Spectral Density에 대해서 공부를 해야 한다.
결국은 덧셈과 뺄셈인 것을…
(N차원 푸리에 변환에 관한 글과 Spectral Density에 관한 글이 곧…)
그나저나, 쓰려고 모아둔 글도 많고 질문받았던 글도 많은데 언제 쓰려나…
공부할것도 많고…할일도 많고…
이른바 금강불괴지체를 가졌다는 얘긴데, 왜 발목에 화살을 맞고 죽는 걸까? 일반인도 화살을 발목에 맞고서는 죽지 않는다. 물론 평생 장애를 갖고 살 수는 있겠지만. 독화살이었을까?
http://www.jisiklog.com/qa/11336064.htm
찾아보니 독화살 맞았댄다. -_-;
화살을 쏜 사람이 대단한 명사수인 것 같다. 아킬레스는 정말 빠르다던데, 사람이 빠르면 그 사람을 움직이는 발은 더 빨리 움직일 것이고, 그중 가장 끝에 있는 발은 더더욱 빠를 것이다. 그렇게 빠른 발을 화살로, 그것도 엄청나게 많은 사람들이 복잡하게 움직이는 전투중에 맞췄다는건 참 대단한 것 같다.
만약에 아킬레스가 어릴적에 테티스 강에 푹 들어갔더라면 진짜 무적이 되었을까? 만약 그 물을 토나오도록 많이 마셨다면 익사했으려나? 아니면 독에 맞아도 죽지 않는 슈퍼맨이 되었으려나?
아킬레스는 자신의 약점을 몰랐던 것일까? 아니면 알고도 방심한 것일까? 아니면 잘 알고 대책을 잘 세워두었으나 화살이 더 강했던 것일까? 아니면 단지 재수가 없는걸까.
제논이 맞았더라면 아킬레스는 죽지 않았을지도 모르지만.
대형마트 관계자들은 납품업체들이 왜 납품거부를 하는지 이해할 수 없다고 했다.
본문에 다 써있는데 -_-;
대형마트가 자체마진을 줄여서 소비자에게 되돌려 준다고 하면, 소비자는 대형마트로 갈 것이고 작은 슈퍼마켓은 안가게 된다. 그럼 슈퍼마켓에서도 싸게 물건을 달라고 납품업체에 얘기할 것이다. 대형마트가 큰 고객이긴 해도 슈퍼마켓 역시 고객으로 봐야 하는 납품업체 입장에서는 슈퍼마켓에 납품가를 줄여서 수익을 줄일 이유가 없다.
대형마트에서는 “우리 마진을 줄인건데 너네가 왜 불만이냐?”고 하겠지만 그건 어디까지나 자기네 생각만 하는 것일 뿐, 전체 경제권 내에서 일어나는 현상을 이해하지 못하면 아무런 의미가 없다.
따라서 납품업체는 대형마트를 거절해 버리면 된다. 물건이 공급이 안되면 가격을 싸게 파는 것은 불가능하기 때문이다.
참고로, 이런게 원래 그럭저럭 굴러가는 시장경제다.
앞으로 빨리 가다가 다른 차랑 사고가 난다면? 그건 내 잘못이 아니지…
아이폰이 잘 팔리는 이유가 사람들이 극성스러워서 그렇다고 했다.
http://www.sportsseoul.com/news2/life/social/2010/0107/20100107101050100000000_7823763392.html
근데 생각해보면 그럼 옴니아 사는 사람들도 극성스러운 것 같다.
자, 극성스러운 사람들이 아이폰을 산다고 가정하자. 극성스러운 사람들이라고 한다면 뭔가 새로운 것에 열광하고 더 좋아보이는 것에 미친듯이 끌려다니는…? 이정도 되어야 하지 않을까. 아무튼 아이폰을 사야만 했던 사람들일 것이다.
옴니아가 아이폰보다 안좋다면? 극성스럽건 말건 아이폰을 사는 거다.
옴니아가 아이폰과 똑같다면? 아이폰에 미쳤으니 아이폰을 사는 거다.
옴니아가 아이폰보다 좋다면? 아이폰이 싼것같아 아이폰을 사는 거다.
