*전 세계에서 248번째로 풀었다. -_-;

다 풀고나서 내 정답을 확인하기를 바란다. 정답은 일단 가장 끝에다가 가려둔다.

오래간만에 수학 문제를 발견했다.

문제의 원문은

http://projecteuler.net/index.php?section=problems&id=207

에서 찾을 수 있다.

이 문제를 풀기 위해서 고율님의 아이디어 대로 $X=2^t$ 로 치환한다.

그럼 주어진 식은 $X^2-X-k=0$이라는 2차 방정식이 된다. 이 2차 방정식을 풀어보자.

$X=\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{1+4k}$

이 된다.

다시 X를 원래대로 치환하면

$2^t=\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{1+4k}$

이 된다. 그런데 $2^t$는 양수밖에 없으므로

$2^t=\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{1+4k}$

이 될 것이다. $2^t$가 정수가 되어야 한다는 조건이 있으므로, 우변도 정수가 되어야 한다. 근데 정수가 아닌 유리수인 1/2가 있기 때문에 좀 곤란해 보인다. 이 부분을 증명하고 넘어가자. 일단 1+4k가 어떤 정수의 제곱수가 아니라고 하자. 그렇다면 우변은 무리수가 되므로, 반드시 1+4k는 어떤 정수의 제곱수가 되어야만 한다. 또한, 1+4k가 어떤 정수의 제곱수라면, 1+4k는 홀수이므로 그 제곱근 역시 홀수이다. 홀수의 절반에 1/2을 더하면 정수가 나온다. 따라서 1+4k가 제곱수이기만 하면 된다. 즉, t가 파티션이 될 조건은 1+4k가 제곱수가 될 조건과 같다. 그럼 m보다 작은 k에 대해서 1+4k가 제곱수인지 조사하면 된다. 1+4k의 제곱근을 2n+1이라고 가정하자. 그럼 $1+4k=4n^2+4n+1$ 이므로 $k=n(n+1)$ 이 된다. 이 말은, $k=n(n+1)$조건을 만족하기만 하면 t는 파티션이 된다는 뜻이다. 그럼 m보다 작은 n(n+1)인 숫자들을 찾아내면 된다.

이제, t가 양의 정수(앞으로는 그냥 정수라고 하겠다)인 경우를 생각해 보자.

$2^t=\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{1+4k}$

여기에 k=n(n+1)을 대입해 보자.

$2^t = 1+ 2n+1 = 2(n+1)$

이렇게 식이 변했다. 앞에 있는 2를 떼어 내고도 t가 정수가 되기 위해서는 n+1 또한 2의 거듭제곱수이면 충분하다.

따라서 t가 perfect partition이 되기 위해서는 어떤 양의 정수 q에 대해서 $n=2^q-1$ 형태면 충분하다.

자, 이제 m에 대해 t가 정수가 되는 k가 몇개나 되는지 따져볼 차례다.

k=n(n+1)이었고, $n=2^q-1$ 형태였으므로, 이걸 다시 k에 대입하면

$k=4^q-2^q$

가 된다.

이제, q에 1부터 하나씩 대입해 가면서 문제에서 주어진 m이 k보다 작은 경우가 몇개나 되는지 보면 된다.

따라서, 다음의 부등식을 만족하는 최대의 q값을 구하면 된다.

$4^q -2^q \leq m$

정리하자면 다음과 같다.

1.n(n+1)이 m보다 작게 되는 양의 정수 n이 몇개인지 조사한다. 이 숫자를 A(m)라고 정의한다.

2.그러한 양의 정수 n중에서 n+1이 2의 거듭제곱수가 되는 경우가 몇개인지 조사한다. 이 숫자를 B(m)라고 한다.

3. P(m)=A(m)/B(m) 이다.

그런데, 반대로 생각해 보자. 어차피 k는 n(n+1)이 되기만 하면 되므로, $n=2^q-1$을 계산해서 q를 1씩 더하고, 그때마다 n이 어떻게 커지는지를 살펴보면 되지 않을까?

어쨌거나 이 문제를 풀게 된 알고리즘은 다음과 같다.

1. n을 계속해서 1씩 키워나간다.

2. n+1이 2의 거듭제곱수가 되면 q를 1만큼 증가시킨다.

3. q/n<1/12345가 되면 멈추고 n*(n+1)을 출력한다.
출력된 값이 m의 최소값이다.

덧붙임.

