[작성자:] snowall

우선, 안장점이 뭔가에 대해서 알아야 한다. R이 위치를 나타내는 벡터라 치고, f(R)=z인 어떤 그래프가 있을 때, 안장점은 R의 어떤 방향으로는 극대값이고 다른 어떤 방향으로는 극소값을 갖는 지점이다. 어떤 방향으로 극대값인데 그 방향으로도 극소값을 갖는다면 그건 그 방향으로 상수함수니까 별로 중요하지 않다. 이 안장점을 찾아야 하는 이유는, 내가 졸업논문에 안장점 찾기 알고리즘을 쓰기로 했기 때문만이 아니라, 여러가지 물리적인 현상을 컴퓨터를 이용해 계산하는데 있어 안장점이 중요한 역할을 하기 때문이다. 어떤 물리적인 계가 항상 바닥 상태에만 있다면 그 물리계를 나타내는 상태 함수를 찾아낸 후, 그 상태함수의 극소값을 다 찾아내면 된다. 극소값을 찾아내는 문제는 고등학생이면 다 알다시피 미분해서 0되는 지점을 찾아내는 것이다. 그런데, 미분해서 0이 된다고 다 극소값은 아니다. 물론, 미분해서 0이 되는 지점을 다 찾아낸 후, 그 지점 각각이 극소값인지 극대값인지 아무것도 아닌지 알아내는 것은 매우 쉽다. 그런데 항상 바닥상태에만 있다면 아무 일도 일어나지 않을 것이고, 아무 일도 일어나지 않는 세계는 우리가 사는 세상이 아니다. 알다시피 매일 사건이 터지는 곳이 바로 현실이다. 즉, 바닥상태에서 다른 곳으로 움직이는 것을 예측해야만 하는데, 물리적인 계는 다른 곳으로 움직일 때에도 웬만하면 가장 에너지가 낮은 곳으로 움직이려고 하기 때문에 에너지가 가장 낮은 경로를 따라서 움직인다. 다만, 바닥상태는 아니니까 한쪽으로는 점점 위로 올라가는 것이다. 한없이 올라갈 수는 없으므로 언젠가는 다른 바닥상태에 도착할 것이다. 즉, A에서 B로 가는 방향인데 가면 갈수록 점점 올라가긴 한다. 하지만 원래 가는 방향이 아닌 다른 방향으로 가면 더 힘들다. (극소점) 그리고 바닥에서 다른 바닥으로 가는 거니까, 올라가다가 언젠가는 내려가야 하고, 따라서 어딘가에서는 극대값을 갖는다. 바로 이 지점, 극소값이면서 극대값을 갖는 지점이 안장점이다.

우리가 관심을 갖고 있는 물리적인 계가 여기서 저기로 움직일 때 어느 곳을 통해서 가는지 알아내려면 안장점을 알아내야 한다. 이것이 안장점이 흥미로운 이유다. 물론 내가 졸업논문에 쓰기로 했으니까 더더욱 흥미로운 주제가 된다. 만약 이 주제가 흥미롭지 않다면, 당신은 내가 아니라는 것이 증명될 뿐이다.

아무튼 원래 문제는 극소값이 아니라 안장점이므로.

안장점은 어떤 방향으로는 극대값이고 다른 방향으로는 극소값이 되는 지점이기 때문에, 그 지점에서 함수를 한번 미분하면 0이다. 고등학생이라면 … 다 아는 얘기니까 하는 거지만, … 두번 미분했을 때 그 값이 음수라면 위로 볼록한 부분이고 양수라면 아래로 볼록한 부분이다. 두번 미분했을 때 0이라면 끔찍한 일이 벌어진다. 평평하다. -_-;

안장점의 예


http://www.google.com/images?um=1&hl=ko&client=ubuntu&channel=fs&biw=1276&bih=713&tbs=isch%3A1&sa=1&q=saddle+point&aq=f&aqi=&aql=&oq=&gs_rfai=

