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일단 a>b라고 가정하고, a와 b는 서로 소라고 가정하자.

n은 일단 n>a+b인 정수라고 가정하자.

(n%a)%b=0이면 n/a개의 a와 (n%a)/b개의 b로 만들 수 있다.

n%a

http://kldp.org/node/130501

주어진 미숫가루 임의의 n kg에 대하여, 3kg짜리 자루와 5kg짜리 자루로 나눠 담아야 한다. 1kg이상 남으면 안된다.

n mod 5 = 0 이면, 5kg짜리 자루 (n/5)개로 나눠 담을 수 있다.

n mod 5 = 1 이면, 5kg짜리 자루 ((n-5)/5)개로 나눠 담고, 나머지 6kg을 3kg짜리 자루 2개에 나눠 담으면 된다.

n mod 5 = 2 이면, 5kg짜리 자루 ((n-10)/5)개로 나눠 담고, 나머지 12kg을 3kg짜리 자루 4개에 나눠 담으면 된다.

n mod 5 = 3 이면, 5kg짜리 자루 (n/5)개로 나눠 담고, 나머지 3kg을 3kg짜리 자루 1개에 담으면 된다.

n mod 5 = 4 이면, 5kg짜리 자루 ((n-5)/5)개로 나눠 담고, 나머지 9kg을 3kg짜리 자루 3개에 나눠 담으면 된다.

단, n=1, 2, 4, 7인 경우는 어떻게 할 방법이 없다.

이걸 어떻게 하면 조건문 없이 한줄에 쓸 수 있을까 고민해 봤는데, 일단 3kg짜리 자루의 수는 다음과 같다.

((n mod 5)*2 mod 3)

그리고 전체 자루의 수는 다음과 같이 얻을 수 있다. 우선 “/”연산을 정수들끼리 나누어 정수값만 취하고 소숫점 이하는 버린다고 생각하자.

n mod 5 = 0인 경우에는 n/5개

n mod 5 = 1인 경우에는 n/5+1개

n mod 5 = 2인 경우에는 n/5+2개

n mod 5 = 3인 경우에는 n/5+1개

n mod 5 = 4인 경우에는 n/5+2개

위의 내용을 조건문 없이 한줄로 표현할 수 있는데, 잘 살펴보면 n mod 5의 나머지가 mod 3에서 각각 0, 1, 0, 1, 0인 것을 알 수 있다. 여기에 (n mod 5)/3이 각각 0, 0, 0, 1, 1이라는 사실도 알 수 있다.

즉, 0, 1, 2, 1, 2라는 수열은 ((n mod 3) mod 3)+((n mod 5)/3)으로 얻을 수 있다.

따라서, 전체는

(n/5)+((n mod 3) mod 3)+((n mod 5)/3)

개의 자루가 필요하다.

여기서 5kg짜리 자루가 몇개 필요한가 알아내려면, 전체에서 3kg짜리 자루의 수를 빼면 된다.

(n/5)+((n mod 3) mod 3)-((n mod 5)/3)

만약 /연산을 정수들끼리 나누지 않고, 일반적으로 정의하고 싶다면,

n/5를 (n – ((n mod 5) mod 3))/5로 정의하면 된다. 왜 그런가는 각자 생각해 보자.

따라서

전체적으로

((n – ((n mod 5) mod 3))/5) + ((n mod 3) mod 3) + ((n mod 5)/3) 개의 자루가 필요한데,

((n – ((n mod 5) mod 3))/5) + ((n mod 3) mod 3) – ((n mod 5)/3) 개의 5kg짜리 자루와,

((n mod 5)*2 mod 3) 개의 3kg짜리 자루가 필요하다.

말랑말랑하고 나긋나긋하게 살아가야지.

그렇게 사는 것은 희망사항에 불과한 것일까?

과학은 언제나 실험을 바탕으로 증명되는 학문이다. 구체적으로 말하면 다음과 같은 단계를 거친다.



<sup>[각주:

1

]</sup>

1. 가설을 세우고

2. 가설을 검증할 수 있는 실험을 설계한 후

3. 실험을 수행하고

4. 실험 결과가 가설에 의해 예측된 것과 합치하는지 평가하여

5. 가설이 맞는지 틀리는지 확인한다.