문제 해결하는 코드를 C로 짰는데 32비트 머신에서 쓸 수 있는 숫자의 자릿수가 너무 작아서 (답이 4294967296을 넘는 것 같음) 풀지 못하였다.

이건 뭐 페르마의 대정리도 아니고…-_-;;;;

결론적으로.

답이 32비트 머신에서 쓸 수 있는 숫자(4294967296)보다 많은 것은 사실이었다. 그래서 마지막 계산은 공학용 계산기를 썼다.

정답

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오래간만에 물리학 떡밥을 물었다.

1. 
   
   
   
   청개구리
   
   
   
   
   
   2008/09/12 00:04
   
   
   
   
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   아 방명록이 여기 있었네요 ^_^; 먼저, 우주에서 자연적으로 발생하는 수많은 충돌과 반응들은 LHC실험과는 조금 다릅니다. 대표적으로 태양에서 발생하는 에너지도 핵융합에서 비롯되는 것이지 입자가 깨진다거나 하지는 않습니다. LHC에서는 입자를 빛의 속도에 근접하게 가속시킨 후 충돌시킵니다. 우주 어느곳에서도 빛의 속도로 날아와서 서로 충돌하는 경우도 없고, 입자가 직접 부‹H힐 확률도 제로입니다. 만약 snowall님의 말씀처럼 우주에서 더 강력한 에너지와 더 높은 빈도로 충돌과 폭발이 일어난다면 LHC실험을 하는 이유가 없어지죠. 우주 어디에서나 쉽게 관찰할 수 있을테니까요. 대부분의 기사에서도 입자들을 서로 빛의 속도로 충돌시켜 ‘빅뱅 직후의 고에너지 상태’를 재현할 수 있다고 말하고 있네요. 빅뱅이 있었는지 없었는지 모르겠지만 과학자들이 그런말을 한다는 것은 최소한 지금 이 우주에는 LHC안의 현상이 일어나지 않는다는 얘기일 겁니다.

먼저 우주에서 자연적으로 발생하는 수많은 충돌과 반응들은 LHC실험과 본질적으로 동일합니다.

현재 우주에 존재하는 상호작용은 4개로 제안되고 있으며, 거의 확인이 되어 절대적으로 믿어도 좋을 만큼 근거가 쌓여 있습니다. 대표적인 예로, 태양에서 발생하는 에너지가 핵융합에서 비롯되어 입자가 깨진다거나 하지는 않는다고 하셨는데, 태양 에너지가 핵융합에서 비롯된 것은 맞지만 입자가 깨지지 않는다는 것은 틀렸습니다. 핵융합에서 발생된 전자와 중성미자들은 다른 입자와 충돌하여 새로운 입자들을 만들어 냅니다. 이것은 LHC에서 일어나는 일보다 에너지 수준이 작긴 하지만 본질적으로 동일한 현상입니다.

또한, 우주에서 입자가 빛의 속도로 날아와서 서로 충돌할 경우도 없고 입자가 직접 부딪칠 확률도 제로라고 하셨는데, 이건 명백하게 틀렸습니다. 우주에서는 아주 많은 입자들이 날아오고 있으며, 그중에는 10^20 eV의 에너지를 가지는 초 고에너지 입자선도 지구로 떨어집니다. 지구로 날아오면 당연히 지구의 대기 입자들과 충돌하며, 실제로 그 효과가 관측됩니다.

http://www.physics.re.kr/file/vod/2006/snu/20061122.pdf

의 19번째 페이지를 참고하세요. 또는 구글에서 Extended Air Shower 라는 현상에 대해 검색해 보세요. 덧붙이자면, 10^20eV는 인간이 만들 수 있는 최대 에너지보다 1000만배 강력한 에너지 수준입니다. 만약 LHC 실험 때문에 미시 세계 1개가 멸망했다면 10^20 eV를 갖는 입자의 충돌에 의해 생성된 충격은 미시 세계 1000만개를 멸망시킬 수도 있습니다.

LHC실험을 하는 이유는 우리가 통제 가능한 실험을 하기 위해서 하는 겁니다. 외부 우주에서 날아오는 입자들은 통제할 수가 없기 때문에, 강력하긴 하지만 그냥 목빠지게 기다려야 하는 단점이 있습니다. 하지만 실험장치를 이용하면 그보다는 약하지만 우리 마음대로 실험할 수 있다는 장점 때문에 LHC 실험이 의미가 있습니다.

대부분의 신문 기사는 전혀 과학적이지 않습니다. 빅뱅 직후의 고에너지 상태를 재현하려면 실제로 우주 전체의 에너지를 전부 모아야 할 정도로 많은 에너지가 필요합니다.

