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자, 딜레마에 빠져 봅시다.

버스 정거장에서 예쁜 여자를 발견했다. 만약 버스 한대가 그냥 지나갔다면 내가 그 여자와 같은 버스를 탈 확률은 증가하는가?

이것과 같은 문제인데, 변수를 연속변수로 바꿔보자.

주의사항 : 이 문제는 절대로

수학

문제로서 보아주기 바란다. 실제 문제에서 이 문제의 답은 0%이고, 이 숫자는 99%신뢰구간에서 오차는 0%인 값이다.

내가 버스 가장 뒷자리에 앉아있다. 어쩌다보니, 승객은 나 뿐이었다. 가장 앞에 있는 문에서 예쁜 여자가 타더라구. 그런데 그 여자가 첫번째 의자를 그냥 지나친거야. 그럼 그 여자가 내 옆에 앉을 확률은 증가했을까?

어디서 많이 보던 문제다. 그렇다. 우리는 초등학교 소풍때 많이 즐겨보았다. 수건돌리기라는, 뱅뱅 돌면서 달려야 하는 그것을.

꼼지락 님의 의견에 따르면, 위의 문제는 여전히 이산변수다. 진정한 연속변수 문제는 다음과 같다.

버스에는 사람이 모두 앉아서 앉을 자리가 없다. 그리고 서 있는 사람은 뒤쪽에 서 있는 나 뿐이었다. 앞에 있는 문에서 여자가 타더라구. 그 여자가 한걸음 앞으로 왔다. 그럼 그 여자가 내 옆에 설 확률은 증가했을까?

정답은 나도 모른다.

캠페인 : 딜레마 속에서 해탈하자.

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당신, 뭔가 낚였다는 느낌 들지 않았는가.

아무튼 과학 관련 기사는 일단 논문을 봐야 뭔 얘기를 할 수 있으므로 논문을 찾아봤다. APL홈페이지 가보니 금방 찾을 수 있었다.

일단 네이버 기사의 댓글은…”말도 안돼”가 주류인 것 같은데, 이정도의 수준급 논문을 고등학생이 실험해서 썼다는 건 왜 아무도 주목을 안하지? 우리나라에선 미친 고딩이 아닌 한 절대로 이정도의 논문은 안 나올 것 같은데 말이다. 더 부러운건 마지막에 “This work was supported by the NSF”이다. 국가 과학 재단의 지원금이라니. 우리나라 과학재단은 뭐했나 싶다.

우리나라 고등학생들이라고 머리가 나쁠 이유가 없다. 지원만 해준다면 더 좋은 논문도 쓸 수 있고, 더 뛰어난 결과를 낼 수 있다. 다만 그걸 할 수 있다고 고등학생에게 아무도 가르쳐주지 않을 뿐이다.

해보라고 시키지도 않고 자기네들이 할 수 있는지도 생각 해본적도 없고 그런 생각을 한다고 할 수 있게 허락해주는 것도 아니다. 고등학교 과학실의 최첨단 실험 기자재는 먼지만 쌓여간다. 왜 샀냐, 그건.

본론으로 돌아와서, 논문의 내용은 다음과 같다. 실험을 했는데, 긴 파이프 중간에 소리가 똑바로 가는 길과 옆으로 돌아서 가는 길을 만들었다. 이것을 Loop filter라고 부른다. 한쪽에서 스피커로 입력을 넣고 반대쪽에서 마이크로 출력을 붙잡아서 컴퓨터로 분석하는 거다. 그럼, 결과가 왜 이따위냐고? 상대성 이론이 틀린거 아니냐고? 글쎄? 실험 결과가 그렇다는데? 실험 결과도 맞고 상대성 이론도 맞다.

