규모의 경제를 실현하여, 대략 1만명 정도의 블로거를 유치할 수 있다면 상당히 의미있는 결과를 낼 수 있을 것이라고 본다. 모든 블로거가 win-win을 고를 수 있는 전략이 된다.
“환상속의 그대” – 서태지와 아이들
결코! 시간이 멈추어 줄 순 없다 요!
무엇을 망설이나 되는것은 단지 하나뿐인데
바로 지금이 그대에게 유일한 순간이며
바로 여기가 단지 그대에게 유일한 장소이다.단지 그것 뿐인가 그대가 바라는
그것은 아무도 그대에게 관심을 두지 않는다
하나 둘 셋 LET’S GO 그대는 새로와야 한다.
아름다운 모습으로 바꾸고 새롭게 도전하자.그대의 환상.그대는 마음만 대단하다.
그마음은 위험하다 자신은 오직
꼭 잘될거라고 큰소리로 말하고 있다.
하지만 지금 그대가 살고있는 모습은 무엇일까.세상은 요! 빨리 돌아가고 있다
시간은 그대를 위해 멈추어 기다리지 않는다
사람들은 그대의 머리위로 뛰어다니고
그대는 방 한구석에 앉아
쉽게 인생을 얘기하려 한다.환상속에 그대가 있다.
모든것이 이제 다 무너지고 있어도
환상속엔 아직 그대가 있다.
지금 자신의 모습은 진짜가 아니라고 말한다
서태지와 아이들이 이 노래를 부를 때부터 이미 시작되었던 것일지도 모르지만. 받아만 먹는 세상은 끝나가고 있다. 민주주의와 자본주의가 결합되고 확산되며 모든것의 자본화가 가속되면서, 자기 몫을 알아서 찾아먹지 못하는 사람들은 죽게 되는 사회가 되어간다. 자기 몫을 찾지 못하는 것이 선천적으로 가진 자신의 신체적 장애이든, 부모가 물려주지 못하는 재산 때문이든, 가질 거 다 있어도 인간이 못나서 그렇게 되었든 세상은 신경쓰지 않는다. 자기 몫을 찾든지 말든지는 책임이 없어도 자기 책임이 된다. 누구를 탓하고 싶어도 탓할 사람이 없고, 탓할 사람이 있어도 탓하는게 무의미하다.
정치를 보면, 대선이 다가오면서 아주 많은 사람들이 끓어 오르고 있으며 누구든지 누군가를 씹지 못해 안달이다. 나 역시 인터넷과 언론을 지켜보고 있으면 누군가를 씹고 싶어 미치겠건만, 씹어봐야 그 당사자가 아파할 것 같지도 않아서 귀찮아진다. 노자가 그랬더라. 국민들에게 좋은 것을 보여주지 않으면 그들은 평생 좋은 것을 보지 못할테니 현재가 가장 좋은 줄로 알고 살아갈 것이라고 했다.
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그러나 현대는 너무나 많은 사람들이 너무나 좋은 것을 바라고 있다. 그것이 어떻게 좋고, 왜 좋고, 어떻게 하면 얻어지는지 모른 채로 좋은 것만 바라보고 있다. 그리고 정치인들은 자신이 그 좋은 것을 국민들에게 줄 수 있다고 하며 자신을 지지해줄 것을 호소한다. 누구를 믿어야 할까.
경제를 볼까. 주가는 오르는데 신문에 나오는건 어떤 투자자들이 피해를 보았는지에 대한 소식이다. 경기불황을 부르짖고, 현 정권이 욕먹는 이유는 물가 인상을 잡지 못한 것이고 경기 침체를 일으킨 것이다. 그러나 그것이 현 정권이 무능한 것일까? 그렇게 욕을 하는 사람들은 결국 자신이 피해를 보았기 때문에 욕을 하는 것일까. 그럼 그 피해가 자신의 무능과 집착에 의해 나타난 것인지 정부의 정책 실패로 나타난 것인지 생각해볼 정신은 없을까. 100억대 재산가가 주식 투자 실패로 99억을 날린 것과, 하루에 간신히 만원 버는 사람이 버스 타고 다니느라 하루에 2천원을 사용하는 것은 어느것이 더 큰 손해일까. 버스요금이 100원 오르면 두사람 중에서 누가 눈물을 흘려야 할까.
제 몫을 찾지 못하는 것이 스스로 타고난 운명인 것을 남들이 어떻게 해줄 수는 없다. 왜냐하면 그 남들은 자기 먹고살기 바쁘기 때문이다. 어떤 인간이든, 또는 어떤 생명이든 자신이 살자는 것을 막을 수는 없으며 이것은 어떠한 타인의 생명보다 중요하다.
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그렇지만
자기 먹고살기에도 도움이 되고 그렇게 제 몫을 찾지 못하는 사람들을 도울 수도 있는 방법이 있다면 기꺼이 선택하겠는가?
이조차 하지 않겠다면 당신은 참 나쁘다.
그렇다면 내가 그다지 위대하거나 똑똑한 사람은 아니지만 아주 짧게 생각해 보건대, 당신과 당신 주변과 당신이 모르는 사람들까지도 도울 수 있는 방법을 제안해 본다면 어떻게 생각하는가? 내가 하는 얘기가 헛소리거나, 틀렸거나, 맘에 안들거나, 싫다면 맘대로 해도 좋다. 당신의 선택은 내가 신경쓸 문제가 아니다. 난 단지 내 얘기를 할 뿐이다.
내가 제안하는 방법은 아주 간단하다.
정치에 참여하라.
이것이 시작이고 끝이다.
정치에 참여하는 실천 방법론은 그다지 어렵지 않다.
