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이번엔 수식을 사용하지 않고 에너지 보존법칙을 이해하는 것에 도전해 보자.

일단, 에너지 보존법칙의 이론적 배경부터 살펴보자. 두가지 법칙만 알면 에너지 보존법칙을 유도할 수 있다.

1. 해밀토니안 연산자와 교환 가능한 연산자의 고유값은 시간이 변하더라도 보존된다.

2. 해밀토니안 연산자의 고유값이 에너지이다.

2000년전에 개발된 3단논법에 의하면, 에너지는 보존된다.

하지만 해밀토니안 연산자가 뭔지도 모르고 교환 가능한 연산자가 뭔지도 모르며 고유값이 뭔지도 모르는데 이렇게 말해봐야 그냥 개짖는 소리로밖에 들리지 않는다. 따라서 에너지 보존법칙을 조금 더 들여다 보자.

예전에 운동량 보존법칙을 설명할 때, 운동량이 뭔지부터 이해해야만 했다. 따라서 여기서도 에너지 보존법칙을 이해하려면 에너지가 뭔지부터 이해해야만 한다.

기본적으로 우리 우주에는 2가지 종류의 에너지가 있다. Potential energy와 Kinetic energy이다. Potential Energy는 우리말로 “위치 에너지”라고 하는데, 물론 위치에 따라 정해지는 경우가 대부분이기 때문에 위치 에너지라고 해도 좋지만 “잠재적인 에너지” 또는 “숨은 에너지”라고 하는 것이 더 정확한 표현이다. 나중에 전자기학에서 속도나 속력에 따라서 변하는 위치에너지(?)가 등장하기 때문이다. 아무튼 그냥 한국물리학회의 물리 용어집에 따라 별 생각 없이 위치 에너지라고 부르도록 하겠다. 어차피 말이 중요한건 아니다. Kinetic energy는 “운동 에너지”라고 부른다. 운동 에너지는 물체가 움직이기 때문에 갖게 되는 에너지이다. 움직이지 않는다면 에너지를 갖지 않는다.

추가적으로 Thermal energy가 있다. 이것은 “열 에너지”라는 것인데, 통계역학에서 사용하는 에너지이다. 열 에너지는 그 실체를 잘 들여다보면 운동 에너지인데, 통계역학에서 다루는 더해야 할 운동에너지의 수가 너무 많다보니



<sup>[각주:

1

]</sup>



그냥 수 하나로 에너지를 표현하기 위해서 만들어 낸 에너지이다. 열 에너지를 계산하는 방법은 쉬우므로 여기서는 다루지 않겠다. 아무튼 열 에너지라는 것을 왜 기본 에너지로 치지 않느냐고 묻지 말기 바란다. 열 에너지도 운동 에너지이므로 운동 에너지를 다룰 줄 알면 열 에너지도 다룰 수 있다.

(또 추가) 여기에, 아인슈타인이 쓴 상대성 이론에 등장하는 질량 에너지가 있다. 질량 에너지는 정확히 말하면 그냥 에너지 = 질량 이라는 법칙이 성립하기 때문에 나온 에너지이다. 질량과 에너지는 같은 것이니까, 물리학자들이 주장하는 어떤 글에서 “에너지”라는 단어를 발견했다면, 그 자리에 “질량”이라는 단어로 바꿔서 쓰더라도 물리학적으로 전혀 오류가 발생하지 않는다.



<sup>[각주:

2

]</sup>



물론 숫자까지 똑같다는 뜻은 아니지만, 물리학자들 중에는 숫자까지 똑같이 맞춰주기 위해서 광속을 1이라고 하는 쿨한 사람도 많다.



<sup>[각주:

3

]</sup>

아무튼, 에너지는 저렇게 두가지 종류가 있다는 얘기를 하고 싶었다. 그렇다면, 여기서 말하고 싶은 에너지 보존법칙을 이해하려면 에너지를 수로 표현하는 방법을 배워야 한다. 수로 표현하지 못하면 보존되는지 마는건지 알 수가 없잖아.

운동 에너지를 수로 표현하는 방법은 사실 별거 없다. 앞에서 우리는 운동량을 수로 표현하는 방법을 배웠는데, 운동량과 속도를 곱하면 운동 에너지가 된다. 여기에, 운동 에너지를 미분하면 운동량이 되어야 하기 때문에 숫자를 맞춰주기 위해서 0.5를 곱해주면 물리학자들이 실제로 사용하는 운동 에너지가 된다. 하지만 운동 에너지가 왜 운동량과 속도의 곱이냐는 질문에 대답하는 것은 조금 더 어려운 문제이다. 이 질문에 대한 정확한 답은 일-에너지 정리를 유도해야 하는데, 그럼 수식 없이 이해를 해보자는 이 글의 의도에서 벗어나게 되므로 다른 글에서 따로 설명해 보도록 하겠다.

