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내가 1km를 가는데 들여야 하는 “비용”은 어떻게 계산할까?

물론 이 비용은 교통수단마다 다르다.

내게 있어 실제적인 지출에 해당하는 것은 “시간”과 “돈”이므로, 시간과 돈을 곱한 값을 “비용”으로 처리해야 할 것이다. 물론 시간가치를 돈으로 환산해서 합산해도 되지만, 이 경우에는 곱셈이 맞다고 본다. 왜냐하면 돈을 아주 많이 들인다고 시간이 0이 되는 것도 아니고, 시간이 아주 오래 걸린다고 해서 돈이 0원이 들어가는 것도 아니기 때문에, 0이 아닌 “비용”을 사용했다면 반드시 둘 다 0이 아니어야 하기 때문이다. 또한, 절충한답시고 덧셈과 곱셈을 같이 쓰는 건 다음과 같이 의미가 없다. 돈을 $m$이라고 하고 시간을 $t$라고 하면

$m+t+m*t = m+t+m*t +1 -1 = m*(1+t)+t+1-1 = (m+1)*(t+1)-1$

이 되어서 대략 곱셈에 비례하게 된다.

그럼, 대략 방정식을 세워보면

$m*t=C$

여기서, $C$는 비용이 되겠다. 비용은 다시 다른 방법으로 계산해야 하는데

$C=C(기름값, 교통비, 시간, 교통량, 속력 )$

등등의 함수가 될 것이다. 물론 이때 교통비는 다시 기름값과 시간의 함수로 표현된다.

이제, 이것을 Action으로 두고 최적화 시키는 것을 써 보자.

$L(m, \dot{m}, t)=C-m*t$

$\frac{\partial L}{\partial_m}-\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial_{\dot{m}}}$

그럼 이제 $m(t)$를 구할 수 있다.

주의 : 난 물리학 전공이지 경제학 전공이 아니므로 위 내용이 맞는 내용인지는 보증하지 못한다.

죽고 싶을 때 살아보는 것도 용기다.

생각해 보니까, 난 태어난 날을 결정할 수 없었고 죽는 날도 결정할 수 없다. 스스로 죽는건 가능하다 해도, 그 이후에 뭔가 할 수 있는게 아무것도 없는데 죽을 이유가 없다.

친구라는 것은, 해변가에서 모래를 한줌 쥐었을 때, 다 흘러내리고 손바닥 안에 남아있는 몇개의 모래알이랑 비슷하다.

계속해서 붙잡지 않으면 모두 흘러내려서 다른 모래알과 구별되지 않을 것이다.

우정이라는 것은, 해변가에서 물을 한손 퍼올렸을 때, 다 흘러내리고 손바닥 안에 남아있는 조금의 물기와 비슷하다.

계속해서 손을 적시지 않으면 모두 말라버려서 손바닥은 결국 메말라 버릴 것이다.

최근에 그렇게 느꼈다.

평면 위에 직선이 하나 있다고 하자. 그 직선은 무한히 먼 곳에서 시작하여 무한히 먼 곳에서 끝난다. 낭만적이지 않은가? 그렇게 길게 이어진 직선은 평면을 두 영역으로 나눈다. 그것이 남과 북이 되었든, 좌와 우가 되었든 문제는 되지 않는다. 평면 위에 있는 모든 점은 따라서 평면에 있는 세개의 부분집합 중 하나에 반드시 포함된다. 왼쪽에 있거나, 오른쪽에 있거나, 또는 직선 위에 있거나. 그중에 없다면 이 점은 평면 위에 있는 점이 아니다.

직선의 방정식은 일반적으로 다음과 같다.

$ax+by+c=0$

이 방정식에다가 어떤 점 (p,q)가 세 집합 중 어디에 있는지 알아보려면?

이렇게 하면 될 것 같다.

$ap+bq+c < 0$ : 왼쪽
$ap+bq+c=0$ : 직선 위

$ap+bq+c >$ 0 : 오른쪽

(여기서, 왼쪽이냐 오른쪽이냐는 전혀 시각적인 이미지가 아니며, 대충 말로 정한 값이다.)

따라서, 어떤 점 두개 (p,q)와 (r,s) 가 있을 때, 직선이 나누는 세 영역 중에서 같은 쪽에 있는지 확인하려면 다음과 같이 하면 된다.

