아니라는 점을 강조한다. 주도적이라는 것은 나의 의도대로 상황이 주도되는 것을 뜻하고, 반응적이라는 것은 상대방의 의도대로 내가 반응하는 것을 뜻한다. 예를들어, 상사가 부하직원에게 퇴근 직전에 무슨 일을 처리해 달라고 했는데, 부하 직원이 쫄아서 상사의 부탁을 들어주다가 야근하게 되는 경우 부하 직원은 반응적인 행동을 한 것이다. 그 부하 직원은 상사의 부탁이 타당한지, 합리적인지, 정말 급한일인지, 정말 필요한 일인지 판단한 후 일을 처리하거나 다음날 와서 처리하겠다고 대답하고 퇴근하는 주도적인 선택을 했어야 한다. 이것을 위한 나의 견해는 “메타 관점”이라는 개념을 도입하는 것이다. 물론 이 개념은 주도적이라는 개념과 같은 맥락으로 이해 가능하다.


http://snowall.tistory.com/46



http://snowall.tistory.com/48

그리고 정말 주도적이 되기 위하여 영향력의 원을 늘리라는 말을 한다. 어떤 개인의 주변에서 일어나는 일들 중에서, 그 사람이 관심을 갖고 있는 일들은 관심의 원 안에 있고, 그 사람이 영향을 미칠 수 있는 일들은 영향력의 원 안에 있다. 관심의 일 중에서 영향력의 원 바깥에 있는 것들은 그 사람이 주시하고는 있으나 영향을 미칠 수 없다. 따라서 그것은 그 사람이 어쩔 수 없는 일이다. 하지만 그 사람은 여전히 관심의 원 영역에 관심을 갖고 있기에 그 사람은 아무것도 할 수 없다. 여기서, 관점(=패러다임)을 바꿔보면? 그가 영향을 미칠 수 있는 부분에 손을 대서, 그곳에서 주도적이 되어 자신의 상황을 바꿔 나간다면 얼마든지 영향력의 원을 늘릴 수 있고, 따라서 차츰 자신의 영향력이 커져서 예전에는 손도 댈 수 없었던 부분까지 영향을 미칠 수 있게 될 것이다. 이 얘기는 내가 S회사에 입사한 C양에게 죽어라고 해줬던 얘기이다. 즉, 남들이 움직일때까지 마냥 기다리지 말고 스스로 먼저 움직여 나가라는 것이다. 동료들이 C양에게 무슨 일이나 행동을 했다면 C양은 그것을 그 사실로서 판단하고, 그 판단에 따라 행동하라는 것이다. 그리고 그렇게 행동을 하면 다른 사람들은 그 행동을 보고 그에 대해 반응할 것이고, 그럼 다시 그 반응을 보고 그에 맞춰서 행동하면 되는 것이다. 하지만 C양은 남들이 어떻게 반응할 것인지 명확하게 예측하고 그중에서 최적의 선택을 하고자 했고, 알다시피 이것은 불가능하다. 자기 자신도 어떻게 움직일지 모르는데 타인의 선택과 반응을 정확하게 예상할 수는 없다. 그리고 예측을 하느라 결국 때를 놓치거나 잘못된 판단을 하게 되었다.

끝을 생각하며 시작하라는 것은, 그 말 그대로 받아들이면 될 것이다.

보는 관점의 변화를 “나는 주어진대로 산다”에서 “나는 내가 설계한대로 산다”는 쪽으로 바꾸는 것이 중요하다.

이에 대해서 나는 삶에 중독되지 않을 것을 논한다.


http://snowall.tistory.com/205


memento mori라는 말을 알려줬는데, 이것은 “당신이 반드시 죽는다는 것을 기억해라”라는 뜻이라고 한다. 내가 20살이 되면서 했던 생각이 “20대는 누구나 10년씩 주어진다”는 거였는데, 비슷한 맥락으로 이해가 된다.