위치 에너지를 수로 표현하는 방법은 더 쉽다. 그냥 주어진 위치 에너지를 가져다 쓰면 된다. 대부분의 경우 위치의 제곱에 비례하거나



<sup>[각주:

4

]</sup>



위치 값에 반비례



<sup>[각주:

5

]</sup>



한다. 이 두가지 경우가 물리학에서 가장 많이 사용하는 위치에너지이다. 가끔 위치의 네제곱에 비례하는 위치 에너지, 위치의 세제곱이나 다섯제곱에 반비례하는 위치 에너지 같은 이상한 것들이 등장한다. 뭐 아무튼, 위치 에너지는 물리 문제를 풀어야 할 때마다 그때 그때 주어지기 때문에 고민할 필요가 없다. 물론, 왜 주어진 물리 문제에서 위치 에너지가 그따위로 생겨먹었느냐고 질문한다면 그것 역시 논문 서너개는 읽어야 이해할 수 있는 조금은 어려운 문제라는 협박을 해주도록 하겠다.

이제 에너지 보존법칙이 무엇인지 설명할 수 있는 배경지식을 갖게 되었다. 에너지 보존법칙이란 “외부 계와 에너지를 교환하지 않는 한, 주어진 물리 계가 갖고 있는 에너지의 총 합은 항상 보존된다”는 법칙이다. 다시 말해서, 누가 건드리지 않는다면 에너지를 다 더한 값이 일정하다는 뜻이다.

(다음 글에서 계속… 쓰다가 지쳤음.)

n개의 행과 m개의 열로 이루어진 사각형 격자 모양이 있다. 이때, 여기서 만들어지는 사각형의 수는 총 몇개인가?

일단 n개중에 k개를 선택하는 문제가 된다. 단, 이 경우 k개가 연속되어 있어야 한다는 조건이 발생한다.

이 경우에, n-k+1개의 선택이 가능하다. 가령, 10개중에서 3개를 선택하는 경우에는 7가지 선택이 가능하다.

이 논리는 행과 열 모두에 적용 가능하다. 가령 n행중에서 k개의 행을 선택한 후, 각 경우에 대해서 m개의 열 중 j개의 열을 선택할 수 있다.

(n-k+1) * (m-j+1)을 k와 j에 대해서 다 더하면 된다. k는 1부터 n까지, j는 1부터 m까지 더하면 된다.

수열 두개를 곱해서 더하는 경우에 대해 그닥 고민할 필요는 없다. k에 대한 합은 n(n+1)/2이고 j에 대한 합은 m(m+1)/2이다. 나머지는 상수이므로 n과 m을 각각 곱해주기만 하면 된다.

(n*n-n*n/2-n/2+n) * (m*m-m*m/2-m/2+m) = n(n+1)*m(m+1)/4

간단하게 끝나버렸다.

이 공식이 맞는지 한번 점검해보자.

2행 3열의 사각형 격자가 있다고 하면 여기서 나오는 사각형은

1칸짜리 = 6개

2칸짜리 = (세로 4개) + (가로 3개) = 7개

3칸짜리 = 세로 2개

4칸짜리 = 2개

5칸짜리 = 없음

6칸짜리 = 1개

6+7+2+2+1 = 18개

잘 맞는다.

갑자기, 친구가 물어봐서 올려둠.

훈련소에 있을 때, 수료식 준비를 하면서 훈련병 소감문이라는 것을 발표하는 사람을 뽑는 일이 있었다. 이것이 얼마나 굉장한 일이냐 하면, 훈련병 1400명을 대표해서 단 1명이 발표하는 것이다. 훈련병 가족들이 대략 1000명 정도 온다고 치면, 다른 관계자들 포함해서 대략 2500명 정도 되는 사람들 앞에서 자신의 글을 발표하는 것이다. 보통은 수료식 준비를 하는 대대에서 적당히 한명을 뽑기로 되어 있다는데, 이번 기수에서는 내가 소속되어 있던 1중대에서 뽑기로 되었다. 이것은 대단한 행운이었다. 세상에, 내가 2500명이란 사람들 앞에서 공개적으로 내 글을 발표할 수 있는 기회가 있을까? 블로그에 글을 쓴다 하더라도 방문객들 중에서 얼마나 제대로 읽었는지 알 수 없다. 하지만 이번엔 내 글을 확실히 그 사람들의 머릿속에 넣어줄 수 있는 기회라는 것이다. 거기에, 많은 사람들 앞에서 글을 발표하는 것은 나의 자신감을 키워줄 것이다. 어쨌든 정말 꼭 해보고 싶은 일이었다. 하지만, 말했듯이 이 경쟁에 나만 참가한게 아니라 다른 경쟁자 1명이 있었다.