$sgn(ap+bq+c)*sgn(ar+br+c) > 0 $ : 같은쪽

$sgn(ap+bq+c)*sgn(ar+br+c) < 0 $: 다른쪽
$sgn(ap+bq+c)*sgn(ar+br+c) = 0 $: 둘 중 한놈이 직선 위에 있는 놈이다.

그래서, 일단 벡터가 주어졌을 때 직선의 방정식을 한번 써 보자.

벡터가 (x1,y1), (x2,y2) 라고 한다면

$y=\frac{y2-y1}{x2-x1} (x1-x) +y1$

이 수식을 $ax+by+c$ 형태로 바꾸면

$a=y2-y1$

$b=x1-x2$

$c=y1*x2-x1*y2$

이 된다.

이제, 삼각형 내부에 점이 있는지 없는지 판정하는 함수를 만들 준비가 끝났다.

어떤 점이 주어진 삼각형 내부에 있는지 외부에 있는지 판정하는 방법을 드디어 알아냈다. 자세한 증명은 좀 더 명확히 해 보도록 하고 일단 방법부터 설명하도록 한다.

삼각형에 있는 세개의 변 중에 임의의 2개를 고른다. 그리고 그 2개의 변을 양쪽으로 연장해서 평면을 4개로 분할한다. 적당히 그 4개의 분할된 영역을 분면이라고 하고, 1,2,3,4분면이라는 이름을 붙여두자.

[보조정리]

이제, 점이 삼각형 내부에 있다고 가정하자. 그럼 그 점은 반드시 4개의 분면중에 1개에는 들어 있어야 한다. “내부”라고 하였으므로 직선 위에 있는 경우는 없다.

또한, 나머지 한개의 변의 중점을 생각하자. 그 중점 역시 4개의 분면중에 1개에 들어가 있다.

점이 삼각형 내부에 있다면, 나머지 한 변의 중점과 주어진 점은 반드시 같은 분면에 들어간다.

[증명] 일단 생략

[정리]

어떤 점이 삼각형 내부에 있다면, 삼각형에 있는 3개의 변 중에서, 어떤 임의의 2개 변을 선택하더라도 나머지 한 변의 중점과 그 점은 같은 분면 안에 반드시 포함된다. 즉, 2개씩 고르는 작업을 3번 하면 삼각형 내부에 있는지 아닌지를 알아낼 수 있다.

[증명] 어쨌든 일단 생략

직관적으로는 일단 옳다는 결론을 내렸다. 상세한 증명은 그림을 좀 더 그려본 후에 작성해볼 예정이다.

——

더불어, 이 과정은 볼록다각형으로 확장할 수 있다. 볼록다각형은 한 점을 잡고서, 순서대로 점을 두개씩 골라가면 삼각형으로 분할할 수 있기 때문에 각각의 삼각형에 대해서만 판정하면 된다. 물론, 이 경우, 실제로 다각형의 변을 이루는 삼각형의 변과, 다각형 내부에 있는 삼각형의 변 중에서, 만약 그 점이 다각형 내부에 있는 삼각형의 변 위에 있다면 그것은 다각형 내부에 있다는 점을 염두하여 계산할 필요가 있다.

그리고 볼록다각형으로 확장한 다음에는 오목다각형을 포함할 수도 있다. 오목다각형은 볼록다각형 여러개로 잘라낼 수 있기 때문이다.

또한, 다시 이 과정을 다차원으로 확장할 수도 있다. 가령, 3차원의 경우에는 임의의 사면체에 대해서 먼저 증명하면 된다. 이 경우에는 사면체 중 꼭지점 하나를 공유하는 평면 3개를 정하고, 나머지 한 평면의 중점과 필요한 점이 8개의 분할된 공간 중 같은 공간에 속하는지를 판정하면 된다.

4차원에서도 가능할 것 같다. 이 경우에는 사면체 5개로 이루어진 초사면체에서 꼭지점 하나를 공유하는 사면체 4개를 정하고, 나머지 한 사면체의 중점과 필요한 점이 16개의 분할된 공간 중 같은 공간에 속하는지를 판정하면 된다. 물론, 복잡하다. -_-;

고율님 블로그에서 보고 따라해 봤다.

