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숙제하다가…

양자장론 숙제하다가 찍어봤다.

위에 한장 있는건 숙제고, 왼쪽 여섯장은 잘 정리해 둔 것, 오른쪽 네장은 진행중인 적분이다. 오른쪽 네장을 왼쪽처럼 잘 정리하면 10장 정도로 요약될 것 같은데, 그리고 최종적으로 두세장 정도 더 쓰면 숙제가 완성될 것 같다.

분명 교과서에서는 두 줄 정도로, 계산해보면 나온다고 해서 시작한 숙제일텐데, 왜 길이가 발산하고 있는건가.

역시 이론의 세계는 넓고 깊다.

통계 개념들

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사실은, 통계에 관하여 중요한 내용은 고등학교 수학에서 전부 배운다. 통계에서 가장 중요한 것은 평균과 표준편차를 이해하는 것인데, 워낙에 뒤에서 나오다 보니 거의 대부분의 사람들이 별로 의미있게 배우지 못하고 간다. 하지만, 고등학교에서 배운 수학 중에 실생활에 써먹을 수 있는 거의 유일한 내용이 통계이다. 행렬이나 이차방정식의 근의 공식이나 등식과 부등식 같은 내용은 수능에 많이 나오기 때문에 열심히 공부하지만, 정작 실제로 써먹을 수 있는 통계는 별로 공부하지 않는다는 사실이 슬프다.

고등학교 때 까지 배우는 통계에서 중요한 개념은 도수분포표, 히스토그램, 평균, 분산, 표준편차 등이 있다. 나중에 대학에 가서 통계학을 좀 더 배워보면 상관계수, 유의미성, 오차, 6시그마, 이런 개념들이 나타난다. (뭐 아는 사람은 눈치챘겠지만, 개념들 중 몇개는 겹친다.)

통계에 대하여 어려워 하는 사람들이 많은데, 통계를 고등학교에서 가르친다는 것은 어려운 내용이 아니라 누구나 알아야 하고 이해할 수 있는 과목이라는 뜻이다. 그러니, 이 글에서는 좀 더 쉽게 통계를 이해하는 방법을 생각해 보려고 한다.

통계는, 정말 대충 말한다면, 수가 많은 집단의 특징을 한두개의 대표값으로 정리하는 것이다. 예를 들어, 학생 100명의 성적 자료를 갖고 있다고 하자. 그럼 아마 숫자 100개가 일렬로 늘어서 있을 것이다. 여기서 어떤 사실들을 알 수 있을까? 물론 학생 개개인의 성적은 잘 알 수 있다. 하지만 그런 집단들을 비교해야 한다면? 학생 100명의 영어 성적과 수학 성적을 비교해서 학생들이 어떤 과목을 더 잘하는지 알아내려고 한다면? 우리 학교 학생 100명과 저 학교 학생 100명의 성적을 비교한다면? 올해 성적과 작년 성적을 비교한다면?

그때마다 100명의 성적을 일일히 다 대조하면서 비교할 것인가?

100명인 경우에는 어떻게든 할 수 있다고 치자. 그 규모가 국가 단위가 되면 아무리 적게 잡아도 몇십만명에서 많게는 1억명까지도 된다. 사람에 대한 내용이 아니라 상품이나 실험에 관한 수치가 되면 억 단위를 넘어서 수천억이나 조 단위까지 갈 수도 있다. 이것을 일일히 다 비교해서 원하는 결과를 알아낸다는 것은 불가능하다. 그러나 숫자 한두개로 정리하여 비교한다면 너무나 간단한 일이 된다.

어떤 집단의 대표값은 여러가지 개념이 있는데, 중앙값, 최빈값, 평균값이 있다.

중앙값(median)은 값들을 순서대로 정렬했을 때 가운데 있는 값이다. 즉, 100명의 학생이 있다면 그중 50등의 성적이 중앙값이 된다. 중앙값은 전체 집단의 절반은 더 큰 값을 갖고 있고 나머지 반은 더 작은 값을 갖고 있는 특징이 있다.