자, 생각해 보자. 시간-공간 영역에서, 음파에 대한 함수를 생각해 보면 어느 한 영역에 몰려있다. 이것을 wave packet이라고 부른다. 이걸 공간 영역에서 푸리에 변환을 해 보면, 각종 속력에 해당하는 음파 성분들이 다양하게 모두 있다. 이것들이 전부 합쳐져서 하나의 wave packet을 구성하게 된다. 문제는, filter를 통과할 때 생기는 resonance이다. 특이하게 생긴 루프 필터 덕분에, wave packet의 성분 중에서 그냥 가던 애들 말고, 엉뚱한 애들이 공명을 일으켜서 증폭이 된 거다. 이렇게 되면 재구성된 wave packet의 생김새가 변하게 되는데, 이때 말하는 “변화”라는 것은 공간적으로 여기에 있던 것이 저기까지 가버릴 수 있는, 순식간에 가버릴 수 있는 것을 뜻한다. 물론 물리적으로 음파를 구성하는 어떤 공기 분자도 빛의 속력보다 빠르게 움직이지 않았으므로 상대성 이론에 문제는 없다. 그리고 음의 군 속력이 나타난다고 해도 이건 loop filter가 있는 구간에서만 일어나는 일이고, 꽤 특수한 조건에서만 나타나는 일이기 때문에 그다지 실용적으로 쓰일 것 같지는 않다.

로또는 재미있는 확률 게임이다. 천원 내고 한장 사면 800만명중에 1명 정도가 돈을 몰아서 받는다. 복권이 다 그렇듯이 “몰아주기”인데, 최근 로또 당첨 확률을 10배로 높여준다는 행운의 번호를 파는 사이트가 나타나서 나를 낚았다. 그 헛소리에 대한 내 지적을 적어둔다.

일단 로또 1등 당첨 확률을 계산해 보자. 이건 45개중에 6개를 고르면 되므로

8145060분의 1의 확률이다. 2등 당첨 확률은 45개중에 5개를 맞추고 보너스 번호를 맞추는 건데, 이건 6개중에 한개 틀려도 되므로 8145060분의 1에 6을 곱한 숫자이다. 1357510분의 1이다. 3등은 45개중에 5개 맞추는 거니까


1221759분의 1이 된다. 4등은 148995분의 1이고, 5등은 14191분의 1이다. 1에서 앞의 숫자들을 빼면 당첨되지 않을 확률이 된다. 그 확률은 0.9999999434231186이다.

당신이 찍은 번호가 당첨번호가 아닐 확률을 계산해 보았다. 99.99999434231186%이다. 까마득하게 100%에 가깝다. 당신이 찍은 번호가 당첨번호가 아닐 확률을 절반으로 낮추는 건 아주 힘들지만, 당신이 찍은 번호가 당첨번호일 확률을 두배로 높이는건 아주 쉽다.

한장 더 사면 된다

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이건 아주 당연한 얘기다. 당신이 만약 모든 가능한 조합을 전부 다 살 수 있다면 당신의 당첨 확률은 100%가 된다. 하지만 당신이 낸 돈을 당신만 가져가는게 아니라 다른 맞춘 사람들과 로또 수익자들과 나눠 가져야 하므로 당신이 낸 돈은 확실하게 되찾지 못한다. 너무 손실이 크다.

인터넷을 찾아보면 별 희안한 당첨 공식들이 난무하는데, 그냥 찍어라. 당첨확률 똑같다.

당첨 번호일 확률을 10배로 높이는 방법은 이제 당신도 대답할 수 있다. 9장 더 사라.

올해(2007)로 24살이다. 내 인간관계를 되돌아 보는 시간을 가져보고자 한다.



<sup>[각주:

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내 전화기에 들어있는 이름 갯수는 346개. 그중 회사나 가게 전화번호도 있으니까, 대략 300명 정도와 전화번호를 주고받은 적이 있다고 치면 맞을 거다. 그중 내가 꽤 친한 친구들은 얼마나 될까? 이 얘기를 들으면 기분 나빠할 친구들도 있겠지만, 난 친구들과의 우정을 정량화 시키기를 좋아하는 타입이라서 더 친한 친구와 덜 친한 친구를 구별한다.