무엇이 정치인가? 정치라는 단어는 한자어로는 “바르게 이끌어 나간다”는 것이고, 사람들이 흔히 쓰는 뜻으로는 “여의도와 청와대에서 싸우는 것”을 의미한다. 그러나 실제로 정치는 참여하는 것이다. 이제 대선이 다가온다는데, 당신이 죽기 싫고 살고 싶다면 가서 투표해라. 누구를 뽑느냐는 내가 상관할 바가 아니다. 그건 나랑 아무 상관 없다. 하지만 누군가의 정책이 자신을 배고프게하고 아프게 했다면, 아니면 그렇게 할 것이 예상된다면 거침없이 욕을 하고 씹어라. 정치는 세상을 바꿀 수 있는 거대한 힘을 갖고 있고, 그것은 당신의 참여로 완성된다. 행동하지 않으면 아무도 알아주지 않는다. 누군가 굶어죽어가고 있어도 “나 여기서 배고파 죽어요”라고 말하지 않으면 눈길조차 주지 않는 싸늘한 시대다. 자신이 아는 것이 있고, 자신이 생각한 것이 있으면 그것을 반드시 드러내야 한다.
옛날이나 지금이나 정치하는 사람들이 피투성이가 되어 싸우는 건 마찬가지다. 어차피 정치판은 수백년 전부터 만신창이였다. 그러나 옛날에는 왕을 욕하면 죽는 시대였지만 지금은 대통령을 욕해도 아무도 신경조차 쓰지 않는다. 얼마나 세상 좋은가.
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썩어빠진 세상을 그냥 썩었다고 생각하지 말고, 세상에 마지막 남은 유일하게 진정한 양심을 가진 당신이 움직이라는 것이다. 물론 이 말이 누굴 때리거나 폭탄을 터뜨리라는 뜻은 아니다. 말로 하라는 거다. 말로.
먹고 살기 바쁠수록 참여해야 한다. 직접 민주주의 시대에는 모든 사람들이 참여했기 때문에 당신 하나가 빠지더라도 다른 사람들이 알아서 잘했지만, 간접 민주주의 시대인 지금은 모든 사람들이 참여하지는 않기 때문에
참여한 사람들의 의견이 먹고살기 바쁜 사람들의 의견을 대변하지 않을 수 있다.
따라서, 진짜 먹고 살기 바쁜 사람들일수록 정치에 관심을 갖고 투표도 하고 정치인들을 씹기도 해야 한다. 안그러면 갈수록 먹고 살기 힘들어질 것이다.
한줄요약 : 투표하세요
“성공하는 사람들의 7가지 습관”이라는 책을 쓴 스티븐 코비가 만든 성공론에 관한 교육 과정인데, 실제로 저 제목은 영어로 “7 habits of highly effective people”이다. 교육 자체는 조별 토론 방식이고 Facilitator가 화두를 이끌어 주는 형태를 취하고 있다. 원래 미국에서는 3박 4일동안 하는 교육이라고 하는데, 한국은 아무래도 시간이 없다보니 2박 3일로 압축해서 교육하고, 다시 이 회사에서는 그나마 시간이 나지 않아서 1박 2일로 한번 더 압축하였다. 그 결과 첫날 아침 10시부터 저녁 10시까지, 둘째날 아침 8시부터 저녁 5시까지 쉬지않고 달려가는 초고밀도 교육이 되어버렸다. 아무튼, 그대로 까먹을 수는 없기에 요점을 정리하여 몇자 적어둔다. 교육 내용이 비밀도 아니고 어차피 저 책 보면 다 아는 내용이며 사실 누구든 깨달음만 있으면 실천할 수 있는 내용이므로 상관 없을 것이라고 본다. 이해가 안가는 부분이나 설명이 부족하다고 생각되는 부분은 댓글로 알려주시면 보충하도록 하겠다.
7가지 습관을 요약하면 다음과 같다.
이상이다. 우선, 몇가지 개념들이 필요하다.
리더쉽
다른 사람들을 움직이도록 영향을 미치는 능력이다. 다른 사람을 움직이는 방법으로는 강제력(Position power, 권력), 보상, 정보제공, 전문성, 역량(Character) 등이 있다. 그중 Character에 의한 영향력이 가장 강력하다.
종류를 막론하고 모든 조직이 가지고 있는 문제는 다음과 같다
이 문제를 해결하기 위하여 구성원 각각이 리더라는 생각을 갖고 리더쉽을 발휘해야 조직 전체가 성공하게 된다.
아무튼, 그래서 가장 중요한 것은 “생각이 바뀌면 행동이 바뀌고, 행동이 바뀌면 습관이 변하고, 습관이 변하면 성품이 변하고, 성품이 변하면 운명이 바뀐다”는 것을 강조하여 지금 교육이 생각을 바꾸고 습관을 바꾸는 훈련이라는 것을 강조한다.
진정한 리더는 남들을 대할 때 성격과 성품 모두 갖추고 있어야 하는데, 성품은 내재적인 것이고 성격은 외부적인 것이다. 성품은 그 사람이 움직이는 기본적인 원리나 가치관을 뜻하고, 성격은 그 사람이 움직일 때 드러나는 모습이다. 성품은 위급한 상황에서 드러나기 쉽다.
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신뢰할만한 가치가 있는가?(Trustworthiness) 이 개념은 나도 여기서 처음 들었는데, 이것은 내가
http://snowall.tistory.com/47
에서 한번 다룬 바 있다. 이 교육에서 이야기하는 신뢰할만한 가치 개념은 “그 사람에게 그 일을 맡기고 싶은가?”에 관련된 성품(Character)과, “그 사람이 그 일을 할 수 있는가?”에 관련된 역량(Competence)이 관련된다.
이 교육의 리더쉽에 대한 접근법은 Character based, inside to out, principle centered다.