최종적으로 발표자를 선정하는 것은 제비뽑기를 통해서 결정되었다. 투표에서 졌기 때문에 포기할 뻔 했던 나에게 어쨌든 50%의 확률로 한번의 기회가 더 생긴 것이므로 아무튼 받아들였다. 가위바위보를 통해서 누가 먼저 제비를 뽑을지 정했는데, 내가 먼저 뽑게 되었다. 언제나 그렇듯 나는 X를 뽑았고, 난 발표를 포기해야 했다.

이것을 포기해야 한다는 사실을 받아들이는 것은 아주 쉽지는 않았다. 나는 내 글이 더 좋다고 생각하고 있었고, 더 좋은 글이 발표되어야 한다는 것도 당연하다고 생각하고 있었다. 하지만 제비뽑기에서 졌기 때문에 여기서 더 밀고 나가는 것은 의미도 없고 남들이 받아들일만한 명분도 없었다. 거기서 내가 꼭 발표해야 한다고 우기는 것은 여러가지로 무리수가 있었다. 하지만 그렇다고 그걸 그냥 포기하기엔 정말 너무나 엄청난 기회였다.

그러다가 취침 시간이 되어서 침상에 누웠다. 너무 큰 기회를 날려먹은 하루였기 때문에 쉽게 잠이 오지 않았다. 결과를 바꿀 수는 없었고, 그럼 결국 바꿀 수 있는 것은 나의 마음일 뿐이었다. 제비를 뽑을 때, 내가 뽑은거 말고 한번만 더 생각해서 바꿨더라면 결과가 바뀌지 않았을까? 이것은 로또보다 훨씬 더 큰 가능성을 갖고 있었는데, 내가 왜 하필 그렇게 잡았을까. 온갖 후회가 내 머리를 헤집고 다녔다. 그렇게 몇시간을 생각하다가 어느새 잠들었다.

다음 날 아침에 깨어났는데, 아무 생각도 나지 않았다. 내가 추첨에서 떨어졌다는 것도, 내가 발표하지 않는다는 사실도, 이런저런 모든 것들이 기억나지 않았다. 그리고 잠시 후에 내가 어제 무슨 생각을 하다가 잠들었는지 다시 생각해 보고나서야 어제의 감정들이 다시 떠올랐다. 아쉬움, 후회, 자기비하, 기타 등등.

그리고 나서 깔끔하게 포기했다. 요점은, 이 기회가 대단한 기회이긴 하지만 결국 포기해야 하는 것인데, 이 기회를 포기하지 못하면 나중에 더 큰 기회를 포기해야만 할 때는 더 힘들어 할 것이라는 생각이 들었다.

아울러, 그동안 내가 확률 게임에서 얼마나 낮은 승률을 보였는지 다시한번 생각하면서 난 행운에 기대하면 절대로 안된다는 것을 절실히 느꼈다. 99%의 노력으로 정말 잘 해놓고서도 1%의 행운이 부족해서 포기했던, 실패했던 일들이 얼마나 많았는지. 단 1%의 행운조차 허락하지 않는 이 재수없는 인생을 돌파하려면 100%의 실력으로 삶을 꾸려나가는 수밖에 없다. 나는 실력 없이 성공을 논할 수 없는, 참 운도 지지리 없는 인간이다.

포기는 배추를 셀 때에나 쓰는 말이라는, 멋진 말을 누군가 남겼던 것 같다. 하지만, 포기해야 할 때 깔끔하게 포기하는 것도 하나의 도전이다.

http://www.fnnews.com/view_news/2010/05/05/00000921976629.html

한나라당의 국회의원이 전교조 교사가 많은 곳이 수능 성적이 떨어진다는 주장을 제기하고 있다.

전교조 교사가 많은 곳이 수능성적이 떨어지는 관계가 있다는 주장을 하는데 통계를 인용하고 있다. 뭐, 그게 사실이든 아니든 주장을 검토하기 위해서 몇가지 지적한다.

1. 그가 분석한 것은 상관관계지 인과관계가 아니다. 전교조 성적과 수능성적이 음의 상관관계가 있다는 “사실”을 말할 수 있을 뿐, “전교조가 많기 때문에 수능성적이 떨어졌다”는 주장을 검증하는 통계자료는 아니다. 가령, 위의 주장이 참이라면 “수능성적이 낮기 때문에 교사들이 전교조에 많이 가입하였다”는 주장 또한 가능하기 때문이다.