최빈값은 가장 자주 나오는 값이다. 가령, {1,1,1,2,3,4,5}라는 집합이 있으면 여기서 최빈값은 1이다. 물론 중앙값은 2가 된다.

평균값은 다들 알다시피, 값을 다 더한 후 개수로 나누어 구한 값이다.

사실 중앙값, 최빈값, 평균값 중 무엇을 대표값으로 쓸 것이냐는 집단을 연구하는 사람이 아무렇게나 정할 수 있는 것이다. 그럼, 평균값만 알면 되지 중앙값이나 최빈값 같은 다른 개념을 왜 알아야 하는 것일까? 그건, 어느 하나가 모든 것을 대변하지 못하기 때문이다. 가령, 100명 중 1명만 100점이고 나머지 99명이 1점인 분포에서는 평균은 크게 의미가 없다. 최빈값이나 중앙값이 더 의미가 있다. 예를 들어, 100명중 49명이 1점이고, 1명이 25점이고, 나머지 50명이 100점인 분포가 있다고 하면, 이 경우에는 중앙값이 25점이 되므로, 중앙값은 거의 절반이 1점이고 거의 절반이 100점인 전체 집단의 특성에 아무런 정보를 주지 못한다. 이런 특수한 경우가 있기 때문에, 통계는 항상 그 결론을 의심하고 살펴봐야 한다. 그리고, 앞서 말했듯 아무거나 정해도 되기 때문에 통계를 잘 아는 사람들이 원하는 결론을 내기 위하여 엉뚱한 것을 대표값을 정하는 경우가 있다. 가령, 최빈값이 적절한 경우에 평균을 사용하여 다른 결론을 낼 수도 있다. 그러므로, 중앙값, 최빈값, 평균값이 있다는 사실을 알아두고, 누군가 통계적으로 의미가 있다는 주장을 할 때, 항상 그가 이야기하는 값이 정말로 현실을 반영하는지 알아봐야 한다.

평균값은 사실이지만, 그 수 하나만으로 나타낼 수 없는 많은 진실이 그 숫자 뒤에 숨어있기 때문이다.

평균은 전체적으로 어느 값을 중심으로 뭉쳐있는지를 나타낸다. 중앙값, 최빈값, 평균값, 어느 것이든 집단이 어느 수 근처에 모여있는지를 나타내는 값이다. 하지만 그 근처에서 얼마나 뭉쳐있는지는 알려주지 않는다. 그 값을 중심으로 멀리 퍼져있는지, 가깝게 오밀조밀 모여있는지는 수치가 하나 더 필요하다. 그래서 나온 것이 분산, 표준편차, 범위, 사분위범위 같은 산포도 개념들이다.

일단 가장 이해하기 쉬운 것은 범위(range)이다. 범위는, 말 그대로 가장 큰 값과 가장 작은 값의 차이이다. 그러나, 100명 중 99명의 1점과 1명의 100점이 있을 때, 범위가 99점으로 나오므로 이게 과연 이 집단을 잘 설명하는지는 의문이 된다. 물론 1점부터 100점까지 1명씩 다 있는 경우에는 범위가 매우 적절한 수치가 되겠지만.

그래서 나온게 4분위범위이다. 4분위범위는 크기 순서대로 줄을 세웠을 때, 상위 25%와 하위 25%에 해당하는 수치의 차이이다. 쉽게 말해서 100명이 있다면, 25등의 점수와 75등의 점수 차이가 4분위 범위가 된다.

범위와 4분위범위는 집단이 정규분포나 푸아송분포 같은 잘 알려진 분포와 다르게 이상할 때에도 적당히 사용 가능한 산포도이다. 이 범위들의 강력한 대항마로, 분산과 표준편차가 있다.

분산은 쉽게 말해서 “편차 제곱의 평균”이다. 편차는 평균과 값 사이의 차이이다. 평균을 얻었으면, 값에서 평균을 빼서 얻는 것이 편차이다. 당연히 편차의 평균은 0이다. 왜 그런지 궁금하면 직접 계산해 보는 것이 더 빠를 것이다. 편차는 음수도 있고 양수도 있기 때문에 평균을 내면 0이 된다. 그래서, 음수를 없애기 위해서 제곱하고, 그것을 평균을 내서 분산으로 삼았다..

