정규분포의 적분

정규분포(Normal distribution)는 통계는 물론이고 이 세상을 설명하는 이론 중에서 대부분의 경우에 자주 등장한다. 이건 수학을 문어발식으로 손댔던 가우스가 연구를 좀 했었기 때문에 가우스 분포(Gaussian Distribution)이라고도 한다. 그 생긴 모양은 다음과 같다.

$f(x)=Aexp(-a(x-m)^2/s)$

여기서 A, a, m, s는 다 적당히 주어진 상수다. 오늘은 이 함수를 적분해 보도록 하자. 이걸 처음부터 적분하려면 귀찮으므로, x를 x-m으로 평행이동하고, 그렇게 평행이동한 x를 $\sqrt{s/a}x$로 변수변환하고, 다시 전체 함수를 A로 나눠준 다음의 함수를 적분해 본다.

$g(x)=exp(-x^2)$

이게 너무 간단해 보인다면, 다음의 내용을 읽지 말고 원래의 $f(x)$의 적분에 도전해 보고나서 다시 되돌아오기 바란다.

물론, 여기서 적분이라 함은 x의 구간을 0부터 무한대까지로 잡는 경우에 대한 적분이다. 수학과에서 이걸 배울 때는 원래 이 적분이 수렴하는지 안하는지부터 따져야 하지만 이 적분의 수렴성은 또한 쉽게 증명할 수 있으므로 건너 뛴다.

미적분 교재에 등장하는 가장 간단한 계산은 다음과 같다.

(참고 : 고형주, 신해용. 미분적분학. 경문사)

일단, 저걸 적분할 수 있다 치고 무턱대고

$I=\int _0 ^\infty g(x)=exp(-x^2)dx$

라고 한다.

근데 적분 안에 들어가 있는 변수는 사실 그놈이 그놈이므로 $I=\int _0 ^\infty h(y)=exp(-y^2)dy$ 라고 써도 된다. 그럼

$I^2 = \int_0^\infty \int_0^\infty g(x)h(y)dxdy= \int_0^\infty\int_0^\infty exp(-x^2)exp(-y^2) dxdy$

가 된다.

근데 지수함수는 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 신묘한 성질이 있다. 따라서 위의 식은

$I^2 = \int _0 ^\infty \int _0^\infty g(x)h(y)dxdy= \int_0^\infty \int_0^\infty exp(-(x^2+y^2)) dxdy$

라고 써도 된다. 이제 변수변환을 하자. (x, y) 평면에서 2중적분이므로 $(r, \theta)$ 평면에서의 2중적분으로 간단히 바꿀 수 있는데, 변수변환에서 가장 중요한게 구간을 바꾸는 것이지만 어차피 $\theta$에 대해서는 한바퀴 다 돌려야 하므로 $d\theta$ 적분은 그냥 $2\pi$가 되어 버린다. 그럼

$I^2 = 2\pi \int_0^\infty exp(-r^2)r dr$

이렇게 된다. 이건 간단하게 암산으로도 계산할 수 있는데, 뒤에 적분 부분이 1이 되어 버린다. 따라서

$I^2 =2\pi$

이제 우리는

$I=\sqrt{2\pi}$

라는 사실을 알게 되었다.

이제 나머지는 A, a, m, s를 원래대로 되돌려 주는 것이다. 이건 적분의 변수변환을 잘 해주면 되니까 연습삼아서 직접 해보기 바란다.

아, 본론으로 돌아와서. 표준정규분포를 적분하면 1이 되는 이유는, 표준정규분포를 적분해서 1이 되도록 위의 A를 “적당히” 맞춰주었기 때문이다. 그렇게 적당히 맞춰주어야만 하는 이유는, 표준정규분포를 확률밀도함수로 쓰기 위해서는 확률의 가장 중요한 성질인 “확률의 모든 합은 1이다”를 만족해야만 하기 때문이다. 즉, 위에서 정규분포를 적분하는 것과는 관련이 없다고 봐도 좋다.

2 thoughts on “정규분포의 적분

Add yours

댓글 남기기

이메일은 공개되지 않습니다.

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Proudly powered by WordPress | Theme: Baskerville 2 by Anders Noren.

Up ↑

%d 블로거가 이것을 좋아합니다: