[작성자:] snowall

반지름 b인 도체구(conducting sphere)가 있는데, 가운데 반지름 a인 구형 구멍이 뚫려있다. 물론 두 구는 중심이 같은 위치에 있다.

전기 전도도를 g라고 하면, 안쪽에서 바깥쪽으로 흐르는 전류에 대해 이 구멍난 도체구의 저항은 얼마일까?

도대체 얼마일까.

이 문제의 모범적인 해설은 다음과 같다. (아마도.)

대략, 이 문제에서 풀어야 할 영역인 반지름이 a부터 b까지인 영역에는 전하가 없으니까, 푸아송 방정식을 다 풀 필요 없이 포텐셜에 대한 라플라스 방정식을 쓰면 된다. 그것도, 방향에 대해서 등방(isotropic)이므로 다른 항은 다 무시하고 반지름에 관련된 부분만 풀면 된다. 그럼 편미분 방정식도 상미분 방정식으로 바꿀 수 있다. 어쨌든, 포텐셜에 대한 라플라스 방정식은 다음과 같다.

$(d(r^2(d\phi/dr)/dr)/r^2 = 0$

바깥에 있는 적분 하나는 그냥 해버리고, 그 적분상수를 A라고 하자. $\phi$를 구하기 위해서 적분해야 할 함수는

$-\int_a^b A/r^2 dr = V$

이렇게 된다. 여기서 -랑 V가 붙은 이유는, 전기장을 적분하면 포텐셜이 나오는데 전기장과 포텐셜은 그 정의에 -가 붙어 있기 때문에고, V는 그냥 두 지점 a와 b사이에 걸린 전위차이가 V라고 하고 싶기 때문이다. 그렇다 치고, 적분하자. 그럼 A를 구할 수 있다.

$A=\frac{ab}{a-b}V$

그럼 포텐셜을 구할 수 있다.

$\phi = \frac{ab}{a-b}V\frac{1}{r}$

미분하고 -를 붙이자. 그럼 전기장이 나온다.

$E=\frac{ab}{a-b}V\frac{1}{r^2}$

그래봐야 분모에 r이 하나 더 붙은 정도지만.

이제, 옴의 법칙을 풀기 위한 또다른 재료인 전류를 구해보자. 전류는 뭐 균일하게 흐른다 치고, 대충 면적분을 하자.

$I=\int J \cdot dS$

저기서 dS는 나가는 방향의 면적벡터이고, J는 단위면적당 전류밀도이다. 암산으로 적당히 계산하면

$I=4\pi r^2 J$

이제, 원래 J=gE라는 옴의 법칙을 적용하자.

$\frac{I}{4\pi r^2} = g\frac{ab}{a-b}V\frac{1}{r^2}$

이제, 저항 R=V/I니까 답이 나온다.

$R=\frac{1}{g}\frac{1}{4\pi}(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})$

간단하게 계산해 보았는데, 이 문제를 다음과 같이 바꾸면 갑자기 어려워진다.

1. 안쪽에 뚫린 구멍이 중심에서 d만큼 벗어나 있다면?

2. 전류가 흐르는 방향이 남극에서 북극이라면?

답은 나도 모름. (계산 안해봐서…)

그래서 이러한 의문을 씻어버리고자, 4거리의 신호등 정책이 동시신호와 그렇지 않은 경우의 효율을 비교해 보겠다.

일단, 평균 대기시간이라는 말을 차 1대가 원하는 방향으로 가기 위해 기다리는 평균 시간으로 정의하자.

동, 서, 남, 북으로 뚫린 4거리 교차로가 있다고 하자. 서울시는 일반적인 신호등 체계다.(그냥 그렇다고 치자) 즉, 정지-좌회전-직진 순서로 반복되는 경우다. 광주시는 동시신호 신호등 체계다. 즉, 정지-직좌가 반복된다.

어느 특정 순간, 서울의 4거리 신호등은 다음과 같이 켜져 있다.

동 – 정지

서 – 정지

남 – 좌회전

북 – 좌회전

그 다음 순간, 서울의 4거리 신호등은 다음과 같다.

동 – 정지

서 – 정지

남 – 직진

북 – 직진

그리고

동 – 좌회전

서 – 좌회전

남 – 정지

북 – 정지

끝으로

동 – 직진

서 – 직진

남 – 정지

북 – 정지

이렇게 해서 1바퀴가 돌아가게 된다.

서울에서 동쪽에서 있던 운전자가 직진하기 위해서 기다려야 하는 최대의 시간을 살펴보자.

당연히 직진신호구간이 한번, 좌회전신호구간이 두번 나온다.