<sup>[각주:

1

]</sup>

2. 하나의 어떤 원인이 있어서, 그 원인이 수능 성적을 낮추고 동시에 전교조 가입을 높이는 결과를 낳을 수 있다. 즉, 두 사건은 같은 원인의 결과일 수 있다. 가령, 학교가 도시에 있느냐 지방에 있느냐가 그런 원인이 될 수도 있다.



<sup>[각주:

2

]</sup>

3. 전혀 다른 원인으로부터 그런 상관관계가 나타날 수 있다. 전교조 가입을 높이는 원인과 수능 성적이 낮아진 원인이 아무 관련이 없을 수 있다.

4. 통계적으로 유의미하지 않을 수 있다. 기사에서 그는 단 1년치의 자료만을 근거로 제시하고 있다. 만약 좀 더 신뢰성 있는 주장을 하기 위해서는 여러 년도의 자료를 근거로 제시해야 하며, 또한 통계적 오차 범위도 제시해야 한다.

5. 그는 대상의 일부만을 비교하고 있다. 전교조 가입률이 5%미만인 곳과 40%이상인 곳을 비교하고 있는데, 그렇다면 그 사이에 있는 나머지

55%의

학교에서는 아무 관계가 없을 수 있다. 또한, 우리나라의 교원 단체는 전교조만 있는 것이 아니기 때문에 다른 교원 단체의 영향력도 분석해야 한다. 교총 가입자가 많을수록 수능 성적이 떨어진다는 상관관계를 찾아낼 수도 있기 때문이다. 또한, 전교조 가입률이 5%미만인 곳의 수와 40%이상인 곳의 수가 크게 차이날 가능성도 있다. 만약, 전교조 가입률이 5%미만인 곳이 엄청 적은 수라고 한다면, 그것은 전교조 가입률이 적은 학교를 대표하지 못한다.

6. 전교조 교사와 수능 성적이 인과관계가 있다 하여 그것이 전교조 회원 명단을 일반에 공개하는 주장의 근거가 될 수 없다. 가령, 그런 공개의 경우 광고 전화, 사기 전화 등으로 개인의 2차 피해를 유발할 수 있으며 실제로 그런 사례가 보고되고 있다.

논술, 심층면접, 토플, GRE등을 준비하려면 이정도 글은 1분 내에 읽고 1분 내에 초안을 작성할 수 있어야 할 것이다. 쩝. (음?)

인간은 누구나 최선의 선택을 하고자 한다.

선택할 수 있는 것이 여러개가 있다. A, B, C, …

몇가지 착각에 빠질 수 있는데, 대표적으로, “내가 선택할 수 있다”고 믿는 것. 실제로 잘 살펴보면, 선택할 수 있다고 생각하는 것들 중에서 몇가지는 고를 수 없는 것들이다. 좋고 나쁘고를 떠나서, 선택할 수 없는 것을 선택할 수도 있을 거라고 생각한다.

“내가 최선의 선택을 할 수 있다”고 믿는 것 또한 착각이다. 모든 상황에서 모든 정확한 정보를 알 수는 없으며, 모든 정확한 정보를 알고 있다 하더라도 최선의 선택을 할 수 없다.

상황은 항상 바뀌는 것이라, 내가 선택하던 상황에서는 최선이었지만 그것이 결과적으로 최악이 될 수도 있다. 반대일 수도 있고, 물론 상황이 바뀌지 않을 수도 있다.

최선의 선택을 했는데 최악이 된 경우, 얼마나 많을까.

반대로, “난 지금 최악의 선택을 해버렸어”라고 생각하는 것도 착각일 수 있다. 하나의 생각에 빠져서 절망하고만 있으면 우연히 찾아온 기회를 그대로 날려버릴 수도 있다.

어떤 상황에서도 상황에 매몰되지 않고, 절망하지도 않고 낙관하지도 않는 것이 그럭저럭 괜찮은 선택을 하는 비결이다. 최선의 선택이란 없다.

쓰던건 다 쓰다 가야지. 예제를 잘못 드는 바람에 설명이 산으로 가게 되었지만 쓴건 쓴거니까 일단 계속 간다.

앞에서, 100원짜리 n개와 500원짜리 m개로 1000000원을 지불하는 방법의 수가 몇가지인가를 물어봤었다. 일단 이 문제를 잘 풀어보자. (사실 앞에서 “물리”에 들어가 있던



“마법의 분배함수”



글과 내용이 겹친다.)

어쨌든, 500원짜리로 1000000원을 만들기 위해서는 2000개가 필요하다. 그럼, 500원짜리 m개가 있으면, 100원은 몇개나 필요할까?