분산은 제곱한 수들을 평균낸 것이기 때문에 단위가 평균과 다르다. 따라서, 단위를 맞춰주기 위해서 도입한 것이 표준편차이다. 표준편차는 분산의 제곱근이다. 다시 말해서, 표준편차를 제곱하면 분산이 나온다.

표준편차는

라는 기호로 쓴다. 이 기호는 “시그마”라는 그리스 문자이다. 맞다 그 6시그마의 그 시그마가 이 시그마이다. 표준편차의 6배까지 오차를 줄인다는 뜻이 6시그마 공정의 의미이다.

표준편차는 무슨 의미일까?

일단, 많은 과학자들이 인정하고 넘어가는 사실이 있는데, “웬만한 경우, 어떤 사건이 일어날 확률은 정규분포 곡선을 따른다”는 것이다. 정규분포 곡선은 함수로 치면

이렇게 생긴 함수이다. e위에 있는 지수의 분모를 보면 시그마가 들어가 있는 것을 볼 수 있다. 그래프 생긴건 다음과 같이 생겼다.

http://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%8C%8C%EC%9D%BC:Normal_Distribution_PDF.svg

그럼 어쨌든 생긴건 종 모양으로 생겼고, 끝으로 갈 수록 0에 가까워지는 모양이다.

이게 왜 중요할까? 많은 일들이 이 그래프의 확률 분포를 따라 일어나기 때문이다. 저 그래프의 아래에 있는 영역의 넓이가 어떤 일들이 일어날 확률을 나타낸다. 그러니까, 평균을 중심으로 표준편차만큼 좌우로 퍼진 영역의 넓이는 전체의 68%이다. 이것은 어떤 실험을 하거나 어떤 현상을 관찰했을 때, 평균과 표준편차를 알고 있다면, 그 실험을 다시 했을 때 평균 근처의 값을 얻을 확률에 관한 이야기이다. 100번 실험했을 때, 그 중 68번 정도는 평균에서 1시그마 이상을 벗어나지 않는다는 뜻이다.

2시그마는 95.5%, 3시그마는 99.7%, 4시그마는 99.99%, 5시그마는 99.9999%, 6시그마는 99.9999998%에 해당한다. 가령, 6시그마는 실험을 100000000번 해서 한두번 정도가 그 바깥으로 벗어난다는 뜻이다.

하지만, 이것은 평균과 표준편차를 알고 있을 때의 이야기라고 했다. 사실 진짜 얘기는 지금부터인데, 많은 통계 결과가 표본에 대해서만 조사하지 전수조사는 하지 않는다. 여론조사에서 5000만명을 무슨 수로 다 조사하는가. 그 중 1000명 정도만 뽑아서 조사한다. 이 때 바로 “신뢰구간”이랑 “신뢰수준”라는 말이 나오는데, 이것이 바로 이 글에서 이해해야 하는 중요한 개념이다. 원래 이 얘기를 하려고 했는데 앞에서 뭔가 나도 잘 모르는 어려운 개념들을 설명할 수 밖에 없어서 힘들었다.

신뢰구간은 평균이 그 안에 들어가 있을 구간이다. 신뢰수준은 평균이 그 안에 들어가 있을 확률이다. 가령, 여론조사에 관한 언론 보도를 보면 “표본수 1000명에 대해 조사하여 신뢰수준 95%수준에서 A후보에 대한 지지율이 45%에서 플러스 마이너스 3%포인트이다” 처럼 생긴 문장이 흔하게 보인다. 저게 무슨 뜻이냐 하면, 똑같은 조사를 100번을 했을 때 그 중 95번 정도는 A후보에 대한 지지율이 42%에서 48% 사이에 있을 것이라는 뜻이다.

언론에서 여론조사나, 다른 통계 수치를 갖고서 이야기할 때 봐야 하는 말은 위의 예시 문장에 다 들어가 있다. 표본수,
평균값, 신뢰수준, 신뢰구간이 모두 나와 있어야 한다. 위의 문장의 경우 표본수는 1000명, 신뢰수준은 95%, 평균값은
45%, 신뢰구간은 위아래로 3%포인트가 된다. 만약 하나라도 빠져있다면 아무리 저명한 연구기관이나 조사기관에서 발표했어도 그 통계는 믿을 수 없으며, 갖다 버려도 된다.