내가 먼저 바뀌어야 한다는 점은 개인의 변화가 부서의 변화를 바꾸고, 부서와 팀의 변화가 조직 전체의 변화를 이끌어 낸다고 주장하는데, 이것은 우리가 잘 알고 있는 “수신제가치국평천하”와 같은 얘기이다.
패러다임
세상을 보는 관점이다. 세계관, 가치관, 시각 등과 비슷한 뜻이다. 가령, 팀장의 패러다임이 “팀원이 무능하다”라면, 그 결과 팀장은 팀원의 세세한 것까지 모두 관리하려 들 것이고, 따라서 팀원은 팀장이 시키는 것만 하게 되며 그 결과 팀원은 실제로 무능하게 되어 팀장의 패러다임을 강화하는 결과를 낳는다. 이 악연의 순환고리를 깨기 위해서는 패러다임의 변화가 있어야 한다.
패러다임을 바꾸게 하는 것은 바로 기본 원칙(Principle)이다. 원칙이라는 것은 또한 누구에게나 적용할 수 있는 보편적 진실이어야 하고, 시공간을 초월해야 한다. 이것은 판단하는 것이 아니라 판단의 기준 그 자체를 이야기한다. 만약 원칙이 없으면 패러다임은 선입견에 불과하고 판단은 자의적 판단이 된다. 소신껏 살라는 뜻이다.
성공
성공이라는 것은 생산(Production)과 생산 능력(Production Capability) 사이의 균형이 잡혀서 지속적으로 성장하는 것이 가능한 상태를 말한다.
내가 생각하는 성공은
http://snowall.tistory.com/62
에 적혀 있는데, 꼼꼼히 해석해보면 같은 맥락에서 이해할 수 있다.
중요한 개념으로 “주도적Proactive”이라는 말이 나오는데, 이것은 “반응적Reactive”이 아니라는 점을 강조한다. 주도적이라는 것은 나의 의도대로 상황이 주도되는 것을 뜻하고, 반응적이라는 것은 상대방의 의도대로 내가 반응하는 것을 뜻한다. 예를들어, 상사가 부하직원에게 퇴근 직전에 무슨 일을 처리해 달라고 했는데, 부하 직원이 쫄아서 상사의 부탁을 들어주다가 야근하게 되는 경우 부하 직원은 반응적인 행동을 한 것이다. 그 부하 직원은 상사의 부탁이 타당한지, 합리적인지, 정말 급한일인지, 정말 필요한 일인지 판단한 후 일을 처리하거나 다음날 와서 처리하겠다고 대답하고 퇴근하는 주도적인 선택을 했어야 한다. 이것을 위한 나의 견해는 “메타 관점”이라는 개념을 도입하는 것이다. 물론 이 개념은 주도적이라는 개념과 같은 맥락으로 이해 가능하다.
http://snowall.tistory.com/46
http://snowall.tistory.com/48
그리고 정말 주도적이 되기 위하여 영향력의 원을 늘리라는 말을 한다. 어떤 개인의 주변에서 일어나는 일들 중에서, 그 사람이 관심을 갖고 있는 일들은 관심의 원 안에 있고, 그 사람이 영향을 미칠 수 있는 일들은 영향력의 원 안에 있다. 관심의 일 중에서 영향력의 원 바깥에 있는 것들은 그 사람이 주시하고는 있으나 영향을 미칠 수 없다. 따라서 그것은 그 사람이 어쩔 수 없는 일이다. 하지만 그 사람은 여전히 관심의 원 영역에 관심을 갖고 있기에 그 사람은 아무것도 할 수 없다. 여기서, 관점(=패러다임)을 바꿔보면? 그가 영향을 미칠 수 있는 부분에 손을 대서, 그곳에서 주도적이 되어 자신의 상황을 바꿔 나간다면 얼마든지 영향력의 원을 늘릴 수 있고, 따라서 차츰 자신의 영향력이 커져서 예전에는 손도 댈 수 없었던 부분까지 영향을 미칠 수 있게 될 것이다. 이 얘기는 내가 S회사에 입사한 C양에게 죽어라고 해줬던 얘기이다. 즉, 남들이 움직일때까지 마냥 기다리지 말고 스스로 먼저 움직여 나가라는 것이다. 동료들이 C양에게 무슨 일이나 행동을 했다면 C양은 그것을 그 사실로서 판단하고, 그 판단에 따라 행동하라는 것이다. 그리고 그렇게 행동을 하면 다른 사람들은 그 행동을 보고 그에 대해 반응할 것이고, 그럼 다시 그 반응을 보고 그에 맞춰서 행동하면 되는 것이다. 하지만 C양은 남들이 어떻게 반응할 것인지 명확하게 예측하고 그중에서 최적의 선택을 하고자 했고, 알다시피 이것은 불가능하다. 자기 자신도 어떻게 움직일지 모르는데 타인의 선택과 반응을 정확하게 예상할 수는 없다. 그리고 예측을 하느라 결국 때를 놓치거나 잘못된 판단을 하게 되었다.
끝을 생각하며 시작하라는 것은, 그 말 그대로 받아들이면 될 것이다.
보는 관점의 변화를 “나는 주어진대로 산다”에서 “나는 내가 설계한대로 산다”는 쪽으로 바꾸는 것이 중요하다.
이에 대해서 나는 삶에 중독되지 않을 것을 논한다.
http://snowall.tistory.com/205
memento mori라는 말을 알려줬는데, 이것은 “당신이 반드시 죽는다는 것을 기억해라”라는 뜻이라고 한다. 내가 20살이 되면서 했던 생각이 “20대는 누구나 10년씩 주어진다”는 거였는데, 비슷한 맥락으로 이해가 된다.
그냥 살다보니 사는 것이 아니라, 그 습관에서 벗어나 의미있는 삶을 살아가라는 뜻이다.