그냥 살다보니 사는 것이 아니라, 그 습관에서 벗어나 의미있는 삶을 살아가라는 뜻이다.

이를 위해서 자기사명서(Mission Statement)를 쓰라고 하였는데, 뭐 이건 알아서 쓰면 된다.

나의 좌우명으로 발표한 것은 “이 세상 끝까지 너의 꿈을 따르라, 그것이 세상을 구원하는 유일한 길일지니”하고 “멋진 말이라면 백만개라도 할 수 있지만, 하나라도 실천하는 것은 어렵다”이다.

소중한 것을 먼저하라는 습관은 우선 순위에 따라 성실하게 행동할 때 효과적인 삶을 살 수 있다고 한다.

사람이 하게 되는 모든 행동은 긴급한지 아닌지, 중요한지 아닌지에 따라서 4가지로 구별된다. 급하고 중요한 일, 급하지만 중요하지 않은 일, 급하지 않지만 중요한 일, 급하지도 않고 중요하지도 않은 일이다. 여기서 사람이 역량을 집중해야 하는 것은 급하지 않지만 중요한 일이다. 왜냐하면 급하지만 중요하지 않은 일과 급하고 중요한 일에 보통 집중하게 되는데, 이렇게 되면 급하지 않지만 중요한 일들을 놓치게 된다는 것이다. 하지만 급하지 않지만 중요한 일들을 하게 되면 급한 일들을 줄여나갈 수 있게 된다.

예를들어, 급하지 않지만 중요한 일로 자기 개발이 있다. 자기 개발은 급하지는 않지만 중요한데, 이것을 다른 급한 일들에 밀려서 못하게 되면 맨날 그 상태 그대로라는 것이다. 하지만 자기 개발을 해서 본질적인 능력을 늘리게 되면 급한 일들이 줄어들게 된다는 것이다.

정확히는, 급하지 않지만 중요한 일은 미래에 대해 예방하고 대비하는 것을 말한다. 유비무환이라고 한다. 허리가 아픈 것을 아직 참을만하다고 그냥 버티고 일에만 매달리다가는 완전히 허리를 못 쓰게 된다. 조금만 더 일하면 된다고 계속 버티다가 과로사라는 최악의 결과를 내는 직장인들도 많다. 이것을 막기 위해서 패러다임을 바꾸면, 중요하지만 급하지 않은 일에 조금씩 더 집중하다보면 어느새 많은 일들이 예방되고 미래가 더욱 좋게 변해 나갈 것이라는 점이다.

이것을 위해서 시간 관리 방법을 소개하는데, 자신의 가치와 원칙에 따라 소중한 일들을 정리하고, 소중한 일들을 언제 할 것인지 일단 정해두는 것이다. 그리고 이것은 반드시 지켜야 하는 원칙이 된다. 그리고 나머지 일들을 처리할 시간을 만들어 준다. 만약 반드시 지켜야 하는 약속의 시간에 누군가 그것을 방해하려고 한다면, 일단 “기다려요”라고 얘기한 후 가치판단과 원칙에 따라 무엇이 더 소중하고 중요한 일인지 결정한 후에 대답하라는 것이다.

미래라는 것이 지금 이 순간이라는 벽돌이 쌓여서 만들어지는 것이라면, 이처럼 소중한 것을 먼저하는 원칙에 맞춰서 시간을 관리하고 일정을 짜는 것은 그 벽돌이 정확한 위치에 단단히 박히도록 하는 것을 뜻한다.

승-승을 생각하라는 습관은 영어로 win-win 전략을 택하라는 것인데, 이것은 사실 내가 죄수의 딜레마에서 여러번 논의했었다.


http://snowall.tistory.com/12


서로 기분 좋게 끝나는 방법은 웃으며 얘기하고, 칭찬하며 끝내는 것이다. 칭찬은 고래도 춤추게 한다는 책이 있지 않는가. win-win전략은 자신의 영향력의 원을 넓히는 좋은 방법이다. 실제로는 lose-lose나 win-lose나 lose-win의 상황이 자주 나타나는데, 이것은 lose가 있기 때문에 전체적인 실익은 증가하지 않게 된다.