누군가는 옴니아가 더 좋다고 생각해서 옴니아를 산다고 하자. 위의 옴니아와 아이폰을 교환해줄 수 있다.
어쨌거나…궤변을 만들자면 얼마든지 만들 수 있다. 사람들이 극성스러워서 아이폰이 잘 팔린다고 한다면, 삼성은 극성스러운 사람들의 니즈(needs)를 맞추는 것이 장사를 잘 하는 비결이 될 것 같다. 고객의 특성이 어떻고 그런것은 “시장 분석” 단계에서 하는 것이지 판매 대결에서 진 다음에 하는 말이 아니다. 비겁한 변명일 뿐.
아무튼 이번엔 축구공 말고 당구공을 써 보자. 당구공은 직접 실험을 해보기에도 좋다. 그리고 물리학자들이 갖고 놀기에 가장 좋은 장난감중의 하나이다. (당구를 잘 친다면 당신도 물리학자의 소질이…)
1
사실 물리학은 아주 많은 (10억 x 10억 x 10억개) 정도의 당구공을 자유롭게 풀어놓았을 때 어떻게 움직이는지 분석하는 학문이라고 봐도 아주 많이 틀리진 않는다.
2
그 다음으로 이해해야 할 부분은, 당구공 하나를 단단한 벽에 충돌시킨다고 하자. 이 벽은 매우 딱딱하고 바닥에 확실하게 고정되어 있다. 이때 충돌하는 각도는 정확히 수직으로 들어간다고 하자. 별다른 이변이 없는 한, 당구공은 벽과 충돌한 다음에 반대로 튕겨져 나오게 될 것이다. 벽과 충돌하기 전과 충돌한 후의 운동량을 살펴본다면 크기는 정확히 같고 방향이 반대로 향하고 있을 것이다.
3
그렇다면 당구공이 벽면에 대해서 기울어진 방향으로 충돌하는 경우에는 어떻게 될까? 벽면에 대해서 평행한 방향으로는 속도가 변하지 않고, 벽면에 대해서 수직한 방향으로는 속도가 반대 방향으로 변한다. 만약 당구공이 들어갈 때 벽면과 이루는 각도와 나올 때 벽면과 이루는 각도를 비교한다면 같을 것이다. (왜 그런지 정도는 직접 생각해 보자. 그림을 그려보면 쉽게 알아볼 수 있다.) (혹시나 항의를 할 수 있는 당구 고수들도 있기 때문에, 이 상황에서는 당구공과 벽면 사이의 회전이나 마찰같은 것은 고려하지 않기로 했다. 방금.)
당구공이 기울어진 방향으로 움직이는 경우에, 만약에 내가 움직이면서 관찰한다면 어떻게 될까? 당구공과 움직이는 방향을 잘 맞춰보면, 당구공이 벽면에 대해서 수직으로 움직이도록 할 수도 있을 것이다. 그 경우 당구공은 어떻게 튕겨나올까? 자연스러운 대답이겠지만, 벽에 수직으로 부딪친 다음에 수직으로 튕겨나오게 될 것이다. 즉, 앞에서 당구공이 수직으로 충돌한 경우와 같은 상황이 된다. 이것은 앞서서 설명했던 “니가 보든 내가 보든 물리법칙은 동일하다”는 규칙을 따르기 때문이다. 즉, 당구공이 어떻게 움직이고 있든지간에, 내가 속도를 적당히 맞춰서 당구공이 벽에 수직으로 들어올 수 있도록 만들었다면, 그 상황에서 당구공은 벽에 수직으로 충돌해서 수직으로 나가야 한다. 이것이 규칙이다. 그리고 물리학에서 말하는 “공간적 평행이동에 관한 대칭성”이라는 말이 뜻하는 것이다.
이제 어떤 각도로 들어오는 당구공이든지, 벽에 부딪친 다음 어떻게 튀어나갈지 계산할 수 있게 되었다. 이제 쉬운건 그만 하고 조금 더 어려운 것으로 가자. (여기까지 이해가 안된 독자들은 댓글을 통해서 질문을 하면 더 쉬운 설명을 시도하여 보도록 하겠다.)