11명 중에 한 사람을 선정하기 위해서 주사위를 굴리기로 했다.

주사위를 유한한 횟수 이내로 굴려 균등한 확률로 11명 중의 한 명을 선정할 수 있는 방법을 서술하시오. (단, 주사위는 정 6면체이다.)

*읽기전에 알아둘 것 :

이 논리는 틀렸습니다!


$(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$

기본 아이디어는 이항전개다.

각 면에 써 있는 숫자를 n이라고 놓고, k번 던진 다음에 나오는 숫자를 계산해 보면

$\left(\sum^6_{i=1}e^n \right)^k$

으로 쓸 수 있고, 이 식에서 각 항마다 있는 계수는 정해진 합에 대해서 그 합이 나오는 경우의 수가 몇개인지 알려준다. 그럼, 적당히 큰 k를 고르고, 그중에 계수가 11을 넘는 합 하나를 가져오자. 합 자체는 얼마가 되든 상관 없다. 그냥 a라고 하자. 그리고 그 계수를 m이라고 하자. m은 이항전개에서 해당 항이 나오는 횟수가 몇번인지 알려준다. 따라서, 이항전개에서 그 항은 11번 이상 나온다.

이 말은 바꿔 말하면, 주사위를 k번 던질 때 전체 가능한 경우의 수 중에서 합이 a가 되는 경우가 m번 있다는 뜻이다. 그럼, 이제 합이 a가 되는 경우 각각을 11명의 사람들에게 배정한다. 경우의 수가 11을 넘어갈 수도 있지만, 나머지는 무시해 버려도 된다. 순서 따져서 각각이 구별 가능하기만 하면 된다.

이제 주사위를 k번 던지는데, 합이 a가 되지 않으면 무시하고, 합이 a가 되면 그렇게 된 경우가 11명의 사람이 배정받게 된 경우 중 어느 것에 해당하는지 따져본다. 아무도 배정받지 않았다면 다시 던진다.

이것이 가능한 이유는 전체 경우의 수 각각이 발생할 확률은 똑같기 때문에, 우리가 원하는 만큼만 골라내고 나머지는 다 버려도 문제가 없다는 것이다.

또한, 합이 a가 나올 확률은 0이 아니므로 반드시 유한한 횟수 안에 끝난다. (물론 계속 합이 a가 나오질 않아서 조금 더 길어질 수는 있으나, 확률이 0이 아니기 때문에 무한히 시행하다보면 실제로 무한까지 가기 전에 유한 횟수 내에 끝나는 것이 보장된다.)

Askhow.co.kr 에 올라왔던 질문이다.

만약, 레이저포인터를 수평 방향으로 해 놓고 킨 뒤,

그 레이저 포인트의 레이저에 수직한 거울을 놓으면 다시 반사되는데,

이 때 재빠르게 거울에 또 다른 거울을 평행하게 놓으면 거울에 반사되어 나가던 빛이 또 반사되고 반사되고…. 할 수 있나요?

그리고 그 거울의 거리를 계속 줄여나가면 빛이 짧아지고, 그 상태에서 거울과 거울 사이를 밀봉하면 빛이 그 안에서 못 빠져나오겠죠?

또, 그런 빛을 적외선으로 하고 위와 같은 과정을 한다면 밀봉한 거울 상자에서 열이 나올 수 있나요?

대칭성을 이용한 간단한 증명.

사고실험을 해 보았다. 몇가지 간단한 가정들이 필요한데, 다음과 같다.

1. 거울은 완벽하게 평평하고 완벽하게 매끄러워서 난반사란 없다. 오직 정반사만 있을 뿐이다. (정반사 = 입사각과 반사각이 같은 반사)

2. 빛은 정확히 직진한다. (즉, 기하광학을 쓰겠다는 얘기)

상황 1. 거울 두개가 완벽하게 평행하게 있다.

이 상황에서, 빛이 진행하는 방향이 거울의 면에 대해서 수직이 되지 않는다면, 빛은 분명히 삼각형 톱날 모양을 그리면서 거울 사이를 왕복할 것이다. 그리고 이 때의 톱날 모양의 크기는 진행 방향이 직각에 가까워짐에 따라 점점 작아질 것이다. 따라서 직각이 되면 완벽하게 크기가 0이 되고, 한 위치에서 왕복할 것이다.