간단한 산수를 해보면 n=(100000-500m)/100 이다. 아무튼, 중요한건 n개와 m개가 있다는 것이다.

n개와 m개를 모두 합쳐서, 전체를 늘어놓는 방법의 수는 무려 (n+m)!개이다. 하지만, 그중에 n개가 중복된다. n개 끼리는 서로 바꾸더라도 상관이 없기 때문에, n개끼리 서로 바꾸는 경우의 수는 세면 안된다. 반대로 m개도 서로 중복된다. 따라서, 이 경우의 수도 세면 안된다. 잘 생각해 보면, 그런 경우의 수를 세지 않기 위해서는 각 경우의 수로 나눠 줘야 한다는 걸 알 수 있다.



즉, (n+m)! / (n! m!) 가지의 경우가 있다. (이게 왜 맞는지는 100원짜리 2개, 500원짜리 0개를 놓고 고민해보면 된다. 그래도 이해가 안되면 집에 있는 저금통을 탈탈 털어서 생각해 보자. -_-;; 언젠가 그림이 추가될 수도 있다.)

이제, 순열대칭군에 대해서 생각해 보자. 지금까지 말한건 뭐냐 하는 사람도 있겠지만, 연습문제였다.

(a, b)가 있다고 하자. 이걸 늘어놓는 방법의 수는 어떻게 될까? 당연히 2가지다. (a, b)와 (b, a)가 된다. 그럼, 이것을 이렇게 쓸 수 있다. ({a, a}, {b, b})와 ({a, b}, {b, a})라고 써보자. {x, y}는 x를 y로 바꾼다는 뜻이다. 여기서, “바꾼다”라는 동사가 들어갔음에 유의하자. 영어로는 이것을 Operation이라고 한다. 그런데, 사실 앞에 있는 a와 b는 어차피 순서대로 쓸 것이기 때문에, 이제부터는 그냥 (a, b)와 (b, a)라고 그냥 쓰자. 하지만, 여기서 엄청난 변화가 생기게 된다. 이제, “바꾼다”라는 것을 여러번 할 수 있게 된 것이다. 가령 (a, b)를 두번 적용할 수 있다. 물론 여기서 이것은 아무것도 바꾸지 않기 때문에 두번을 적용하든 세번을 적용하든 그냥 그대로 놔두는 것이 된다.

이제



,



여기서부터



,



순열을
군의 한 종류로 생각해볼 수 있다는 점을 알 수 있다



.

군



(Group)



이란 다음과 같은 재미있는 성질을 가진 어떤 집합을
말한다



.

1.









이항연산



(Binary operation)



이 잘
정의된다



.



즉



,



어떤 군



G



가 있을 때



,



이 군의 원소



a, b



가 있다고
하고



,



이항연산



?



가 있다고 하면



, a?b



가 다시 군



G



의 원소이다



.



이 말은



, a, b



를 알려주면 그걸 갖고 이항연산을 한 후에 어떤 원소가 되는지 알려주는
규칙을 잘 찾아낼 수 있다는 것이다



.

2.









이항연산



?



가 있으면



,



임의의 원소



a



에 대해서 항등원이 있다



.



즉



, a?e = e?a = a



인 원소



e



가 있다



.

3.









이항연산



?



가 있으면



,



임의의 원소



a



에 대해서 그 역원이 있다



.



즉



,



항등원



e



에 대해서



a?b = b?a = e



가 되는 원소



b



가 항상 있다



.



이때



, b = -a



라고 쓴다



. (



흔히들



.)

이런 세가지 규칙을 만족하는 집합을 군이라고 부른다



.



순열이 왜 군이
되는지 검토해 보자



.

가령



, (a, b)



를 바꾸는 연산을 모아놓는다고 하면



, (a, b)



를 그대로 놔두는 것



(e)



이 하나 있고



, (b, a)



로 바꾸는 것



(x)



이 하나 있다



.



여기에 대해서 이항연산이란



,



이런 작용들을 연속으로 작용하는 것을
말한다



.



가령



, x?e



라고 하면



e



를 먼저 작용하고



x



를 작용한다는 뜻이다



.



이것은 잘 정의되는 이항연산인데



, (a, b)



에 대해서 바꿔주는
것들은 어떻게 바꿔주더라도 하나의 순열을 적용한 것으로 나타낼 수 있다



.



원소의 수가 늘어나도 마찬가지이다



. (a, b, c, d)



를



(c, a, d, b)



로 바꿔주는 작용과



(a, c, d, b)



로 바꿔주는 작용을 연속적으로 작용시키면



,



그
결과물 역시 한번에 바꿔주는 작용의 하나에 속한다



. (



직접 해보자



.



절대



,



귀찮아서 시키는거 아님



.)

이런 늘어놓는 대칭성을



, n



개의 원소에 대해서 늘어놓는 것들에 대한
대칭성을



$S_n$



이라고 부른다



.