이를 위해서 자기사명서(Mission Statement)를 쓰라고 하였는데, 뭐 이건 알아서 쓰면 된다.
나의 좌우명으로 발표한 것은 “이 세상 끝까지 너의 꿈을 따르라, 그것이 세상을 구원하는 유일한 길일지니”하고 “멋진 말이라면 백만개라도 할 수 있지만, 하나라도 실천하는 것은 어렵다”이다.
소중한 것을 먼저하라는 습관은 우선 순위에 따라 성실하게 행동할 때 효과적인 삶을 살 수 있다고 한다.
사람이 하게 되는 모든 행동은 긴급한지 아닌지, 중요한지 아닌지에 따라서 4가지로 구별된다. 급하고 중요한 일, 급하지만 중요하지 않은 일, 급하지 않지만 중요한 일, 급하지도 않고 중요하지도 않은 일이다. 여기서 사람이 역량을 집중해야 하는 것은 급하지 않지만 중요한 일이다. 왜냐하면 급하지만 중요하지 않은 일과 급하고 중요한 일에 보통 집중하게 되는데, 이렇게 되면 급하지 않지만 중요한 일들을 놓치게 된다는 것이다. 하지만 급하지 않지만 중요한 일들을 하게 되면 급한 일들을 줄여나갈 수 있게 된다.
예를들어, 급하지 않지만 중요한 일로 자기 개발이 있다. 자기 개발은 급하지는 않지만 중요한데, 이것을 다른 급한 일들에 밀려서 못하게 되면 맨날 그 상태 그대로라는 것이다. 하지만 자기 개발을 해서 본질적인 능력을 늘리게 되면 급한 일들이 줄어들게 된다는 것이다.
정확히는, 급하지 않지만 중요한 일은 미래에 대해 예방하고 대비하는 것을 말한다. 유비무환이라고 한다. 허리가 아픈 것을 아직 참을만하다고 그냥 버티고 일에만 매달리다가는 완전히 허리를 못 쓰게 된다. 조금만 더 일하면 된다고 계속 버티다가 과로사라는 최악의 결과를 내는 직장인들도 많다. 이것을 막기 위해서 패러다임을 바꾸면, 중요하지만 급하지 않은 일에 조금씩 더 집중하다보면 어느새 많은 일들이 예방되고 미래가 더욱 좋게 변해 나갈 것이라는 점이다.
이것을 위해서 시간 관리 방법을 소개하는데, 자신의 가치와 원칙에 따라 소중한 일들을 정리하고, 소중한 일들을 언제 할 것인지 일단 정해두는 것이다. 그리고 이것은 반드시 지켜야 하는 원칙이 된다. 그리고 나머지 일들을 처리할 시간을 만들어 준다. 만약 반드시 지켜야 하는 약속의 시간에 누군가 그것을 방해하려고 한다면, 일단 “기다려요”라고 얘기한 후 가치판단과 원칙에 따라 무엇이 더 소중하고 중요한 일인지 결정한 후에 대답하라는 것이다.
미래라는 것이 지금 이 순간이라는 벽돌이 쌓여서 만들어지는 것이라면, 이처럼 소중한 것을 먼저하는 원칙에 맞춰서 시간을 관리하고 일정을 짜는 것은 그 벽돌이 정확한 위치에 단단히 박히도록 하는 것을 뜻한다.
승-승을 생각하라는 습관은 영어로 win-win 전략을 택하라는 것인데, 이것은 사실 내가 죄수의 딜레마에서 여러번 논의했었다.
http://snowall.tistory.com/12
서로 기분 좋게 끝나는 방법은 웃으며 얘기하고, 칭찬하며 끝내는 것이다. 칭찬은 고래도 춤추게 한다는 책이 있지 않는가. win-win전략은 자신의 영향력의 원을 넓히는 좋은 방법이다. 실제로는 lose-lose나 win-lose나 lose-win의 상황이 자주 나타나는데, 이것은 lose가 있기 때문에 전체적인 실익은 증가하지 않게 된다.
이를 위해서는 용기와 배려가 필요한데, 용기는 자신의 생각과 감정을 솔직하게 말할 수 있는 능력과 의지이고, 배려는 다른 사람의 생각과 감정을 있는 그대로 받아들일 수 있는 능력과 의지이다. 결코 자신의 생각과 감정을 관철시키는 것이 아니다.
먼저 이해하고 그 다음에 이해시키라는 것은, 내가 남을 설득하기 위해서는 우선 남의 상황을 진심으로 이해해야 한다는 것을 뜻한다. 상대방을 감동시키기 위해서는 상대방을 이해해야 한다. 이해하는 것은 상대방의 상황을 공감하는 것을 뜻한다. 우선 듣고, 이해하고, 그에 대한 나의 반응을 보여주는데, 이때 나의 반응은 반드시 상대방의 의견을 진심으로 이해했다는 것이 반영되어야 한다. 그리고 나의 반응에 나의 의견을 반영하여 되돌리면 된다.
이것이 되면 시너지를 낼 수가 있게 된다. 이때 중요한 것은, 시너지를 냈느냐 아니냐 그 결과가 아니다. 정말 중요한 것은 시너지를 내기 위해서 노력하는 것이다. 시너지를 내지 못하는 것은 서로 협동하지 않기 때문인데, 협동하지 않는 것은 서로의 공동 목표가 없기 때문이다. 하지만, 사실 알고보면 누구든 결국 각자의 이익을 위해서 행동한다는 목표가 있는 것이고, 서로 협동하는 것이 이익에 도움이 된다는 것을 파악하면 시너지를 낼 수 있게 된다. 이를 위해서 구체적인 방법론은 다음과 같다.
이를 위해서 발언 막대기(Talking stick)을 사용할 것을 제안하는데 이것은 인디언들이 사용하던 것을 복제한 것이라고 한다.
