[작성자:] snowall

수열을 공부하다보면 수열의 합(Series, 급수)을 공부하게 된다.

수열은 세가지 종류로 나눌 수 있는데, 등차수열, 등비수열, 그 외의 기타등등이 있다. (놀랍게도, 모든 수열은 이렇게 세가지 종류로 나눌 수 있다. -_-; 증명은 생략.)

그중, 등비수열의 합은 멱급수(Power Series)라고 부른다. 힘쎈 놈들을 늘어놓은 것이 아니라는 점에 주의. Power를 왜 “멱”이라고 번역하는지는 도저히 모르겠다.

아무튼 등비수열이라는 것은 어떤 특정한 수(첫번째 항)에서 시작해서, 계속 똑같은 수를 곱해서 만든 수열이다. 가령

이런 수열은 1에서 시작해서, 2를 계속 곱하면 만들 수 있다. (물론 다른 방법으로도 여섯번째 항 까지 일치하는 수열은 만들 수 있지만, 뭐 그런얘기를 하자는건 아니니까…)

등비수열은 흥미로운 성질이 있다. 위의 수열을 보면, 32는 그 앞에 있던 모든 항들의 합보다 1이 크다. 16도 그렇다. 16보다 작은 항들의 합보다 1이 크다. 2를 계속 곱해서 얻어지는 수는 항상 그 항까지 다 더한 수에 1을 더하면 된다. 일반적인 등비수열의 합을 알아내는 공식은 유명하니까 그냥 넘어가도록 하자. 잔머리를 조금만 굴리면 당신도 증명할 수 있다.

(이미 증명할 줄 아는 사람은 패스.)

앞에서 등비수열의 합을 Power Series라고 불렀는데, 일반적으로 Power Series는 등비수열의 합뿐만 아니라, 어떤 특정한 수 x를 두고서 x의 제곱수들의 1차결합으로 표현되는 것들을 말한다. 여기서 1차 결합이란, x의 제곱수들이 여러개 있을 때, n제곱수들은 어떤 특정한 계수인 C(n)을 갖고, $C(n)x^n$으로 표현되는 항을 모두 더한 것을 뜻한다. 즉, 어떤 수를 곱하고(이 수는 x에 대해서는 변하지 않는다. x가 크던 작던 아무튼 정해진 상수다.) 그런것들을 더하면 1차 결합이다.

그런데 한가지 흥미로운 점은 C(n)은 또한 수열이라는 점이다. 수열이 나올 때는 언제나 수렴성을 찾아봐야 한다. 왜냐하면 이 수열이 언제 어디서 쓰이는 수열이 될지 모르는데, 어쨌든 수렴할지 발산할지를 알아야 대충 몇번째까지 계산하면 다들 그 근처에 있겠구나 하든가, 또는 발산한다면 계산 자체를 포기하든가 할 테니까 말이다.

어쨌든 C(n)은 원래는 Power Series에서 나온 애들이므로 Power Series가 수렴하든지 해야 할 것이다. x에 1을 넣어보자. 그럼 Power Series는 이제 평범한 수열의 합이 된다. 이 합을 수열의 끝까지 더해보자. (무한급수를 계산한다는 뜻이다.) 수렴할까? 그거야 C(n)의 모든 합이 원래 수렴했으면 수렴할 것이고, 아니면 마는 것이겠다. 당연하다. 만약 x에 0을 넣어보자. 그럼 어떻게 될까? 이 경우에 C(n)의 합은 C(0)으로 수렴한다. 확실하게 수렴할 것이다. 물론 이건 간단하므로 증명하지는 않겠다. 자, 이제 뭔가 깨달음이 와야 한다. x에다가 0을 넣을 때는 수렴한다. 0이 아닌 어떤 숫자를 넣으면 수렴할 수도 있고 수렴하지 않을 수도 있다. 만약 x에다가 아주 큰 수를 넣는다면? 어마어마하게 큰 수를 넣게 되면 아마 발산하지 않을까? C(n)이 아무리 작다고 해도, x의 지수는 계속해서 커지기 때문에 언젠가는 발산하지 않을까? 그렇지 않을까?

Power series를 만드는 x에다가 어떤 수를 넣었을 때, 그 수열이 수렴하는지 수렴하지 않는지는 전적으로 C(n)에 달려있다. 만약 C(n)이 모든 n에 대해서 0이라면 당연히 Power Series는 모든 x에 대해서 전부 수렴한다. 이것 또한 증명하지 않는다. 우리가 알아내야 하는 것은 수렴과 발산 사이의 경계이다. 분명히, x가 0일때는 수렴하고 엄청나게 큰 수일때는 발산할 것 같다. 그렇다면 우리는 그 경계를 어떻게 알아낼 수 있을까? 아니, 그 이전에, 그런 경계가 존재하긴 하는걸까?

뭐, 이건 C(n)이 어떤 수열인지만 알 수 있으면 그 경계를 확실하게 알 수 있다. 급수의 수렴성에 대한 제곱근 검사를 하면 된다.