동쪽에 있던 운전자가 좌회전을 하기 위해서 기다려야 하는 최대의 시간을 살펴보면, 마찬가지로 직진신호구간이 두번, 좌회전신호구간이 한번 나온다.

광주의 동시신호로 운영되는 4거리 신호등은 다음과 같이 진행된다.

동 – 직좌

서 – 정지

남 – 정지

북 – 정지

그리고

동 – 정지

서 – 직좌

남 – 정지

북 – 정지

다시

동 – 정지

서 – 정지

남 – 직좌

북 – 정지

끝으로

동 – 정지

서 – 정지

남 – 정지

북 – 직좌

이 경우, 모든 운전자들이 최대한 기다려야 하는 시간은 신호구간 3번이 지나간 다음이다. 즉, 지난 신호를 놓친 직후부터 다음 신호가 시작되는 시간까지다. 광주의 어떤 사거리에서는 신호구간이 30초였고, 따라서 여기서는 최대 1분 30초를 기다리게 된다.

듣고보니 이상하다.

그런데 사실 이걸 제대로 이해하려면 수학에서의 측도론(Measure Theory)이라는 것을 좀 공부해 볼 필요가 있다. 초등학생에게 이것을 이해시키는 것은 내 능력으로는 불가능하다. (나도 대강 이해하고 넘어간 부분이라서…) 그래서 초등학생도 이해할 수 있는 설명을 고민하다가 이 글을 쓰게 되었다.

“크기”를 알기 위해서, 도대체 크기를 어떻게 정의할 것인가부터 생각해야 한다. 일반적으로, “크기”라는 것은 숫자 1개로 주어진다. 그리고 숫자 1개는 양수로 주어진다. “크기”라고 부르는 것은, 따라서 어떤 함수 관계를 나타내는 것이다. 집합을 하나 주면, 우리는 “크기”를 재는 함수에 따라 어떤 수를 하나 알게 되는데, 그 수가 바로 “크기”라고 부르는 수이다. 만약, 두 집합이 서로 겹치지 않았다면, 두 집합의 합집합의 크기는 두 집합의 크기를 그냥 더하면 될 것이다. 또한, 공집합의 크기는 0이 될 것이다. 하지만 이런 것들은 “크기”라고 부르는 함수가 갖고 있는 특징일 뿐, 실제로 그 함수 자체를 알려주지는 않는다. 이러한 특징을 만족하도록 우리가 잘 정해서 써먹어야 할 것이다.

많은 수학자들은 어떤 것들의 크기를 재기 위해서 많은 방법을 고려해 왔다. 이러한 방법은, 더군다나 눈에 보이지 않는 수학적 집합을 다루는 것이라, 누가 보더라도 확실히 알 수 있는, 그런 명확한 정의를 갖고 있어야 한다.

가령, 1이라는 수와 2라는 수 사이의 점들을 모두 모아둔 선분을 생각해 보자. 상식적으로, 이 선분의 길이는 1이라고 말할 수 있을 것이다. 그럼, 이제 3이라는 수와 4라는 수 사이의 점들을 모두 모아둔 선분을 생각해 보자. 이 선분의 길이 또한 1이라고 말할 수 있다. 그렇다면, 방금 생각해본 두 선분의 합집합은 어떨까? 1부터 4까지 사이의 점들을 모아두기는 했지만, 2부터 3까지에 해당하는 구간에는 점들이 존재하지 않는다. 이 선분의 길이는 뭐라고 정하는 것이 좋을까? 1? 2? 3?

뭐. 이런 문제는 상식적으로 2라고 정하는 것이 좋다. 전체적으로는 3의 길이이지만 1만큼의 길이에 해당하는 부분이 빠져있기 때문이다. 따라서 3 – 1 = 2 라고 한다. 여기서, “없는 부분은 세지 말자”는 규칙이 나올 수 있을 것이다.

다음과 같은 것을 생각해 보자.

유명한 수학자인 George Cantor가 제안한 예제이다. 가장 위쪽의 선분에서 출발하는데, 각 조각을 매번 3등분 하면서 가운데 조각은 빼버린다. 이 과정을 “무한히” 많이 반복한 후의 결과물을 “칸토어 집합”이라고 부른다. (다시한번 말하지만, 무한히 많이 반복하여야 한다. 이 과정의 중간 결과물은 칸토어 집합이 아니다.)

뭐, 가장 위쪽의 선분의 길이를 1이라고 해 보자. 두번째 결과물은 2/3이 될 것이다. 세번째 결과물은 4/9가 될 것이다. 이런식으로 2/3배가 되면서 점점 길이는 짧아진다. 그렇다면, 이 과정을 무한히 반복한 후의 결과물의 전체 크기는? 0이라고 보는 것이 타당할 것이다. 즉, 위와 같은 집합은 그 크기가 있을 법도 한데 0이다.

