[작성자:] snowall

이 내용은 Gasiorowicz 양자역학 3판의 가장 마지막 장에 나오는 위대한(?) 내용으로서 수업시간에 배우고 싶어도 교수님이 귀찮아서 안 가르쳐 줘서 못배운 내용이다.

사실 Entangle이라는 단어는 워크래프트3의 블러드 엘프족의 건물들이 뭔가에 엉겨붙을때 나오는 단어로 영문판 워크래프트3를 즐긴 사람이라면 누구나 알 수 있는 쉬운 단어이다. 하지만 그냥 사전적 의미를 찾아보자.


http://engdic.daum.net/dicen/contents.do?query1=E385050


사전을 보면 “1 얽히게 함, 얽힘 2 분규, 연루 3 녹채(鹿砦), 철조망 4 혼란시키는 것”의 의미가 있다. 양자역학에 나오는 Entanglement란 사실 1번의 의미이지만 사람들은 4번의 의미로 이해하고 공부하고 있을 것이다. 왜냐하면 4번의 의미라고 설명해야 좀 더 납득할 수 있

는 설명이 가능하

기 때문일지도…



<sup>[각주:

1

]</sup>

아무튼 뭔가 얽혀 있다는 건데, 뭐가 얽혀있는 것일까?

저기서 얽힘이라는 것은, 나무의 뿌리를 생각하면 된다. 워크래프트3에서 건물이 entangle되면 바닥에 단단히 박혀 버린다. 그러니까 어떤 두개가 뿌리를 갖고 있는데, 뿌리끼리 엉켜버린 것이다. 오래된 실타래가 엉켜버리는 속성이 있다는 연구도 있다.

여기까지는 다 Entangle이라는 단어를 조금이라도 익숙하게 하기 위해서 나온 잡담이었고, 양자역학적인 얽힘이 무엇인가 슬슬 본격적으로 이해해 보자.

양자역학에서 하나의 상태는 어떤 basis ket으로 표현이 되고, 측정이라는 것을 하게 되면 여러개의 basis ket중 하나의 특정 ket으로 압축(shrink)되어 버린다는 사실은 부디 이미 알고 있기를 바란다. 그걸 모르면 양자역학 교재를 처음부터 설명해야 하기 때문에, 여기서는 지면관계상 생략하고 넘어가겠다.

누구나 잘 알고 있듯, 보존법칙은 언제나 중요하다. entanglement설명하다가 웬 보존법칙이냐는, 이것은 자다가 봉창 두드리는 소리가 될지도 모르지만 아무튼 그것은 여기서도 중요하다. 예를 들어서, 각운동량 보존법칙이 있다. 양자역학에서 각운동량은 스핀이라는 값으로 표현된다. 양자역학에서 모든 물리량은 양자화되어 있기 때문에, 정해진 값만 가질 수 있다.



<sup>[각주:

2

]</sup>



스핀이라는 것은 1/2의 정수배 값들만 가능하도록 양자화 되어 있는데



<sup>[각주:

3

]</sup>



, 빛의 경우 1과 -1의 값을 가질 수 있다.



<sup>[각주:

4

]</sup>



그럼, 빛이 없는 어떤 한 위치가 있으면 그 근방에서 스핀의 총 합은 0이다.



<sup>[각주:

5

]</sup>



근데 갑자기 그 근처에서 전자와 양전자가 마주쳤다고 하자. 얘들은 서로 반입자들이기 때문에 둘이 만나면 광양자를 방출하면서 사라져 버린다. 그럼 이때 광자 2개가 방출되는데 정확히 반대 방향이다. 안그러면 운동량을 보존하지 못하기 때문이다. 물론 광자의 에너지는 두 전자와 양전자가 갖고 있던 전체 에너지를 절반씩 갖게 된다. 뭔소린지 이해가 잘 안되면 그냥 광자 2개가 없다가 생겼다 치자. 그럼, 이 광자들이 가져야 하는 스핀은 각각이 어떻게 되는지는 잘 모르더라도 합치면 0이 되어야 한다. 원래 없었으니까 나중에도 없어야 한다는 보존법칙에 따라서 그렇게 된다는 것을 알 수 있다. 이제, 광자 두개중 하나의 스핀을 측정하는 실험을 하자. 스핀을 어떻게 측정하는지는 나도 잘 모르지만, 아무튼 스핀을 측정할 수 있으므로 측정했다고 치자. 그리고 그 값이 1을 얻었다고 하자. 그렇다면, 나머지 하나의 광자가 가지는 스핀은 얼마일까? 앞에서 계속 했던 얘기는, 그 스핀값이 바로 -1이 된다는 뜻이다. 하나가 1이면 나머지 하나는 -1이다. 간단하지 않은가?

1 + (-1) = 0

이 간단한 수식이 진리를 담고 있다. 어떤 광자의 스핀을 측정하면 1이거나 -1이다. 이것은 광자의 상태를 나타내는 basis ket이 |-1>과 |1>로 이루어져 있기 때문이다.



<sup>[각주:

6

]</sup>



그런데, 동시에 한 장소에서 방출된 어떤 2개의 광자가 있을 때, 둘중 하나의 광자의 스핀을 측정하면 역시 1이거나 -1이다. 그리고 나머지 하나의 광자도 스핀이 1이거나 -1이다. 중요한건 둘 다 동시에 1이거나 동시에 -1이 될 수는 없다는 것이다. 이 법칙은 두 광자가 멀리 떨어져 있을 때에도 성립한다. 따라서, 광자 2개가 방출된 후 150억년이 지난 후, 우주의 서로 반대편에 이 2개가 있다고 하더라도, 그중 하나의 스핀을 측정하면 나머지 하나의 스핀, 즉 300억광년 저편에 있는 광자의 스핀 상태를 즉시 알 수 있는 것이다. 이것은 어떠한 정보도 빛의 속력보다 더 빠른 속력으로 전달될 수 없다는 상대성 이론의 결과를 어기는 결과인 것으로 생각된다. 누가 틀린건가? 사실 아무도 틀리지 않았다. 정보는 전달되지 않으며, 이것은 그저 보존 법칙의 결과일 뿐이다.

약간 자세한 설명은 아래에서 찾아보자.


http://www.bun.kyoto-u.ac.jp/~suchii/Bohr/EPR.html

이제 얘들을 엮어보자. 지금까지 entanglement 설명한거 아니었어? 하는 사람들도 있겠지만, 지금까지는 서론에 불과하다. 이제 본론이 시작된다. ket을 |ket>으로 쓰는건 불편하니까 일단은 영어 대문자를 써서 A, B, C, … 이런 식으로 쓰도록 하겠다. A라는 이름이 붙은 물리량이 있고 B라는 이름이 붙은 물리량이 있다고 하자. 불연속적으로 양자화 되어 있기 때문에 A1, A2, … 이런식으로 번호가 붙어 있고, 마찬가지로 B1, B2, … 이런식으로 번호가 붙어 있다고 하자. 어떤 하나의 입자가 A와 B의 두가지 물리량을 동시에 갖고 있을 수 있다. 이런 경우 이 입자의 물리량을 C라고 하는 새로운 이름으로 부를 수 있다. 가령, C=AB처럼 쓰는 것이다. 하지만 A와 B에는 번호가 붙어 있기 때문에 그냥 C라고만 하면 뭔지 모르고, A에 붙어있던 번호와 B에 붙어있던 번호를 둘 다 C에 붙여줘야 한다. 즉, Cij=AiBj이다.






앞에서 말했던 건데, 어떤 입자의 전체적인 양자 상태는 basis ket을 여러개 섞어서 만든다. A1, A2, … 이런 상태는 모두 basis ket에 불과할 뿐, 아직 이것이 입자의 물리량이 된 것은 아니다. 여기에 그 입자에 대해서 관찰될 확률이 얼마인지 말해주는 계수(coefficient)가 붙어야 한다. Ai의 계수를 ai이라고 하자. 물론 Bj의 계수는 bj라고 쓰도록 하겠다. C의 계수는 물론 cij라고 쓰면 될 것이다. 어떤 입자가 A1에서 발견될 확률이 50%, A2에서 발견될 확률이 50%라고 하자. 그럼 이 입자의 A에 대한 상태는 다음과 같이 된다.




$A=A1/\sqrt{2} + A2/\sqrt{2}$






물리량 B에 대한 상태도 대충 다음과 같이 써 보자.




$B=B1/\sqrt{3} + B2/\sqrt{1.5}$






이건 대략 B1에서 관찰될 확률이 1/3이고, B2에서 관찰될 확률이 2/3이라는 뜻이다. 이제 이 두가지 상태를 entangle 시켜주자. 어떻게?




$C=AB$




이렇게…




…




장난하냐? 이렇게 말하고 싶은 사람도 있겠지만, Tensor product라고 해봐야 어차피 Tensor도 어려운 개념이고 product도 어려운 개념인데 둘을 같이 해야 하는 Tensor product라는건 그냥 “곱하기요~”




<sup>[각주:

7

]</sup>




라고 말하고 약간 설명을 붙여보자.




<sup>[각주:

8

]</sup>






C가 실제로 A와 B로 어떻게 표현되는지 알고 싶으면 A와 B에 각각을 대입해주면 된다.




