제곱해서 i가 되는 수 찾기

이런 방정식이 있다.

여기서 z는 복소수이고, i는 -1의 제곱근인 허수단위이다. 즉, 네제곱해서 -1이 나오는 복소수를 찾으라는 것이다.

풀이1

a와 b를 실수라고 할 때, 복소수 z는 두 실수를 이용하여 나타낼 수 있다.

복소수의 상등에 의해 실수부분과 허수부분이 같아야 하므로

b를 a에 대입하면 (a를 b에 대입하든가)

이 때, a와 b의 부호가 다르면 2ab=1>0이 성립되지 않으므로 a와 b의 부호가 같아야 한다. 따라서.

근이 두개인 이유는 2차방정식이니까.

풀이2

오일러 공식에서,

일단, 크기에서 r=1 (r>0이므로 r=-1은 제외한다.)

첫번째 등호에서,

따라서

이 경우

두번째 등호에서,

이 경우

풀이3

근의 공식 이용.

근의 공식을 그대로 적용하면

두번째 줄에서는 무에서 유를 창조하는 인수분해가 사용되었다.

물론 풀이1과 풀이2의 답은 같다. 드 무아브르의 공식을 잘 사용해 보자.

8 thoughts on “제곱해서 i가 되는 수 찾기

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  1. 혹시 제곱해서 1+i같은 복소수가 되는 수도 있을까요? 너무 오래전 게시물이지만 댓글 달아봅니다

  2. 일단 -1의 세제곱근은 -1이 있으니까 굳이 따로 정의할 필요가 없겠죠. 아마 -1의 세제곱근 문제는 옛날 사람들도 별로 신경쓰지 않았을 거예요. 물론 복소수 영역에 있긴 하죠. -1의 제곱근은 실수 집합에 없다는 걸 증명할 수 있으므로, 대수적으로는 -1의 제곱근을 실수 집합에 끼워넣은 후, 대수적 완전체(algebraic closure)로 만들어 주면 복소수가 됩니다. 원래 잘 정의 돼요. ㅎㅎ

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