[작성자:] snowall

참 뜬금없는 문제다. -_-;

조건을 알아보자.

1. 주어진 차는 전륜구동이다.

2. 주어진 차의 무게 중 70%가 전륜에 가해진다.

3. 타이어와 길의 마찰계수는 0.61이다.

이렇게 3가지 조건만 갖고서 차의 최고속력을 구하랜다.

난감한가?

우리는 여기서 숨겨진 조건 1개가 더 있음을 발견해야만 한다.

4. 위 3가지 조건만으로 문제를 풀 수 있다.

4번째 조건을 가정하지 못한다면, 이 문제는 풀리지 않는다. (당연히…)

우선, 바퀴는 굴러가고 있으므로 조건에 주어진 마찰계수는 최대정지마찰계수라고 봐야 한다. (아니면 차가 드리프트하고 있다는 가정을 해야…-_-; 전형적인 자동차를 운전할만한 전형적인 운전자는 카트 라이더가 아니다.)

그리고 문제에 언급되지 않았으므로 공기저항도 무시하자. 연료 문제도 무시하자. 엔진 자체도 무한정 빨리 돌아갈 수 있다고 하자. 이상적인 상황을 가정해야 한다.

풀이는 감추어 두었다.

더보기

어쩌라고.

운동상태 – 물체가 갖고 있는 질량과 속도

운동량 – 질량과 속도의 곱

관성 – 물체가 운동상태를 바꾸지 않으려는 “성질”

관성력 – 관성때문에 생기는 힘. 운동량의 시간당 변화율의 반대로 작용함

관성의 법칙 – 모든 물체는 관성을 갖고 있다.

관성계 – 관성의 법칙이 적용되는 관찰 좌표계

관성계는 관성의 법칙이 적용됩니다. 힘을 가하지 않는 한 어떤 물체도 절대로 운동상태를 바꾸지 않죠. 즉, 질량이 바뀌거나 속도가 바뀌지 않는다는 뜻입니다.

일정한 속도로 달리는 버스 안에서 있는 관찰자는 관성계에 있는 관찰자입니다. 하지만, 갑자기 멈추는 중인 버스는 더이상 관성계가 아니게 되죠. 아무도 힘을 작용하지 않았지만 앞으로 쏠려가게 되며, 따라서 버스에 대해서 속도가 변하므로 운동상태가 바뀌는 것이죠.

관성력은 관찰자에 따라 있기도 하고 없기도 하는 힘입니다. 가령, 버스 바닥이 매우 미끄럽다고 해 봅시다. 달리던 버스가 멈추게 되면, 그 안에 있던 사람들은 앞으로 미끄러지겠죠. 버스 안에서 보면, 가만히 있던 사람이 앞으로 가게 되므로 관성력이 작용하는 겁니다. 하지만 버스 바깥에서 보면 앞으로 가고 있던 사람들이 여전히 앞으로 가고 있으므로 운동상태가 변하지 않았고, 따라서 관성력은 작용하지 않습니다.

이어서 가속도의 법칙에 대한 질문이다.

그래서 정리하였다.

가속도의 법칙은 관성의 법칙의 확장판입니다. (일반화 시켰다고 할까요. 특수상대성 이론과 일반 상대성 이론의 관계와 비슷하죠)

우선 복습…

관성의 법칙은 “외부에서 힘이 작용하지 않는다면, 물체는 반드시 그 운동상태를 유지한다”는 법칙입니다. 이 법칙은 반대로 “물체가
운동상태를 유지하고 있다면, 그 물체에는 절대로 외부에서 힘이 작용하지 않는 것이다”라고 쓸 수도 있습니다.