이를 위해서는 용기와 배려가 필요한데, 용기는 자신의 생각과 감정을 솔직하게 말할 수 있는 능력과 의지이고, 배려는 다른 사람의 생각과 감정을 있는 그대로 받아들일 수 있는 능력과 의지이다. 결코 자신의 생각과 감정을 관철시키는 것이 아니다.

먼저 이해하고 그 다음에 이해시키라는 것은, 내가 남을 설득하기 위해서는 우선 남의 상황을 진심으로 이해해야 한다는 것을 뜻한다. 상대방을 감동시키기 위해서는 상대방을 이해해야 한다. 이해하는 것은 상대방의 상황을 공감하는 것을 뜻한다. 우선 듣고, 이해하고, 그에 대한 나의 반응을 보여주는데, 이때 나의 반응은 반드시 상대방의 의견을 진심으로 이해했다는 것이 반영되어야 한다. 그리고 나의 반응에 나의 의견을 반영하여 되돌리면 된다.

이것이 되면 시너지를 낼 수가 있게 된다. 이때 중요한 것은, 시너지를 냈느냐 아니냐 그 결과가 아니다. 정말 중요한 것은 시너지를 내기 위해서 노력하는 것이다. 시너지를 내지 못하는 것은 서로 협동하지 않기 때문인데, 협동하지 않는 것은 서로의 공동 목표가 없기 때문이다. 하지만, 사실 알고보면 누구든 결국 각자의 이익을 위해서 행동한다는 목표가 있는 것이고, 서로 협동하는 것이 이익에 도움이 된다는 것을 파악하면 시너지를 낼 수 있게 된다. 이를 위해서 구체적인 방법론은 다음과 같다.

1. 서로의 행동이나 의견이 상충하는 경우, 물어본다. “당신이나 내가 제안한 방법보다 더 좋은 방법이 있다면 그 방법을 받아들이겠습니까?”
2. 그리고 내가 상대방의 의견을 이해하지 못했으면 내 의견을 고집부리지 않는다.
3. 상대방의 의견을 이해할 때 까지 듣는다. 제대로 이해했는지 확인하려면 “당신의 의견은 xxxx입니까?”라고 물어본다. 이때의 질문은 내 생각이 아니라 상대방 이야기한 것을 내가 이해한대로 말하는 것이다.

이를 위해서 발언 막대기(Talking stick)을 사용할 것을 제안하는데 이것은 인디언들이 사용하던 것을 복제한 것이라고 한다.

이 막대기의 사용 규칙은 다음과 같다.

1. 발언 막대기를 가진 사람만이 자기 주장을 이야기할 수 있다.
2. 다른 사람은 자신의 주장을 하기 위하여 발언 막대기를 가진 사람으로부터 그것을 넘겨받아야 한다.
3. 발언 막대기를 넘겨 받기 위해서는, 발언 막대기를 가진 사람의 주장을 제대로 이해했음을 알려야 한다. 이것은 주장하고 싶은 사람이 발언 막대기를 가진 사람의 주장을 그대로 자신의 언어로 표현함으로서 확인받는다.
4. 발언 막대기를 가진 사람은 다른 사람에게 발언권을 넘길 수 있다.

시간이 없어서 끊임없이 쇄신하라는 습관은 동영상 하나를 보고 넘어갔다. 이것은 톱질하는 사람이 톱날을 갈지도 않고 무딘 칼로 계속 톱질을 해봐야 결코 원하는 목표를 달성할 수 없다는 내용이었다. 즉, 계속해서 자신을 날카롭게 갈고 닦아야 한다는 것이고, 앞의 습관들을 항상 염두하여 실천해 나가야 한다는 것을 뜻한다.

아무튼, 여러가지를 배운 교육이었다.