<sup>[각주:

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그 구분은 다음과 같다.

가장 소중한 친구 – 내가 그를 결코 배신하지 않으며, 그 역시 나를 결코 배신하지 않을 것이라 기대하고, 동시에 혹시라도 그가 나를 배신해도 그를 절대로 원망하지 않음. 아무리 오랫동안 연락이 끊기더라도, 다시 연락된다면 언제라도 반가운 친구. 당연히 매일 만나도 반가운 친구.

소중한 친구 – 내가 그를 결코 배신하지 않으며, 그 역시 나를 결코 배신하지 않을 것이라 기대하지만, 그가 나를 배신하면 좀 원망할 것 같음. 아무리 오랫동안 연락이 끊기더라도, 다시 연락된다면 언제라도 반가운 친구. 당연히 매일 만나도 반가운 친구.

친한 친구 – 내가 그를 결코 배신하지 않을 생각이지만, 그 역시 나를 배신하지 않을 것이라고 강하게 기대하지는 않음. 그가 나를 배신하면 충격 먹을 것 같음.

잘 지내는 친구 – 내가 그를 배신할 생각은 없지만, 그의 깊은 사정은 잘 모름. 그가 나를 배신하면 약간 충격 먹을 것 같음.

아는 친구 – 친하다는 생각 자체가 없으므로 배신 여부를 따지지 않음.

싫은 친구 – 싫어함. 일부러 피해 다니며, 보더라도 굳이 그 자리에 오래 있을 생각이 없음.

여기서, 배신이란 그 친구의 어떤 행위나 발언으로 내가 정신적이거나 신체적으로 큰 상처를 받아서 그 상처에서 회복되지 못하는 것을 뜻한다.

가장 소중한 친구는 지금 양군, 김양, 송양, 이렇게 셋이다. 원래는 한명 더 있었는데, 그는 꿈을 찾아서 외국으로 유학을 떠난 채 연락 두절이다. 다시 연락된다면 좋겠지만, 친구 목록에서 빼지 않으면 그리워 견딜수가 없으므로 일단 삭제했다.

소중한 친구는 김군, 류군, 김양, 이양, 황양, 이렇게 다섯이다.

나머지, 친한친구는 대략 10명정도, 대부분은 잘 지내는 친구에 해당한다. 싫은친구는 현재 딱 한명 있다.

소중한 친구/가장 소중한 친구 그룹은 중학교때부터 알고 지내던 친구들이다. 이제 거의 10년정도를 알고 지내게 되는 친구들이다. 깊이있는 대화도, 속에 있는 얘기도 아주 많이 해봤고, 내 삶의 이야기를 이해해줄 수 있는 친구라고 생각한다. 자주 연락은 못하지만, 1년에 한번이라도 가끔 전화를 걸었을 때 항상 반갑게 전화를 받아주는 친구들이다. 각자 알게 된 경로가 다른 경우가 많아서 그들끼리는 서로 잘은 모르고 대충 안면만 있는 사이지만, 내게는 모두 소중한 친구들이다.

내 친구들을 분석해보면 여자들이 압도적으로 많은 것을 알 수 있다. 이건 내가 고등학생 시절 이후엔 의도적으로 여자에게만 접근했기 때문인데, 남자들은 굳이 접근하거나 크게 노력하지 않아도 술 같이 마시고 놀러다니다 보면 친해지기 때문이다. 주변 사람들은 여자애들이랑 친해봐야 결혼하면 다 떠나간다고 경고하지만, 신경쓰지 않는다. 이건 어디까지나 내 이야기를 이해해준 친구들이기 때문이다. 남자들이라고 해서 그런 얘기를 하지 못한다는 건 아니지만, 내가 사귀고 싶은 친구들을 골라서 사귀는데 별로 문제가 있다는 생각은 하지 않는다.