어찌되었든, LHC에서 사용되는 에너지 수준보다 훨씬 강력한 에너지 소스가 우주에 존재한다는 것은 분명합니다. 이것은 각종 입자 검출기 실험을 통해서 검증된 부분이므로 믿어도 좋습니다. 의심가신다면 High Energy Cosmic Rays에 대해서 검색해 보시기 바랍니다. LHC 따위는 그냥 장난감 물총으로 봐도 좋을 만큼 강력한 에너지 원은 우주에 널려 있습니다. 그리고 그것들이 각자 자신의 위치에서 사방으로, 무작위로 입자들을 쏘아대는데도 불구하고 이 작은 행성인 지구에는 1년에 수십개씩의 입자들이 쏟아져 내립니다. 그래도 그 초강력 입자가 적다고 하실 겁니까?

1. 
   
   
   
   청개구리
   
   
   
   
   
   2008/09/12 00:17
   
   
   
   
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   그리고 우주는 무한하지만, 동시에 하나로 연결되어있습니다. 대표적으로 양자역학 실험에서 보면 멀리 떨어진 두 입자의 반응이 동일하다는 것을 봐도 알 수 있죠. 미시세계, 거시세계라고 다를 건 없습니다. 스노우올님의 몸은 셀수없을 정도로 많은 입자로 구성되어 있고, 무한한 미시세계가 끝없이 존재합니다. 이러한 무한 우주는 바로 나 자신이기도 합니다. 어떻게 미시세계가 단지 눈에 보이지 않는다고해서 무시할 수 있을까요? 그 미시세계는 스노우올님 자신이기도 하고, LHC안에 갇혀 파괴될 운명의 수천억개의 양성자 안에도 존재하고 있는 것입니다. 쓰고나니까 마치 선문답같네요 -_-;; 별로 아는게 없지만 대략 이런 느낌입니다 =_=;;

미시세계가 파괴되기 위해서는 거시세계가 미시세계에 영향을 미쳐야만 합니다. 명제 형태로 쓴다면, “미시세계가 거시세계에 의해 파괴되었다면, 거시세계는 미시세계에 영향을 주었다”는 참으로 받아들이셔야 합니다. 그런데, 우리가 무언가의 존재를 입증할 때에는, 우리가 어떤 수단을 통해서 그 무언가에게 영향을 줄 수 있어야만 합니다. 가령, 원자핵의 존재를 입증하기 위해서 러더포드는 전자를 금박에 때려보는 실험을 했죠. 그 실험 결과를 분석하여 원자핵의 존재를 입증했습니다. 만약 미시세계가 존재하고 그것이 거시세계에 의해서 영향을 받는다고 하면, 거시세계에서는 반드시 그 미시세계를 관찰할 수 있어야만 합니다. 만약, 관찰할 수 없다면 거시세계는 미시세계에 영향을 줄 수도 없습니다.

가령, 어떤 물질을 관찰할 때, 그냥 만져보거나 바라보기만 하면 우리는 그 물질이 분자로 이루어져 있다는 사실을 모릅니다. 그냥 물질의 연속체로서 관찰될 뿐입니다. 이런식으로 관찰한다면, 분자는 관찰되지 않으며 없는 것이나 마찬가지입니다. 또한, 분자는 우리라 만질 수 있는 세계나 눈으로 관찰하는 세계에 전혀 영향을 주지 않습니다. 하지만 좀 더 강력한 현미경을 사용하고, 분자에 대한 적절한 가설을 세운 후 그것을 검증해 나가다 보면 물질이 사실은 분자라고 하는 작은 알갱이로 이루어져 있다는 것을 알 수 있습니다. 이것은 분자에 영향을 줄 수 있는 실험을 하였기 때문입니다. 이것을 화학이라고 합니다. 화학 실험은 전부 분자에게 영향을 주는 실험으로 구성됩니다. 그럼, 화학에서 쿼크는 존재할까요? 화학에서는 쿼크는 있으나 없으나 관계 없습니다. 화학에서는 분자가 원자로 구성된다는 것 까지만 알고 검증하면 그걸로 끝일 뿐, 그보다 더 미시세계인 쿼크의 존재성은 알 필요가 없습니다. 왜냐하면 화학적 에너지로는 쿼크에 아무런 영향을 줄 수 없기 때문이죠. 반대로, 쿼크 역시 화학 실험에는 아무런 영향을 주지 않습니다.

