* 2006년 11월 6일에 쓴 글을 복사해온 겁니다.
여기서 우리는 “입자는 어디에 있는가?”라는 질문에 대답하기 위해
또 기나긴 설명 하나를 거쳐야 한다. 당신이 “좌표계”에 대해 잘 알고 있다면 이 부분을 건너 뛰어도 상관 없을 것이다. 사실
몰라도 된다 -_-; 그렇지만 설명하고 넘어가겠다.
입자가 무엇인지는 잘 몰라도 된다. 나는 그냥 ‘입자’라고 이름 붙여진 무언가에 관하여 이야기 할 것인데, 입자는 당신이
생각하는 어떤 것이라도 좋다. 공, 자동차, 비행기부터 소리, 파도, 사랑 등 이름붙일 수 있는 모든것을 입자로 볼 수 있다.
(이런 의미에서 물리학이랑 수학은 굉장히 근본적인 학문이다. 감정도 분석 가능한 대상으로 취급하기 때문이다. 뭐, 그쪽은 심리학이 좀 더 강력한 도구를 갖고 있을테지만…)
아무튼 물리학자들은 입자가 어디에 있는지 알기 위해서 숫자를 이용한다. 보통은 숫자 3개를 묶어서 사용하는데 예를들면 (20,30,10)과 같은 것이다.
저 숫자의 의미는 다음과 같다. “왼쪽으로 20, 앞쪽으로 30, 위로 10의 위치.” 단위는 어떤것이든 좋다. 미터,
센치미터, 인치, 당신의 발바닥 크기 등등. 이런 방법은 우리집 주소를 표시할 때도 쓴다. “803동 1004호”라는 말에는
“8단지로 찾아가서 3번째 건물에 있는 10층의 4호”라는 뜻이 숨어있다. 간단한 집주소에도 3차원적인 위치를 표현하는 것들이
숨어있는 것이다.
그럼 입자가 가만히만 있을까? 그럼 아무것도 할 수 없다. 뭔가 움직임이 있어야만 입자가 이리저리 돌아다니면서 일을 할 수
있을테니까, 우리는 입자가 움직이는 걸 설명할 수 있어야 한다. 여기에 방금 앞에서 본 좌표 개념을 도입하자.
자, 나는 앞으로 보통의 좌표를 (a,b,c)와 같이 소문자의 묶음으로 나타내고 (a,b,c)를 통틀어서 A와 같은 대문자로 나타내겠다. 식으로 쓰면 다음과 같다.
A = (a,b,c)
이것은 간단한 등식이므로 이해하는데 그다지 어렵지 않을 것이다.
이때, a,b,c에는 어떤 숫자라도 들어갈 수 있다는 사실에 주의하기를…
아무숫자나 넣을 수 있다는 것은 꽤 매력적인 성질이다. 우리는 그곳에 필요한 숫자를 넣어서 원하는 결과를 얻을 수 있다.
A를 이야기 했으므로 B도 이야기 해 보자.
B = (l,m,n)
우리는 입자의 위치를 말하기 위해 “좌표”라는 3개의 숫자를 사용하는데, A와 B는 그런 좌표 중에서 특정한 점 2개의
“이름”이다. 앞으로 내가 A라고 하면 그것은 (a,b,c)라고 하는 어떤 점을 간단히 말한 것이다. 이것은 “경기도 고양시
덕양구…”로 길게 이어지는 주소를 “우리집”이라는 한마디로 압축한것과 같다.
그럼, A에서 B로 움직였다고 하면 얼마나 움직인 것일까?
간단히, B에서 A를 빼면 된다. 어떻게!?
아래와 같이 적으면 어떨까ㅕ?
B – A = (l,m,n) – (a,b,c) = (l-a, m-b, c-n)
각각 좌표값끼리 빼준 것이다.
내가 방금 위에서 계산한 것을 수학자들이나 물리학자들은 “벡터의 차”라고 이야기한다. 그런 사람들은 A와 B를 각각 벡터라고
부르는데, 어떤 벡터에서 다른 벡터를 빼버렸기 때문에 그 차이를 계산한다는 의미에서 “벡터의 차”라고 부른다.
물론 벡터의 합도 숫자와 똑같은 방법으로 계산할 수 있다. 곱하기의 경우에는 두가지 종류가 있기 때문에 좀 복잡하다. 다음에 이야기할 기회가 있을 거다.
아무튼 방금 우리는 얼마나 움직였느냐에 관한 이야기를 했는데, 그것으로 다 끝난걸까?
설마 그럴리 없다. 똑같이 1km를 이동했더라도 1시간만에 이동한 것과 10분만에 이동한 것은 분명 다른 점이 존재한다. 어디가 어떻게 다른 것일까?
간단히 생각해 보자. 어떤 경우에 더 빨리 이동했을까?
직관적으로, 그리고 상식적으로 1시간만에 이동한것보다 10분만에 이동한 경우가 더 빠르다. 우리는 이것을 표시해주기 위하여 이동한 거리를 시간으로 나누어서 표현한다.
1km/1시간, 1km/10분
/는 앞에 있는 숫자를 뒤에 있는 숫자로 나누어준다는 뜻이다.