정확히, C(n)의 Limit Supremum의 역수가 바로 그 경계지점이 된다. x의 절대값이 그보다 작으면 급수는 수렴하고, 절대값이 더 크다면 급수는 발산한다. 만약 x의 절대값이 정확히 바로 그 경계지점에 걸쳐 있다면, 그땐 어떻게 될지 모른다. 그때 그때 다르다.

원래는 이 증명을 실으려고 했지만, W. Rudin의 Principles of Mathematical Analysis (3rd Edition)의 69쪽에 딱 2줄짜리 증명이 있어서 흥미가 떨어져 버렸다. 그 증명이 왜 맞는지 설명하려면, 반대로 그 책의 첫 페이지부터 그 부분까지 전부 강의를 해야 하기 때문에 너무 힘들다.

아무튼. 중요한건, 수렴과 발산의 경계점이 있어서 그보다 멀리 있으면 발산하고 가까우면 수렴한다는 것이다.

어떤 블로그에서 재밌는 글을 읽었다.


http://conodont.egloos.com/2374790

팔 2개, 다리 2개. 끝. 인간은 모두 그렇다. 가끔 팔이나 다리가 더 많거나 더 적은 아기가 태어나긴 하지만, 더 적으면 그냥 그렇게 살으라고 하고 더 많으면 2개 빼고 나머지는 잘라준다.

그렇지 않다고 가정해 보자. 얼마나 불편할까? 또는 얼마나 편할까? 다만, 여기서는 다리가 몇개있든지간에 각 개체는 그 상황 자체에는 충분히 적응해 있다고 하자. 우리가 원래 2개 있는데 1개가 없어서 불편해지는 그런 상황은 아니다.

일단 다리만 4개인 경우를 고려해 보자. 대표적으로, 잘 달리는 동물인 말을 생각해 볼 수 있다.

만약 말의 다리가 1개였다고 해 보자. 빠르게 뛸 수가 없다. 폴짝폴짝 뛰는 수밖에 없다. 그리고 대단히 넘어지기 쉽다.

말의 다리가 2개였다면? 이 경우에는 빠르게 뛸 수는 있을 것이다. 하지만 4개인 경우보다는 느리다. 왜냐하면 다리가 땅에 붙어있는 시간 동안만 가속할 수 있는데, 다리가 2개라면 다리가 4개인 경우보다 다리가 땅에 닿지 않는 시간이 길어진다. (이 부분은 나의 추측이므로 틀릴 수 있다.) 만약 포식자나 같은 먹이를 놓고 경쟁하는 다른 종 중에 다리가 4개인 동물이 있었다면 다리가 2개만 있는 동물은 별다른 행운이 따르지 않는 한 금방 멸종했을 것이다. 물론 인간은 예외다. 인간은 바로 그 “별다른 행운”이 나타난 동물이니까. (행운이랄것도 없이, 다리 4개에서 다리 2개를 포기한 대신, 팔을 2개 얻으면서 살아남게 되었다.)

그럼 3개의 다리를 가진 말은? 이 경우는 앞쪽이 다리가 1개, 뒷다리가 2개인 경우와, 반대로 뒷다리가 1개이고 앞쪽의 다리가 2개인 경우를 생각해 볼 수 있다. 그런데 이 경우는 굉장히 뒤뚱거리게 된다. 누구나 알다시피, 달리기의 기본적인 원리는, 한쪽 발을 땅에 댄 상태에서 나머지 발을 앞으로 내보내는 것이다. 땅에 대고 있는 발을 뺀 나머지 다리는 앞으로 가야 한다. 그런데 다리가 3개라면, 다리를 1개를 앞으로 내보내는 경우와 2개를 앞으로 내보내는 경우가 생긴다. 이 경우, 좌우 대칭이 깨지게 되며, 각운동량 보존에서 얻을 수 있는 효율을 많이 포기해야 한다. 이것은 내가

http://snowall.tistory.com/3

에서 논의한 바 있다. 따라서 이 경우에도 그다지 좋지는 않다.

한가지 다른 가능성으로, 다리가 일렬로 붙어있었다면? 가령, 머리가 바라보고 있는 방향에 대해서 수직으로 3개의 다리를 갖고 있다면? 이 경우에도 그다지 이득을 볼 것은 없다. 다리의 길이는 셋이 같은 것이 좋다. 어느 한쪽이 길거나 짧다면 걸어다닐 때나 그냥 서 있을 때 균형이 안맞아서 불편할 테니까. 그런데 달리기 할 때, 한 다리를 땅을 딛고 있으면, 나머지 두 다리는 앞으로 가야 한다. 그럼 그 두개의 다리가 앞으로 달려가 봤자 같은 위치에 떨어진다. 더군다나, 다리 두개를 앞으로 보낼 때의 힘과 다리 한개를 앞으로 보낼 때의 힘은 다르다. 따라서 이 경우, 다리가 균일하게 발달한다면 여러가지 운동적인 효율성에서 손해를 볼 것이고, 다리가 불균일하게 발달한다면 잘 발달된 하나의 다리와 덜 발달된 두개의 다리로 분리될텐데, 차라리 비슷하게 발달된 두개의 다리가 낫지 않을까?