잠깐. 빼먹은 집합이 있는데. 유명한 집합이다. “0과 1사이의 모든 유리수를 모아둔 집합”이라는 놈이다. 이놈의 크기는? 어떻게 하지? 0인가? 1인가? 아니면 그 사이에 어떤 값? 아니면 1보다 큰가?? 음…답부터 말하자면, 이 집합의 크기는 0이다. 그걸 말하기 위해서는 다음과 같이 생각해 봐야 한다.

가령, 직선 위의 집합으로 {0}을 생각한다면, 이 집합의 “크기”는 0이 된다. 왜냐하면 0부터 0까지의 길이는 0이기 때문이다. 마찬가지로, 그냥 몇개의 수를 모아둔 {0, 4, 3, 12}같은 집합의 크기도 0이다. 크기가 0인 집합 4개의 합집합이기 때문이다. 그럼, 크기가 0인 집합을 무한히 많이 모아두면 얼마나 커질까?

(다음 글에서…)

$f(x)=Aexp(-a(x-m)^2/s)$

여기서 A, a, m, s는 다 적당히 주어진 상수다. 오늘은 이 함수를 적분해 보도록 하자. 이걸 처음부터 적분하려면 귀찮으므로, x를 x-m으로 평행이동하고, 그렇게 평행이동한 x를 $\sqrt{s/a}x$로 변수변환하고, 다시 전체 함수를 A로 나눠준 다음의 함수를 적분해 본다.

$g(x)=exp(-x^2)$

이게 너무 간단해 보인다면, 다음의 내용을 읽지 말고 원래의 $f(x)$의 적분에 도전해 보고나서 다시 되돌아오기 바란다.

물론, 여기서 적분이라 함은 x의 구간을 0부터 무한대까지로 잡는 경우에 대한 적분이다. 수학과에서 이걸 배울 때는 원래 이 적분이 수렴하는지 안하는지부터 따져야 하지만 이 적분의 수렴성은 또한 쉽게 증명할 수 있으므로 건너 뛴다.

미적분 교재에 등장하는 가장 간단한 계산은 다음과 같다.

(참고 : 고형주, 신해용. 미분적분학. 경문사)

일단, 저걸 적분할 수 있다 치고 무턱대고

$I=\int _0 ^\infty g(x)=exp(-x^2)dx$

라고 한다.

근데 적분 안에 들어가 있는 변수는 사실 그놈이 그놈이므로 $I=\int _0 ^\infty h(y)=exp(-y^2)dy$ 라고 써도 된다. 그럼

$I^2 = \int_0^\infty \int_0^\infty g(x)h(y)dxdy= \int_0^\infty\int_0^\infty exp(-x^2)exp(-y^2) dxdy$

가 된다.

근데 지수함수는 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 신묘한 성질이 있다. 따라서 위의 식은

$I^2 = \int _0 ^\infty \int _0^\infty g(x)h(y)dxdy= \int_0^\infty \int_0^\infty exp(-(x^2+y^2)) dxdy$

라고 써도 된다. 이제 변수변환을 하자. (x, y) 평면에서 2중적분이므로 $(r, \theta)$ 평면에서의 2중적분으로 간단히 바꿀 수 있는데, 변수변환에서 가장 중요한게 구간을 바꾸는 것이지만 어차피 $\theta$에 대해서는 한바퀴 다 돌려야 하므로 $d\theta$ 적분은 그냥 $2\pi$가 되어 버린다. 그럼

$I^2 = 2\pi \int_0^\infty exp(-r^2)r dr$

이렇게 된다. 이건 간단하게 암산으로도 계산할 수 있는데, 뒤에 적분 부분이 1이 되어 버린다. 따라서

$I^2 =2\pi$

이제 우리는

$I=\sqrt{2\pi}$

라는 사실을 알게 되었다.

이제 나머지는 A, a, m, s를 원래대로 되돌려 주는 것이다. 이건 적분의 변수변환을 잘 해주면 되니까 연습삼아서 직접 해보기 바란다.

아, 본론으로 돌아와서. 표준정규분포를 적분하면 1이 되는 이유는, 표준정규분포를 적분해서 1이 되도록 위의 A를 “적당히” 맞춰주었기 때문이다. 그렇게 적당히 맞춰주어야만 하는 이유는, 표준정규분포를 확률밀도함수로 쓰기 위해서는 확률의 가장 중요한 성질인 “확률의 모든 합은 1이다”를 만족해야만 하기 때문이다. 즉, 위에서 정규분포를 적분하는 것과는 관련이 없다고 봐도 좋다.