위 등식이 성립하는가에 대한 논의는 너무 많이 이루어져 왔다.

수학에서 두 수가 같은지 판단하려면 빼서 0이 되는지 살펴보면 된다. 양변에서 0.99999…를 빼 보자.

0.0….1 = 0

물론 …사이에는 0이 무한히 많이 들어가 있다. 사실 1이 언젠가 나오기는 할까? 결코 인간은 1을 구경할 수 없다.

이것은 “극한”의 개념에 대한 이해와 관련되어 있다. 인간은 무한을 상상조차 하지 못하기 때문에 논리라고 하는 갑옷 속에서만 그것을 다뤄볼 수 있다. 마치, 우주에 맨몸으로 나갈 수 없기 때문에 우주복을 입어야 하는 것과 비슷하다.

다음과 같은 수열을 생각해 보자.

0.1

0.01

0.001

0.0001

…

이 수열의 규칙은 (내가 그렇게 하기로 결정하였으므로) n번째 항은 1을 10으로 n번 나눈 값이라고 한다.

이 수열은 0이 되는가? 알다시피, 이 수열은 어떠한 정수 n에 대해서도 0이 되지 않는다. n을 아무리 큰 값을 가지고 오더라도 결코 0이 되지 않는다. 하지만, 우리는 이 수열이 n이 커짐에 따라 0에 점점 가까워 지고 있다는 사실을 알 수 있다. 하지만 그것이 과연 모든 정수 n에 대해서 정말 그렇게 되는지 전부 조사해 볼 수도 없다. 10억보다 작은 n에 대해서는 그렇다고 말할 수 있다. 하지만 100억보다 작은 n에 대해서는? 100억보다 작은 n에 대해서도 물론 성립한다. 하지만 그렇다고 그것이 1000억보다 작은 n에 대해서 이 수열이 점점 0에 가까워 지고 있다는 것을 보증해 주지는 못한다. 조사해 보기 전에는 알 수 없는 것이다.

이러한 문제를 해결하기 위해서 수학자들은 “극한”이라는 개념을 만들고, “수렴성”에 대해서 일반적으로 사용할 수 있는 방식으로 정의하였다.

임의의 양의 실수 d에 대해서, 어떤 숫자 N이 존재하여 n>N이기만 하면 |a(n)-a|

저기서 나온 작대기 두개는 절대값 기호다. 즉, 아무 숫자라도 좋으니, 아무거나 갖고 오라는 거다. d로서 어떤 숫자를 제시하더라도 정수 N을 제시할 수 있어서, N번째 항 이후의 모든 항이 특정한 값인 a에 d만큼의 거리보다는 가깝게 있도록 할 수 있다는 뜻이다. 여기서 d는 양의 실수이다. 0이 아니다. 아무리 작아도 좋고 아무리 커도 좋다. d를 0.000000000000000000000000000000001421로 잡아보자. 난 N을 40을 제시할 수 있다. 더 작은 값을 갖고 와도 좋다.

즉, 이 수열은 0으로 수렴한다.

수식에 무한대 기호가 등장한다면, 그 기호는 무한대 그 자체를 의미하는 경우는 거의 없다. 무한대 기호는 대부분의 경우 “일단 계산부터 하고, 나중에 무한대에 해당하는 n을 무한히 커지는 극한으로 보내서 계산을 완료한다”는 뜻이다.

다시, 원래의 문제로 돌아와 보자.

0.9999… = 1

위의 등식이 틀렸다고 주장하는 사람들은 좌변과 우변 사이에 0이 아닌 차이가 있어야 함을 증명해야 한다. 그런데, 양 변의 차이가 0인지 어떤지는 모르겠지만, 0이 아닌 그 어떠한 숫자를 갖고 와서 그 차이와 비교하더라도 그 숫자보다 더 작다.

즉, 좌변에서 우변을 뺀 값의 크기는, 0이 아닌 양의 실수 중 아무거나 (작거나, 크거나, 어떻든) 갖고 와서 비교하도라도 항상 그 실수보다는 작다. “아무거나” 적용해도 성립한다는 것은, “모든” 수에 대해서 성립한다는 뜻과 같고 (아니라고 생각하는가?) 그 크기(절대값)를 비교했을 때, 0이 가장 작은 수가 된다. 만약 0이 아닌 다른 수가 온다면, 그 수와 0의 사이에는 항상 다른 수가 있어서 그보다 더 작은 수를 만들어 낼 수 있기 때문에 가장 작은 수가 되지 않는다.

좌변과 우변의 차이는 0이어야만 하는 것이다.

좌변에서 우변의 차이를 계산했는데 0이 나왔다면, 우리는 그 두 수를 “같다”라고 생각한다. 다른 것은 표현 방식일 뿐이다.

실리콘이랑 게르마늄의 mobility가 알루미늄보다 더 높다. (수백배)

어쩌지? -_-;

나는 설마 새로운 발견을 한 것이 아닐거야.