*실제 계산에서는 적분이나 지수함수에 $2\pi$만큼이 곱해지거나 나눠지거나 등등의 일이 일어나므로, 정확한 공식은 책을 찾아보고 상황에 적합한 것을 사용할 것을 권한다. 아래의 설명 및 이 블로그에서의 설명은 모두 정규화(Normalization)을 하지 않은 개념 이해를 위한 설명일 뿐이다.

*이 글의 댓글을 참고하여 논리적/수학적인 오류가 내포되어 있을 수 있음을 경고해 두는 바이다. 전체적인 맥락의 이해에서는 맞지만, 여기 나온 공식들을 그대로 적용하려고 할 때는 문제가 발생할 수 있으므로 다른 좋은 책들을 참고할 것을 강력히 권장한다.

원래는 푸리에 변환의 실제 계산들을 해보려고 했으나, 사실 푸리에 변환을 계산한다는 것이 $e^{ikx}$를 곱해서 잘 적분하면 끝나는 것인지라 이건 오히려 적분 기술에 가까워서 그만 두었다. 어떤 함수의 푸리에 변환이 궁금하면 적분을 잘 해보시기를. 부분적분과 치환적분을 여러번 잘 사용해야 한다. 그리고 인터넷 검색하면 대표적인 함수들의 푸리에 변환 표가 있으니까 참고해도 좋다. 이보다 어려운 문제는 보통 더 많은 함수들의 푸리에 변환 표를 찾아보거나, Maple 이나 Mathematica 등의 수학 프로그램을 쓰면 된다. 그것도 없으면 곧 다음 문단에서 소개할 DFT를 이용하면 된다.


http://ipml.ee.duth.gr/~papamark/circuits/Table%20of%20Fourier%20Transforms.htm



http://www.mas.ecp.fr/Personnel/lilla/classes/image_processing/pdf/FourierTransformPairs.pdf

이번 시간에는 이산 푸리에 변환(Discrete Fourier Transform=DFT)에 대해서 알아보도록 하겠다.

사실 DFT 자체는 그다지 효용이 없다. 하지만 이걸 응용하면 빠른 푸리에 변환(Fast Fourier Transform=FFT)이 가능하고, FFT는 현대 통신 기술의 중요한 방법론 중의 하나이므로 우선 DFT를 소개하는 것이 좋겠다.

말은 아주 거창하게 했으나 실제로 DFT는 대단히 간단하고, 따라서 이 글도 짧다.

푸리에 변환의 요점은 오직 “적분을 하면 된다”는 점이다. 그런데 대부분, 무한히 많은 수의 함수들은 적분을 할 수 없거나 적분하기 힘든 함수들이다. 함수 형태가 딱히 해석적인 형태로 주어지지 않고 모든 점에 주어진 숫자로 이루어진 경우도 있다. 이런 식으로, 적분하기 괴로울 때 수학자들이 사용하는 방법은 원점으로의 회귀다. 적분은 원래 아주 많은 것들을 더하다가, 무한을 발견하게 되어 무한히 많은 것을 어떻게 더할지 고민하다가 등장한 계산법이다. 따라서, 적분은 원래 덧셈이고, 그 덧셈은 원래 연속적인게 아니라 띄엄띄엄하게 끊어져 있었다. 즉, Discretization이다.

그리하여,

$\int_0^{2\pi}dx e^{-ikx}f(x) \rightarrow \sum_{n=0}^{N-1} exp(-ikn\frac{2\pi}{N})f(n\frac{2\pi}{N})\frac{2\pi}{N}$

가 DFT의 중심 공식이 된다. 각각 적분기호는 합산 기호로, 적분 구간은 수열 번호로, 적분소 dx는 한 구간의 길이로 바꾸면 된다. 이제, 푸리에 변환은
함수값을 여러개 찾아서 모두 더하는 덧셈으로 바뀌었기 때문에 컴퓨터를 이용해서 계산할 수도 있다. (물론 사람이 할 수도 있다)

푸리에 변환은 어떤 함수로부터 다른 함수를 구하는 것이므로, 위의 함수는 k가 결정되면 함수값이 결정되는 함수일 것이다.