그럼



,



여기서



$S_n$



은 다시 우순열



(Even
permutation)



과 기순열



(Odd permutation)



으로 나눌 수 있다



.



한번에



2



개씩만 바꾸는 행동을 여러 번 반복해서 모든 순열을 얻을
수 있는데



,



그중 짝수번 반복해서 얻을 수 있는 것들은 우순열



,



홀수번
반복해서 얻을 수 있는 것들은 기순열이 된다



.



물론 이 두 집합은



$S_n$



을 정확히 반으로 나눈다



.

가령, (a, b, c, d)를 한번에 2개씩만 바꿔서 (d, b, a, c)를 만들려면, (a, b, c, d)->(a, b, d, c)->(d, b, a, c)가 된다. 3번 바꿔서 만들어야 하므로 (d, b, a, c)는 기순열이다.

사실, 우순열들만 다 모아두면 그것은 또한 다시 군을 이룬다. 이런것을 부분군이라고 하는데, 어떤 군의 부분집합이 다시 그 자체로 군이 되는 경우이다.

임의의 두 자연수 n과 m이 있다. n>m이라고 할 때, n!/m!은 항상 자연수인가? (네!)

그렇다면, (n+m)!/(n! m!) 은 항상 자연수인가?

플라스틱 컵에 커피를 마시기 위해서 뜨거운 물을 부었더니 컵에 금이 갔다. 헐.

가만히 놔두면 물이 샌다. 그래서 이걸 해결하기 위해 여기에 테이프를 붙이려고 한다. 테이프를 가장 효과적으로, 실제 사용에 지장이 없게 하려면 매끈하게 붙이는 것이 좋다. 그래서 문제.

수학적으로 잘 정의된 원뿔이 있다. 여기에 수학적으로 잘 정의된 스카치 테이프를 이용해서 한번도 자르지 않고 접히지도 않게 그 표면을 모두, “잘” 뒤덮을 수 있을까? 스카치 테이프의 너비는 일정하지만 임의로 정할 수 있다. 그리고 스카치 테이프는 늘어나지 않고 쪼그라들지도 않는다. 길이는 무한히 길어질 수 있다고 하자.

이 문제를 풀 수 있다면, 이제, 어떤 임의의 표면을 스카치 테이프로 모두 뒤덮기 위해서는 어떤 조건이 만족되어야 할까? 잘 덮이는 표면과 덮을 수 없는 표면은 어떻게 구별할 수 있을까?

풀이는 미래의 언젠가. -_-;

위의 문제에 대한 풀이를 “잘” 일반화시키면 일반 상대성이론 문제도 풀 수 있다.

풀이

풀이가 너무 빨리 올라온 것 아니냐는, 뭐 그런 질문이 있을 수 있지만 앞에서 얘기했듯이 “미래의 언젠가”가 꼭 “먼 미래”이어야 한다는 보장은 없다.

일단 이 그림을 보자.

http://www.topianet.co.kr/topia/6/6s/6s2060105.htm

(단순 “사실”은 저작권이 없다. 이것은 그냥 단지 원뿔의 전개도일 뿐이다.)

원뿔을 잘 잘라서 펼치면 위와 같은 모양이 된다. 이 전개도에 테이프를 잘 발라 붙인 후, 다시 원뿔로 붙이면 된다. (참 쉽죠?)

생각해보니, 한번도 안자르고 붙이는건 조금 힘드니까, 테이프를 좀 넓다고 가정하자. (문제의 조건은 안 어겼음! ㅋㅋ)

이제 수학 시작. (이하, 어려울 것 같은 단어를 쉽다고 주장하는 저자의 설명에도 불구하고 그게 쉽다는 걸 이해하거나



<sup>[각주:

1

]</sup>



이해하는 것이 불가능 할 것이라는 선입견을 가진 사람들은 읽지 않아도 아무 상관 없다.)

위와 같이, 전개도를 그릴 수 있는 평면을 “가전면”이라고 한다. 영어로는 “developable surface”이라고 한다. 이 단어를 어떤 사람들은 “지표면 중에서 개발할 수 있는 땅”이라고 해석할 수도 있겠지만 설마 이 글을 읽을 사람들이 그렇게까지 심각하게 영어와 수학을 이해하지 못하는 사람은 아닐 거라고 생각한다.

가전면은 전체적인 곡률이 0인 표면을 얘기한다. 곡률은 “구부러진 정도”를 말해주는 수인데, 아니 원뿔이 어디가 평평해? 밑면? 이렇게 물어볼 사람 분명히 있을 것이다. 맞다. 사실 원뿔의 빗면은 구부러진 표면이다. 하지만 수학적 의미의 곡률은 0이라는 것이다.

