[작성자:] snowall

원래 이런 문제를 풀 때는 관습적으로 공기의 저항은 무시한다. (그러려니 하자.)

그림을 하나 퍼왔다. 원본 출처는 아래.


http://moolynaru.knu.ac.kr/high_phy_ii/force/26%EB%8B%A8%EC%A7%84%EC%9E%90/26%EB%8B%A8%EC%A7%84%EC%9E%90.htm


진자는 진자의 끈이 팽팽하게 당겨져 있는 한 어쨌든 원 위에서 움직일 수밖에 없다. 따라서, 중력을 어느 방향으로 받든지간에 상관 없이, 실제로 중력과 장력의 합력은 접선 방향으로만 나타나게 된다. 그림을 보면 진자를 가운데로 끌어당기는 힘은 $mg \sin\theta$가 있다. 중력 중에서 오직 그만큼만 실제로 작용하게 된다는 뜻이다. (왜 그렇게 되는지는 자습.)

그럼 우리의 위대한 방정식 F=ma를 적용하면

$ma=-mg sin\theta$

앞에 -부호가 붙은 이유는, 힘이 작용하는 방향이 $\theta$가 커지는 방향의 반대방향이기 때문이다. 중심점 근처에서 $\theta$가 커지는 방향은 바깥 방향인데 (그림의 상황에서는 오른쪽) 힘이 실제로 작용하는 방향은 안쪽 방향이다. (그림에서는 오른쪽)

그리고 여기서 가정이 하나 더 들어간다. 별다른 이유는 없지만, 진자가 움직이는 진폭이 아주 작다고 가정한다. 여기서 “아주 작다”는
말의 의미는 “그렇게 가정해서 풀어도 틀리지 않을 정도로 작다”는 뜻이다. 즉, 진폭이 커지면 이렇게 풀 수 없다. 진폭이
커지게 되면 비선형 방정식이 나오는데, 비선형 방정식은 풀기가 대단히 어렵다. 진폭이 작으면 $\theta$가 작다는 뜻이므로 $mg \sin\theta$를 근사식으로 적어서 대략 $mg
\theta$로 쓸 수 있다. (원한다면 sin함수의 3차까지 써도 된다. 물론 그 방정식은 알아서 잘 풀어보자. 여기서는
다루지 않는다.)

$ma=-mg\theta$

따라서

$a=-g\theta$

일단, 여기서 질량이 사라졌다는 사실에 놀라워해야 한다. 여기서, 왼쪽에 있던 ma의 m은 관성질량이고 오른쪽에 있던 mg의 m은 중력질량인데, 둘을 약분해도 괜찮다는 사실을 아인슈타인이 말했었다. 이게 그 유명한 일반 상대성 원리다.

그럼, 가속도는 무엇의 가속도인가? 당연히 변위의 2차 미분이다. 여기서 변위는 x인데, 우리는 지금 변수를 $\theta$로 쓰고 있었으므로 둘을 바꿔줄 필요가 있다.

위의 그림을 보면 알겠지만, sin값은 높이를 빗변의 길이로 나눈 값이고, 빗변을 $l$이라고 하고 높이를 $x$라고 하면, $\theta = x/l$이 된다. 대입하자.

$a=-gx/l$

여기서 $g$랑 $l$은 상수니까 신경 안써도 되고, 어쨌든 x를 두번 미분한게 a니까, 두번 미분해서 자기 자신이 그대로 나오고 -가 붙는 함수를 찾으면 된다. 당연히, 누구나 알겠지만 sin과 cos함수가 있다. 넣자.

$x=Asin(\sqrt{g/l}t)+Bcos(\sqrt{g/l}t)$

여기서 A와 B는 처음에($t=t_0$) 어디서 얼마나 빠르게 시작했느냐에 따라서 달라진다. 즉, 진자를 처음에 밀 때 어디서 어느 방향으로 얼마나 세게 밀어줬는지에 따라서 결정된다.

(여기서, sin함수와 cos함수 이외의 다른 함수가 있지 않은가? 라고 생각할 수도 있는데, sin과 cos함수만 있으면 모든 진동을 다 표현할 수 있고, 그 외의 다른 함수로 표현해봐야 그건 sin과 cos함수의 합 정도로 표현된다는 것을 증명할 수 있다.)

그럼 저 함수는 시간이 $2\pi\sqrt{l/g}$만큼 지날 때마다 원래 자리로 원래의 속력을 갖고 되돌아 오게 된다. 즉, 바로 이 시간이 진자의 주기가 된다. 그런데, 주기를 나타내는 식을 보면 질량이 보이지 않는다. (아까 사라졌으니까….)

따라서 단진자는 길이와 중력가속도가 정해지면 그 주기도 결정되며, 질량이 얼마나 큰가에는 영향을 받지 않는다. (단, 진자의 끈이 끊어지지는 않는다는 가정이 또 필요하다.)

이 성질을 이용해서 중력가속도를 측정할 수 있는데, 공대, 자연대 가면 필수적으로 듣지만 대부분 싫어하는 일반물리학 실험에서 다루게 된다.

이에 대한 좀 더 자세한 설명은 아래 페이지를 참고하자.


http://physica.gsnu.ac.kr/phtml/mechanics/oscillation/application/application.html

이 기사를 보면 흥미로운 통계를 발견할 수 있다.

여성의 84%가 첫 데이트에 경차를 끌고 오면 민망해서 타고 싶지 않을 것 같다고 대답했다고 한다.

비슷하게, 여자의 83%가 외제차를 끌고 오면 여자에게 마음을 쉽게 얻을 수 있다고 대답했다고 한다.

그런데, 그 다음에 보면 여자의 68%정도가 경차를 끄는 호감형 남자를 선택하고, 32%정도가 외제차를 끄는 비호감형 남자를 선택하겠다고 한다.

여자 중에서, 84%가 경차는 민망해서 타고싶지 않다고 생각하지만, 여자의 68%가 경차를 끄는 호감형 남자랑 데이트를 하겠다고 한다. 이 두 집합을 아무리 멀리 떨어트려 놓더라도, 최소한 52%는 “남자가 경차를 끌고 나오면 민망해서 타고싶지 않지만 경차를 끌고 나온 남자랑 데이트를 하고 싶다”고 생각하는 여자라는 뜻이다. (이보다 더 많을수도 있다.)

그리고 젊은 나이에 외제차를 모는 사람을 보면, 여자의 48%가 “허영심이 있어 보인다”고 대답했다고 한다. 여자의 83%가 외제차를 끌고 오면 여자를 쉽게 꼬실 수 있다고 했으니, 설문에 참여한 여자들 중에서 최소한 31%는 외제차를 끌고 나온다면 허영심이 있어 보여도 넘어가겠다는 뜻이 되는 것 같다.

남자보고 어쩌라고…-_-;

결국 여자들의 이상형은 외제 경차를 끌고 나온 허영심이 있어 보이지만 호감이 가는 남자라는 거네.

외제 경차중에 우리나라에서 구할 수 있는게 뭐가 있더라…