이상, 그저 내 일방적인 이야기를 적어보았다. 과연, 나는 내 친구들에게 소중한 친구가 되어 있는지, 소중한 친구가 될 수 있을지는 절대 모르겠다. 어떻게 해야 한다는 방법은 없겠지만, 더 많은 이야기를 나눠야 할 것 같다. 더 많이 그의 얘기를 들어주고, 더 많이 나를 얘기해주고 싶다.

소중한 친구들을 더 많이 만들고 싶은 생각은 없다. 정확히 얘기하자면, 일부러 더 많이 만들고 싶은 생각은 없다. 친구사이라는 인간관계는 일부러 만드는게 아니라 정신이 들었을 때는 이미 친해져서 뗄래야 뗄 수가 없는 관계기 때문이다.

더글라스 호프스태터의 엄청난 명저 “괴델, 에셔, 바하”는 그 책을 읽는 사람들에게 다양한 것들을 생각하게 한다는 점에서 역시 명저라는 생각이 든다. 그중, 인생과 물리 공부에 둘 다 도움이 되는 개념이 있어서 적당히 내 나름대로 소개를 해 보도록 하겠다.

미국의 무슨 유명한 잡지에서 2006년을 빛낸 유명인사를 “너”라고 했다는 말을 들었다. 반말로 “너”라고 하지야 않았겠지만, 난 반말로 이해했고, 그쪽이 더 적절하다고 생각한다. “너”는 2006년을 빛낸 사람이다. 그런데, 웬 헛소리냐고? 글쎄, 여기서 “너”는 이 글을 읽는 바로 당신뿐만이 아니라 나이기도 하고 내 친구이기도 하고 어딘가 습지에서 고생하는 누군가이기도 하다. “너”는 이 세상 사람 전부이다. 여기서 기가막힌 부분이 영어의 표현인데, YOU는 단수이면서 복수이다. 즉,그 잡지에서는 “너”라고 얘기하면서 동시에 “세상의 모든 사람들”을 가르킨 것이다. 만약 한국어였다면 “당신”과 “당신들”의 사이에서 고민해야했겠지만 YOU는 그럴 필요가 없다.



<sup>[각주:

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그럼 그 잡지는 왜 그렇게 정했을까? 그 내부적인 사정, 혹은 진실이야 어딘가 진실이 있겠지만 중요한건 해석하는 사람 맘대로라는 점이다.

21세기에 들어서서, 그 전에도 수천년간 그랬지만, 사람은 사회적인 동물이 되었다. 사회는 사람이 모여있는 것을 뜻하는데, 사회는 사람을 만들어내고 사람은 사회를 구성한다. 한 사람이 사람으로서 존재하기 위해서는 사회가 그를 사람으로 규정하지 않으면 안된다. 그리고 각자의 사상이 모여서 사회가 존재하는 방식을 구성한다.

이번엔, 딴 얘기를 해 보도록 하자. 뉴턴이 중력 이론을 만들었을 때, 그것은 단지 두 질점 사이에 힘이 작용한다는 얘기를 하는 것 뿐이었다. 하지만 두 질점 사이에 작용하는 중력을 장(Field)으로 바꾸면 엄청난 일이 일어난다. 질량은 중력장을 만들어내고, 중력장은 질점에 힘을 작용한다. 뭐가 바뀐건지 잘 모르겠다고? 이것은 단순히 중력에 관한 얘기가 아니다. 질량이 중력장을 만들어 낸다는 것은 중력장이 생긴 형태는 그 이전에 중력장이 어떻게 생겼는가가 중요하지 않다. 오직 질점의 위치만 알고 있으면 공간 전체에 대해서 중력장이 어떻게 생겼는지를 알 수 있다.



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반대로, 중력장이 어떻게 생겼는지 알고 있다면 질점이 여러개가 있어도 아무 상관이 없다. 질점 각각은 독립적으로 그 움직임을 알 수 있다.

이 두가지 얘기의 공통점은? 사람(질점)은 사회(중력장)을 만들고, 중력장(사회)은 질점(사람)을 움직이게 한다는 것. 여기서 명백한 것은 사람(질점)은 실제로 움직여 나가는 주체(전경=foreground)에 해당하고 사회(중력장)은 주체가 움직이게 되는 환경(배경=background)에 해당한다는 것이다.