어쨌든 안장점인지 아닌지 알아내기 위해서는 이게 오목하지도 않고 볼록하지도 않다는 걸 확인해야 하므로 항상 두번 미분해야 한다. 그런데, y=f(x)같이 1차원에서 1차원으로 가는 함수면 과학자들이 고민하지도 않을 것이다. 과학자들이 풀고 있는 문제는 임의의 n차원에서 n이 300000000000000000000000정도 되는 경우에 안장점을 어떻게 찾을 것인가 하는 문제이다 물론 이건 너무 복잡하니까 이보다 10억배 정도 쉬운 문제인 n=300000000000000 차원 정도에서 풀려고 하는데 그래도 복잡하니까 다시 1000만배 정도 쉬운 문제인 n=30000000차원 정도의 문제를 풀려고 한다. 물론 사람이 계산할 순 없다. 돈 아무리 많이 줘도 이짓은 못하겠다. (옛날엔 했다. 케플러가 살던 시절에는.) 그럼, 여기서 2차 도함수를 계산한다면, 1차 미분한 각각의 함수의 1차미분이니까, 다시 계산해야 하는 수가 900000000000000개가 된다. 하지만 이건 안장점을 알고 있는 경우에 그 점에서 계산해야 하는 수의 개수이고, 어디있는지 모르면 그 안장점을 찾아 헤매이면서 모든 점에서 다 해봐야 안다. 즉, 이건 컴퓨터조차 파업할만한 문제다. (파업하는 컴퓨터가 있다면 그 컴퓨터는 고장났거나, 미래에서 왔을 것이다.)

그래서 컴퓨터에게 삽질을 떠넘기고 그 사이에 편히 쉬면서 좀 더 유용한 일을 하려는 전산물리학자들은 두번 미분 할 필요 없이 한번만 미분해서 문제를 해결하는 방법을 찾아내기 시작했다. 그것이 내 졸업논문에서 다루려고 하는 Stability Boundary Method와 Dimer Method와 Nudged Elastic Band Method이다.

자, 일단 여기까지. 각각의 알고리즘에 대한 자세한 설명은 다음 기회에…

부력의 크기는 물방울에 작용하는 중력과 정확히 같은 크기이다. 만약 중력보다 더

크다면

작다면 물방울은 아래로 내려올 것이고, 중력보다

작다면

크다면 위로 올라갈 것이다. 하지만 물방울은 멈춰 있으므로 부력은 중력과 같은 크기라는 사실을 알 수 있다.

이제, 부력이라고 부르는 힘의 크기와 방향을 모두 알았으므로 부력의 모든 것을 안 것이다.

물방울 대신 물방울과 같은 모양의 쇠구슬을 넣어보자. 모양이 같기 때문에 부력의 크기는 같다. 하지만 쇠구슬에 작용하는 중력의 크기가 부력보다 더 크기 때문에 쇠구슬은 아래로 가라앉을 것이다. 하지만 속이 비어 있는 고무공을 넣는다면 고무공에 작용하는 중력이 부력보다 더 작아져서 고무공은 위로 떠오를 것이다.

부력을 더 크게 할 수는 없을까?

부력은 앞서 말했듯이, 물 안에 있는 “물방울”에 작용하는 중력의 크기와 같다고 하였다. 따라서, 물방울을 움직이지 않도록 하면서 물방울의 무게를 무겁게 한다면 부력이 더 커질 것이다. 이렇게 하려면 물방울과 그 주변에 있는 물의 무게를 동시에 무겁게 해야 한다. 물 전체를 무겁게 하려면 물의 밀도를 높이거나, 물을 무겁게 하는 물질을 첨가해야 한다.

따라서, 물에 녹는 물질을 물에 녹인다면 물이 무거워져서 부력이 커지게 된다.

비중이란?

비중이란 순수한 물에 대한 다른 물질의 무게이다. 즉, 부피가 같다면 물보다 얼마나 무거운지 알려주는 숫자가 된다. 물론 물의 비중은 1이다. 계란은 비중이 1.06정도 되는데, 이 얘기는 1kg의 물과 같은 부피를 가지는 계란이라면 1.06kg의 무게를 갖는다는 뜻이다.

따라서 부력의 원리에 의하면 비중이 1보다 큰 물질은 물에 넣었을 때 바닥으로 가라앉고, 1보다 작은 물질은 위로 떠오르게 된다.

계란은 비중이 1보다 크므로 순수한 물에 넣으면 바닥으로 가라앉는다. 하지만 소금을 6%이상 넣는다면 소금물의 비중이 계란의 비중보다 더 커져서 계란이 위로 떠오르게 될 것이다.

원인은 +극과 -극의 합선. 간단한 테스트 한다고 절연처리를 안해둔 것이 화근이었다.