수학적 의미의 곡률을 제대로 설명하려면 미분기하학을 처음부터 끝까지 다 다뤄야 하는데, 사실 그건 아직 나도 제대로 이해 못한 부분이기 때문에 그냥 넘어가자. 어쨌든, 평면에 쫙 펼칠수 있으니까 곡률이 0이라는 건 그럭저럭 이해할 수 있다. 만약 곡률이 0이 아니라면, 그 표면은 평면에 찢지 않거나 접히지 않게 펼칠 수 없다. 어떻게 해도 접히고 어떻게 해도 찢어진다. (수학은 이런걸 증명하는 학문이다. 놀랍지 않은가?)

가령, 지구본의 지도를 평면에 어떻게 하더라도 제대로 옮겨서 그릴 수 없다는 것은 유명한 사실이다. 지도 제작자들의 딜레마라고 하는데, 지구본에서 두개의 직선이 있을 때, 이 두 직선이 이루고 있는 각을 유지하면서, 동시에 지구본의 특정 영역의 넓이를 그대로 유지하는, 그런 지도는 존재하지 않는다. (이런것도 증명할 수 있다.)

물론 지구본의 아주 작은 영역에 한해서는 그럭저럭 원하는 만큼 작은 오차를 갖고 그렇게 그릴 수 있지만 지구 전체에 대해서는 불가능하다는 점이다. 이때, “원하는 만큼 작은 오차”라는 개념으로부터 “미분”이 나오고, 지구는 둥글기 때문에 기하학이 나온다. 따라서 이런걸 연구하는 학문 분야가 바로 미분기하학(Differential geometry)이다.

그런데 사실 지구가 둥글다는 것은 인공위성을 보면 알 수 있는 것이긴 한데, 도대체 지구에서는 그걸 어떻게 알아낼 수 있을까? 뭐, 가장 쉽게 알아낼 수 있는 방법은 에라토스테네스의 방법이긴 하다. 동네마다 태양의 남중고도가 다르거나, 동네마다 북극성의 고도가 다르다거나 등등. 아니면, 반지름이 1000km인 원의 면적을 재 봐도 된다. 지구가 평평하다면 1000000$\pi$km${}^2$이 나오겠지만, 지구가 평평하지 않다면 이 값보다 크거나 작은 값이 나올 수도 있다.

뭐…짧게 요약하자면, 이런 얘기를 대충 한 다음에, 질량이 공간을 구부러트린다는 가정 하나만 넣으면 이제 미분기하학이 일반 상대성이론으로 탈바꿈한다. (물론 장 방정식을 유도하기 위해서는 최소 작용의 원리도 필요하지만 이 글은 아무튼 수학 관련 글이므로 더이상의 자세한 설명은 생략한다.)

자. 아무튼, 테이프 붙이기에서도 수학적인 무언가를 찾아볼 수 있지 않은가.

어떤 모양의 컵이 테이프로 잘 발라줄 수 없을지 고민해 보자.

A4 대칭성이 뭔지 알려면 일단 순열 대칭군부터 배워봐야 한다.

“순열”이라는 건 영어로는 Permutation인데, 고등학교때 다들 배웠다. 순열, 조합, 확률, 그런데서 나오는 바로 그 순열이다. 말은 거창하고 문제는 어려워 보이지만 사실 그냥 물건 여러개 갖다 놓고 늘어놓는 방법의 수를 세는 방법에 관한 이야기이다.

서로 다른 물건이 1개 있다. 1개 있는 주제에 “서로 다르다”라고 말하는 것 자체가 사치이고 낭비인 것은 알지만, 앞으로 1 대신에 임의의 자연수 n을 쓸 수도 있기 때문에 일단 이렇게 말해 보자. 그럼 1개의 물건을 늘어놓는 방법의 수는? 고민하지 말자. 답은 1가지이다.

서로 다른 물건이 0개 있다. 그럼 0개의 물건을 늘어놓는 방법의 수는?

뭐 어쩌라고. 이렇게 말하는 사람이 있겠지만, 물건이 0개 있다면 늘어놓지 않는 수밖에 없으므로 답은 1가지이다.

사실 이런거 계산하는건 굉장히 쉽다. 그냥 물건이 n개 있다고 하면, n개 다 늘어놓는 방법은 n-1개 늘어놓은 상태에서, 그 사이사이에 나머지 하나 끼워넣는 것과 마찬가지이다. n-1개를 늘어놓는 방법도 마찬가지다. 따라서 n개의 물건을 늘어놓는 방법의 수는 n부터 1까지 정수를 모두 곱한 값이다. 이렇게 계산하는 건 굉장히 흥미롭고, 특별하기 때문에 수학자들은 여기에 계승(factorial)이라는 말을 붙여주었다. 함수 기호도 있는데, !(느낌표)을 쓴다. 가령 6!이라고 썼다면 이것을 읽을 때 “육!!!!!!”이라고 읽으면 부끄러운줄 알아야지.



