계산은 나중에…
1. 지구에서 달까지 구리로 된 동축 케이블로 전선을 설치할 수 있을까?
2. 지구에서 달까지 동축 케이블로 전력을 전달하면 전력 손실은 몇 %나 될까?
3. 사람이 걸어갈 때, 팔을 휘두르는 것과 휘두르지 않는 것 사이의 에너지 효율 차이는 얼마나 될까?
4. 사람이 걸어갈 때, 무게중심은 수직으로 몇 cm나 이동할까?
학생마다 번호가 붙어있는데, 생일 순서였던가, 나는 19번이었다.
시험을 다 보고, 집에 가려고 하는데 담임이 나를 부른다. 왜…
교무실로 가서 왜 그러시냐고 물어봤더니, 나에게 컨닝의 의혹이 있다고 말씀하신다. 내가 뭘 어쨌길래…-_-
그래서 보니까, 수학 과목 답안지를 보여주신다. 19번인 내 답안지와, 20번인 어떤 친구의 답안지를 비교해 보라고 하셨다. 그래서 나도 봤다. 눈앞에는 믿을 수 없는 광경이 펼쳐져 있었다. 객관식 답안은 물론이고, 주관식 답안이 숫자까지 모두 똑같이 적혀 있었던 것이다. 이건 뭐 아니라고 해도 발뺌할 수 없는 상황. 누가 뭐래도 베껴쓴 것이 아니면 있을 수 없는 일이었다.
하지만 나는 선생님을 끌고서 우리반 교실로 돌아왔다. 좌석 배치를 보시라고…
나는 19번이었고, 가장 뒷자리였다. 그리고 20번인 친구의 자리는 가장 앞줄…
가장 뒤에서 가장 앞을 볼 수 있다면, 난 안경을 쓰지도 않았을 거다. 왜쓰나…
그리고 옆자리나 앞자리 친구들 답안을 봐도 충분한데 굳이 저 앞을 봐야 하는 이유는 무엇인가.
반대로, 20번인 친구가 내 답안을 봤다는건 정말 말도 안된다. 만약 그랬다면 그건 감독해던 선생님이 일을 안했다는 건데, 그런 상황이라면 나뿐만 아니라 모든 애들이 다른 친구의 답안을 전부 베껴썼겠지…
그래서 나는 의혹을 벗었다.
다행이었던 건, 중간고사 시험보기 1달쯤 전에 우리반에 학생이 하나가 전학을 와서 자리가 한칸씩 밀렸다는 점이다. 19번인 나와 20번인 그 친구는 그렇게 헤어졌었고, 우린 답을 똑같이 썼다.
틀린 부분까지 같았으니, 나랑 그 친구는 참 절친이었던 것 같다고 오해할 수도 있지만, 나랑 다른 친구랑 절친이었고, 그 친구도 그 다른 친구랑 절친이었을 뿐, 나랑 그 친구는 매우매우 절친은 아니었다. 그냥 친한 반 친구정도랄까.
그 친구, 지금 뭐하려나…
사족
고등학교때는 사실 더 황당한 일이 있었다. 수학시험을 항상 50점 밑으로 받는 친구가 있었는데, 나중에 채점을 하더니 자기가 채점한것보다 답안지 채점 결과가 한문제 더 맞은걸로 나왔다고 한 것이다. 그래서 확인을 했는데…
객관식도 아니고, 주관식을 찍어서 맞춘 것이었다. 대략 기억나는 그때의 답은 “53.123”인듯 싶다. 소숫점 포함해서 6개의 문자를 찍어서 맞춘 그 친구는 참 대단한 것 같다. 하지만 차라리 로또를 샀었어야… (그땐 로또가 없었던 것 같다.)
그때의 행복해 하던 그 친구의 표정은 아직도 잊혀지질 않는다.
사족2
고등학교때는 사실 전설도 전해진다. 고2때 들은 얘긴데, 고3 선배들 중에 전교 1등이 있는 반에서 모의고사를 보는데, 반 학생들 전원이 짜고서 컨닝을 했었던 것이다. 초치기 테크닉을 썼다고 들었다. 너무나 완벽해서 절대로 들키지 않을 거라고 생각했던 그 선배들의 컨닝은 너무나 완벽했기에 걸렸다.