이 막대기의 사용 규칙은 다음과 같다.
시간이 없어서 끊임없이 쇄신하라는 습관은 동영상 하나를 보고 넘어갔다. 이것은 톱질하는 사람이 톱날을 갈지도 않고 무딘 칼로 계속 톱질을 해봐야 결코 원하는 목표를 달성할 수 없다는 내용이었다. 즉, 계속해서 자신을 날카롭게 갈고 닦아야 한다는 것이고, 앞의 습관들을 항상 염두하여 실천해 나가야 한다는 것을 뜻한다.
아무튼, 여러가지를 배운 교육이었다.
*이 글의 댓글을 참고하여 논리적/수학적인 오류가 내포되어 있을 수 있음을 경고해 두는 바이다. 전체적인 맥락의 이해에서는 맞지만, 여기 나온 공식들을 그대로 적용하려고 할 때는 문제가 발생할 수 있으므로 다른 좋은 책들을 참고할 것을 강력히 권장한다.
원래는 푸리에 변환의 실제 계산들을 해보려고 했으나, 사실 푸리에 변환을 계산한다는 것이 $e^{ikx}$를 곱해서 잘 적분하면 끝나는 것인지라 이건 오히려 적분 기술에 가까워서 그만 두었다. 어떤 함수의 푸리에 변환이 궁금하면 적분을 잘 해보시기를. 부분적분과 치환적분을 여러번 잘 사용해야 한다. 그리고 인터넷 검색하면 대표적인 함수들의 푸리에 변환 표가 있으니까 참고해도 좋다. 이보다 어려운 문제는 보통 더 많은 함수들의 푸리에 변환 표를 찾아보거나, Maple 이나 Mathematica 등의 수학 프로그램을 쓰면 된다. 그것도 없으면 곧 다음 문단에서 소개할 DFT를 이용하면 된다.
http://ipml.ee.duth.gr/~papamark/circuits/Table%20of%20Fourier%20Transforms.htm
http://www.mas.ecp.fr/Personnel/lilla/classes/image_processing/pdf/FourierTransformPairs.pdf
이번 시간에는 이산 푸리에 변환(Discrete Fourier Transform=DFT)에 대해서 알아보도록 하겠다.
사실 DFT 자체는 그다지 효용이 없다. 하지만 이걸 응용하면 빠른 푸리에 변환(Fast Fourier Transform=FFT)이 가능하고, FFT는 현대 통신 기술의 중요한 방법론 중의 하나이므로 우선 DFT를 소개하는 것이 좋겠다.
말은 아주 거창하게 했으나 실제로 DFT는 대단히 간단하고, 따라서 이 글도 짧다.
푸리에 변환의 요점은 오직 “적분을 하면 된다”는 점이다. 그런데 대부분, 무한히 많은 수의 함수들은 적분을 할 수 없거나 적분하기 힘든 함수들이다. 함수 형태가 딱히 해석적인 형태로 주어지지 않고 모든 점에 주어진 숫자로 이루어진 경우도 있다. 이런 식으로, 적분하기 괴로울 때 수학자들이 사용하는 방법은 원점으로의 회귀다. 적분은 원래 아주 많은 것들을 더하다가, 무한을 발견하게 되어 무한히 많은 것을 어떻게 더할지 고민하다가 등장한 계산법이다. 따라서, 적분은 원래 덧셈이고, 그 덧셈은 원래 연속적인게 아니라 띄엄띄엄하게 끊어져 있었다. 즉, Discretization이다.
그리하여,
$\int_0^{2\pi}dx e^{-ikx}f(x) \rightarrow \sum_{n=0}^{N-1} exp(-ikn\frac{2\pi}{N})f(n\frac{2\pi}{N})\frac{2\pi}{N}$
가 DFT의 중심 공식이 된다. 각각 적분기호는 합산 기호로, 적분 구간은 수열 번호로, 적분소 dx는 한 구간의 길이로 바꾸면 된다. 이제, 푸리에 변환은
함수값을 여러개 찾아서 모두 더하는 덧셈으로 바뀌었기 때문에 컴퓨터를 이용해서 계산할 수도 있다. (물론 사람이 할 수도 있다)
푸리에 변환은 어떤 함수로부터 다른 함수를 구하는 것이므로, 위의 함수는 k가 결정되면 함수값이 결정되는 함수일 것이다.
사실 이건 공식이랄것도 없이, 연속적인 적분을 구분구적법처럼 다시 표현한 것에 불과하다.
실제로 구분구적법은 구간을 잘라낸 갯수인 N을 무한대로 보내는 극한을 취하지만 손으로 계산하거나 컴퓨터에게 일을 시킬 때 진짜로 N을 무한대로 보낼 수는 없으므로, 우리가 원하는 적당한 오차 범위와 계산 시간을 고려하여 N을 적당히 큰 숫자로 정하게 된다.
만약 원래 주어진 함수 자체가 끊어져서 들어온다면, 즉 주어진 함수가 모든 점에서의 값이 주어진 것이 아니라 유한한 수의 점에서만 함수값이 주어져 있다면 이 경우에는 연속적인 적분이 불가능하고 항상 덧셈으로 정의된 적분을 해야 한다. 이때는 변환과 역변환 사이에 오차가 없게 된다. 가령, n개의 점에서 함수값이 주어져 있다면, 즉 $(a_1, f(a_1)), (a_2, f(a_2)), …, (a_n, f(a_n))$ 으로 함수가 주어져 있는 경우, 이것은 하나의 “벡터”라고 볼 수 있고 푸리에 변환은 저 벡터를 다른 벡터로 보내는 1차 변환이 된다. 물론 그 역변환도 가능하다.
