왜?
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일단, 지수함수가 미분과 적분에 대해서 고유함수라는 것은 알려져 있다. 아무튼 미분과 적분은 함수 공간에서의 선형변환인데, 바로 그 선형변환에 대한 고유함수이다.
함수 공간을 벡터 공간이라고 할 때, 두 함수를 곱해서 전체 정의역에 대해 적분하는 것은 두 함수의 내적을 구하는 것이다. 만약 둘중 하나가 basis벡터라면, 그 벡터의 특정 방향에 대한 좌표값을 알 수 있게 된다. 그럼, 지수함수가 어째서 그런 함수공간의 basis를 구성하는지 살펴보자.
basis가 되기 위해서는, 집합의 원소들이 서로 선형 독립이어야 하고, 집합의 원소들의 선형 결합으로 모든 원소를 나타낼 수 있어야 한다.
1. 선형 독립
exp(ikx)를 x에 대한 함수라 하고 k를 인덱스라고 부르자. 그럼 인덱스가 다르면 다른 함수가 된다. 이 함수들은 다음과 같은 성질을 만족한다.
$\int exp(ikx)exp(-ilx) dx = \delta(k-l)$
$\delta(x)$는 x=0이면 정의되지 않지만, x=0이 아닌 모든 구간에서 0으로 정의되며, $\int \delta(x) dx = 1$을 만족하는 함수이다. 이름은 디랙의 델타 함수이다.
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크로네커 델타의 연속함수 버전인데, 아무튼, 어떤 특정한 k에 대해서 선형 독립이 아니라고 하자. 그럼 다음과 같이 쓸 수 있어야 한다.
$exp(ikx)=\sum A(n)exp(inx) $
단, 위의 급수에서 n=k인 경우는 빼자.
그럼, 다음과 같은 마술을 부려볼 수 있게 된다.
$\delta(k-k)=\int exp(ikx)exp(-ikx) = \int \sum A(n) exp(inx) exp(-ikx) dx= \sum A(n) \int exp(inx)exp(-ikx)dx = \sum A(n) \delta(n-k)$
근데 난 n=k인 경우는 빼자고 했다. 따라서, 이 계산의 좌변은 0이 아니고 우변은 0이다. 이런 뭣같은 일이 일어난 이유는 전부 애초에 얘들이 선형 독립이 아니라고 가정했기 때문이다. 따라서 그 가정을 부정하고 편한 마음으로 이들이 선형 독립이라는 것을 받아들이자.
아, 일단 n이 연속인 경우도 다뤄야겠다. 그럼 그대로 다음과 같이 바꾸면 된다.
$\delta(k-k)=\int exp(ikx)exp(-ikx) dx = \int \int A(n) exp(inx) exp(-ikx)
dn dx= \int A(n)dn \int exp(inx)exp(-ikx)dx = \int A(n) \delta(n-k) dn$
물론 여기서도 적분할 때 n=k인 딱 한점만 빼고 다 지나간다.
2. 표현 가능성
어떤 함수 f(x)가 있다고 하자. 그럼 이 함수를 exp(ikx)로 표현하고 싶으면 일단 다음과 같이 하자.
$f(x)=\int \hat{f}(k) exp(-ikx) dk$
물론, 여기서 $\hat{f}(k) = \int f(x) exp(ikx) dx$ 이다.
이게 왜 되나 살펴보자.
$f(x) = \int \int f(y) exp(iky) dy exp(-ikx) dk = \int\int f(y) exp(ik(y-x))dy dk = \int f(y)\delta(y-x) dy $
근데, 디랙의 델타 함수는 다음과 같은 성질이 있다.
$\int \delta(y-x) f(x) dx = f(y)$
y에 뭐가 있든지간에 f(x)에다가 y를 대입해주는, 뭐 그런 성질이다. 따라서 위의 등식은 성립한다. 적분 순서를 바꿔주는건 엄밀히 설명하지는 않았지만
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아무튼 수렴하면 그래도 된다는 것이 알려져 있다.
따라서 exp(ikx)는 함수 공간의 basis로 쓸 수 있다.