두번다시 이런 실수는 하지 않으리라 다짐했다. 내일은 잘못했다고 빌어야지 -_-;

그나저나 그 드라이버는 한국에 테스트용으로 들어온거 한개밖에 없다는데 어쩌지…

이제 힘의 근원이 무엇인가에 대해 말해봐야 한다. 헐크는 뭔가 이상한 약을 주사맞고 힘이 그렇게 강해졌는데, 과연 헐크의 힘은 무엇이 근원인가?

에너지 보존법칙에 대한 흔한 설명은, 물체가 어떤 힘의 장(Force field) 안에서 움직일 때, 그 방향과 같은 방향으로 움직이면 에너지가 저장되고 반대방향으로 움직이면 에너지가 해방된다고 한다. 그래서 에너지가 저장되면서 운동에너지가 줄어들고, 에너지가 해방되면서 운동에너지가 증가한다. 따라서 전체 에너지는 보존된다.

그렇다면 힘의 장에서 움직인다고 하는 경우의, 바로 그 힘이 뭔가에 대해서 고민해 봐야 한다. 운동량에 대해서 따질 때에는 힘의 근원에 대해서 알 필요가 없었다. 힘이라는 것이 있다는 것만 알면 모든 문제를 해결할 수 있다. 하지만 에너지와 관련된 문제를 풀 때에는 에너지와 힘에 대해서 알아야 한다.

일단 참고 : http://snowall.tistory.com/455

힘의 근원이 무엇일까?

결국 물리에서 다루고자 하는 주제의 시작과 끝은 모두 힘이다. 가령, 옛날에는 입자들이 서로 충돌하면서 힘이 작용하는 것으로 생각했다. 그러다가 뉴턴이 중력을 처음 생각했을 때 힘이 중력장에 의해서 전달된다고 생각했고, 맥스웰이 전자기학을 완성했을 때 전자기력은 전기장과 자기장에 의해서 전달된다고 생각했다. 이제 그 장들을 다시 양자화 시킨 현대에는 힘이 게이지 보존 입자에 의해서 전달된다고 생각한다. 게이지 입자들과 물질 입자들 사이의 힘은 그냥 서로 충돌하면서 전달된다. 따라서 물리학의 시작과 끝은 모두 힘이었고 힘이 될 것이다.

그런데, 에너지 보존법칙을 이해하기 위해서는 위치에너지를 이해해야 한다. 힘은 위치에너지가 작아지는 방향으로 작용한다. 뉴턴의 역학을 살펴봐도, 좀 더 일반화된 라그랑지안 역학이나 해밀토니안 역학을 살펴봐도, 힘은 위치에너지가 작아지는 방향으로 작용한다. 정확히 말해서, 그런 역학 법칙들의 공식을 아무리 뜯어봐도 힘은 위치에너지가 작아지는 방향으로 작용한다는 사실만을 알 수 있을 뿐 도대체 왜 그렇게 작용하는지는 도저히 알 수 없다.

이제 설명이 완전 삼천포로 빠지기 시작했다. 원래는 에너지 보존법칙을 이해하기 위해서 시작했는데 어디로 가는지 본인도 모르겠다.

이해하기 가장 쉬워 보이지만 사실 제대로 이해된 것은 하나도 없는 중력에 대해서 생각해 보자. 아인슈타인은 중력을 관성력과 같은 것으로 생각했다. 관성력에 대해서 이해해 보자면, 관성의 법칙이 성립하지 않는 경우에 작용하는 전설의 힘이다. 월드컵 시즌은 지나갔지만, 축구공을 관찰해 보자. 가만히 있는 축구공을 가만히 서 있는 박지성이 백만년을 관찰해 봐야 축구공은 가만히 있다. 이때, 저 멀리서 박주영이 달려오고 있었다. 박주영은 점점 더 빠른 속도로 축구공을 향해 돌진한다. 박주영이 보기에 축구공은 자신을 향해서 점점 더 빠른 속도로 달려오고 있다. 따라서 운동량은 보존되지 않고 있다. 박주영이 보기에 축구공의 운동량이 보존되지 않는 이유는, 관찰자인 박주영이 관성계에 있지 않기 때문이다. 자신이 점점 더 빨리 달려가고 있기 때문에 관찰 대상의 운동량이 보존되지 않는다. 하지만 박주영 관점에서 해석할 때에는 축구공의 운동량이 변한다는 것은 힘이 작용하는 것을 뜻한다. 전부터 여러 번 말했지만 운동량의 변화는 곧 힘이다. 하지만 어디에도 힘의 근원은 없다. 힘의 근원은 오직 박주영 본인이 점점 더 빠르게 달리고 있기 때문이다. 따라서 이 근본없는 힘의 이름을 관성력이라고 부른다. 관성계가 아니기 때문에 발생하는 힘인데 왜 관성력이라고 부르는지는 물리학계의 영원한 수수께끼일 것이다.