컨닝이 아니라면 40명 학생 전원의 시험지가 동시에 페이지를 넘어갈 수는 없었기 때문에…-_-;
감독하던 선생님이 일제히 시험지 넘어가는 소리를 듣고 의심하지 않기란 힘든 일이다.
아이들아…
…일단 “옷”을 만들어야 하지 않겠니…-_-;
홍준표 아저씨가 성상납 받은 사람들을 철저히 조사해야 한다고 했다.
솔선수범하는 자세에서, 한나라당부터 먼지를 털어 보자.
한나라당이 성상납 받은적이 없다면 당연히 한나라당 지지자가 많아지겠지. 그럼 홍준표 아저씨에겐 좋은거 아닌가?
그럼 남자 연예인들은 어떻게 뜨는거지…
불성실한 경우
구제금융 :200조원
보너스 : 2000억원
성실한 경우
구제금융 : 2000000억원
보너스 : 2000억원
뉴스 단체에게 – 문맥이나 정확한 비교 없이 큰 숫자를 쓰는걸 멈추시오. 백만과 십억의 차이는 “와인 한모금을 마신 나하고 당신의 딸과 함께한 30초”와 “한병의 독한 술과 당신 딸이랑 하룻밤 보내는 것” 사이의 차이이다.
중성미자는 질량이 아주아주 작다. 전자의 수십만분의 1 정도가 되지 않을까 하는 추정을 하고 있고, 아직도 그 질량이 관찰되지 않고 있다.
물론 그 질량이 0은 아니라는 확실한 물증이 있기 때문에 질량을 관측하기 위해 과학자들이 실험을 하고 있다.
다른 입자는 질량이 매우 크다. 가령, 기본 입자인 쿼크의 한 종류인 t쿼크는 170GeV이다. 중성미자랑 비교하면, 대략
1000000000000000배 정도 무거운 것이다. 이것까진 그냥 관찰된 사실이 그렇다는 거니까, “아, 그래?”하고 넘어가면 된다.
그냥 넘어가면 그건 그냥 일반인이고, 과학자들은 대체 왜 이렇게 차이가 나는지 궁금해 하고 있다.
잘 알다시피, 질량은 중력과 상호작용하는 크기를 나타낸다. 전하량이 전자기력과 상호작용하는 크기를 나타내고, 색전하량이 강한 상호작용과
상호작용하는 크기를 나타내듯이. 그런데, 중력과 다른 세가지 힘은 결정적인 차이가 있다. 전하량은 양자화 되어 있다. 즉, 정해진 값이 아니면
존재하지 않는다. 이것은 강한 상호작용이나 약한 상호작용에 해당하는 전하량에도 마찬가지이다. 그런데 중력은 그렇지가 않다.
http://www.cpepweb.org/cpep_sm_large.html
여길 보면 입자들의 질량을 확인할 수 있다. 질량=에너지이다. 그리고 양자역학에 따르면 모든 물리량은 양자화 되어 있다. 즉, 정해진 값만
가질 수 있다. 그런데 질량은 그런것 같아 보이지 않는다.
전자기력과 상호작용하는 전하량은 어떤 입자든지 크기가 별로 차이가 없다. 0, 1, 1/3, 2/3. 입자마다 전하량이 조금씩 다르긴
하지만, 전자를 기준으로 해서 보면 별로 크게 차이가 나지 않는다.
강한 상호작용의 색전하량도 0 아니면 +1, -1으로 통일되어 있고, 약한 상호작용 역시 +1, 0, -1밖에 없다.
그런데 중력만 1000000000000000배라고 하는, 무지막지하게 큰 차이가 난다는 점이다. 어디에 기준을 두더라도 너무 질량이 큰
입자가 있든가, 너무 질량이 작은 입자가 생겨버린다.
