이번엔 수식을 사용하지 않고 에너지 보존법칙을 이해하는 것에 도전해 보자.
일단, 에너지 보존법칙의 이론적 배경부터 살펴보자. 두가지 법칙만 알면 에너지 보존법칙을 유도할 수 있다.
1. 해밀토니안 연산자와 교환 가능한 연산자의 고유값은 시간이 변하더라도 보존된다.
2. 해밀토니안 연산자의 고유값이 에너지이다.
2000년전에 개발된 3단논법에 의하면, 에너지는 보존된다.
하지만 해밀토니안 연산자가 뭔지도 모르고 교환 가능한 연산자가 뭔지도 모르며 고유값이 뭔지도 모르는데 이렇게 말해봐야 그냥 개짖는 소리로밖에 들리지 않는다. 따라서 에너지 보존법칙을 조금 더 들여다 보자.
예전에 운동량 보존법칙을 설명할 때, 운동량이 뭔지부터 이해해야만 했다. 따라서 여기서도 에너지 보존법칙을 이해하려면 에너지가 뭔지부터 이해해야만 한다.
기본적으로 우리 우주에는 2가지 종류의 에너지가 있다. Potential energy와 Kinetic energy이다. Potential Energy는 우리말로 “위치 에너지”라고 하는데, 물론 위치에 따라 정해지는 경우가 대부분이기 때문에 위치 에너지라고 해도 좋지만 “잠재적인 에너지” 또는 “숨은 에너지”라고 하는 것이 더 정확한 표현이다. 나중에 전자기학에서 속도나 속력에 따라서 변하는 위치에너지(?)가 등장하기 때문이다. 아무튼 그냥 한국물리학회의 물리 용어집에 따라 별 생각 없이 위치 에너지라고 부르도록 하겠다. 어차피 말이 중요한건 아니다. Kinetic energy는 “운동 에너지”라고 부른다. 운동 에너지는 물체가 움직이기 때문에 갖게 되는 에너지이다. 움직이지 않는다면 에너지를 갖지 않는다.
추가적으로 Thermal energy가 있다. 이것은 “열 에너지”라는 것인데, 통계역학에서 사용하는 에너지이다. 열 에너지는 그 실체를 잘 들여다보면 운동 에너지인데, 통계역학에서 다루는 더해야 할 운동에너지의 수가 너무 많다보니
그냥 수 하나로 에너지를 표현하기 위해서 만들어 낸 에너지이다. 열 에너지를 계산하는 방법은 쉬우므로 여기서는 다루지 않겠다. 아무튼 열 에너지라는 것을 왜 기본 에너지로 치지 않느냐고 묻지 말기 바란다. 열 에너지도 운동 에너지이므로 운동 에너지를 다룰 줄 알면 열 에너지도 다룰 수 있다.
(또 추가) 여기에, 아인슈타인이 쓴 상대성 이론에 등장하는 질량 에너지가 있다. 질량 에너지는 정확히 말하면 그냥 에너지 = 질량 이라는 법칙이 성립하기 때문에 나온 에너지이다. 질량과 에너지는 같은 것이니까, 물리학자들이 주장하는 어떤 글에서 “에너지”라는 단어를 발견했다면, 그 자리에 “질량”이라는 단어로 바꿔서 쓰더라도 물리학적으로 전혀 오류가 발생하지 않는다.
물론 숫자까지 똑같다는 뜻은 아니지만, 물리학자들 중에는 숫자까지 똑같이 맞춰주기 위해서 광속을 1이라고 하는 쿨한 사람도 많다.
아무튼, 에너지는 저렇게 두가지 종류가 있다는 얘기를 하고 싶었다. 그렇다면, 여기서 말하고 싶은 에너지 보존법칙을 이해하려면 에너지를 수로 표현하는 방법을 배워야 한다. 수로 표현하지 못하면 보존되는지 마는건지 알 수가 없잖아.
운동 에너지를 수로 표현하는 방법은 사실 별거 없다. 앞에서 우리는 운동량을 수로 표현하는 방법을 배웠는데, 운동량과 속도를 곱하면 운동 에너지가 된다. 여기에, 운동 에너지를 미분하면 운동량이 되어야 하기 때문에 숫자를 맞춰주기 위해서 0.5를 곱해주면 물리학자들이 실제로 사용하는 운동 에너지가 된다. 하지만 운동 에너지가 왜 운동량과 속도의 곱이냐는 질문에 대답하는 것은 조금 더 어려운 문제이다. 이 질문에 대한 정확한 답은 일-에너지 정리를 유도해야 하는데, 그럼 수식 없이 이해를 해보자는 이 글의 의도에서 벗어나게 되므로 다른 글에서 따로 설명해 보도록 하겠다.
위치 에너지를 수로 표현하는 방법은 더 쉽다. 그냥 주어진 위치 에너지를 가져다 쓰면 된다. 대부분의 경우 위치의 제곱에 비례하거나
위치 값에 반비례
한다. 이 두가지 경우가 물리학에서 가장 많이 사용하는 위치에너지이다. 가끔 위치의 네제곱에 비례하는 위치 에너지, 위치의 세제곱이나 다섯제곱에 반비례하는 위치 에너지 같은 이상한 것들이 등장한다. 뭐 아무튼, 위치 에너지는 물리 문제를 풀어야 할 때마다 그때 그때 주어지기 때문에 고민할 필요가 없다. 물론, 왜 주어진 물리 문제에서 위치 에너지가 그따위로 생겨먹었느냐고 질문한다면 그것 역시 논문 서너개는 읽어야 이해할 수 있는 조금은 어려운 문제라는 협박을 해주도록 하겠다.
이제 에너지 보존법칙이 무엇인지 설명할 수 있는 배경지식을 갖게 되었다. 에너지 보존법칙이란 “외부 계와 에너지를 교환하지 않는 한, 주어진 물리 계가 갖고 있는 에너지의 총 합은 항상 보존된다”는 법칙이다. 다시 말해서, 누가 건드리지 않는다면 에너지를 다 더한 값이 일정하다는 뜻이다.
(다음 글에서 계속… 쓰다가 지쳤음.)