물론 빛이 레이저 포인터를 출발한 후, 거울에 반사되어 다시 되돌아 오기 전에 레이저 포인터를 없애는 것은 실제로 가능하다. 거울이 충분히 멀리 있기만 하면 갔다 오는데 시간이 걸리므로 얼마든지 할 수 있는 일이다.

상황 2. 거울 두개가 평행하지 않다.

이 상황에서, 마찬가지로 빛은 거울에 대해서 수직으로 입사하지 못하므로 톱날 모양을 그리게 될 것이다. 거울 두개를 점점 평행하게 만들면서 두 거울 중의 한개를 빛의 진행 방향에 대해서도 수직으로 서게 만든다면, 앞서와 마찬가지로 톱날 모양은 점점 작아지면서 한 위치에서 왕복하게 된다.

상황 3. 따라서 한 위치에서 왕복한 후, 거울을 좁혀나간다.

거울을 좁혀나가게 되면 빛이 왕복할 수 있는 거리는 짧아질 것이다. 만약 빛이 충돌하는 순간에 거울이 움직이고 있었다면 도플러 효과가 있을 것이므로 빛의 파장도 같이 짧아질 것이다. 기술적으로 빛이 충돌하는 순간에는 거울이 움직이지 못하게 할 수 있다면, 빛의 파장은 유지될 것이다.

상황 4. 그래서 거울 두개가 붙어버리면?

거울 두개가 붙어버리면 빛은 점점 갈 곳이 없어지다가 완벽하게 거울 두개가 붙은 이후에는 반드시 거울에 흡수될 것이다. 따라서 거울의 온도가 올라간다.

아무튼, 밀봉할 필요는 없다. 적외선이 될 필요도 없다. 거울에 반사만 되는 정도의 빛이면 충분하다.

빛을 파동으로 생각하면 이 논의는 이제 산으로 흘러가게 된다.

상황 5. 빛이 파동이면?

빛이 파동이라면 거울에 닿을 때마다 반사되는 점을 기준으로 구면파 형태로 퍼져나가게 된다. 따라서 빛이 흩어져 버릴 것이다. 이 경우에도 빛이 가진 에너지는 흩어지기만 할 뿐 사라지지는 않으므로 거울을 좁혀나가다 보면 거울에 반드시 흡수되어야 할 것이다. 물론 거울이 충분히 (무한히) 커야 할 것이다.

회전체의 겉넓이 계산법

넓이는 어쨌든 2중 적분을 잘 해주면 된다.

f(x)>0인 함수를 적당한 구간에서 x축을 중심으로 회전시켜서 회전체를 만들었다고 하고, x=[a,b]인 구간에서 회전각 $\theta$에 해당하는 넓이는 어떻게 구할까?

적분은 어쨌든 면적소를 잘 잡으면 되는데, 어쨌든 $ds$를 어떻게 잡느냐가 관건이다.

좌표계를 회전좌표계로 잡으면 돌아가는 방향 $\theta$방향으로는 길이가 $f(x)d\theta$만큼일 것이고, x방향으로는 길이가 $\sqrt{dx^2 + df^2}$ (피타고라스 정리 사용) 일 테니까, $\sqrt{1+(df/dx)^2} dx$가 길이가 된다.

그럼 넓이는 가로 x 세로 이므로 $ds=f(x)\sqrt{1+(df/dx)^2}d\theta dx$가 된다.

이제 적분만 잘 하면 된다. 원하는 넓이를 S라고 하면,

$S = \int_{x=[a,b],\theta=[0,\Theta]} f(x)\sqrt{1+(df/dx)^2}d\theta dx $

이 적분을 잘 해주면 된다.

**수식 플러그인이 좀 이상하게 작동해서 수식이 이상하게 보입니다. 2자는 모두 제곱의 의미로 사용된 숫자들이예요.

**파이어폭스에서는 정상적으로 보이고 IE에서는 이상하게 보일 겁니다.

사무실에 있는 선풍기가 자꾸 덜덜거린다.

대충 보아하니, 선풍기 날개가 비대칭인 것 같다.

그렇다면…

1. 날개를 변형하거나 질량을 덧붙여서 무게중심이 회전축과 일치하도록 조정하면 진동이 없어질까?

(Yes / No)

2. 위의 내용을 수학적으로 증명하시오.