입자물리학의 표준 모형에서 질량을 설명하는 방법은 힉스 입자와의 상호작용을 이용한다. 즉, 힉스 입자와의 상호작용의 크기가 질량을
결정한다는 것이다. 여기서 중성미자의 질량이 작은 이유만 설명하면 되는데, 많은 과학자들은 “시소 과정(See-saw mechanism)”이라는
아이디어를 사용해서 설명한다. (완전히 검증되지는 않았다.)
시소 과정이란, 표준 모형을 아주 약간 확장해서 오른손잡이 중성미자가 존재한다고 가정하는 것이다.
표준 모형에서는, 우주에 있는 중성미자는 전부 왼손잡이다. (그냥 그러려니 하자.) 그리고 오른손잡이 중성미자가 아주아주아주 무겁다고
가정하는 것이다. 그냥 다른 쿼크들보다 1000000000000000배 정도.
그리고, 가정을 하나 더 넣는다. 모든 입자가 왼손잡이 입자와 오른손잡이 입자가 있는데, 두 입자의 질량을 곱하면 다 같다고 하는 거다.
즉, 질량 자체는 다를 수 있어도 양손의 질량을 곱하면 같다고 하는, 그런 대칭성을 가정하자는 얘기다.
이제 수수께끼는 풀렸다. 한쪽이 워낙에 무겁다보니, 다른쪽이 워낙에 가벼워질수밖에 없는 것이다.
하지만 여전히 수수께끼인건…
이러한 가설들은, 모두 힉스 입자가 존재한다는 가정을 바탕으로 구성된 얘기들이라 힉스 입자가 발견되지 않는 한 실험적으로 완전히 증명되기는
어렵다는 점이다.
LHC나 FermiLab같은 대형 입자 가속기를 가진 연구소에서 실험을 통해 힉스 입자를 찾아낸다고 하니, 조만간 진실이 밝혀지기를 기대해
본다.
어쨌든, 분배함수에서 에너지의 평균값을 불러오면 된다.
이때, 에너지는 어떤 숫자의 제곱 형태로 표현된다고 하자. 즉, x라는 변수(위치, 속력, 각속도, 기타 등등…)의 제곱이 에너지에 들어가 있다. 운동에너지가 대표적으로 그렇게 표현된다.
$Z=\int_\infty^\infty exp(-\beta A x^2)dx$
대충 그렇다 치고, 그렇게 되면 적분은 쉬워진다. 열심히 적분을 하면 (이 적분의 계산에 대해 궁금한 사람은 댓글로 질문을 남기기 바란다.)
$Z=\sqrt{\frac{\pi}{A\beta}$
이렇게 된다. (신기한 적분의 세계다…원주율이 왜 나왔을까요? ㅋㅋ)
이제, 로그 취하고 미분하자. 이때 E는 x라는 변수에 관한 에너지이다.
$
툭 튀어나왔다. 즉, 변수 x에 대한 에너지는 $\frac{1}{2}kT$로 주어진다. x가 여러개 있으면 에너지의 종류도 그만큼 여러개 있는 거고, 각각이 $\frac{1}{2}kT$만큼의 에너지를 갖고 있으므로 n개의 변수가 있으면 $\frac{n}{2}kT$이 된다. 물론 변수의 수는 주어진 문제를 풀기 위해 필요한 변수의 수가 될 것이고, 따라서 문제를 풀어야 하는 계의 자유도가 된다.
잘 째려보자. 저건 그냥 확률을 다 더한 값이다. 그리고 에너지가 들어가 있다.
i번째 상태에 해당하는 어떤 물리량 $a_i$가 있다고 해 보자. 그럼 $a_i$의 평균은 확률을 곱해서 다 더하면 된다.
$=\sum P(i)a_i$
그런데
$P(i)=exp(-\beta E_i)/Z$
라고 했다. 따라서
$=\sum exp(-\beta E_i)a_i/Z$
이렇게 된다.
아직 감이 잘 안온다. 에너지의 평균값을 구해보자.
$
흠…뭐지?
아주 잘 째려보면, 다음과 같이 써도 된다는 걸 알 수 있다.
$
잘 이해가 안되면 직접 Z를 대입해서 미분해 보면 된다.
에너지의 분산도 구할 수 있다. 그냥 한번 더 미분하면 된다.