일단 알루미늄의 mobility를 계산해 보자.

conductivity = mobility * number density * electric charge

이렇게 주어진다. conductivity는 3.358x$10^7$S/m이다. 여기서 S는 siemens로, 전기 흐름의 단위라고 한다. 알루미늄의 number density를 알려면, 일단 matter density를 알아야 하는데, 그건 위키백과를 찾아보면 2.7g/$cm^3$이라고 되어 있다. 다시말해서, 1세제곱 센치미터의 부피 안에 2.7그램이 들어가 있다는 뜻이다. 알루미늄은 원자량이 대략 27이니까, 27그램을 모으면 1몰의 원자가 있다는 뜻이다. 2.7그램에는 물론 0.1몰 만큼의 원자가 존재한다. 여기서, conductivity는 미터로 주어져 있으니까 알루미늄의 number density도 미터 단위로 바꾸자. cm를 m으로 바꿀 때는 100을 곱하면 되고, 세제곱이니까 1000000을 분자와 분모에 곱하면 된다. 따라서 1세제곱미터의 부피 안에는 2700000그램이 들어가 있다. 그리고 MKS단위에서는 g을 kg으로 바꾸게 되니까 분자를 1000으로 나눈다. 즉, 1세제곱미터 부피 안에는 2700kg의 알루미늄이 들어간다. 2.7톤이네. electric charge는 1.6x$10^{-19}$C이다.

이제 mobility는 간단한 산수로 알아낼 수 있다.

mobility = 3.358 *1000000 *10000000000000000000/ (2700 * 1.6 * 6.025 * 100000000000000000000000)=


0.0129014907

그렇다. 1.3x$10^{-2}$이다.

내가 비교하고자 하는 반도체 물질은 4x$10^{-7}$ 이 된다. 이 계산상으로는 대략, 알루미늄의 전자 이동도가 30000배정도 높다.

이제 일반적인 반도체인 실리콘과 게르마늄을 찾아보자.

위키백과를 보면, 실리콘의 conductivity가 주어져 있다. 대략 0.001S/m이 된다. 이 값은 알루미늄의 1000000000분의 1 정도 되는 값이다.


http://www.ioffe.rssi.ru/SVA/NSM/Semicond/Si/electric.html

여기를 보면 실리콘의 mobility가 주어져 있는데, 대략 1000정도 되는 값이다. MKS로 바꾸면 0.1이 된다. 즉, 이 값만 보면 알루미늄보다 10배 크다.

뭔가 이상하다.

알루미늄의 mobility를 다시 계산해 보았다. 이 계산은 재료공학 전공인 소인배 님의 지원을 받아서 이루어졌다.



mobility = 3.358E7/(1.6E-19*10E6*(2.7/27)*6.02E23)


=


0.000348629568



이 값은 내가 계산한 것 보다 100배 더 작은 값이다. 설마…

내가 비교하려는 물질의 conductivity를 직접 찾아보는 수 밖에 없을 것 같다.

(이 글은 미스테리가 풀림에 따라 계속 추가됩니다…)

너무 바빠서 대답을 생각할 틈이 없었다. 답변의 제 1단계는 질문을 이해하는 것이다.

일단 빛의 속력보다 빠른 “물질”은 존재하지 않는다. 이때, 존재한다는 단어의 뜻을 정확히 이해했으면 좋겠다. 물리학적인 관점에서 볼 때, 우리 우주에 존재한다는 말의 의미는 관찰 가능하다는 뜻이다. 또한, 관찰 가능하다는 말의 뜻은 상호작용이 가능하다는 뜻이다. 적어도 우리가 지금까지 알고 있는 물리학 법칙에 의하면, 빛보다 빠른 속력으로 움직이는 것은 우리가 일반적으로 알고 있는 “물질”과 상호작용할 수가 없다. 왜냐하면, 4가지 기본 상호작용인 중력, 강한 상호작용, 약한 상호작용, 전자기력을 전달하는 입자들이 모두 빛의 속력과 같거나 더 느린 속력으로 움직이기 때문이다. 중력과 전자기력과 강한 상호작용은 빛의 속력으로 전달되는 것이 확인되었고, 약한 상호작용은 그보다 느리다.

즉, 빛의 속력보다 빠른 물질이 “존재”하기 위해서는 우선 관찰할 수 있는 방법이 있어야 하고, 관찰할 수 있는 방법은 우리가 이미 알고 있는 4가지 상호작용이 아닌 새로운 상호작용을 도입해야만 한다. 이것은 초끈 이론의 완전한 이해만큼이나 어렵거나, 또는 그보다 훨씬 더 어려울 것이라고 생각한다. (내 개인적인 의견이다. 뭐…더 쉬울수도 있지만.)