한가지 생각해 보자. 이 계산을 다 하려면, 구간을 N개로 잘랐다고 할 때 몇번의 계산을 해야 할까? 함수값에 대입하는건 빼고, 덧셈과 곱셈을 수행하려면 N*N번의 계산을 해야 한다. (심각하게 고민해 보시기를)
*DFT에 관한 괜찮은 설명은 위키피디아를 찾아보면 된다.
http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform
*Paul Bourke이라는 사람이 DFT에 대한 알고리즘과 구현에 대해 설명한 것도 있다.
http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/other/dft/
다음편 스포일러 : FFT는 계산 시간을 N*logN으로 줄일 수 있다.
– Undefined terms –
computer, information, user
– Axiom –
A computer has an information.
A user operates a computer.
– Definition – RELATION
A is related to A.
If that A is related to B and B is related to C implies A is related to C.
(Refer to
http://en.wikipedia.org/wiki/Relation_%28mathematics%29
)
– Definition – (Super/Sub) NETWORK
A network is a relation between two computers.
Also, a network can be a network between two networks. If a network is the network of networks, the network is called the supernetwork of the networks and the networks are called the subnetworks of the supernetwork.
– Definition – LARGE / SMALL
A supernetwork is larger than its subnetwork.
A subnetwork is smaller than its supernetwork.
This implies that a computer is one of the smallest network.
– Definition – INTERNET
Internet is a network of all networks.
– Theorem – Internet is the largest supernetwork, that is there is no supernetwork of Internet.
Proof > Internet is a network of all networks. If there is a supernetwork of Internet, it is a subnetwork of Internet. This is contradiction to the definition of Internet.(QED)
– Definition – ACCESSBILITY
Let A and B be computers. If A and B have a network, then A can access to B. Also, its converse is true.
– Definition – BROADCAST
Suppose that a computer A has its supernetwork. If any computer in the supernetwork can be accessble to A, A broadcasts an information to the computers of the supernetwork.
– Definition – BLOG
If a computer broadcasts an information, the computer is called a blog.
– Definition – CONTENT
A content is a set of informations in a computer or networks.
– Definition – UCC
…
이러고 놀다가 UCC의 정의에서 막혔다.
이 질문은 상당히 대답하기 어렵다. 어려운 부분도 있고 쉬운 부분도 있기 때문이다.
물리학의 연구 방법론이란, 일반적인 경우에 해당하는 방정식을 세워놓고 특정한 경계 조건에 대해서 풀이한 후 그것을 실험값을 예측하고 비교하여 검증하는 과정을 거치게 된다. 이 과정에서 어려운 부분은
1. 일반적인 방정식 자체를 이해하는 것,
2. 경계조건에 대하여 풀이하는 것,
3. 실험값을 예측하는 것,
4. 실험을 수행하는 것이 있겠다.
물리학자들은 저 4가지 중에 한 분야를 선택하여 일을 하게 되고, 1번과 2번에 관한 연구를 하는 사람들은 이론 물리학자, 3번을 연구하는 사람들은 현상론자, 4번을 하는 사람들은 실험 물리학자라고 구별할 수 있겠다. 물론 물리학자라면 위의 연구 분류에 대해서 어느정도는 다 알아야 할 것이다.
중등 교과 과정에서 배우게 되는 물리학에 한정하여 생각해 보자. 중등 교과 과정에서 사용되는 일반적인 방정식들은 다음과 같다.
- 역학 – 뉴턴의 운동 방정식
- 전자기학 – 쿨롱의 전기력 공식과 암페어의 법칙
- 열역학 – 이상 기체의 상태 방정식
- 양자역학 – 보어의 양자화 공식
- 광학 – 얇은 렌즈의 근사 공식
그 외에는 기억나지 않는다.
내가 가르쳐본 경험으로 볼 때, 아무리 못하는 애들이라도 문제 유형에 따른 풀이 방법을 가르쳐 주기만 하면 관련된 문제는 해결할 수 있었다. 가령, 포사체 운동에서 최대 도달 높이나 전체 비행 시간을 계산하라고 하는 문제는 관련된 공식을 외우라고 하고 대입하는 방법을 가르쳐 주면 다들 풀 수 있었다. 하지만 유형이 바뀌는 경우에 응용을 할 수 없다는 것이 문제이다.
물리학을 어렵다고 느끼는 이유는 밑도 끝도 없이 저런 공식들에 대해서 어떤 설명을 해주고,그 설명을 듣고나서 바로 문제를 풀이해야 하는데 문제와 공식이 어떤 연관성이 있는지 이해하지 못한 상태에서 그대로 적용해야 하기 때문이라고 본다. 그렇다면, 물리를 쉽게 접근하기 위해서는 저 공식과 물리적 상황이 어떤 연관성이 있는지에 대한 이해가 필요하다고 본다.
예를 들어, F=ma라는 공식을 이용해서 문제를 풀 때, 힘과 가속도와 질량이 각각 어떤 의미인지 설명을 하고 주어진 물리적 상황에 대해서 힘과 가속도와 질량이 각각 어떤 값들이 사용되어야 하는지 찾아야 하는데 그런 이해가 부족하기 때문이다.
이 상황은 역학에서는 그나마 좀 낫다. 눈에 보이는 것들이 부딪치고 날아가는 것을 표현하기 때문이다. 하지만 전자기학이나 열역학으로 들어가게 되면 눈에 보이는 것들이 아니라 수식과 그래프로 표현된 추상적 대상에 대한 논의가 되기 때문에 그것이 물리적인 실체라고 보기가 상당히 곤란하게 된다. 이 경우, 주어진 공식과 물리적 상황에 대한 연관성을 이해하려고 해도 물리적 상황 자체를 상상하기가 곤란하기 때문에 힘들게 된다. 눈에 보이지도 않을만큼 작은 전자가 눈으로 볼 수 없는 전기장 속을 헤쳐 나가는데 대체 어디서 어디로 가는지 무슨 수로 알아내냐는 것이다. 사실 이런 상황에 대해서 물리적인 문제를 상정하고, 풀어내는 것이 물리학을 공부하는 방법인데 이런것들을 고등학교 때 상세히 설명하기란 상당히 힘들다. 입시 위주의 교육 때문이다.