1시간은 60분과 같기 때문에, “1km/1시간”이 “1km/10분”보다 더 큰 값을 가지게 된다는 걸 알 수 있다. 잘 모르겠다면 정확히 계산해 보면 된다. 아마 계산이 끝나지 않을 것이다.
그런데, 1시간동안 이동한 경우라도 어떤 경우에는 10분만에 이동한 것보다 더 빠르게 움직였을 가능성이 있다.
그렇지 않은가? 마라톤 선수가 처음부터 있는 힘껏 달리면 다른 선수들보다 더 앞서나가게 된다. 그러나 지쳐서 결국엔 꼴찌를 하게 되는 것과 마찬가지인 경우가 존재하는 것이다. 부디 그런 일이 없다고 하지 말기를…
이런 경우는 어떻게 표현하면 좋을까?
물리학자나 수학자들은 이런 경우에 다음과 같이 말한다.
“시간에 관한 속도의 함수를 표현해라. 그리고 시간에 관한 위치의 함수를 표현하라”
그리고 이 작업을 당신이 원하는 모든 입자에 대해 계산할 수 있다면 당신은 모든것을 예언할 수 있다. (내가 여기서 이야기하고
싶은 것은 모든것을 예언할 수 있다는 것이 아니라 그런 계산이 불가능하다는 것이다. 괜히 이상하게 받아들여서 물리학 만능주의에
빠지지 마시기를…)
그럼 쉬운 것부터 해보자.
당신이 걸어간다. – 라는 상황을 생각한다.
일정한 속도로 걸어갔다. 1분동안 걸어갔더니 60미터를 갔다. 그렇다면 당신은 1초에 1미터씩 간 것이다. 일정한 방향으로 빠르지도, 느리지도 않게 걸어갔다면 당신의 속력은 “초속 1미터”라고 말할 수 있다.
이제 “초속 1미터”라는 말을 함수로 표현하기 위해서 “1차 함수”라는 것을 알아보자.
당신이 1분동안 60미터를 갔다는 사실은 이미 알고 있다. 당신의 속력이 초속 1미터라는 사실도 알고 있다.
그렇다면 1시간, 2분, 10분 등등 임의의 시간에 어디에 있는지 어떻게 알 수 있을까?
가장 쉬운 방법이 속력에 시간을 곱하는 방법이다.
시간을 t 라고 쓰고 속력을 v 라고 적는다면 당신의 위치 x 는
x = v * t
이런식으로 적어두면, 속력은 정해져 있으므로 시간만 알게 되면 위치는 자연스럽게 예상할 수 있게 된다. (그리고 경험적으로, 그 시간에 실제로 그 위치에 있다는 것도 알 수 있다)
그런데 물체는 항상 일정한 속도로 움직이는 것은 아니다. 어떤 때는 위에서 아래로 떨어지기도 하고 방향을 바꾸기도 한다. 이런 것들을 어떻게 표현할까?
위에사 말했다시피, “속도를 시간의 함수로 표현하면” 된다.
함수에 관한 설명은 다음에 하도록 하고, 우선은 시간을 대입하면 속도를 알 수 있는 수식이라고 해 두자.
그럼 이렇게 쓸 수 있다.
물체의 위치벡터를 R이라고 하고, 물체의 속도를 V라고 하면
R(t) = (x(t), y(t), z(t) )
약간 복잡해 보이지만, 시간에 대한 위치의 함수 x(t), y(t), z(t)를 위치벡터로 나타낸 것이다.
그리고 물체의 속도는
V(t) = (v_x(t), v_y(t), v_z(t) )
라고 쓰면 된다. 밑줄을 긋고 x, y, z를 나타낸 것은 각각의 방향에 따라 속력이 다 다를 수 있기 때문에 구분해 준
것이다. 이런 표현들이 익숙하지 않다면 몰라도 된다. 하지만 어떤 시간에 대해 위치에 관한 식을 적을 수 있다면, 그건 문제를
다 풀었다는 의미임을 알아두었으면 좋겠다.
여기서, 위치R과 속도V는 어떤 특정한 관계를 만족시키는데, 바로 “미분”이라는 것으로 연결되어 있다. 수학적으로 얘기하면 “속도는 위치의 1차 미분이다”
미분에 관한 것 역시 함수에 관한 설명에서 이야기할 것이다.
지금은 단지 속도나 위치 둘 중 하나를 알 수 있다면 다른 하나 역시 알 수 있다는 것만 알면 된다.
위에 적은 설명들이 너무 어려워서 이해가 잘 가지 않을 수도 있다. 사실 중요한건 이것 뿐이다.
위치를 수학적으로 표현하는 방법은 위치벡터를 이용하여 나타내는 것이고, 이것을 이용하여 시간에 대한 위치와 속도의 함수를
“계산”할 수 있고, 그것은 “정말로” 실제 위치에 대응된다는 사실이다. 그것이 우리가 물리학을 믿을 수 있는 이유이다.
*”정말로” 실제 위치에 대응되는 것은 수많은 실험에 의해 밝혀졌다. 뉴턴이 이것을 확립했는데, 어떤 물체가 움직이는 것을
뉴턴이 제시한 방법대로 계산했을 때, 실제로 이 물체의 움직임이 측정 오차 범위 내에 정확히 맞아떨어진다는 것이다.
2003. 11. 6