사실 이건 공식이랄것도 없이, 연속적인 적분을 구분구적법처럼 다시 표현한 것에 불과하다.

실제로 구분구적법은 구간을 잘라낸 갯수인 N을 무한대로 보내는 극한을 취하지만 손으로 계산하거나 컴퓨터에게 일을 시킬 때 진짜로 N을 무한대로 보낼 수는 없으므로, 우리가 원하는 적당한 오차 범위와 계산 시간을 고려하여 N을 적당히 큰 숫자로 정하게 된다.


만약 원래 주어진 함수 자체가 끊어져서 들어온다면, 즉 주어진 함수가 모든 점에서의 값이 주어진 것이 아니라 유한한 수의 점에서만 함수값이 주어져 있다면 이 경우에는 연속적인 적분이 불가능하고 항상 덧셈으로 정의된 적분을 해야 한다. 이때는 변환과 역변환 사이에 오차가 없게 된다. 가령, n개의 점에서 함수값이 주어져 있다면, 즉 $(a_1, f(a_1)), (a_2, f(a_2)), …, (a_n, f(a_n))$ 으로 함수가 주어져 있는 경우, 이것은 하나의 “벡터”라고 볼 수 있고 푸리에 변환은 저 벡터를 다른 벡터로 보내는 1차 변환이 된다. 물론 그 역변환도 가능하다.

한가지 생각해 보자. 이 계산을 다 하려면, 구간을 N개로 잘랐다고 할 때 몇번의 계산을 해야 할까? 함수값에 대입하는건 빼고, 덧셈과 곱셈을 수행하려면 N*N번의 계산을 해야 한다. (심각하게 고민해 보시기를)

*DFT에 관한 괜찮은 설명은 위키피디아를 찾아보면 된다.


http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform


*Paul Bourke이라는 사람이 DFT에 대한 알고리즘과 구현에 대해 설명한 것도 있다.


http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/other/dft/

다음편 스포일러 : FFT는 계산 시간을 N*logN으로 줄일 수 있다.

수학하는 척하면서 놀기.

– Undefined terms –

computer, information, user

– Axiom –

A computer has an information.

A user operates a computer.

– Definition – RELATION

A is related to A.

If that A is related to B and B is related to C implies A is related to C.

(Refer to

http://en.wikipedia.org/wiki/Relation_%28mathematics%29

)

– Definition – (Super/Sub) NETWORK

A network is a relation between two computers.

Also, a network can be a network between two networks. If a network is the network of networks, the network is called the supernetwork of the networks and the networks are called the subnetworks of the supernetwork.

– Definition – LARGE / SMALL

A supernetwork is larger than its subnetwork.

A subnetwork is smaller than its supernetwork.

This implies that a computer is one of the smallest network.

– Definition – INTERNET

Internet is a network of all networks.

– Theorem – Internet is the largest supernetwork, that is there is no supernetwork of Internet.

Proof > Internet is a network of all networks. If there is a supernetwork of Internet, it is a subnetwork of Internet. This is contradiction to the definition of Internet.(QED)

– Definition – ACCESSBILITY

Let A and B be computers. If A and B have a network, then A can access to B. Also, its converse is true.

– Definition – BROADCAST

Suppose that a computer A has its supernetwork. If any computer in the supernetwork can be accessble to A, A broadcasts an information to the computers of the supernetwork.

– Definition – BLOG

If a computer broadcasts an information, the computer is called a blog.

– Definition – CONTENT

A content is a set of informations in a computer or networks.

– Definition – UCC

…

이러고 놀다가 UCC의 정의에서 막혔다.

물리학은 어려운가?

이 질문은 상당히 대답하기 어렵다. 어려운 부분도 있고 쉬운 부분도 있기 때문이다.