또한, 빛의 속력보다 빠른 물질이 존재한다면 그 물질은 우리가 관찰하기 이전에 이미 이 우주를 빠져나갔을 것이다. 왜냐하면, 우리가 관찰할 수 있는 우주의 크기는 대략 150억광년 정도의 크기이고, 아무리 오래 살아남은 빛이라 하더라도 150억년 이상 달릴 수는 없었을 것이다. 즉, 우리가 관찰 가능한 그 어떤 것도 150억광년보다는 안쪽에 있다. 그런데 빛의 속력보다 빠른 물질은 150억년동안 달렸을 때 150억광년보다 더 멀리 갈 수 있다. 따라서 우주 초기에 존재했던 그런 물질은 이미 우리가 관찰할 수 있는 우주보다 바깥에 있다. 만약 그런 물질이 비교적 최근에 생성되었다 하더라도, 그 물질을 관찰하기 위해서 우리가 사용할 수 있는 수단이 없다. 지구 근처에는 없을 것이다. (있으면 관찰 했겠지…) 그럼 그 물질을 관찰하려면 빛을 이용해서 보는 수밖에 없는데, 빛보다 빠른 것을 빛으로 볼 수는 없다. 왜 그런지는 각자 생각해 보자.

두번째로, 빛의 속력보다 빠르게 달려가면 도플러 효과에 의해서 아무것도 볼 수 없다. 빛을 마주보면서 빛의 속력으로 달린다면 빛의 진동수가 무한대가 된다/. 반대로 빛과 같은 방향으로 달려가는데 빛의 속력으로 달려간다면 내가 보는 빛의 진동수가 0이 된다. 어떤 경우든지 아무것도 보이지 않을 것이다.

만약 빛의 속력보다 빠르게 된다면 진동수 부분에 허수가 나오게 된다. 진동수는 전자기파의 방정식에서 대략 다음과 같은 방식으로 포함되어 있다.

$E(x,t)=E(x)e^{ift}$

여기서 E는 전기장의 크기, x는 위치, t는 시간, i는 허수 단위(-1의 제곱근), f는 진동수이다.

만약 f에 허수가 들어간다면, 지수에 i가 두번 들어가므로 지수에 실수가 나오게 된다. 이 경우, 지수함수는 시간이 지날수록 기하급수적으로 증가하거나, 기하급수적으로 감소한다. 이 식은 전기장의 크기를 말하고, 이것은 빛의 밝기와 연관이 있다. 따라서 빛의 밝기가 시간이 지날수록 무한대로 밝아지거나, 무한히 어두워질 것이다. 빛의 밝기가 무한히 어두워진다면 우리는 캄캄한 장면만을 볼 수밖에 없다. 빛의 밝기가 무한히 밝아진다면 모든 빛이 감마선보다 더 짧은 파장의 빛이 되어버릴테니 여전히 아무것도 보이지 않는다. (우리 눈은 우리 눈에 보이는 것만을 볼 수 있다.)

세번째로, 타임머신의 구현 원리는 빛의 속력보다 빠르게 달려가는 것이 아니다.


http://ask.nate.com/qna/view.html?n=6128960


킵 손 교수가 제안한 원리는 웜홀을 통과할 때는 시간이 흐르지 않는다는 것을 이용한다. 즉, “나의 미래”를 “세계의 과거”에 연결시키는 것이다. 나 자신은 빛의 속력보다 빠르지 않다.

네번째로, 타임머신은 시간여행을 할 때 과거를 비디오테이프처럼 거꾸로 가는 것이 아니라 CD처럼 건너 뛰어버린다.

비디오테이프처럼 거꾸로 가는 것은 우리가 “반물질”이라고 부르는 것들이다. 반물질은 우리가 관찰할 때는 미래로 가는 것 처럼 보인다. 하지만 반물질의 행동을 설명하기 위해서는 반물질이 시간을 거꾸로 흘러가는 물질이라고 가정하는 것이 더 편하다.

질문은 댓글로, 언제나 환영한다.

1g에 100만원 정도 한다고 하는데, 거의 다 떨어져서 이번에 새로 한병 더 산다고 한다.

한병에 1g 들어있다. -_-;

환율도 오르고 물가도 올라서 1g에 200만원정도 한다고 하더라.

무려, 1mg에 천원이다.

핀셋으로 먼지만한 분량을 집어서 병에 옮겨 담으면 그게 몇 만원어치 된다.

에어컨 바람에 날아가는 먼지를 공중에서 핀셋으로 잡아 본 사람이 아니면 말을 말어…

수 만원이 그냥 날아가 버리는 사태가 벌어진다.

다 쓰고 나면 병에 티끌들이 남아 있는데, 그것만 다 모아도 만원어치는 될 거다. 아깝다. -_-;

이번에 실험하면서 내가 쓴 것만 50만원어치는 될 듯.

그나저나…

화학 카테고리를 만들어야 하나…;;