$<\Delta E^2>=\frac{\partial^2 ln(Z)}{\partial^2 \beta}$
열용량은 온도 변화에 따른 에너지의 변화율이므로 온도로 미분하면 된다 온도는 $T=1/(k\beta)$ 로 표시된다.
$C=\frac{\partial
그 유명한 엔트로피도 여기서 구할 수 있다.
$S=\frac{\partial}{\partial T}(kT*ln(Z))$
즉, 분배함수만 알면 열역학에서 쓰는 거의 모든 종류의 값들을 다 알아낼 수 있다는 것이다.
따라서 마법과 같은 함수가 된다.
이제, 아주 많은 $(k_1, k_2, k_3, …, k_N)$의 가능한 경우 중에서, 어떤 것이 W가 가장 큰 경우일지 알아내야 한다. 이걸 알아내는 것은 중요하다. 왜냐하면, 그것이 바로 가장 그럴듯하게 있을 법한 경우이기 때문이다. 예를 들어 보자. 호텔에 방이 아주 많이 있다. 1층부터 10층까지 있다고 하자. 여기에 100명의 손님이 왔다. 각 층마다 몇명씩 들어가 있는 것이 자주 발생할까? 가장 자주 발생하는 경우가 가장 자주 발견되지 않을까?
가령, 각 층마다 몇명씩 들어가 있는, 그런 가능한 경우의 수가 모두 100만개라고 하자. 그런데 1억번을 관찰했는데, 1억번중에서 9천만번이 어떤 1개 상태만 관찰되었다면, 바로 그 상태가 가장 자주 발생하는 상태라고 할 수 있지 않을까?
이부분을 정확히 이해해야 한다. 통계 역학의 가장 기본이기 때문이다.
주사위가 1개 면은 1이 써있고, 5개 면은 2가 써 있다고 하자. 이 주사위는 많이 던져도 대부분 2가 나올 것이다. 물론 1/6의 확률로 1이 나오겠지만. 아무튼, 전체 가능한 6가지 경우 중에서 2는 5가지 경우를 차지하고 있다. 바로 이것이다. 모든 가능한 W의 경우 중에서, 가장 경우의 수가 많은 상태 배치가 가장 자주 발견되는 경우이고, 실제로 물리 현상에서는 오직 그 경우밖에 관찰되지 않는다. 숫자가 워낙 크기 때문이다.
하지만 W는 너무 크다. W는 진짜로 엄청나게 큰데, n에다가 100000정도의 수를 넣으면, W는 대략 40만 자리수의 수가 된다. 하물며, 실제 세계의 입자 수는 10000000000000000000000개보다 훨씬 많다. 이 경우 W는 5000000000000000000000자리의 수가 된다. 5000000000000000000000도 아니라, 5000000000000000000000개의 숫자를 쓰는 수다. 컴퓨터에 저장해볼 수도 없다. 실제 세계를 표현하려면 그보다 더 큰 숫자가 필요하다. 따라서 W를 직접 계산하는건 어떻게 시도해볼 수도 없다. 그래서 사람들은 로그 함수를 사용한다. W가 최대값인 경우는 W의 로그값도 최대가 된다. (의심가면 직접 증명해볼 수도 있다.)
W의 로그값을 최대로 만드는, 그런 상태 배치를 찾아내는 것이 관건이라는 것이다. 그런데 문제는 제한조건이다. 그래서 경우의 수를 바꾸지 않으면서 제한조건을 넣는 방법을 생각해 보자.
$f(k_1, k_2, …, k_N)=ln(W)+\alpha(n-\sum k_i)+ \beta(E-\sum k_i E_i)$
여기서 $\alpha$하고 $\beta$는 그냥 숫자다. n은 알다시피 전체 입자의 수이고 $k_i$는 i번째 상태에 들어가 있는 입자의 수를 나타낸다. E는 전체 에너지의 크기이고, $E_i$는 i번째 상태에 입자가 들어갔을 때, 그 입자가 갖게 되는 에너지의 크기이다. 잘 생각해 보면, 전체 입자 수에서 각각의 입자 수를 모두 더한 것을 뺐으니 0이 되고, 전체 에너지에서 각각의 상태에 들어간 에너지를 뺐으니 역시 0이 된다. 따라서 어떤 함수 함수 f의 크기는 변하지 않았다. 우리는 그냥 0을 더했을 뿐이다.