물리학의 연구 방법론이란, 일반적인 경우에 해당하는 방정식을 세워놓고 특정한 경계 조건에 대해서 풀이한 후 그것을 실험값을 예측하고 비교하여 검증하는 과정을 거치게 된다. 이 과정에서 어려운 부분은

1. 일반적인 방정식 자체를 이해하는 것,

2. 경계조건에 대하여 풀이하는 것,

3. 실험값을 예측하는 것,

4. 실험을 수행하는 것이 있겠다.

물리학자들은 저 4가지 중에 한 분야를 선택하여 일을 하게 되고, 1번과 2번에 관한 연구를 하는 사람들은 이론 물리학자, 3번을 연구하는 사람들은 현상론자, 4번을 하는 사람들은 실험 물리학자라고 구별할 수 있겠다. 물론 물리학자라면 위의 연구 분류에 대해서 어느정도는 다 알아야 할 것이다.

중등 교과 과정에서 배우게 되는 물리학에 한정하여 생각해 보자. 중등 교과 과정에서 사용되는 일반적인 방정식들은 다음과 같다.

• 역학 – 뉴턴의 운동 방정식
• 전자기학 – 쿨롱의 전기력 공식과 암페어의 법칙
• 열역학 – 이상 기체의 상태 방정식
• 양자역학 – 보어의 양자화 공식
• 광학 – 얇은 렌즈의 근사 공식

그 외에는 기억나지 않는다.

내가 가르쳐본 경험으로 볼 때, 아무리 못하는 애들이라도 문제 유형에 따른 풀이 방법을 가르쳐 주기만 하면 관련된 문제는 해결할 수 있었다. 가령, 포사체 운동에서 최대 도달 높이나 전체 비행 시간을 계산하라고 하는 문제는 관련된 공식을 외우라고 하고 대입하는 방법을 가르쳐 주면 다들 풀 수 있었다. 하지만 유형이 바뀌는 경우에 응용을 할 수 없다는 것이 문제이다.

물리학을 어렵다고 느끼는 이유는 밑도 끝도 없이 저런 공식들에 대해서 어떤 설명을 해주고,그 설명을 듣고나서 바로 문제를 풀이해야 하는데 문제와 공식이 어떤 연관성이 있는지 이해하지 못한 상태에서 그대로 적용해야 하기 때문이라고 본다. 그렇다면, 물리를 쉽게 접근하기 위해서는 저 공식과 물리적 상황이 어떤 연관성이 있는지에 대한 이해가 필요하다고 본다.

예를 들어, F=ma라는 공식을 이용해서 문제를 풀 때, 힘과 가속도와 질량이 각각 어떤 의미인지 설명을 하고 주어진 물리적 상황에 대해서 힘과 가속도와 질량이 각각 어떤 값들이 사용되어야 하는지 찾아야 하는데 그런 이해가 부족하기 때문이다.

이 상황은 역학에서는 그나마 좀 낫다. 눈에 보이는 것들이 부딪치고 날아가는 것을 표현하기 때문이다. 하지만 전자기학이나 열역학으로 들어가게 되면 눈에 보이는 것들이 아니라 수식과 그래프로 표현된 추상적 대상에 대한 논의가 되기 때문에 그것이 물리적인 실체라고 보기가 상당히 곤란하게 된다. 이 경우, 주어진 공식과 물리적 상황에 대한 연관성을 이해하려고 해도 물리적 상황 자체를 상상하기가 곤란하기 때문에 힘들게 된다. 눈에 보이지도 않을만큼 작은 전자가 눈으로 볼 수 없는 전기장 속을 헤쳐 나가는데 대체 어디서 어디로 가는지 무슨 수로 알아내냐는 것이다. 사실 이런 상황에 대해서 물리적인 문제를 상정하고, 풀어내는 것이 물리학을 공부하는 방법인데 이런것들을 고등학교 때 상세히 설명하기란 상당히 힘들다. 입시 위주의 교육 때문이다.