이 법칙에서, “~~하지 않는”이라는 부분을 바꾼다면 어떻게 될까요

“물체가 운동상태를 유지하지 않는다면, 그 물체에는 외부에서 힘이 작용하고 있는 것이다”

마찬가지로

“물체에 외부에서 힘이 작용한다면, 그 물체는 절대로 운동상태를 유지할 수 없다”

여기서. 운동상태는 관성의 법칙에 나온 것과 마찬가지로, 질량과 속도의 곱이 됩니다. 질량이 변하지 않는다고 하면, 속도가 변할 수밖에
없겠죠.

따라서, 외부에서 작용하는 힘은 속도의 변화로 나타납니다. 이것이 가속도의 법칙입니다.

과학자들은 이것을 좀 더 자세히 보기 위해서 공식으로 쓰게 됩니다.

가장 간단한 공식은 1차 함수죠.

외부에서 작용하는 힘 = (운동상태의 변화율)의 적당한 몇 배

그런데, 운동상태는 질량과 속도의 곱이므로

외부에서 작용하는 힘 = ((질량과 속도의 곱)의 변화율)의 적당한 몇 배

질량이 변하지 않는다고 하면

외부에서 작용하는 힘 = (질량과 (속도의 변화율)의 곱)의 적당한 몇 배

속도의 변화율 = 가속도

외부에서 작용하는 힘 = (질량과 가속도의 곱)의 적당한 몇 배

여기까지만 해도 되겠으나, 대체 몇배인지 알 수 없다면 공식을 사용할 수 없겠죠. 뉴턴의 법칙은 “적당한 몇 배”를 “1배다”라고 선언한
겁니다. (그 적당한 몇배가 대체 몇배인가…이건 맘대로 정해도 됩니다. 단, 다른 과학자들은 모두 “1배”를 사용하고 있으므로 다른
과학자들이랑 대화를 하려면 다른 과학자들에게 맞춰주는 것이 편하겠죠.)

이걸 영어로 쓰면

F=ma

F: 힘 / m:질량 / a:가속도

대충 이렇게 됩니다. 참고로, 이건 “법칙”이기 때문에 무조건 맞는 거고, 따라서 이 법칙이 왜 성립하냐고 묻는건 의미가 없습니다.

틀렸다고 생각하면, 틀렸다고 얘기해도 됩니다. 단, 그 경우에는 F=ma라는 공식이 언제 어디서 어떻게 얼마만큼 틀린지 정확히 말하지
않으면 무시당하겠죠.(다른 과학자들은 다들 F=ma가 올바른 법칙이라고 생각하니까요)

제일 앞 부분에서 1차 함수를 썼는데, 2차 함수나 3차 함수 같은걸 쓰고 싶으면 써도 됩니다. 단, 그 경우에는 왜 그걸 썼는지, 그리고
그 공식이 얼마나 정확한지도 말해줘야겠죠. 지금까지는 1차 함수를 썼을 경우가 가장 잘 맞았습니다. (뉴턴도 바보가 아니었기 때문에, 1차
함수를 썼던 거죠.) 그리고, 1차 함수가 아니었다면 우리는 물리 문제를 단 1개도 제대로 풀기 어려웠을 겁니다.

*여기에 설명된 FFT는 단순히 개념만을 설명하고 있다. 실제적인 알고리즘은 좋은 책과 인터넷 검색을 활용하여서 정확한 내용을 이해한 후에 사용하여야 한다.

푸리에 변환은 현대 공학에서 아주아주아주 다양한 범위에서 응용되는데, 그것은 실제 세상을 분석하는 실질적이면서 강력한 도구이기 때문이다. 하지만 앞서 얘기했듯, 푸리에 변환은 적분에 관한 문제이고 적분을 잘 하는 것은 아주아주아주 어려운 문제이다. 그러므로 이것은 대단히 힘든 일이 된다. 적분은 누구에게나 어려운 일인데, 하물며 수식을 이해조차 못하는 컴퓨터가 어떻게 푸리에 변환을 할 수 있을까? 그래서, 연속체에 관련된 적분 문제를 컴퓨터도 잘 할 줄 아는 단순한 덧셈으로 바꿔서 비교적 정확한 푸리에 변환을 하는 것이 DFT가 된다. 하지만 DFT는 N개의 구간으로 나눴을 때 N*N개의 계산을 하는 방법이다. 좀 더 획기적인 방법이 등장하는데, 그것이 빠른 푸리에 변환(Fast Fourier Transform=FFT)이다. 빠른 푸리에 변환은 실제로 N*N번 걸릴 계산을 N*logN번 정도로 줄여주게 된다.