많이는 말고 조금만 더 어려워지도록 당구공 2개만 해보자. 당구 다이 위에 당구공 2개를 올려놨다. 당구 다이는 마찰이 완벽하게 0이라고 하자. 그리고 당구
다이의 넓이는 무한히 넓다. 무한히 넓은 다이가 국제규격 대대 다이보다 훨씬 크다는 것 정도는 우리 모두 잘 알고 있는 것이라고
생각하고 눈앞에 당구공 두개를 놓자. 두개를 잘 놓으면 전혀 움직이지 않게 놓을 수 있을 것이다. 그리고 아까와 마찬가지로
관찰한다.
음…
아무리 봐도 움직이지 않을 것이다. 가만히 있는 공 2개를 관찰하는 건 따로따로 떼어 놓고 보면 공 1개를 관찰하는 건데
어차피 안움직일 거라는 사실은 앞에서 우리가 관찰한 바와 같다. 역시 당구공끼리는 부딪쳐야 뭔가 멋진 일이 일어날 것이다.
그럼, 가장 쉽게 하기 위해서 똑같이 생긴 당구공 2개를 정면충돌 시켜보자. 더 쉽게 하기 위해서 속도의 크기는 같고 방향만
반대라고 하자. 아, 당구공의 색도 같고 크기도 같다. 점도 없다. 깨끗하게 닦아서 지문도 안 묻었다. 자. 이제 충돌 시켰다.
땅!
충돌하고 나면 뭐 언제나 그렇듯이, 정면충돌 했으니까 서로 반대로 튕겨갈 것이다. 튕겨간 다음의 각각의 운동량은 어떻게 될까? 일단 질량은 똑같으니까, 운동량을 결정하는 것은 속도일 것이다. 솔직히 말해서, 아무런 사전 지식 없이 순수하게 상상만으로 이 문제의 답을 구하는 것은 어렵다. 뭔가가 충돌한 후에 되튀어 나오는 것을 한번도 본 적이 없는 사람이 이 문제의 답을 상상할 수 있을까? 우리가 알고 있는 “반대 방향으로 튕겨가는거 아냐? 당연히?”라는 대답은 전혀 당연한 답이 아니다. 그건 우리가 당구를 너무 많이 쳐봤기 때문에 경험적(=귀납적)으로 얻은 지식일 뿐 어떤 적당한 가설로부터 출발해서 논리적으로 이끌어 낸 결론(=연역적)이 아니다.
4
반대로 튕겨나가는 것을 사실이라 하고, 이것이 왜 그렇게 되는지 설명해 보자.
두 당구공이 만나는 순간에, 만약 그 둘이 완벽한 구를 이루고 있고 전혀 찌그러지지 않는다고 한다면, 두 당구공은 정확히 한 점에서 만나게 된다. 그리고 떨어져 나갈 것이다. 그런데, 당구공이 벽에 충돌할 때에도 마찬가지로 벽이 전혀 찌그러지지 않는다고 하면 당구공과 벽은 정확히 한 점에서 만나게 된다. 정확히 한 점에서 만난다는 것은 그 지점 이외에 그 옆에 있는 다른 점들의 영향을 받지 않는다는 뜻이다. 따라서 다른 점들이 평면 위에 있든 구면 위에 있든 그것은 충돌하러 달려가는 당구공이 신경쓸 바가 아니다. 충돌하는 그 한 점에서 전달된 운동량만을 놓고 생각하는 것이다. 그런데 그것만 본다면 벽에 충돌할 때와 공끼리 충돌할 때 일어나는 일이 달라질 이유가 없다. 따라서 당구공은 “벽”에 대해서 “수직”으로 튕겨져 나가게 되는데, 충돌한 “벽”이 구면이기 때문에 “수직” 방향이 결국은 중심에서 바깥으로 나가는 방향이 되고 따라서 충돌한 당구공은 정확히 뒤로 튕겨져 나가게 된다. 두 당구공이 서로 같은 속도로 움직여서 정면 충돌한 경우에는, 두 당구공의 역할을 바꿔서 생각해 봐도 물리 법칙이 달라질 이유가 없으므로 서로 반대로 되튀어 나가게 된다.