F=ma라는 공식을 보자. 힘이 질량과 가속도의 곱이라고 뉴턴이 썼다는데, 그게 질량과 힘을 곱해야 하는지 더해야 하는지 나눠야 하는지 어떻게 알았을까? 누가, 대체 무슨수로. 그리고 힘이 가속도에 비례하는지 속도에 비례하는지 아니면 가속도의 도함수에 비례하는지 반비례하는지 무슨수로 알아낸다는 말인가.



<sup>[각주:

1

]</sup>



참으로 알 수 없는 노릇이다. 더군다나 전자가 눈에 보이지도 않는데 눈에 보이지 않는 전기장 속에서 힘을 받는 경우 전하와 전기장의 세기에 비례하는 힘을 받는다고 하니, 참으로 황당할 수밖에 없다. 따라서, 이러한 물리적 상황들이 학생들의 머릿 속에서 추상적인 심상을 형성하지 못하면 결국 이해할 수 없는 상황이므로 물리는 어려울 수밖에 없다. 상상력의 부재라는 것이다.

그럼 어떻게 해야 물리학 문제가 쉽게 다가올까? 어떤 방법을 쓰더라도 문제 자체가 쉬워지지는 않는다. 문제의 난이도는 주어진 상황 자체를 이해하는 능력과 그 상황으로부터 방정식을 이끌어내는 능력과 유도된 방정식을 이용하여 원하는 물리량을 계산해내는 능력에 모두 관계되기 때문이다. 하지만 최소한, 주어진 상황 자체를 이해하고 그로부터 방정식을 이끌어내는 것 까지를 키워줄 수 있다면 물리 문제를 풀 때 느껴지는 체감 난이도가 훨씬 쉬워지지 않을까? 적분 자체가 불가능하더라도, 무슨 식을 적분하면 된다는 것 까지만 알아내더라도 주어진 물리 문제를 상당히 많이 풀어낸 것이라고 볼 수 있기 때문이다.

물리적으로 주어진 상황을 이해하려면 고급의 상상력이 필요하다. 이것은 아무리 쉬운 역학 문제를 해결하더라도 마찬가지이다. 어떤 물체의 움직임을 기술하고 싶으면 그 물체에 작용하는 힘을 상상해야 하는데, 힘이라는 벡터는 사실 눈에 보이지 않지만 우린 그 물체의 특정한 점에서 시작하는 화살표를 상상해야만 하는 것이다. 이러한 벡터를 상상할 수 있는 능력은 처음에 물리를 배울 때 가장 쉽게 만들어질 수 있고, 또한 처음 배울 때가 아니면 상당히 어렵게 된다. 파인만이 수식을 그림으로 연관지어 그린 것이 아무나 할 수 있어 보이지만 그때까지 아무도 못했다는 것을 생각해 보기를 바란다. 아주 단순한 것이 가장 어려운 법이다. 만일 이런식으로 힘을 벡터를 통해서 이해하는 것이 가능하게 된다면, 그 다음부터 역학적인 상황을 상상하고 그 다음의 물체들이 어떻게 움직이게 되는지 상상하는 것은 쉬운 일일 것이다.



<sup>[각주:

2

]</sup>



벡터에 대한 상상력을 키우게 되면, 그 다음에 전자기학을 공부할 때 벡터가 아주 많이 나오는 전기장 등의 벡터 장을 상상할 수 있게 된다. 또한 열역학을 공부할 때 수많은 입자들의 운동을 상상할 수 있게 된다. 이러한 벡터에 대한 상상력으로부터 나오는 수많은 물리적 상황의 연관성을 생각해 볼 때, 물리를 공부하는데 있어서 상상력은 꼭 필요한 것이라 할 수 있겠다. 또한, 물리가 어렵다고 생각하는 것은 상황이 상상되지 않기 때문이기도 하므로, 상상력을 키우는 것이 물리를 쉽게 접근하는데 도움이 될 것이다.

*원래 생각했던 것과 다른 방향으로 글이 엇나가 버렸다.