어떤 사람이 다음과 같은 주장을 하였다고 한다.

이 주장은 보는 관점에 따라서 맞을 수도 있고 틀릴 수도 있다.

관찰자는 어째서 실험 대상뿐만 아니라 장비들의 구동 원리를 알고 있어야 하는가?

예를 들어, 온도계를 생각해 보자. 그 중에서도, 빨간색 액체가 유리관 안에 들어있는 아주 흔한 온도계를 생각해 보자. 일반적으로 이 온도계를 사용하여 실내 온도를 측정할 때의 주의사항은 다음과 같다.

이 두가지 주의사항을 지켜야 정확한 온도를 알 수 있다.

각 주의사항을 지켜야 하는 이유는 당연히 지키지 않으면 틀린 결과를 얻게 되기 때문이다. 예를 들어, 1번 주의사항을 지키지 않았다고 가정하자. 그럼 “실내 온도는 시간이 오래 지나면 사람의 체온과 같아진다”는 관찰 결과를 얻게 된다. 따라서, 온도계를 사용해서 정확한 실내 온도를 알아내고자 하는 사람들은 1번과 같은 주의사항을 만들어서 지키게 되었다. 또한, 그 주의사항을 지키지 않은 상태에서 얻어진 관측 결과는 의미 없는 것으로 보고 가설을 증명하는 증거로 사용하지 않는다.

그렇다면, 관찰자는 과연 이 주의사항들이 어째서 지켜져야 하는 것인지 알아야만 하는 것일까? 그저 철저하게 지키기만 하면 안되는 것인가?

엄밀히 말해서, 이론적으로는(?) 실험장치의 주의사항을 제대로 지키는 한 관찰자가 주의사항이 유도된 과정이나 그 작동 원리를 알 필요가 없다. 위와 같은 상황에서, 주의사항을 제대로 지켰으면 온도계의 눈금을 읽기만 하면 된다. 그럼 온도계로부터 얻어낸 수치를 믿고 사용할 수 있다. 문제는 모든 실험 장치가 온도계처럼 단순하지는 않다는 것이다. 실제 실험에서 사용하는 실험 장치는 매우 복잡하고, 여러개의 부품으로 이루어져 있으며, 주의사항을 작성한 사람도 실제로 주의해야 할 모든 것을 알지 못할 수 있다. 만약 실험 결과가 가설에서 예상된 것과 다르다면 이것은 실험 오차가 아니라 실험 장치에 다른 영향이 주어졌기 때문이고, 이 실험은 가설을 증명하기 위하여 설계된 원래의 실험 방식과 다르므로 실험 결과가 가설을 증명하거나 부정할 수 없다.

특히, 새로운 현상을 발견하기 위하여 새로운 실험 장치를 구성하여 실험을 수행하는 경우, 예상할 수 있는 오차 원인을 제거하기 위하여 수많은 주의사항을 미리 작성해 두겠지만 그럼에도 불구하고 실험 결과에 영향을 주는 중대한 오차 원인이 남아있을 수 있다. 게다가, 원래는 부정되어야 할 가설인데 아무도 알지 못한 오차에 의하여 참인 결과가 나올 가능성도 있기 때문에 실험자들은 언제나 실험 장치가 적절히 설계되고 작동하고 있는지 주의깊게 살펴보아야 한다.

그런데, 실제로 실험을 하다보면 하나의 실험 장치라 하더라도 관찰자가 전부 알지 못하는 경우가 있다. 예를 들자면, CERN에서 수행되고 있는 입자 가속기 실험은 너무 거대한 실험 장치이기 때문에 실험자들이 다 알지 못하는 것이 당연하다. 실제로 최근에 중성미자의 속력을 측정한 실험에서 처음에는 중성미자가 빛보다 더 빠른 속력으로 움직인다는 결과를 얻었지만, 오차 원인을 분석해본 결과 실험이 잘못되었다는 사실을 밝혀냈다.


http://press.web.cern.ch/press/PressReleases/Releases2011/PR19.11E.html



http://arxiv.org/abs/1203.3433



http://scienceon.hani.co.kr/archives/27791



http://scienceon.hani.co.kr/archives/26988



http://scienceon.hani.co.kr/archives/27082

즉, 이 경우에도 관찰자가 알지 못하는 주의사항이 존재했고, 그 부분을 찾아서 해결하자 실험 결과가 “예상 대로” 중성미자의 속력은 빛보다 빠르지 않았다.