신뢰수준을 높이면 신뢰구간은 넓어진다.

신뢰수준을 높이면, 그 신뢰수준에 해당하는 신뢰구간은 평균이 그 안에 확실하게 들어가야 하므로 더 넓어질 수밖에 없다. 결국 신뢰구간을 줄이려면 표본의 수를 더 크게 키우는 수밖에 없다. 조사를 많이 할 수록 더 정확한 통계가 나오게 된다는 뜻이다.

어떤 통계를 믿으려면, 표본이 충분히 커야 하고, 신뢰수준이 충분히 높아야 하며, 신뢰구간은 충분히 작아야 한다. 여기서, “충분히”라는 말이 과학적으로 들리지 않겠지만, 어쩔 수 없다. 이것은 각자의 소신과 경험에 맞춰서 믿을지 믿지 않을지를 정해야 한다.

통계에 대해 좀 더 쉽고 재미있게 공부하고 싶다면 다음의 책을 추천한다.

통계의 미학(

http://www.kyobobook.co.kr/product/detailViewKor.laf?ejkGb=KOR&mallGb=KOR&barcode=9788988165911&orderClick=LAH

)

이 책은 통계에 관심있는 일반인에게는 매우 추천할만한 책이다. 통계의 중요한 내용들을 쉽고 재미있는 사례를 통하여 소개하고 설명하고 있다.

통계학 길잡이(

http://books.google.co.kr/books?id=gUB2MwAACAAJ&hl=ko&source=gbs_similarbooks

)

통계학을 만화로 배울 수 있는 좋은 책이다. 은근히 전문적이지만 쉽고 재미있게 설명하고 있다.

질문 몇 개

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최근 궁금한것 몇개.

*페이스북에 올라오는 댓글들의 링크.

https://www.facebook.com/groups/ko.physics/permalink/570248356395969/?stream_ref=2

1. 차들이 한대. 두대. 여러대 지나갈 때, 시간 간격을 다 재 보았다. 다음 차는 언제 지나갈 확률이 높을까?
2. 암실에서 컵에 담은 뜨거운 물을 이용해서 시간에 따라 온도가 줄어드는 속도를 재는 실험을 하면, 검정색 컵이 하얀색 컵보다 온도가 더 빨리 떨어질까?
3. 겨울철 외출시 난방을 켜고 나가는게 더 도움이 된다고? 정말?

http://blog.daum.net/mocie/15612546

추가4. 손잡이를 뜨거운 물과 차가운 물 사이에서 돌려서 조절하는 수도꼭지의 경우, 적절한 온도를 맞추기 위해서는 가운데 부분에서 아주 섬세한 조절이 필요하다. 왜 그럴까?

http://snowall.tistory.com/3423

1차 근사 풀이

추가5. 도넛(torus) 모양의 행성이 있다고 가정하자. 이 도넛은 고리의 축을 중심으로 자전하고 있다. 도넛의 안쪽에 있는 사람은 원심력 때문에 중력이 강해지지만, 머리 위에도 질량이 있으므로 중력이 약해지기도 한다. 도넛의 바깥쪽에 있는 사람은 원심력 때문에 중력이 약해지지만, 발 아래에 질량이 안쪽에 있는 사람보다는 많으므로 중력이 강해지기도 한다. 도넛의 반지름이 일정하다고 할 때, 자전 속도를 잘 조절하여 이 별 표면의 모든 곳에서 느끼는 중력이 같아지도록 할 수 있을까? 아예 불가능할까?

6. 징검다리에서의 속력 양자화 문제.

7. 눈금이 0.1kg까지 나오는 디지털 체중계가 있다. 이 저울로 1g 단위의 소금을 잴 수 있을까?