가장 기본적으로, 푸리에 변환에서 사용하는 함수들이 지수함수라는 것을 생각해보자.

$e^{a}*e^{b}=e^{a+b}$

잘 보시라, 지수 함수와 로그 함수의 가장 큰 특징은 덧셈과 곱셈을 서로 바꿔 쓸 수 있다는 것이다. 지수함수에서는 곱셈이 덧셈으로 바뀌고, 로그 함수에서는 덧셈이 곱셈으로 바뀐다. 아무튼 가장 중요한 특성은 지수 밑에 있던 곱셈이 지수 위에서 덧셈으로 변신했다는 사실.

그럼, DFT에 나오는 수식을 잘 살펴보자.

$a_1=f(n2\pi/N)*e^{ik(n2\pi/N)$

저걸 $a_1$이라고 부르자.

그런데 푸리에 변환에서 나와야 하는 것은 함수이므로 k가 변하게 되면 계산을 새로 해야 한다.

하지만 – 간과해서는 안되는 사실이 있다. 저기에 더하기 전에 곱하는 숫자는 바로 크기가 1인 지수함수라는 것. 아무리 곱해도 크기는 변하지 않으며, 그 위상각만 계속 돌아간다. 게다가, 만약 구간을 정수인 N등분 해 놓는다면 k가 커지면서 계산해야 할 계수는 새로 계산할 필요 없이, $e^{i(n2\pi/N)$을 계속 곱해가면서 계산하면 된다.

$e^{i(n2\pi/N)$를 2번 먼저 곱하고 3번 곱하든, 3번 먼저 곱하고 2번 곱하든, 5번 곱했다는 사실은 변함이 없다. 바로 이런 성질을 이용하는 것이다.

우선, 귀찮으니까 $e^{i(n2\pi/N)$를 w라고 쓰고, $w(k)=w^k$라고 하자.

가령, 점이 4개 있다고 해 보자. 0, 1, 2, 3이라는 번호를 붙여보자. 그럼 4개의 점은 x(0), x(1), x(2), x(3)이 된다.

이 점 4개에 대한 이산 푸리에 변환은 다음과 같다

$X(0)=x(0)w(0)+x(1)w(1*0)+x(2)w(1*0)+x(3)w(1*0)$

$X(1)=x(0)w(0*1)+x(1)w(1*1)+x(2)w(2*1)+x(3)w(3*1)$

$X(2)=x(0)w(0*2)+x(1)w(1*2)+x(2)w(2*2)+x(3)w(3*2)$

$X(3)=x(0)w(0*3)+x(1)w(1*3)+x(2)w(2*3)+x(3)w(3*3)$

$w(k+N)=w(k)$인 성질을 이용해서 정리해주면 (이 성질이 가장 중요하다. 이러한 성질이 없다면, FFT는 불가능하고 DFT전체를 계산해야만 한다. 곱셈의 교환법칙과 유한군론의 승리.)

$X(0)=x(0)w(0)+x(1)w(0)+x(2)w(0)+x(3)w(0)$

$X(1)=x(0)w(0)+x(1)w(1)+x(2)w(2)+x(3)w(3)$

$X(2)=x(0)w(0)+x(1)w(2)+x(2)w(0)+x(3)w(2)$

$X(3)=x(0)w(0)+x(1)w(3)+x(2)w(2)+x(3)w(1)$

이 수식을 뚫어지게 쳐다보면, 이미 계산한 항이 여러번 등장하고 있는 것을 확인할 수 있다.