좀 더 사회에 가까운 물리학적 구조가 있다. 바로 자석이다. 자석은 아주 작은 원자 자석들이 규칙적으로 배열되어 있는 건데, 이런 일이 일어나기 위해서 필요한게 바로 원자와 원자 사이의 상호작용이다. 그리고 이것은 대단히 복잡해서, 제대로 계산할 수는 없지만 성공적으로 근사시켜서 그 행동을 설명할 수 있는 이론이 있는데 바로 “평균장(Meanfield) 근사 이론”이다.

각각의 원자 자석은 위를 보고 있거나 아래를 보고 있다. 그런데 자석을 갖고 놀아본 사람들이라면 알겠지만, 자석은 같은 방향으로 정렬되고 싶어 한다. 가령, 한 자석의 N극과 다른 자석의 S극을 붙여놓게 되면 두 자석은 같은 방향을 보고 있어야 한다.



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모든 자석들이 같은 방향을 향하고 있으면 그건 모든 자기장이 합쳐져서 큰 자석이 되는 것이다. 이제, 자석 전체를 설명하기 위해서는 각각의 작은 원자자석들을 두개씩 골라서 같은 방향이면 위치 에너지가 낮아지고 반대 방향이면 위치 에너지가 높아진다고 해 놓고서 문제를 풀어야 한다. 문제는, 이걸 실제 자석에 적용하려면 이미 그 수가 아보가드로 수의 제곱만큼 많은 항이 들어간다는 점이다.



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이건 인간이 살아있는 동안 풀릴만한 문제가 결코 아니다. 따라서, 좀 더 간단한 이론이 필요한데, 이게 바로 평균장 근사이다. 평균장 근사는, 자석이 보고 있는 방향은 주변 자석들이 보고 있는 방향의 평균적인 방향에 해당한다고 보는 것이다. 예를들어, 주변에 4개가 있는데 그 4개중에 3개가 위를 보고 있고 하나가 아래를 보고 있다면, 가운데 둘러싸여있는 하나도 위를 보게 된다는 거다. 이 이론은 멀리떨어진 자석들 사이의 연결관계는 보지 않는다는 점에서 얘기를 훨씬 간단하게 만드는 이론이다. 이 이론을 이용해서 계산을 하게 되면, 자석에서 나타나는 Hystersis현상이라든가, Curie온도라든가 하는 것들을 설명할 수 있게 된다.

그리고, 이러한 일은 사회에서 똑같이 일어난다. 가령, 자석 원자들은 골고루 분포하는게 아니라 덩어리져서 같은 방향을 향하고 있는 여러개의 영역으로 구별된다. 이것은 마치 사회에서 좌파와 우파가 서로 섞이지 않고 좌파들은 좌파들끼리 모여있고 우파는 우파들끼리 모여있는 것과 비슷하다.

이야기하고 싶은 본론은 바로 이거다. 나는 끊임없이 주변 사람들의 영향을 받고 있으며, 주변 사람들은 끊임없이 나의 영향을 받고 있다. 그 속에서 성공을 만들어 나가기 위해서는, 주변 사람들에게 좋은 영향을 미쳐야 나 역시 주변 사람들로부터 좋은 영향을 받을 수 있다는 것이다. 나는 나 자신의 foreground이면서 내 주변 사람들의 background이다. 내가 직접 바꿀 수 있는 것은 나 자신과 내 주변에 있는 사람들 몇명이지만, 그 작은 간섭이 사회 전체를 바꿀 수도 있다.

주의 – 이 분야는 복잡계 연구에서 다루고 있다. 좀 더 전문적인 이야기는 그쪽의 관련 서적들을 참고하기 바라며, 내가 이 글에서 다룬것이 결코 전부가 아니라는 점을 명심하기 바란다.