위의 그림은 피로도를 측정하기 위해 특별히 고안된 그림이다. 피곤한 사람은 노란색이 더 많이 보이고 아니면 파란색이 더 많이 보인다고 한다.

그래서, 위의 그림을 RGB영역에서 다시 한번 바라보았다.

일단 위의 그림은 녹색 영역이다. 양쪽이 유사하다는 것을 알 수 있다.

그 다음은 빨간색 영역이다. 예상대로 오른쪽이 밝고 왼쪽이 어둡다.

물론 이것은 파란색 영역이다. 왼쪽이 밝다.

어느쪽 영역이 더 넓은가 평가하기 위해, 세로축으로 픽셀의 값을 모두 더한 후, 가로축 픽셀에 따라 그래프를 그려보았다.

세개의 그래프가 어딘가에서 교차하는데, 그 위치가 바로 가장 어두운 지점이다.

이 그래프의 극소점은 빨간색과 녹색이 왼쪽에서 242픽셀, 파란색이 251픽셀에 있다.

전체가 530픽셀인 그림이므로 그 중앙은 265인데 242픽셀이면 중앙으로부터 20픽셀, 전체의 5%정도 벗어나 있는 셈이다.

따라서, 두 일렁이는 그림의 면적이 같다는 주장은 거짓이라고 생각된다.

만약 당신이 현재의 상황에 불만을 느끼고 있다면, 그것은 현재 상태로부터 벗어나기 위해 무엇을 해야 하는가에 대한 기초가 된다.

아무 불만이 없다면, 부럽다.

변환이란 이것을 저것으로 바꾸는 것인데, 가령 앞면을 바라보는 동전을 뒷면으로 뒤집는다거나, 자동차 타이어를 바꾼다거나 하는 것들이 변환의 예이다.

예를 들어서, 다보탑이 보이는 동전을 뒤집으면 10이라는 숫자가 보인다. 이 동전의 양면은 뒤집기에 대하여 대칭적이지 않다. 그러나 이 동전을 뒤집지 않고 회전시키는 경우, 동전의 옆면은 아무런 변화 없이 여전히 맨질맨질하다. 이 경우 이 동전의 옆면은 회전에 대하여 대칭적이다.

연애를 하기 전에는 아무나 자유롭게 만날 수 있다. 이 사람을 만나다가 저 사람을 만나도 아무런 일이 일어나지 않는다. 즉, 만나는 사람을 바꾸는 일에 대하여 대칭적이다. 그러나 연애를 하게 되면 아무나 만났다간 혼난다. 즉, 대칭성이 깨졌다.

물론 에미 뇌터의 정리에 의하면, 어떤 대칭성이 존재하면 그 대칭성에 상응하는 보존량이 존재한다. 연애를 하지 않음으로써 발생하는 대칭성에 상응하는 보존량은 돈이다.

대칭적인 세상이 아름답다고 생각하는 당신, 이래도 대칭성이 아름답기만 한가?

과연 이 패턴은 몇가지 경우의 수가 있을까?

규칙은 다음과 같다.

1. 최소한 4개의 점을 이어야 한다. 즉, 1개, 2개, 3개로 이루어진 패턴은 만들 수 없다.

2. 한번 지나간 점은 다시 지나갈 수 없다. 단, “꼭지점”으로 기능하지 않으면 스쳐지나갈 수는 있다.

3. 고르는 순서가 다르면 서로 구분되는 경우이다.

4개의 점을 가진 패턴을 생각해 보면, 우선 최초에 9개의 점 중에서 1개를 골라야 한다. 그 다음에는 8개의 점 중에 골라야 하고, 마찬가지로 7개중에 1개, 6개중의 1개를 고르면 된다. 이 모든 경우의 수는 9*8*7*6가지 경우인데, 계산해보면 3024가지 경우이다.

5개의 점은 여기에 5개중의 1개를 더 골라야 하므로 15120가지 경우가 가능하다.

마찬가지로 6개의 점은 4개중의 1개를 고를 수 있다. 이것은 60480가지 경우이다.

7개의 점을 잇는 경우는 181440가지 경우, 8개의 점을 잇는 경우는 362880가지 경우가 있다.

9개의 점을 잇는 경우는 8개의 점을 고른 상황에서 선택할 점이 1개밖에 없으므로 8개의 점인 경우와 마찬가지로 362880가지 경우가 있다. 물론 8개의 점을 고르느냐 9개의 점을 고르느냐의 차이가 있기 때문에 두가지 종류의 경우는 경우의 수는 같더라도 서로 다른 경우로 처리된다.

따라서 전체적으로 3024+15120+60480+181440+362880+362880=985824가지 경우가 존재한다.

물론 이 경우의 수는 4자리수 비밀번호인 10000가지보다 98배 이상 많은 경우의 수이다.

수식으로 멋있게 쓰면, N개의 점 중에 k개 이상의 점을 사용하여 패턴을 만드는 경우의 수 $F_N(k)$는

$F_N(k)=\Sum_{i=k}^N \frac{N!}{(N-i)!}$

이 된다.

유명한 보너스 문제. 선분 4개만 사용해서 9개의 점을 모두 잇는 방법은?

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