그리고 W를 근사시켜야 한다. 스털링의 멋진 공식을 쓸 차례다.
$ln(n!)=n*ln(n)-n$
물론 정확한 식은 이게 아니지만, 어차피 대충 해도 결과는 맞는다. (그게 바로 통계역학의 신비. 정확히 계산하든 대충 계산하든 답은 같다.)
f에 스털링 공식을 적용하고, 로그 안에있는 숫자의 곱은 로그 바깥으로 빼서 덧셈으로 바꿔줄 수 있다는 성질을 활용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
$f(k_1, k_2, …, k_N)=n*ln(n)-n-\sum (k_i*ln(k_i)-k_i)+\alpha(n-\sum k_i)+ \beta(E-\sum k_i E_i)$
대충 덧셈끼리 정리해 주면 다음과 같이 변한다.
$f(k_1, k_2, …, k_N)=n*ln(n)-n+\alpha n+\beta n -\sum (k_i *ln(k_i)-k_i-(\alpha+\beta E_i)k_i)$
좀 복잡하지만 노트에 다시 정리해서 적어두기 바란다.
어쨌거나, 공식은 복잡하지만 우리는 저걸 미분해야 한다. 왜냐하면, 미분해서 0되는 지점이 바로 극대값 또는 극소값이 되기 때문이다. 극대인지 극소인지는 잘 몰라도, 어쨌든 미분하자. 이때, 각각의 상태에 들어간 개수인 $k_i$에 대해서 전부 극대값이 나와야 하므로, 편미분을 써야 한다. 편미분은 특정한 변수 1개만 빼고 나머지는 상수로 취급하는 미분법이다.
$\frac{\partial f}{\partial k_i} = -ln(k_i)-(\alpha+\beta E_i)=0$
갑자기 항이 많이 줄어들었다. 왜냐하면 $k_i$에 대한 미분이므로 n에 관한 항은 전부 상수 처리되어서 사라졌기 때문이다. 덧셈도 모두 사라졌다. 왜냐하면 $k_i$에 대한 미분이므로 특정한 항이 아니면 전부 상수 처리되어서 사라졌기 때문이다.
이제, 문제를 풀면 금방 알 수 있다.
$k_i = exp(-(\alpha+\beta E_i))$
뭔가 보이나?
잠시 편하게 묶어주면 다음과 같다.
$k_i = exp(-\beta(E_i-\mu))$
여기서 $\mu$는 화학적 위치에너지라고 부른다. 잠깐! 화학이 왜 튀어나와?
그건 나도 모른다. 아무튼, 중요한건 과학자들은 그 숫자를 이름붙여서 “화학적 위치에너지(Chemical potential)”이라고 부른다는 거다. 나중에 다른 과학자들과 오해 없이 의사소통하려면 그 단어가 그 개념인 것을 알아 두자. 참고로, 저 항은 입자의 수가 보존된다는 성질에서 나왔다는 것을 기억해야 한다. 따라서 화학적 위치에너지가 변한다면 입자의 수가 변하게 된다는 것을 뜻한다.
저것은, 사실상의 i번째 방에 $k_i$개의 입자가 들어가 있을 확률에 해당한다. 그러려니 하자. $k_i$를 전부 더하면 n이 되어야 하므로
$k_i=n*exp(-\beta E_i)/Z$
라고 쓸 수 있다. 여기서 Chemical potential은 약분당했다는 사실을 인식하기 바란다. 그리고 Z는 1부에서 설명했던 분배함수이고, 다음과 같이 쓴다.
$Z=\sum exp(-\beta E_i)$
만약 상태가 연속적으로 변한다면 덧셈이 아니라 적분으로 바뀌긴 하지만, 그래도 개념이 바뀌는건 없다.
그런데 이게 왜 마법의 분배함수냐고?
그건 3부에서…