다음번엔 서로 빗겨서 맞는 경우를 생각해 보자. 이것도 마찬가지로 벽에 비스듬히 들어간 것과 같다. 마찬가지로 공끼리 만나는 경우에는 “한 점”에서만 만나기 때문에, 공은 “벽”에 대해서 들어간 각도와 나온 각도가 같은 방향으로 나오게 되고 반사법칙에 따라가는 각도로 향하게 된다. 두 공이 서로 다를 이유가 없으므로 두 공은 충돌 후에도 서로 반대 방향으로 갈 것이다. 다만 원래 움직이던 직선과는 기울기가 다른 직선 위를 움직이게 된다. (직접 상상해 보자. 그림은 언젠가 이 글이 책으로 출판될 때 추가될 것이다. 아마도.)
이 현상은 3차원에서도 마찬가지로 상상할 수 있다. 어차피 공 2개가 충돌하는 경우는 3차원이라 하더라도 적당히 방향을 돌려서 보면 2차원으로 표현할 수 있기 때문에 아무런 문제가 생기지 않는다.
이것을 확장하면, 아주 많은 공이 있는, 실제 공기 분자의 경우에도 적용할 수 있다. 실제 공기 분자는 엄청나게 많이 있지만, 모든 충돌을 분자 2개끼리의 충돌로 생각할 수 있다. 각각의 충돌에서 운동량이 보존되므로 모든 충돌에서 운동량이 보존되고, 따라서 전체적인 운동량은 보존된다.
좀 더 멋지게 바꾸면, 우리 우주 전체의 운동량은 보존된다. (아마 -_-;)
이상으로, 운동량 보존법칙에 대한 간단한 이해를 해 보았다. 에너지 보존법칙도 비슷하게 이해할 수 있지만, 에너지 보존법칙은 시간이 가도 변하지 않는 것에 대해서 다뤄야 하기 때문에 조금 더 어렵다. 해밀토니안이나 라그랑지안을 쓰면 툭툭 튀어나오는 것들이 보존법칙이긴 하지만, 수식에 익숙하지 않다면 머릿속을 스파게티나 라면처럼 얼큰하고 느끼하게 꼬아줄 수도 있으므로 다음 기회에 다뤄보도록 하겠다.
(누르면 커진다)
영어는 해석 부탁하시면 해드립니다.
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이론적으로는 다음과 같다. 라그랑지안을 다음과 같이 쓰자.
$L = L(q, \dot{q} ; t)$
이제, 라그랑지안 $L$을 이용해서 운동 방정식을 찾아내자.
$\frac{\partial L}{\partial q} – \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0$
여기서, 외력이 없다는 건
$\frac{\partial L}{\partial q} = 0$
이라는 뜻이고, 따라서
$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = 0$
이다. 근데 우리는 $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} $를 “운동량”이라고 부르기로 했다. 따라서 운동량은 시간에 대해서 상수가 된다.
한마디 더 말하자면, 에미 뇌터의 대칭군과 보존법칙에 관한 정리에 따르면, 운동량은 공간적인 평행이동에 대해서 라그랑지안이 대칭성을 갖기 때문에 보존되는 양이다. (원래는 이 정리를 써서 운동량이 보존량임을 증명해야 하지만, 어차피 위의 수식도 이해하기 힘든 마당에 이 정리까지 설명하려면 지면과 시간이 모두 부족하다.)
이게 뭔 개소리여…-_-; (물리학 전공자가 아니면 대부분 이렇게 말할 것이고, 물리학 전공자도 대부분은 이렇게 얘기한다.)
쉽게 가자.
일단, 운동량이 뭔지부터 좀 알아보자. 운동량이란 쉽게 말해서 질량과 속도를 곱한 값이다. 우선, 우리는 “질량”이라는 것이 뭔지 감은 잡고 있다. 대충, 물체가 무겁고 가벼운 정도를 숫자로 나타낸 것이다. “속도”라는 것도 뭔지 알고 있다. 어떤 물체가 어느 방향으로 얼마나 빨리 움직이고 있는지를 화살표와 화살표의 길이를 이용해서 나타낸 것이다. 질량과 속도를 곱한다는 것은 무슨 의미인가? 간단히 말해서, 화살표를 하나 그리고, 그 화살표의 길이에 질량에 해당하는 수를 곱해서, 그 화살표와 함께, 우리는 “운동량”이라고 부르기로 하는 것이다.