다리가 4개인 경우는 많이 연구되어 있으므로 생략.

다리가 5개라고 해 보자. 다리 4개가 이미 4각형 모양으로 있다고 한다면, 거기에 1개를 더 붙이고 싶어도, 어디에 붙여야 달리기에서 이득을 볼 수 있는지 모르겠다.

다리가 6개인 경우는, 드디어 좌족 3개, 우족 3개, 이렇게 만들 수 있을 것이다. 대칭이다. 물론 말의 몸통은 충분히 길어서 다리 사이의 간격은 적당히 넓게 벌어져 있다고 하자. 이 경우, 체중과 각 다리의 근력과 다리 길이 등이 같다고 가정하면 다리가 4개인 말과 비교할 때 좀 더 빨리 달릴 수 있을까? 마찬가지로, 6개의 다리 중 2개가 동시에 땅바닥에 닿는다고 가정하자. 나머지 4개 중에서 2개가 먼저 땅에 닿고, 이게 땅에 닿을때 남은 2개는 앞으로 나가고, 땅에 닿아있던 2개는 들어올려서 앞으로 밀게 된다. 즉, 한 박자를 셋으로 나눠서 달리게 된다. 그런데 2개에서 4개로 늘어났을 때는 두배나 증가한 가속력을 얻지만, 4개에서 6개로 늘어나는 것은 1.5배로 증가한 가속력이 된다. 만약 50%만큼의 가속력에 비해서 다른 손해가 크다면 이것은 유리한 진화 방향이 아닐 것이다. 또는, 가속력이 더 커지지 않을수도 있다. 다리 길이가 같은 상태에서 두 다리가 바닥에 닿아 있을 때, 나머지 네개의 다리가 공중에 떠 있을 수 있는 시간은 다리 길이가 같기 때문에 다리가 4개인 경우와 같은 시간동안 떠 있을 수 있다. 그렇다면 그 시간동안 두번 가속을 하든, 한번 가속을 하든, 전체적인 가속력이 비슷하다면 가속시간도 비슷하므로 최종적으로 얻는 속력 또한 비슷할 것이다.

그래서 몇가지 손해일 것으로 추정되는 부분을 생각해 보았다. 일단은 더 많이 먹어야 할 것이다. 속력이 빨라지거나 가속력이 커지거나 등등은 에너지 소모가 더 많아질테니까. 그리고 새끼를 낳을 때 실패할 확률이 높아질 것이다. 다리가 많아서 어미 뱃속에서 빠져나올 때 걸리는 부분이 많을 것 같다.

아무튼 다리가 많아지면 이득도 있겠지만 손해도 있는 것 같다.

만약 6지를 갖고 있는데 다리 대신에 손이 몇개 더 있다고 가정하자.

팔 1개 + 다리 5개, 팔 3개 + 다리 3개, 팔 5개 + 다리 1개

팔이나 다리가 홀수인 경우는 도저히 상상이 되질 않는다. 아무튼 다리가 1, 3, 5개인 경우는 앞에서 논의했기 때문에 그에 따른 손실만으로도 멸종하기에 충분할 것 같다.

팔 2개 + 다리 4개 (켄타우르스…)

이 경우, 달리는 속력이 더 빨라졌을 것이다. 따라서 육식이라면 먹이를 잡기가 쉬워졌을 것이라고 생각할 수 있다. 또는 포식자로부터 도망가기가 쉬울 것이다. 하지만 결국 먹이를 잡기 쉽다거나 적에게서 도망가기가 쉽다면 팔을 많이 쓸 필요가 없다. 따라서 팔은 진화할 필요가 없다. 물론 우리는 지금 두개의 팔을 너무나 유용하게 쓰고 있기 때문에 팔이 있으면 더 유리한거 아닌가 하고 생각할지도 모른다. 하지만 진화의 초기 시점에, 만약 팔이 2개가 있었고 다리가 4개가 있었다면, 굳이 팔을 쓰지 않아도 충분히 빠르게 도망다닐 수 있었을 것이기 때문에 팔은 세대가 지나면서 퇴화될 것이라고 생각할 수 있다.

팔 4개 + 다리 2개 (…변신괴물?)

이 경우, 달리는 속력은 그다지 빠르지 않다. 따라서 팔과 손을 유용하게 써야만 할 것이다. 이것만큼은 진화적으로도 유리하다고 생각할 수 있다. 하지만 그건 현대 사회에서 팔이 부족할 정도로 일이 많기 때문일지도 모른다. 원숭이에게 팔이 4개가 달리고 다리가 2개가 붙어있었다면, 그 원숭이는 4개의 팔을 충분히 써먹을까? 물론 충분히 써먹을 수도 있다. 사과를 먹으면서 털고르기를 하고, 동시에 나무에 매달려 있으면서 새끼를 안고 있는 모습을 상상해 보자. 멋지지 아니한가. 근데 굳이 그렇게 해야 하나 싶기도 하다. 이건 결론을 내리지 못할 것 같다.

아무튼, 동물에게 사지가 사지가 아니라 더 많거나 적었다면 어떻게 될지에 대해서 간단히 생각해 보았다.