<sup>[각주:

1

]</sup>

아무튼, 만약 물건들이 구별이 안가면? 가령 100원짜리 동전 100개를 늘어놓는데, 그 동전들이 다 같은 해에 만들어진 동전이라고 하자. 손때도 안묻었다. 이걸 늘어놓는 방법의 수는? 1가지뿐이다. 수학자들은 구별이 가지 않는건 굳이 구별하지 않기로 했는데, 100원짜리들을 서로 구별할 수 없기 때문에 어떤 놈을 먼저 꺼내다가 늘어놓더라도 뭘 먼저 꺼낸 건지 알 수가 없으므로 1가지라고 한다.

구별 가능하다면 100!이라는 엄청나게 많은 방법으로 늘어놓을 수 있는데



<sup>[각주:

2

]</sup>



구별이 안되면 왜 한가지 뿐인가. 그것은 구별 가능하지 않은 경우의 수도 엄청나게 많기 때문이다. 100!가지 방법으로 늘어놓아봐야 100!가지 경우의 수를 모두 구별할 수 없기 때문에, 100!/100! = 1가지 방법만 남는다. 내가 방금 설명하면서 아무 생각 없이 나눗셈을 사용하였는데, 그래도 되는지 궁금할 것이다.

생각해 보자. 1000원짜리 우유를 사는데, 100원짜리 5개와 500원짜리 1개로 산다. 동전을 한개씩 가게 아줌마한테 주는데 그럼 과연 어떤 방법으로 줄 수 있을까? 물론 겨우 동전 6개를 하나씩 세면서 준다면 아줌마가 당신을 혼내주겠지만, 이제 그런것에 연연할 나이는 지났지 않은가. 물론 그렇다고 실험해 보라는 뜻은 아니므로 실험하다가 수퍼마켓 아줌마가 당신을 때리더라도 내 책임은 없다. 여기까지 읽는 사이에 계산 끝났는가? 100원짜리를 어떻게든 늘어놓고나서, 그 사이사이중에서 1칸에 500원짜리를 끼워넣는 방법의 수를 생각해 보면 된다. 그럼, 100원짜리 5개를 늘어놓는건, 역시 구별이 안되니까 한가지 방법밖에는 없다. 500원짜리 1개는 아무데나 끼워넣어도 되는데, 가장 앞에서 가장 뒤까지, 모두 6개의 칸이 있다. 따라서 100원짜리 5개와 500원짜리 1개를 이용해서 물건을 사는 방법의 수는 모두 6가지이다.

자. 이제 돈을 많이 모아서 100만원짜리 우유를 산다고 하자. 그걸 100원짜리 n개와 500원짜리 m개로 낸다고 하자. 그럼 도대체 몇가지나 있을까?

글이 길어져서 다음 글에서 계속…

요즘 교수님이 공부해보자고 하고 있는 A4 대칭성과 중성미자의 질량…

논문 찾아보는데, 논문 내용이 다 “A4대칭성에서 시작하면 중성미자 질량도 나오고 섞임각도 나옴. 이거 멋지지 않냐?” 라는 내용들이다. E. Ma랑 X. G. He랑 A. Zee랑 그런 사람들이 열심히 연구하고 있었더라. 2006년에. 내가 대학원에서 중성미자 배울 때. 그때 이런 논문들을 좀 접했어야 연구도 좀 재밌었었을텐데…

뭐, 그때도 그럭저럭 재미는 있었고, 지금도 재밌다. 아무튼.

A4대칭성은, S4의 순열 대칭 중에서 짝수인 것들만 골라온 것이다. 쉽게 말해서, 1,2,3,4를 늘어놓는 방법의 가짓수는 모두 4!=24개인데, 그중 1234를 짝수번 바꿔서 만들 수 있는 것들을 모아온 것이다. 가령 1243은 A4의 원소가 아니고, 2143은 A4의 원소이다. 물론 1423도 A4의 원소이다. 모두 12개의 원소가 있다. A4대칭성은 정사면체(Tetrahedral) 대칭성이라고도 부른다. 이것은, 정사면체의 각 꼭지점에 1,2,3,4의 번호를 붙여놓고 이리저리 돌리는 것에 해당하는 대칭성이기 때문이다.

문제는 중성미자를 비롯한 쿼크와 렙톤들이 A4대칭성을 갖고 있다고 가정하는 것에서 출발한다. 왜…-_-;

이것과 관련해서 공부한 내용들을 좀 올려볼 예정이다. 이따가.