F=ma라는 공식을 보자. 힘이 질량과 가속도의 곱이라고 뉴턴이 썼다는데, 그게 질량과 힘을 곱해야 하는지 더해야 하는지 나눠야 하는지 어떻게 알았을까? 누가, 대체 무슨수로. 그리고 힘이 가속도에 비례하는지 속도에 비례하는지 아니면 가속도의 도함수에 비례하는지 반비례하는지 무슨수로 알아낸다는 말인가.
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참으로 알 수 없는 노릇이다. 더군다나 전자가 눈에 보이지도 않는데 눈에 보이지 않는 전기장 속에서 힘을 받는 경우 전하와 전기장의 세기에 비례하는 힘을 받는다고 하니, 참으로 황당할 수밖에 없다. 따라서, 이러한 물리적 상황들이 학생들의 머릿 속에서 추상적인 심상을 형성하지 못하면 결국 이해할 수 없는 상황이므로 물리는 어려울 수밖에 없다. 상상력의 부재라는 것이다.
그럼 어떻게 해야 물리학 문제가 쉽게 다가올까? 어떤 방법을 쓰더라도 문제 자체가 쉬워지지는 않는다. 문제의 난이도는 주어진 상황 자체를 이해하는 능력과 그 상황으로부터 방정식을 이끌어내는 능력과 유도된 방정식을 이용하여 원하는 물리량을 계산해내는 능력에 모두 관계되기 때문이다. 하지만 최소한, 주어진 상황 자체를 이해하고 그로부터 방정식을 이끌어내는 것 까지를 키워줄 수 있다면 물리 문제를 풀 때 느껴지는 체감 난이도가 훨씬 쉬워지지 않을까? 적분 자체가 불가능하더라도, 무슨 식을 적분하면 된다는 것 까지만 알아내더라도 주어진 물리 문제를 상당히 많이 풀어낸 것이라고 볼 수 있기 때문이다.
물리적으로 주어진 상황을 이해하려면 고급의 상상력이 필요하다. 이것은 아무리 쉬운 역학 문제를 해결하더라도 마찬가지이다. 어떤 물체의 움직임을 기술하고 싶으면 그 물체에 작용하는 힘을 상상해야 하는데, 힘이라는 벡터는 사실 눈에 보이지 않지만 우린 그 물체의 특정한 점에서 시작하는 화살표를 상상해야만 하는 것이다. 이러한 벡터를 상상할 수 있는 능력은 처음에 물리를 배울 때 가장 쉽게 만들어질 수 있고, 또한 처음 배울 때가 아니면 상당히 어렵게 된다. 파인만이 수식을 그림으로 연관지어 그린 것이 아무나 할 수 있어 보이지만 그때까지 아무도 못했다는 것을 생각해 보기를 바란다. 아주 단순한 것이 가장 어려운 법이다. 만일 이런식으로 힘을 벡터를 통해서 이해하는 것이 가능하게 된다면, 그 다음부터 역학적인 상황을 상상하고 그 다음의 물체들이 어떻게 움직이게 되는지 상상하는 것은 쉬운 일일 것이다.
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벡터에 대한 상상력을 키우게 되면, 그 다음에 전자기학을 공부할 때 벡터가 아주 많이 나오는 전기장 등의 벡터 장을 상상할 수 있게 된다. 또한 열역학을 공부할 때 수많은 입자들의 운동을 상상할 수 있게 된다. 이러한 벡터에 대한 상상력으로부터 나오는 수많은 물리적 상황의 연관성을 생각해 볼 때, 물리를 공부하는데 있어서 상상력은 꼭 필요한 것이라 할 수 있겠다. 또한, 물리가 어렵다고 생각하는 것은 상황이 상상되지 않기 때문이기도 하므로, 상상력을 키우는 것이 물리를 쉽게 접근하는데 도움이 될 것이다.
*원래 생각했던 것과 다른 방향으로 글이 엇나가 버렸다.
아무튼, 수학을 공부하는 일반적인 이론을 말해줄 수는 있으니까.
수학이라는 건 사고력, 논리력, 추리력을 위한 학문인데말이지.
자, 중요한건 수능에 나오는 수학 문제들은 “쉽다”는 거다.
기본적으로 아이큐 테스트에 가까울 정도로 쉬운 문제들이 출제되니까, 절대 겁먹지 말고 차분하게 풀어나가면 된다. 수능 수학 문제는 그리고 단원별로 나오는 문제가 거의 정해져 있으니까, 그런 문제들을 연습해서 실수하지 않도록 하고.
실전에서,
1.전에 분명히 풀어서 맞췄고, 어떻게 풀었는지 기억 난다 – 실수하지 않도록 차분히, 그리고 빠르게 푼다
2.전에 풀어서 맞았던 문제인데 어떻게 풀었는지 기억이 안난다 – 분명히 아는 문제다. 답이 어떤 형태였는지 생각해 보고, 답을 문제에 대입해 본다.
3.보긴 봤었는데 틀렸던 문제다 – 문제를 차분히 읽고, 문제를 일단 “이해”한 후에, 답의 유형을 보고 어떻게 풀어야 할지 추측한다. 그리고 직관적으로 답이 어떤 것일지 생각하고, 빠르게 계산해 본다. 답이 어떤 것이었는지 기억난다면, 비슷한 방법으로 전체 계산 과정을 추정해서 써본다.