아니, 대체, 어디로 어떻게 움직이는지 알면 된거지 걔가 왜 무거운지 가벼운지를 따져야 하나? 이렇게 따지는 사람이 있을 수 있다. 당연한 질문이다. 이렇게 따지는 사람이 있으면 그 사람에게는 물리학적인 소질이 있는 것이니까 각 대학 물리학과로 입학 문의 바란다.
왜 따질까? 그건, 우리가 “충격량”이라는 것을 어떻게 좀 해보기 위해서이다. 아무리 빨리 움직이더라도 그것이 가볍다면 큰 충격을 주지 못한다. 어떤 공기 분자는 초속 1000km로 움직이는 것도 있지만, 그 공기 분자는 매우 가볍기 때문에 우리 몸을 아무리 때려 봤자 전혀 느껴지지 않는다. 하지만 축구공은 시속 30km로 움직이든 시속 10km로 움직이든, 맞으면 아프다. 어떤 자동차는 완전히 정지해 있는데, 그런 자동차는 내가 직접 가서 들이받지 않는 한 나를 때리지 않을 것이다. 즉, 얼마나 처 맞아야 아플지 안아플지는 걔가 얼마나 빠르게 움직이는지, 얼마나 무거운 놈인지 둘 다 관련있다는 뜻이다. 물론, 무거운놈이 빠르게 움직이는데 나한테서 멀어지는 방향으로 가고 있다면 전혀 겁낼 필요가 없다. 따라서 어느 방향으로 움직이는지도 중요하다.
그래서, 우리는, 운동량이라는 것을 어떤 물체가 얼마나 무겁고 얼마나 빠르고 어디로 가는지를 한번에 표시하려고 만들어 낸 것이다. (그러기 싫어도 어쩔 수 없다. 뉴턴이 이미 그렇게 하기로 했으니까.)
그럼 이제 운동량이 어떻게 보존되는지를 한번 살펴보자. 간단히, 물체가 1개 있다고 하자.
텅 빈 우주 공간에, 나는 그냥 둥둥 떠다니는데, 눈앞에 축구공 하나가 있다. (축구공이 싫으면 맘에 드는 연예인, 자동차, 뭐 아무거나 좋다. 그냥 그런거 하나가 눈앞에 있다 치자. 물론 난 그것을 축구공이라고 부르겠다. 소녀시대 태연을 눈앞에 두고 싶은 사람은 그렇게 두고 내 글에서 축구공이라는 단어를 태연으로 알아서 치환해서 읽을 것.)
이 축구공은, 처음에 가만히 멈춰 있었다. 그리고 나도 가만히 멈춰 있다. 이제 우리가 할 일은 축구공을 계속 지켜보는 것이다. 하지만 솔직히 말해서, 지겨운 일이다. 축구공은 움직이지 않을 테니까. 우리는 운동량을 “질량과 속도의 곱”이라고 말했다. 분명히 축구공의 질량은 0이 아닐 것이다.
1
하지만 속도는, 아무리봐도 어느 방향으로도 움직이지 않는다. 따라서 0이다. 당연히 운동량도 0이다. 질량이 아무리 커봐야 0이다. 내가 보기에 축구공의 운동량은 보존된다.
그런데, 친구가 마침 내 옆을 스쳐지나가고 있다. “어, 안녕? 뭐하냐?” 라고 물어보기에 “축구공 관찰중. 건들지 마” 이렇게 대답해줬다. 친구는 ‘이새끼 이짓을 왜하고 있나?’라는 바보스러운 눈빛으로 나를 바라보며 지나간다. 그 친구가 보기에 축구공의 운동량은 어떻게 될까? 이 친구 역시 가던 길이 있기 때문에 방향을 바꾸지 않고 빠르기를 바꾸지도 않고 계속 갈 것이다. 그럼 축구공은 이 친구가 멀어지는 속도로, 이 친구로부터 멀어질 것이다. 가령 그 친구가 나로부터 1초에 3미터씩 멀어지고 있었다면, 축구공으로부터도 대략 1초에 3미터 정도씩 멀어지고 있다고 말할 수 있을 것이다. 아무튼, 이 친구가 보기에는 축구공은 움직이고 있는 것이고 따라서 이 친구의 관점에서 볼 때는 축구공의 운동량은 0이 아니다. 그럼? 당연히 축구공의 질량에 그 친구가 움직이는 속력의 반대방향 속력을 곱한 것이 그 친구가 보기에 느끼고 있는 축구공의 운동량이 될 것이다.