다시말해서, DFT를 계산할 때 저걸 전부 계산한다면 보다시피 N*N번의 계산을 전부 다 해야 한다. 하지만, 반복되는 부분을 잘 알고 있다가, 다음번에 계산할 때 써먹는다면 계산 비용이 절약된다. FFT는 수식을 뚫어지게 쳐다본 사람의 승리라고 할 수 있겠다.

하지만, 아무리 컴퓨터라도 저 숫자들을 다 외우고 있다보면 머리가 아프겠지. (응?)

정확하게는, 짝수항과 홀수항으로 나누고, 그 짝수항과 홀수항으로 나눈 것을 다시 각각 짝수항과 홀수항으로 나누고, 이 것을 반복해서 2항 푸리에 변환이 될 때까지 계속한다. 그 다음에, 조각난 푸리에 변환을 적당히 더해서 전체 푸리에 변환을 완성하게 된다.

$x(0)w(0)+x(2)w(0)$과 $x(0)w(0)+x(2)w(2)$을 계산하고, $x(1)w(0)+x(3)w(0)$과 $x(1)w(1)+x(3)w(3)$을 계산한다.

$E1=x(0)w(0)+x(2)w(0)$

$E2=x(0)w(0)+x(2)w(2)$

$E3=x(1)w(0)+x(3)w(0)$

$E4=x(1)w(1)+x(3)w(3)$

라고 해보자.

$X(0)=E1+E3$

$X(1)=E2+E4$

$X(2)=E1+E3*w(2)$

$X(3)=E2+E4*w(2)$

이렇게 된다.

처음의 DFT에서 16번의 곱셈과 12번의 덧셈이 있었다면, 나의 4점 FFT에서는 10번의 곱셈과 8번의 덧셈이 있게 되었다. 확실히 줄어들었다. (왜 NlogN번이 아니냐고는 묻지도 따지지도 말자. -_-; 숫자가 작아서 그렇다.)

숫자가 적을 때는 그다지 차이가 없지만, 만약 이 숫자가 100만개 정도 된다면 그땐 무시할 수 없는 정도로 차이가 나게 된다.

자. 그런데, 이런 것을 도대체 어떻게 이해하면 좋을까.

gnuplot의 도움을 받아서 다음 그림을 그려보았다.

그림이 좀 흐릿하지만, 대충 보자. 어느쪽이 x축이고 y축인지는 중요하지 않다.

여기서는 sin함수를 계산했지만, 대충 exp(ikx)함수라고 생각하도록 한다. 복소수 삼각함수는 그림으로 그릴 방법이 없다.

x=1인 선을 따라갈 때 생기는 함수를 알고 있을 때, x=2인 선을 따라갈 때 생기는 함수는 어떻게 계산할까? 당연히 제곱하면 된다. (사인공식에도 나오지만, 제곱하면 함수 안의 계수가 2배가 된 다른 사인함수로 변신한다.) 제곱이라는 건 자기 자신을 곱하는 것이다. x=3인 선을 따라갈 때 생기는 함수는, 다시 자기 자신을 한번 더 곱하면 알 수 있게 된다. 잘 보면 알겠지만, x가 1인 선을 따라서, y가 -2에서 2까지 변할 때 생기는 함수는 x가 2인 선을 따라서 y가 0에서 2까지 변할때 생기는 함수와 똑같이 생겼다. 잡아 당겨서 늘려주기만 하면 똑같다.

즉, 삼각함수는 제곱해서 생긴 함수의 일부가 원래의 함수와 같다. (프랙탈…그런건 따지지 말자. 프랙탈 아니다.)

저런걸 함수 f(x)에 곱해서 적분한다고 하면, 삼각함수의 특징을 잘 이용해 줄 수 있게 되는 것이다.

이해 안가는 부분은 댓글로. -_-;