8. 헬륨을 고무풍선에 넣고 입구를 묶었다. 고무풍선은 후크의 법칙을 따르며, 매우 이상적인(=이상한) 고무풍선이라 절대 찢어지지는 않는다. 이 풍선은 지표면 위로 얼마나 올라갈까? 영원히? 얼마나 커질까? 영원히? 만약 헬륨이 풍선의 면을 통해서 아주 조금씩 새어나온다면, 얼마나 오래 걸려야 땅으로 떨어질까?

9. 시계 바늘이 양쪽으로 뻗어있는 시계가 있다. 즉, 12시를 가리키고 있으면 반대쪽으로도 6시를 가리키고 있는 시계이다. 겉보기에는 바늘이 가리키고 있는 것이 12시인지 6시인지 알 수가 없다. 시침과 분침이 모두 그렇다고 할 때, 몇시 몇분인지 알아낼 수 있을까?

10. 괴델의 불완전성 정리를 양자역학적 관점에서 재구성할 수 있을까? (불확정성 원리와는 다르다!)

11. 어떤 반도체 소자가 있다. 이 반도체 소자의 특성은 레이저를 사용하여 직접 접촉하지 않고 알아낼 수 있다. 또한, 이 반도체 소자의 특성은 슈뢰딩거 방정식에 의해서 완전히 설명할 수 있을 것이다. 이제 이 반도체 소자가 광속(에 가까울 정도로 매우 빠른 속력)으로 날아가고 있다고 가정해 보자. 이 반도체 소자의 특성을 레이저로 조사하였을 때 나타나는 특성은 슈뢰딩거 방정식으로 설명할 수 있을까? 아니면 디락 방정식을 사용해야 할까?

12.

손바닥의 양쪽 끝 점이 축구공의 중심과 이루는 각도가 180도보다는 작다고 하자. (180도조차도 아니라고 한다.)

축구공이 완벽한 강체라고 가정하자. 이 경우 축구공을 잡는 것이 가능할까? 가능하다면 손바닥의 양쪽 끝 점이 축구공의 중심과 이루는 각도, 축구공의 질량, 축구공과 손 사이의 마찰계수, 중력가속도 등 사이에 어떤 관계가 있을지 나타내 보자. 불가능하다면 증명하자.

13.

이거 풍향계 겸 풍속계로 쓸 수 있다. 어떻게 가능할까?

14.
단면이 다각형인 긴 막대기가 있다. 이 막대기가 물 속에서 가라앉는다고 하자. 물은 잔잔하여 흐르지 않는 상태이다. 처음에 가라앉기 시작했을 때는 회전하지 않는 상태였다. 가라앉으면서 이 막대기는 회전할까? 회전 방향은 상관 없다. 어느쪽이든지 회전할 수 있을까? 물이 아닌 다른 종류의 액체라면 회전할 수 있을까?

15.

왜 스핀이 2보다 더 큰 기본입자는 없을까? 아직 3/2 스핀이나 그보다 더 높은 스핀을 가지는 기본입자를 들어본적이 없다.

16.

왜 기본입자는 그 크기가 작을까?

17.

커피 전문점에서 아이스 아메리카노를 주문하면, 얼음을 먼저 컵에 담고, 에스프레소 기계에서 나온 커피 원액을 얼음이 담긴 컵에 그대로 부어준다. 컵에 대해서 얼음이 차지하는 부피가 몇 %인지 알고 있고, 커피와 얼음의 온도를 알고 있다면, 딱 1잔을 채우기 위해서 커피 원액을 얼마나 부어야 할까? 얼음은 커피 원액에 의해서만 녹는다고 가정하자.

18.
머리카락 굵기를 어떻게 재볼까? 가능한 한 다양한 방법을 생각해 보자.

19.

why doesn’t there exist higher intrinsic spin particles than s>3?

20.

can the supersymetry explain neutrino masses without right handed neutrino? (YES!!)

21.

높이 h인 책상에서 질량 M과 신장 H인 사람이 팔굽혀펴기를 한다. 팔 길이를 L이라고 한다면, 이 사람이 팔굽혀펴기를 1회 실시할 때 하는 일의 양은 얼마인가? 중력가속도는 9.8m/s^2으로 두자.

22.

꽤 높은 아파트에서 소주병이 떨어지는 사건이 있었다.