4.본적도 없다 – 답은 문제 안에 있다. 절대 잊지 말하야 할 것은, 1번부터 5번 안에 답이 분명히 있다는 사실이고, 이 문제는 주어진 조건만으로 풀 수 있다는 것이다. 문제 자체를 이해한 후, 찾아야 할 것이 무엇인지 생각한다. 그리고 이런 문제를 만났을 때 절대로 당황해서는 안된다. 시간이 오래 걸릴 뿐 풀 수 있는 문제다.
1번 유형을 먼저 풀고, 나머지는 일단 제껴둔다. 그리고 남은 문제들 중에서 2번 유형을 풀고, 다시 3번과 4번 유형의 순서로 문제를 풀어 나가면 된다.
왜냐하면 문제를 순서대로 풀다가 3번이나 4번 유형에서 막혀서 시간을 다 써버리면 맞출 수 있는 1, 2번 문제들에 투자할 시간이 없기 때문이다.
흥미로운 것은, 학원에 가보면 답을 문제에 대입해서 푸는것이 무슨 문제 푸는 비법인것 처럼 광고하는데, 이건 가능하면 얼마든지 써먹어도 되는 정당한 것이다. 수학은 정답인 것을 증명하기만 하면 되지 정해진 길로 가야 하는 학문이 아니다. 5개중에 답이 있다고 전제하면, 당연히 답을 알고 문제를 푸는 것이 된다.
수학 공부를 잘하는 방법은, 기본적으로 교과서다. 절대 암기해서는 안된다. 암기하려고 들면 너무나 많은 공식에 짓눌려서 다른 공부를 할 수가 없다.
고등학교 수학 교과서 내용의 한 단원마다, 무엇을 배웠는지 생각해 보고, 그 단원에서 배운것을 이용해서 어떤 것들을 해결할 수 있는지 생각해 보자.
수능에 나오는 문제는 거의 대부분이 학교에서 이미 배운 것들을 이용해서 푸는 것이므로, 원래 고등학생이라면 전부 풀 수 있어야 하는 문제들만 나오는 것이다.
내용을 이해하고, 모르는건 무조건 선생님이나 다른 잘하는 친구에게 물어보고 이해 될까지 캐 물어라.
수학 공부를 할 때는 시간에 ?기면서 문제를 푸는 것이 아니므로, 책과 노트를 뒤져가면서 천천히 풀어라.
단, 풀면서 풀이 과정을 다른 노트에 적으면 대단히 도움이 된다. 이런식으로 공부하면 맞춘 문제는 다음에 다시 공부할 때 새롭게 생각할 필요 없이 노트를 참고해서 풀면 되고 틀린 문제는 풀이과정의 어느 단계에서부터 틀리기 시작했는지 알 수 있으므로 실력 향상에 도움이 된다.
수학 문제를 보고, 우선 교과서 어느 단원을 봐야 그 문제에 관한 내용이 있을지 생각해 보는 것도 좋다. 그런 후, 문제에 나온 단어들의 뜻을 자신이 다 알고 있는지 점검해 보고, 문제가 잘 이해되는지 생각해 본다.
문제가 잘 이해되지 않는다면 다른 사람에게 물어봐서 꼭 이해를 한 후에 문제를 풀도록 한다.
30분 이상 생각했는데 답이 나오지 않는다면 해답을 보고 다시한번 풀어본다.
점수를 높이려고 노력하지 말고, 우선 문제를 풀 때 실수하지 않고 깊이 생각하는 습관을 먼저 들이고 나서, 문제 푸는 것을 연습한다. 문제 푸는 것을 연습해서 푸는 속도를 높이고, 이때 생각하는 전개를 건너뛰지 않고 빠르게 생각해야 한다.
즉, 문제를 풀 때 5개의 단계가 필요하다면 5개의 단계를 건너뛰어서 3개의 단계로 만들지 말고, 5개의 단계로 생각하는 습관을 들이되 그 생각하는 속도를 빠르게 하는 연습이 필요하다는 것이다.
그런 습관을 들이고 나면 깊이 생각하면서 빠르게 문제를 풀 수 있으므로 수학공부를 많이 하지 않더라도 기본적인 점수가 나오고 긴장하면 좀 더 높은 점수를 얻을 수 있는 밑바탕이 생긴다.
만약 절대적으로 시간이 모자란 상태에서 공부를 해야 한다면, 문제를 외우고 답을 외워라.
(별로 권하지는 않겠다… 평소에 공부를 안했다가 벼락치기로 해야 하는 경우에만 사용해야 한다.)
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이 글은 2005년에 고3이었던 어떤 후배에게 보내준 이메일을 복사해 온 것이다.
재수생들이 보기엔 좀 어색할지도 모르겠다.
상대방의 장점을 칭찬하여 기분 좋게 만들고, 단점은 혼자 알고 있자.
그것이 그를 이용하는데 더 좋을 것이다.
구슬 45개를 한 줄로 늘어놓았다.
구슬의 가격은 가운데 있는 것이 가장 싸고
가운데에서 한쪽 끝으로 갈수록 20원씩 비싸지고
가운데에서 다른 한쪽 끝으로 갈수록 15원이 비싸진다고 한다.
구슬 전체의 가격이 10205원일 때 가운데 있는 구슬의 가격을 구하여라.
자. 풀어보자.
vs
나이는 10대, 연봉은 당신의 10배!
http://news.chosun.com/site/data/html_dir/2007/09/13/2007091301151.html
뭐, 보도 매체가 한계레 신문과 조선일보라는 건 잠시 접어두고, 양쪽 기사에 나온 주인공들을 비교해보자.
10대와 20대.
고딩과 대딩.
투자자와 사업자.
대박과 쪽박.
근데 왜 한쪽은 대단해 보이고 한쪽은 허접해 보일까.
(에. 무작정 10대때 도전하라든가, 미국이라 멋지다든가, 이런 얘기를 하자는 건 아니다)