$C=(A1/\sqrt{2} + A2/\sqrt{2})(B1/\sqrt{3} + B2/\sqrt{1.5})$




여기에 분배법칙을 적용하면




$C=A1B1/\sqrt{6} + A1B2/\sqrt{3}+A2B1/\sqrt{6}+A2B2/\sqrt{3}$




이렇게 된다. 이제, 여기다가 A1B2와 A2B1인 애들을 싹 빼버리자. 간단하게 그 성분을 관찰하지 않아버리면 된다.




<sup>[각주:

9

]</sup>






$D=A1B1/\sqrt{3}+A2B2/\sqrt{1.5}$




이짓을 왜하고 있나? 하는 생각이 드는 사람도 있을 것이다. 그런데 이것이 바로 entangled state라는 것이다. A와 B가 얽혀서 풀어낼 수 없게 된 것이다. 가령, C의 경우, A에 대해서 관찰을 해서 A1의 상태에 있다는 것을 알게 되더라도 B에 대해서는 여전히 B1이 나올 가능성도 있고 B2가 나올 가능성도 있다. 여기서 B에 대해서 관측하지 않고 정확히 알아내는 것은 불가능하다. 하지만 D의 경우에는 A에 대해서 관찰을 하게 되면 B에 대해서도 확실히 알게 된다. A가 A1이 나왔으면 B는 관측을 하나마나 B1이다. A2가 나왔어도 마찬가지로 B는 B2가 된다. 이것이 Entanglement의 의미이다. A와 B가 잘 섞였다. 이제 둘은 뗄래야 뗄 수 없는 사이가 된 것이다. 이걸 이용하면 컴퓨터도 만들 수 있고 통신도 할 수 있다. 어떻게 하는지는 Quantum computing 교재를 찾아보도록 하자. 자세한 내용은 언젠가 이 블로그에서 다루게 될지 어떨지 모르겠다.




http://www.google.co.kr/search?q=quantum+computing+pdf






자세한 내용은 댓글로 질문 바람.

푸리에 변환이 어떤 하나의 함수가 주어졌을 때, 그 함수가 어떤 주기성을 갖고 있는지 분석하는 방법의 하나라는 것은 공부해 보았었다. 그럼, 그 함수가 다차원 함수인 경우에는 어떻게 될 것인가? 여기서 말하는 다차원 함수란, 여러개의 수를 주면 하나의 수를 알려주는 함수를 말한다. 여러개의 수를 주었을 때 여러개의 수를 알려주는 함수는 벡터값 함수이고, 이 경우에는 그 벡터의 각각의 성분에 대해서 푸리에 변환을 시행하는 짓을 해야 한다. 물론 그것도 의미는 있겠지만, 그런 경우라고 해도 어차피 각각의 성분은 하나의 수에 해당하므로 이 글에서는 여러개의 수를 하나의 수로 바꿔주는 그런 종류의 함수만을 다뤄보도록 하겠다.

여러개의 수가 나타내는 것은, 대부분의 경우 어떤 공간에서서 위치를 알려주는 벡터이다. 벡터의 정의는 여러가지로 해볼 수 있겠지만, 어차피 그놈이 다 그놈이고 서로 바꿔서 생각해볼 수도 있으므로 내 블로그에서 여러번 정의했던 대로 그냥 시작점과 끝점이 정해진 화살표라고 생각하도록 하자. 사실은 방향과 크기만 알아도 충분하다.



<sup>[각주:

3

]</sup>



이제 이걸 푸리에 변환을 해 보자. 만약, 함수가 F(x,y,z,…)이렇게 주어져 있는데 x만 빼고 y,z… 이런 값들은 다 고정시켜놓는다고 하자. 그럼 이 함수는 x라는 변수 하나에만 의존하는 함수이고, 이런 함수의 푸리에 변환은 앞에서 잘 해봤었다. 마찬가지로, y 하나만 변하게 해도 쉽고, z하나만 변하게 해도 쉽다. 아니, 그럼 뭐가 어려운건가? 쉽다. 일단 x에 대해서 푸리에 변환을 한다. 이것은 x에 대한 주파수 성분만 알게 되고, 나머지 y, z…등에 대한 주파수 성분은 알려주지 않는다. 여전히 y, z… 에 대한 것은 위치에 대한 함수이다. 이걸 그대로 y에 대해 푸리에 변환을 한다. 그럼 x와 y에 대한 주파수 성분을 알게 되고, … 이런 식으로 계속해서 각 변수에 대해서 연속적으로 푸리에 변환을 해 나가면 된다.

원래는 수식을 쓰지 않으려고 했는데, 연속적으로 푸리에 변환을 하는 것이 어떤 마왕을 소환하는지 알고 싶으면 수식을 좀 써야 겠다. 수식에 자신이 없는 사람은 아래의 글자들이 수식이 아니라 마법에 쓰는 룬 문자라고 생각하고 그냥 그러려니 하자. 간단하게 2차원에 대해서 생각해 보자. 일단 2차원을 이해하고 나면 3차원 이상은 저절로 이해가 될 것이다.