만약 밑에 있는 사람이 우산을 쓰고 있다고 가정하면, 이 사람은 괜찮을까?

벽돌은 어떨까?

23.

추운 겨울에 얇은 비닐장갑과 두터운 털장갑이 있다. 둘 다 끼울 수 있다면 어떤 장갑을 안에 끼우는 것이 더 따뜻할까?

둘 중 하나만 골라야 한다면, 어떤 것이 더 따뜻할까? 여친 손이 더 따뜻해요는 정답이 아니다.

24.
냉장고에 같은 양의 물건을 넣거나 뺀다고 가정하자. 한번에 다 넣거나 다 빼는 것이 좋을까 아니면 여러번 나눠서 넣거나 빼는 것이 좋을까? 단, 여러번 나눠서 처리할 때, 냉장고 문을 닫고나서 다시 열 때 까지는 충분히 긴 시간 간격을 둔다고 하자.

25.

계란후라이를 부치면 왜 가장자리만 과도하게 익어서 딱딱하게 굳을까?

부침개나 다른 비슷한 것들은 안 그렇던데…

26.

흔드는 것만으로 탄산음료 페트병을 터뜨릴 수 있을까? 맥주 유리병은? 이런저런 가정은 필요하다면 도입하자.

27.
우리가 쓰는 보통의 냉장고는 남극에 가면 항온기로 작동할까? 아니면 작동을 안할까?

28.

지구 내부와 외부를 통틀어서, 중력가속도가 10.0m/s^2이 되는 위치가 존재할까? 우주에 있는 다른 별들의 중력은 무시하도록 하자. 지구가 완벽하게 매끈한 공 모양인 경우와, 실제 지구의 경우를 비교해 보자.

29.

내 안경은 가볍고 부드럽게 휘어지는데 재질이 금속인지 플라스틱인지 모르겠다. 겉에는 절연체로 코팅되어 있어서 전기는 어쨌든 안 통한다.
어떻게 알아보지? 아르키메데스처럼 물에 넣어봐야 아는건가…

30.

도심 지하 동공을 탐사하기 위해 탄성파 탐사를 할 수 있는데, 이 때, 음원으로 지하철을 이용하는 것은 어떨까?

31.

생물의 진화를 이용해서 양자 컴퓨터를 구축할 수 있는가?

32.

선폭이 점점 좁아지는 반도체 칩의 세계에서, 선폭이 원자 1개 수준에 접근하면 이걸 응용해서 양자컴퓨터로 쓸 수 있는가?

나중에 풀어봐야겠다. 언제…

양자화의 비극(2)

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예전에 가격 양자화에 대하여 글을 쓴 적이 있다.

http://snowall.tistory.com/2330

요즘은 수법이 좀 더 광범위하게 사용되고 있다.

가격을 9900원, 19900원, 29900원 등 900원에서 끊어놓고 “2만원대”라든가 “1만원대”라는 식으로 광고하는 것을 많이 본 적이 있을 것이다. 표면적으로는, 3만원으로 맞춰서 3만원대에 파는 것 보다는 백원 싸게 팔더라도 2만원대에 파는 것이 더 매출이 오르기 때문이다.

하지만 이 가격 정책은 다른 할인쿠폰과 연동되는 경우 더 많은 매출을 올릴 수 있다.

가령, 2만원 이상 구입할 때 1천원 할인해 주는 쿠폰이 있다고 하자. 19900원짜리 물건을 사면 이 쿠폰으로 할인을 받을 수 없다. 만약 천원짜리 물건이 있다면 그걸 사면 되겠지만, 그런 물건에는 이 쿠폰을 적용할 수 없을 것이다. 결국은 3만원어치를 살 수밖에 없게 된다. 이 경우, 할인을 받기 위해서 다른 물건을 더 사는 것 보다는 할인 쿠폰 유통기한을 넘겨서 쿠폰을 버리게 되더라도 그냥 원래 사려고 했던 19900원짜리 물건만 사는 것이 더 낫다.