그렇다면 그 친구가 보고 있는 축구공의 운동량은 바뀔까? 바뀔거야? 응?
이 친구가 보기에도 솔직히 자기가 움직이는 방향을 바꾸지 않는 한 축구공은 계속 가던 방향으로 움직인다. 당연하겠지만, 따라서 그 친구가 스스로 움직이는 방향을 바꾸지 않는다면 축구공의 움직이는 방향도 변하지 않을 것이고 움직이는 빠르기도 변하지 않을 것이다. 왜냐하면, 내 관점에서 보기에 축구공은 가만히 있어야 할 것이고, 만약 아무도 안 건드렸는데 축구공이 움직였다면 그거야말로 “기적”이라고 부르기에 손색이 없는 일이 될 것이다. 그럼, 그 친구의 관점에서도 축구공은 아무도 건드리지 않은 것이 될 것이고, 축구공은 가던 방향으로 가고 있을 것이다. 여기서 잠깐. 물리 법칙의 대칭성이라는 개념을 알고 넘어가야 하는데, “내가 보든 니가 보든 물리 법칙은 똑같다”는 것이다. 이것은 실제로 엄청나게 위대하고 엄청나게 중요하고 엄청나게 어렵지만 말로는 쉽다. 내가 보기에 축구공을 아무도 안 건드렸으면, 다른 누가 보기에도 축구공은 건드려지지 않았다는 것이다. 그렇다면, 이것은 곧 움직이면서 축구공을 보던 사람이 적당히 속도를 조절하면 축구공이 멈춰있는 것 처럼 보이도록 할 수 있다는 뜻이다. 만약, 속도를 어떻게 조절하더라도 축구공이 멈춰있는 것처럼 보이도록 만들 수 없다면 축구공의 운동량은 보존되지 않은 것이다. 그런데, 적어도 한명은 그것이 가능하다. 앞서 예로 들었던 사람 중에서 적어도 나는 축구공이 멈춰있는 것으로 보인다. 그럼 다른 사람들도 내 앞에서 멈춰선다면, 그 사람들도 똑같이 축구공이 멈춘 것으로 보일 것이다.
2
당연히 축구공의 운동량은 변하지 않는다. 따라서 축구공의 운동량은 보존되었다.
축구공을 관찰하는 사람이 가만히 있든 움직이든 상관 없이 축구공의 운동량은 보존된다. 여기서 혼란스러워질 수 있는게, 아니! 보는 사람이 바뀌면 운동량이 바뀌잖아? 라는 점이다. 운동량 보존법칙 뿐만 아니라 모든 보존법칙은 보는 사람은 바꾸지 않기로 약속하고 있다.
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(2편에 계속…)
http://snowall.tistory.com/1684
나노미터 수준의 얇은 막을 만들다 보면 도대체 이놈이 얼마나 두꺼운지 알 수가 없다. 대충 보면 두꺼운 놈은 짙은 색이고 얇은 놈은 옅은 색이니 “그런가보다” 하고 넘어가긴 하지만…
하지만 두께 자체가 정확해야 하는 정밀 반도체의 세계에서는 그런 어물쩡 넘어가는 것은 용서받지 못한다. (= 논문이 반려된다.)
내가 반도체를 연구하는건 아니지만 어쩌다보니 태양전지 반도체 만들때 쓰는 물질을 이용해서 박막을 만들고 이 박막의 두께를 재는 실험을 해야만 하게 되었다. 그래서 요점을 정리해 둔다.
누구나 알다시피, 두께를 재고 싶으면 자로 재봐야 한다. 하지만 나노미터 수준의 자는 있지도 않을 뿐더러 있어도 눈으로 보이지도 않는다. 10억분의 1미터라니깐. 현미경으로 봐도 안보이는 수준이다. 그래서 나타났다, 직접 표면을 만져보면서 두께를 측정해주는 장비이다.