인간적으로 말해서, 그 거대한 입자 가속기에서 발사된 중성미자가 그 거대한 검출기에 도착하는 시간을 측정하는데 측정기에 붙어있는 광섬유 선이 접촉이 불량한 것을 발견하기란 쉽지 않은 일이다. 이제 주의사항에는 “측정기에 접속된 광섬유 선의 연결이 불량한지 모두 점검할 것”이 추가되어야 할 것이다. 물론 그 주의사항은 이미 다들 알고 있었겠지만, 실험단 전체에서 아무도 그 부분에 접속 불량이 있었다는 사실을 발견하지 못했을 것이고, 그 결과를 학계에 보고한 것이다.

실험을 하면 당연히 결과를 얻는다. 문제는 그 결과가 믿어도 좋은 것인가이다. 실험 장치의 작동 원리는 앞의 과학 탐구 과정 중 2번에 관련된다. 즉, 실험 내용이 가설을 증명하거나 부정하는데 적절하지 않다는 점이다. 따라서 실험을 하는 사람은 실험 결과를 자신있게 내놓기 위하여 자신이 사용하고 있는 실험 장치가 의도대로 작동하고 있는지 의심하고 항상 검증해야 한다. 이 검증을 하기 위하여 ”



과학자는, 실험을 하는 실험의 행위자는 실험을 행하는 대상은 물론 실험을 구성하는 장비들의 작동, 구성 원리를 모두 알고 있어야만 한다.”

추가.

그리고, 과학자가 실험 장치의 작동 원리를 제대로 모르고 있으면, 그걸 아는 사람이 괴로워진다. 헐.

다들 시간은 금이라고 하더라. 그러나 시간은 금보다 비싸다. 금은 돈을 주고 살 수 있지만 흘러간 내 시간은 무엇으로도 살 수 없다.

사람들은 생존을 위하여, 다시 말해서 미래를 위하여 노동을 하고 시간을 돈으로 바꾼다. 이건 사실 돈을 얼마를 받더라도 손해보는 장사이다. 왜냐하면, 앞에서 말했듯이 시간은 무엇보다도 비싸기 때문이다.

그렇다면 인간이 할 수 있는 최고의 사치는 아무런 의미도 창출하지 않고 시간을 흘려 보내는 것이다. 쉽게 말해서, 우리의 좋은 시절은 태어나고 1~2년 사이에 다 끝났다는 뜻이다.

언제 다시 그런 사치를 누려보려나. 은퇴 후에?

내일 죽을 것이라고 생각해 보자. 당신은 오늘 무엇을 할 것인가?

뭔가 떠오르는 것이 있다면, 그것을 지금 해라. 사람들은 흔히 그렇게 말한다.

그렇다면, 그것을 지금 하는 것과 하지 않는 것 중에 어느쪽이 용감한 일일까?

어릴 때는 언제나 남들과 다르기를 바라며 살았었다. 남이 이미 해놓은 것에 그다지 관심을 가지지 않았고, 유행하는 대부분의 문화에도 별다른 흥미를 느끼지 않았다. 그러다보니 따돌림도 당하고 괴롭힘도 당했었다.

지금은 겉부분은 남들과 많이 같아졌다. 불편해서 살 수가 없으니 바꿀 수밖에. 그럼에도 불구하고 남들과 다르기를 바라는 것은 사고방식이다. 아무도 생각하지 못한 이야기를 하고 싶다. 논문이든 소설이든 헛소리든.

남들의 이야기를 많이 들어야 이미 알려진 이야기가 어떤 것들이 있는지 알 수 있다. 그러나 너무 많이 들으면 내가 생각하는 이야기가 이미 남에게 들은 이야기로 뒤덮인다. 그 사이의 어딘가에 중점이 존재한다.