마트 주차장은 3만원 이상 구매시 1시간 무료 등으로 조건이 붙어 있는데, 29900원짜리 물건을 두시간만에 사서 나오면 주차요금이 1천원 정도 나올 것이다. 여기서 주차요금을 아끼기 위하여 다른 물건을 더 사는 것 보다는, 그냥 주차요금을 내고 나오는 것이 더 낫다.

물론 나도 그런 이유로 필요 없는 물건을 많이 사기는 하지만.

알면서도 멈출 수 없는 마트의 유혹.

7파장 램프

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http://bulsae.hankyung.com/goods/detail.php?goods_idx=466

일단, 위의 내용은 광고글이므로 공부할 때 사용하는 7파장 램프 스탠드가 필요하지 않다면 굳이 가볼 필요는 없다.

글에 보면 위와 같은 내용이 있는데, 7파장 램프가 가장 자연광에 근접하다고 한다.

자연광이라면 태양빛일텐데, 얼마나 비슷할까?

http://en.wikipedia.org/wiki/Sunlight

위의 그래프에서 빨간색으로 칠해진 부분 중, Visible이라고 되어 있는 영역만 살펴보면 된다. 광고글의 그래프에서는 적색부터 황록색까지라고 했는데, 그럼 위의 Visible 영역에서는 오른쪽 절반에 해당한다. 그리고 왼쪽으로 갈수록 파란색, 오른쪽으로 갈 수록 빨간색이므로 광고글의 그래프와 위에 가져온 위키백과의 그래프는 좌우가 서로 반대로 되어 있다. 그런데, 사실 보면 알 수 있겠지만, 저 영역에서 파장에 따라 큰 차이가 나지는 않는다. 오히려 그 옆에 있는 오파장 램프쪽이 그래프가 생긴걸로만 봐서는 자연광에 좀 더 가깝다고 할 수 있겠다.

그래프가 아예 없으면 나처럼 생각하는 사람도 없었겠지만, 그래프를 그려놨으니 한번 비교해 보고 싶은게 인지상정인지라. 물론 더 많은 파장을 섞어서 만든 빛이 연속 스펙트럼인 자연광에 더 가까운 것은 사실이므로, 칠파장 램프가 다른 두 램프보다 자연광에 가깝다는 주장은 맞긴 맞다. 광고에 그래프를 멋있어 보이는걸 쓰느라 저런게 들어갔겠지만.

전구 세종류 다 사다놓고 프리즘 하나만 있으면 분광시켜서 어떤 것이 가장 자연광이랑 유사한 스펙트럼을 갖고 있는지 알 수 있겠지만… 누군가 해보겠지.

제곱해서 i가 되는 수 찾기

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이런 방정식이 있다.

여기서 z는 복소수이고, i는 -1의 제곱근인 허수단위이다. 즉, 네제곱해서 -1이 나오는 복소수를 찾으라는 것이다.

풀이1

a와 b를 실수라고 할 때, 복소수 z는 두 실수를 이용하여 나타낼 수 있다.

복소수의 상등에 의해 실수부분과 허수부분이 같아야 하므로

b를 a에 대입하면 (a를 b에 대입하든가)

이 때, a와 b의 부호가 다르면 2ab=1>0이 성립되지 않으므로 a와 b의 부호가 같아야 한다. 따라서.

근이 두개인 이유는 2차방정식이니까.

풀이2

오일러 공식에서,

일단, 크기에서 r=1 (r>0이므로 r=-1은 제외한다.)

첫번째 등호에서,

따라서

이 경우

두번째 등호에서,

이 경우

풀이3

근의 공식 이용.

근의 공식을 그대로 적용하면

두번째 줄에서는 무에서 유를 창조하는 인수분해가 사용되었다.

물론 풀이1과 풀이2의 답은 같다. 드 무아브르의 공식을 잘 사용해 보자.