Surfcorder ET-3000이라는 장비이다. 옆에 프린터는 선택사항이랜다. 사고 싶은 사람은 Kosaka Lab.으로 연락하면 된다. 어차피 내가 여기서 이 제품을 광고해줘봤자 아무도 안 살테니 안심하고 홍보해 준다.
이 장비를 이용하면 바늘을 직접 움직이면서 박막의 두께를 잴 수 있다. 정확히는, 다음과 같은 그래프가 나온다.
잘 보면 0.23부터 0.32정도 사이에 아래로 푹 꺼진 부분이 있다. 여기 부분과 나머지 부분의 높이 차이가 바로 두께가 된다. 박막에 칼등으로 흠집을 내고 실제로 측정을 하는 것이니까.
이 방법의 문제점은 보다시피 값을 정하기가 심히 곤란하다는 점이다. 튀는 점들도 많고 어느 점을 기준점으로 잡아야 할지가 난감하다. 또한 특정한 부분을 일직선으로 따라가면서 측정한 값이기 때문에 저것이 박막 전체의 두께를 대표할 수 있는지도 의문이 된다. 이런 문제를 해소하기 위해서 사용하는 방법이 광학 밀도(Optical density)를 이용한 방법이다. 광학 밀도란 빛이 얼마나 흡수되는가를 측정하는 것인데 물질마다 다 다른 값을 갖는다. 물론 이것은 투명한 물질에 대해서만 측정할 수 있으며 불투명한 물질은 당연히 이 방법을 이용할 수 없다. 원래는 용액에 녹은 용매의 농도를 알기 위해서 사용하는 방법이지만 이래 쓰나 저래 쓰나 내게는 두께만 재면 되는 방법이므로 넘어가자.
빛이 통과할 때 물질이 두꺼워지면 두꺼워질수록 많이 흡수되는 것은 너무나 당연할 것이다. 그렇다면 얼마나 흡수될 것인가? 절반?
가령, A라는 물질을 유리판에 코팅해서 똑같은 두께의 코팅판을 2개 만들었다고 하자. 이 코팅판에 빛을 통과시키는데, 만약 한장을 통과하면 빛의 밝기가 절반으로 줄어든다고 하자. 두장을 통과하면 어떻게 될까? 물론 절반의 절반으로 줄어들 것이다. 통과하기 전의 빛의 밝기와 통과한 후의 빛의 밝기를 관찰해 보면, 다음과 같은 사실들을 알 수 있을 것이다.
1. 통과하기 전의 빛이 밝을수록 통과한 후의 빛도 밝다.
2. 두꺼우면 두꺼울수록 빛이 어두워진다.
지극히 당연한 사실이다.
두께에 따라 어두워지는 빛의 밝기는 어떻게 설명할 수 있을까? 여기에 광양자 모형을 도입해 보자. 아인슈타인의 광양자 모형에 의하면 빛은 특정 진동수를 가지는 입자로 되어 있는데, 그 빛의 밝기는 입자의 수에 의해서 결정되고 빛이 가지는 에너지는 입자의 진동수에 의해서 결정된다. 이런 특징을 가진 어떤 것이 광학적 매질을 통과할 때, 어떤 일이 일어나는 것인가? 이것을 생각해 보면 광학 밀도를 이용해서 두께를 어떻게 알아낼 수 있는지 탐구할 수 있다.
…그래서 어쩌라고?
…생각. 광양자 하나하나를 갖고 매질에 통과시켜보면서 뭔가를 해볼 수는 없는 노릇이므로 우리가 사용할 수 있는 유일한 도구인 두뇌만을 갖고 뭔가를 상상해보자. (사실 광학 실험실 아니면 정밀한 측정은 하기 어렵다.)
광양자가 물질을 지나갈 때 일어날 수 있는 일은 딱 2가지 종류가 있다. 흡수(Absortion) 아니면 방출(Emission)이다. 이때, 하나의 물질 입자가 광양자를 흡수하고 다시 방출하는 것을 “산란(Scattering)”이라고 부른다. 알을 낳는 것이 아님에 주의하자.
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산란에서도 광양자의 진동수가 바뀌는 산란이 있고 바뀌지 않는 산란이 있는 등 다양한 일들이 일어나지만, 여기서는 그런건 신경쓰지 말고 “흡수”만을 생각해 보자.