$\hat{f}(k,y)=\int f(x, y)exp(ikx) dx$

일단 x에 대해서만 푸리에 변환을 하면 이렇게 된다. k와 y에 대한 함수가 되었다. 함수의 크기를 유지하기 위해서 앞에 붙게 되는 상수라든가 적분 구간 같은건 다 빼버렸다. 그런건 여기서 중요하지 않다. 아무튼, 이제 $\hat{f}(k,y)$를 다시 y에 대해서 푸리에 변환을 해 보자.

$\hat{f}(k,l)=\int \hat{f}(k,y)exp(ily) dy $

이제 k와 l에 대한 함수가 되었다. 근데, 적분 안에 있는 함수는 사실 y에 대한 적분이니까 x랑은 아무 관련이 없고, 따라서 푸리에 변환을 하기 전에 2중 적분으로 바꿔줘도 될 것이다. 바꾸고 싶지 않은가?

$\hat{f}(k,l)=\int (\int f(x, y)exp(ikx) dx)exp(ily) dy $

우리는 간단히 Copy and Paste를 이용해 볼 수 있다. 그리고 x랑 y는 아무 관련 없는 애들이니까, 적분 순서를 바꿔도 된다.



<sup>[각주:

4

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따라서,

$\hat{f}(k,l)=\int f(x,y)exp(ikx)exp(ily)dxdy$

그런데, 우리는 지수함수에 대해서 너무 많은걸 알고 있다.

exp(ikx)exp(ily)=exp(i[kx+ly])

알아선 안될 것까진 아니지만, 간단한 지수법칙을 적용하고 다시 덧셈과 곱셈의 분배법칙을 활용해서 지수 안쪽을 묶어주었다. 그런데, 지수 안쪽에서 허수단위인 i를 빼고 다시 잘 살펴보면 [kx+ly]라는 부분이 보인다. 근데, 이게 원래는 (k,l)이라는 벡터와 (x,y)라는 벡터를 내적한 것이라는 사실을 깨닫게 된다. exp함수가 푸리에 변환할 때 해당 성분에 대한 basis역할을 한다는 것을 생각해 보자. 원래 1차원 푸리에 변환에서 exp(ikx)는 k와 x로 이루어진 선형 연산자이다. 선형 연산자의 다른 이름은 행렬이다.



<sup>[각주:

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잠깐. 여기서 잠시 정신줄 놓고 있는 분들이 있을 것이다. 이 부분에 대해서는 다시 다른 글에서 설명을 해야 한다. exp함수가 푸리에 변환할 때 해당 성분에 대한 basis 역할을 한다는 얘기는 아직 한적이 없다. 그리고 그걸 이해하는 것은 푸리에 이론 전체를 이해하는 것 만큼이나 중요한 일이다. 그러니까 일단은 그냥 그런가보다 하고 넘어가주자. 언젠가 그에 관한 글을 쓸 일이 있을 것 같다.

아무튼, 원래의 2차원 푸리에 변환으로 되돌아 와서 수식을 잘 살펴보면, 이제 다음과 같이 쓸 수 있다는 것을 알게 된다. 아니, 느끼게 된다.

$\hat{f}(\vec{k})=\int f(\vec{x})exp(i \vec{k} \cdot \vec{x})dxdy$

조금은 간단해 진 것 같은 느낌이 들지 않는가? 하지만 뒤에 붙은 dxdy가 조금 거슬린다. 이것도 합쳐버리자.

$\hat{f}(\vec{k})=\int f(\vec{x})exp(i \vec{k} \cdot \vec{x})dv$

그런데 이렇게 합쳐놓고 나니까 도대체 이놈이 몇차원에서 쓰던 푸리에 변환인지 모르게 되었다. 그렇다. 수학에서 웬만한 경우에는 “모른다”는 것은 “아무거나”라는 뜻과 같다.



<sup>[각주:

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몇차원인지는 중요하지 않고, 이 공식이 차원의 수에 상관 없이 성립하게 된다는 뜻이다. 즉, 2차원 푸리에 변환을 공부한 것 같은데 벌써 무한 차원에 대해 공부해 버렸다.



<sup>[각주:

7

]</sup>



이 공식이 의미하는 바는, $\vec{k}$라는 벡터는 어느 방향으로 얼마나 빨리 움직이는지에 관한 벡터인데, 방향과 속력을 정하면, 주어진 함수 $f(\vec{x})$의 특정 방향으로의 진동수 성분이 얼마나 포함되어 있는지 알 수 있다. 즉, 이 함수가 움직이는 방향까지도 알아낼 수 있다.

질문은 언제나 환영, 댓글로…