92%가 못 푼다는 그 문제

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http://news.naver.com/main/ranking/read.nhn?mid=etc&sid1=111&rankingType=popular_day&oid=143&aid=0002102685&date=20130217&type=1&rankingSeq=2&rankingSectionId=105

괄호를 어디에 치느냐에 따라 답이 다른데

a = (7 + (7 / 7) + 7) x (7 – 7)

b = (7 + (7 / (7 + (7 x (7 – 7)))))

c = (7 + (7 / 7) + (7 x 7)) – 7

d = ((((7 + 7) / 7) + 7) x 7) – 7

대체로 c처럼 계산하긴 하지만, 어떻게 하자고 정하느냐에 따라 a, b, d도 맞는 답이다. 참고로, 수학자들은 이런 문제로 안 싸운다.

우주선 뮤온 검출을 위한 CAU 다선비례검출기 설계와 제작

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http://www.kps.or.kr/home/kor/journal/library/abstract_view.asp?articleuid={486F680D-C3C4-4D3D-851D-4547693DE3EF}

우주선 뮤온 검출을 위한 CAU 다선비례검출기 설계와 제작

이지훈, 김태현, 남기환, 박현정, 송두리, 신재철, 오민기, 이종훈, 이필수, 진경환, 김시연.

새물리, Volume 62, Number 6, 2012년 6월, pp. 636~642.

내 이름이 들어간 논문이 또 나왔다. 2005~2007년 사이에 관여하고, 최근에는 신경을 못 쓰고 있었는데 교수님께서 내 이름도 저자로 넣어 주셔서 하나 더 나오게 되었다.

달, 나로호, 케플러

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뉴턴이 만유인력의 법칙을 발견하는데 큰 도움이 되었던 것이 바로 케플러의 법칙들이다. 그 중, 직접적으로 만유인력의 법칙이랑 관련된 것은 첫번째 법칙과 세번째 법칙이다. 첫번째 법칙은 ‘행성 궤도는 타원이다’라는 법칙이고, 너무 간단해서 자세히 설명할 것도 없다. 세번째 법칙은 ‘어떤 행성의 궤도 장반경의 세제곱은 주기의 제곱에 비례한다’이다. 물론 간단하긴 하지만, 제곱이니 세제곱이니 하는 말들이 나오면 머릿속이 복잡해 지기 때문에 간단한 설명이 필요하다.

일단, ‘궤도 장반경’이 뭔지 알아야 한다. 이건 어려운 개념은 아니고

타원 궤도를 돈다고 했으니, 위에서 보면 그 움직임이 타원 모양일 것이고, 그럼 그 타원이 찌그러져 있으니 길쭉한 쪽의 크기와 짤막한 쪽의 크기가 구분될 것이다. 그중 긴게 장반경, 짧은게 단반경이다. 궤도의 반경이니 궤도 장반경이 된다.

다시 말해서, 케플러의 세번째 법칙은 다음과 같다.

장반경 x 장반경 x 장반경 = 비례상수 x 주기 x 주기

중요한건 같은 뜻 다른 모양의 다음 공식이다.

(장반경 x 장반경 x 장반경) / (주기 x 주기) = 비례상수

장반경을 세번 곱한것을 주기로 두번 나누면, 이것은 일정한데, 그 중심에 있는 천체가 같으면 일정하다. 쉽게 말해서, 태양계에 있는 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성, 천왕성, 해왕성, 명왕성은 궤도 장반경과 그 공전 주기 사이에 위와 같은 관계가 똑같이 성립한다는 뜻이다. 또, 목성에 있는 16개의 위성들끼리도 위와 같은 관계가 성립한다. 물론 태양계의 행성들과 목성의 위성들 사이에는 성립하지 않는다. 태양계의 행성은 태양을 중심으로 돌고, 목성의 위성은 목성을 중심으로 돌기 때문이다.

그나저나, 달은 궤도 장반경이 384400킬로미터이고, 공전주기가 27.3일이다. 나로호는 궤도 장반경이 900킬로미터이고 공전주기가 103분이다. 뭔가 이상하다. 내가 뭘 틀렸지?

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추가 – 정진명 님의 소중한 힌트에 힘입어…

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위에서는 지구의 반지름을 고려 안했다. 당연히 틀리게 된다.

지구의 반지름은 6738킬로미터라고 되어 있으므로, 달의 궤도에 대해서는 무시해도 크게 틀리지 않겠지만, 나로호에 대해서는 무시하면 완전히 틀리게 된다.