물질을 통과하기 전에 100개의 광양자가 있었다. 그런데 이 광양자가 물질을 통과하고 났더니 30개만이 남아있었다. 그렇다면, 만약 물질을 통과하기 전에 1000개의 광양자가 있었다면 물질을 통과한 후에는 광양자가 몇개나 남아있을까? 복잡하개 생각할 필요 없이, 100개씩 10번 통과시키면 될 일이다. 따라서 300개의 광양자가 남아있음을 알 수 있다. 그렇다면, 이 물질을 통과해서 나온 광양자를 다시한번 그 물질에 또 통과시킨다면? 100개씩 3번 통과시키면 되니까, 이번엔 90개의 광양자만이 남게 된다. 한번 더? 100개씩 0.9번?? 슬슬 감이 왔겠지만, 언제나 살아남는 광양자의 수는 통과하기 전의 30%가 된다. 따라서 이번엔 27개의 광양자이다. 한번 더 통과시키면 얼마나 남을지 물어보는건 직접 생각해 보자.
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이 시점에서, 빛이 흡수되는 양과 두께 사이에 어떤 양적인 관계가 있음을 알아야 한다. 정확히는, 두께의 지수함수가 빛이 흡수되는 양이다. 흡수되는 양은 두꺼워질 수록 곱셈으로 늘어난다. 두께는 덧셈으로 늘어난다. 하나는 곱셈이고 하나는 덧셈인데, 덧셈과 곱셈을 연결시켜주는 함수는 딱 두가지 종류가 있다. 하나는 지수함수이고, 다른 하나는 로그함수이다. 여기서는 지수함수를 사용해 보자.
요점만 말하자면, 처음의 빛의 밝기가
라고 했을 때, 두께 t이고 빛을 통과시키는 물질을 통과했을 때, 만약 이 물질이 균일하다고 한다면 물질을 통과한 후의 빛의 밝기
는 다음과 같이 쓸 수 있다.
이때
는 물질마다 달라지는 어떤 상수값이다. 그렇다면, 반대로 우리가 그 값을 알고 있다면, 통과하기 전과 통과한 후의 빛의 밝기를 측정해서 두께를 알아낼 수 있지 않을까?
이렇게 알아낼 수 있다.
그런데, 이런 종류의 함수는 여기서만 나오는 것이 아니다. 사실 위와 같이 어떤 양에 따라서 지수함수의 형태로 감소하는, 그런 값들은 물리에서 너무 자주 나온다. 가령, 다음과 같은 볼츠만 분포가 있다.
이때도 마찬가지로 에너지는 더해지는 값이고 확률은 곱해지는 값이다. (k는 볼츠만 상수이고 T는 온도이다.)
또한, 반감기 문제에서도 자주 나오는 것들이다.
(T는 반감기이고 t는 시간,
는 원래 있었던 양이다)
그럼 도대체 이 문제들에는 어떤 공통점이 있길래 비슷한 형태로 나오게 되는 것일까? 공통점을 찾아본다면, 확률에 의해서 지배되는 현상을 표현한다는 것이 있다. 볼츠만 분포를 빼고, 나머지 두개는 반응 속도가 남아있는 양에 비례한다는 특징이 있다. (화학 반응식에서도 비슷한 수식을 발견할 수 있다.)
아무튼. 다시 본론으로 돌아오자.
아주 얇은 박막의 두께를 재고 싶으면 물질에 빛을 투과시켜서 얼마나 빛이 어두워지는지 조사하면 된다. 위에 얘기한
값만 미리 측정해 둔다면 뭐든지 다 조사할 수 있다.
(글을 한달 넘게 붙들고 쓰다보니 원래 뭘 쓰려고 했었는지 잊어서 여기까지만 적어둔다. 궁금한점, 오류, 오타, 보충 등은 댓글로…)
계속해서 생각을 하다 보면 생각에 중독된 것 아닌가 하는 생각도 하게 된다. 생각 그 자체에 대해 생각하는 것도 재미있다.
머릿속에 있는 생각들을 그대로 끄집어서 구체화 시킬 수 있다면 논문이건 예술 작품이건 쉽게 쉽게 만들 수 있을 것 같다. 천재란 오히려 그런 사람들인 것 같다.