아인슈타인이 관성력과 중력을 같은 것으로 생각했다더라. 이 말은 무슨 뜻일까? 중력이 작용하는 상황에서, 관찰자가 점점 가속하면서 관찰한다면 중력이 없는 관성계를 다시 만들어낼 수 있다는 뜻이다. 즉, 중력과 관성력을 바꿔서 생각할 수 있다는 뜻이다. 운동량 보존법칙에서는 관성계만을 다루고 있었다. 하지만 힘이 작용하는 경우에는 운동량이 보존되지 않는다. 하지만 중력이 작용하는 경우에는 운동량이 보존되는 관찰계를 적어도 하나, 아마 정확히 한개를 찾아낼 수 있다는 뜻이다. 물론 그 관찰계는 관성계가 아닐 것이다. 이 말의 진정한 의미는 중력에 대해서 생각하기 힘들면 대신에 중력이랑 똑 같은 물리법칙을 갖게 해주는 관찰계를 찾아내서 거기서 물리학을 연구해도 된다는 뜻이다. 중력은 어려워도 가속도는 쉽기 때문에, 가속도에 의한 변화를 항상 생각하면서 더해주기만 하면 된다.

이제, 위치에너지에 대해서 다시 생각해 보자. 물체에 작용하는 중력이 중력에 의한 위치에너지를 크게 만드는 방향으로 작용한다고 해 보자. 어디로 움직이든 그 물체를 따라 움직이기만 하면 그 물체에 관성의 법칙을 적용할 수 있게 된다.다시한번 가만히 있는 축구공과 가만히 있는 박지성을 생각해 보자. 이번엔 차두리가 엄청나게 큰 질량을 갖고서 축구공에 중력을 작용하고 있다. 물론 박지성은 차두리에게 매력을 느끼지 못하므로 미동도 하지 않는다. 아무튼 박지성이 보기에 축구공은 차두리로부터 어떤 모종의 힘을 받고 움직이고 있다. 관성의 법칙을 적용하려면 관찰계가 힘을 받는 방향과 같은 방향으로 가속되어야 한다. 중력에 의한 위치에너지는 가까워질수록 커지므로 이 경우에는 멀어지는 방향으로 작용하는 힘을 받게 된다. 이 중력을 흉내내려면, 관찰하는 계는 중력의 위치에너지가 작아지는 방향으로 가속해야 한다. 중력이라는 힘이 한 일은 중력이 작용하는 방향에 그 방향으로 움직인 거리를 곱한 것인데, 정확히 그만큼 운동에너지가 증가한다. 또한, 중력의 위치에너지가 얼마나 변했는지는 거리가 달라지면서 아주 조금씩 변한 위치에너지에 전체 거리를 곱한 것이다. 유식한말로, 운동에너지의 증가량은 힘을 거리에 따라 적분한 것이고, 위치에너지의 전체 변화는 위치에너지의 변화율을 거리에 따라 적분한 것이다. 이제, 운동에너지와 위치에너지의 합을 생각해 보자. 운동에너지도 커졌고 위치에너지도 커졌다. 두 값의 합이 보존될 가능성은 전혀 없다.

사실 이 글을 쓸 시점에서 나는 관성의 법칙과 위치에너지가 관련이 있을 것으로 생각하고 쓰기 시작했는데, 논리를 타고 흘러오다 보니 위치에너지가 작아지는 방향으로 힘이 작용하지 않더라도 물리학에는 전혀 이상이 없음을 발견했다. 중력이든 전자기력이든 위치에너지가 커지는 방향으로 힘이 작용해도 에너지 보존법칙이 무너질 뿐 별다른 문제가 발생하지 않는다. 따라서 이 방법으로는 위치에너지가 작아지는 방향으로 힘이 작용하는 것을 설명할 수 없다. 다시 원점이다. -_-;

아무래도 힘의 근원은 그만 찾고, 왜 위치에너지가 작아지는 방향으로 힘이 작용하는지나 고민해 봐야겠다.