이상이란 이상(異常)인가 이상(理想)인가.

정상이란 정상(正常)인가 정상(頂上)인가.

http://news.chosun.com/site/data/html_dir/2012/03/13/2012031300351.html

조선일보에서 이렇게 아쉬워하고 있을 때, 과학기술부를 없애서 과학기술의 발전을 저해한 것은 어떤 신문에서 찬양했던 어느 나라 어느 정권이더라.

“미분기하학”이라고 하면 사실 굉장히 어려운 과목이다. 어느정도냐 하면, 아인슈타인도 잘 모르고 있다가 일반 상대성이론을 만들려고 동료 수학자에게 배웠을 정도이다.



<sup>[각주:

1

]</sup>

미분기하학에서 다루는 주제는 공간 그 자체이다. 공간이라고 하면 우리가 살고 있는 바로 이 세상이 공간으로 구성되어 있다. 특히, 그중에서도 거리를 잴 수 있는 공간을 다룬다. 물론 우리가 살고 있는 바로 이 세상이 거리를 잴 수 있는 공간의 가장 대표적인 사례이다. 그 공간에서 뭘 하냐면, 크기를 잰다. 크기를 어떻게 재느냐 하면, 선은 길이를 재고, 면은 넓이를 재고, 입체는 부피를 잰다.

크기를 재면 뭘 알 수 있냐면, 크기를 잰 부분에서 공간이 얼마나 구부러져 있는지 알 수 있다.

http://www.imaeil.com/sub_news/sub_news_view.php?news_id=28985&yy=2010

http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A1%9C%ED%94%BC%ED%83%88%EC%9D%98_%EC%A0%95%EB%A6%AC


위키백과의 로피탈 정리 부분을 참조하자.

로피탈의 정리는 도함수의 극한과 원래 함수의 극한을 이어주는 정리이다.

그 내용은 실수값을 갖는 두 함수 f(x)와 g(x)가 x=a에서 f(a)=g(a)=0이라고 할 때, 두 함수를 나누어준 함수인 (f/g)(x)의 x가 a로 수렴하는 경우의 극한이 f와 g의 도함수끼리 나누어 준 f’/g’의 극한과 같다는 정리이다. 엄밀한 내용은 위키 백과를 참조하자.

그런데, W. Rudin의 “Principles of Mathematical analysis, 3rd Edition”을 읽다가, 로피탈 정리의 가정에 학교에서 배운 내용과 다른게 있었다. 가령 f와 g가 x가 a로 수렴할 때 둘 다 무한대로 발산하는 경우인데, 루딘 책의 로피탈 정리의 가정에는 이 경우에 분자인 f는 무한대로 발산해야 한다는 부분에 대한 언급이 없다.

루딘 책은 인터넷에 돌아다니긴 하므로 궁금하면 사서 보거나 찾아보도록 하자.


http://math.stackexchange.com/questions/62916/how-to-show-that-lim-limits-x-to-infty-fx-0-implies-lim-limits-x


위의 글에서 Bill Dubuque 가 댓글 단 부분에 해당 부분을 인용해 두었다.

그래서 루딘 책에 오타가 있나 싶어서 찾아봤는데 그것도 아닌 듯 싶다.

m104_Rudin_notes.pdf에 액세스하려면 클릭하세요.

뭐, 아무튼. 오타가 있으면 교수들이 오타를 이야기 했을 것이고, 검색하면 나오는 법이니 오타는 아닌 것 같다. 사실 오타건 아니건간에 증명을 깊이 이해하고 스스로 맞는지 틀리는지 생각해 보면 되는 문제인데, 아직 수학적으로는 그정도 내공이 쌓여있지 못해서 검색을 사용하였다.

어쨌든 그렇다 치자. 그럼 지금까지 배운 로피탈 정리는 뭔가 틀린 내용이었다는 뜻이다. 물론 0/0형태는 맞는 내용이다. 흥미로운건, 무한대/무한대 내용에서, 증명에 분자가 무한대라는 가정이 들어가지 않는다는 부분이다. 왜 그런지 잘 모르겠지만, 아무튼 책을 다 읽고 나중에 이 부분만 깊이있게 다시 읽어봐야겠다.