따라서, 관찰되지 않을만큼 충분히 작은 미시세계가 거시세계의 실험에 의해 파괴될 수 있다는 것은 그 자체로서 논리적인 모순을 발생시킵니다. 미시세계가 거시세계의 실험에 의해 파괴되었다면, 그것은 반드시 관찰되어야만 하기 때문입니다. 반대로, 관찰되지 않을만큼 충분히 작다면, 미시세계는 거시세계의 실험에 의해 결코 파괴될 수가 없습니다.

이러한 것이 존재하는가 아닌가에 대한 논쟁은 빛을 전달하는 매질인 “에테르(Aether)”의 존재성에 관한 실험에 잘 나타납니다. 마이켈슨과 몰리의 실험을 자세히 살펴보면, 빛은 에테르를 필요로 하지 않음을 증명할 수 있습니다. 아인슈타인의 상대성 이론은 결코 에테르의 존재성 자체를 부정한 것이 아닙니다. 다만, 빛의 특징을 전부 설명하는데 있어서 에테르가 단 한번도 등장할 이유가 없고, 따라서 에테르는 그냥 있든 없든 우리 세계에 전혀 영향을 주지 않음을 증명한 것일 뿐입니다. (적어도 전자기학에는 영향을 주지 않는다는 것입니다.)

우리는, 어떤 것을 관찰하기 위해서 만져봐야 합니다. 만져지지 않는다면, 그것은 없는 것과 마찬가지이고, 만지지 않았는데 뭔가가 변한다는 것은 논리적인 모순입니다. 이해 하시겠습니까?

내가 1km를 가는데 들여야 하는 “비용”은 어떻게 계산할까?

물론 이 비용은 교통수단마다 다르다.

내게 있어 실제적인 지출에 해당하는 것은 “시간”과 “돈”이므로, 시간과 돈을 곱한 값을 “비용”으로 처리해야 할 것이다. 물론 시간가치를 돈으로 환산해서 합산해도 되지만, 이 경우에는 곱셈이 맞다고 본다. 왜냐하면 돈을 아주 많이 들인다고 시간이 0이 되는 것도 아니고, 시간이 아주 오래 걸린다고 해서 돈이 0원이 들어가는 것도 아니기 때문에, 0이 아닌 “비용”을 사용했다면 반드시 둘 다 0이 아니어야 하기 때문이다. 또한, 절충한답시고 덧셈과 곱셈을 같이 쓰는 건 다음과 같이 의미가 없다. 돈을 $m$이라고 하고 시간을 $t$라고 하면

$m+t+m*t = m+t+m*t +1 -1 = m*(1+t)+t+1-1 = (m+1)*(t+1)-1$

이 되어서 대략 곱셈에 비례하게 된다.

그럼, 대략 방정식을 세워보면

$m*t=C$

여기서, $C$는 비용이 되겠다. 비용은 다시 다른 방법으로 계산해야 하는데

$C=C(기름값, 교통비, 시간, 교통량, 속력 )$

등등의 함수가 될 것이다. 물론 이때 교통비는 다시 기름값과 시간의 함수로 표현된다.

이제, 이것을 Action으로 두고 최적화 시키는 것을 써 보자.

$L(m, \dot{m}, t)=C-m*t$

$\frac{\partial L}{\partial_m}-\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial_{\dot{m}}}$

그럼 이제 $m(t)$를 구할 수 있다.

주의 : 난 물리학 전공이지 경제학 전공이 아니므로 위 내용이 맞는 내용인지는 보증하지 못한다.

죽고 싶을 때 살아보는 것도 용기다.

생각해 보니까, 난 태어난 날을 결정할 수 없었고 죽는 날도 결정할 수 없다. 스스로 죽는건 가능하다 해도, 그 이후에 뭔가 할 수 있는게 아무것도 없는데 죽을 이유가 없다.

친구라는 것은, 해변가에서 모래를 한줌 쥐었을 때, 다 흘러내리고 손바닥 안에 남아있는 몇개의 모래알이랑 비슷하다.

계속해서 붙잡지 않으면 모두 흘러내려서 다른 모래알과 구별되지 않을 것이다.

우정이라는 것은, 해변가에서 물을 한손 퍼올렸을 때, 다 흘러내리고 손바닥 안에 남아있는 조금의 물기와 비슷하다.

계속해서 손을 적시지 않으면 모두 말라버려서 손바닥은 결국 메말라 버릴 것이다.

최근에 그렇게 느꼈다.

평면 위에 직선이 하나 있다고 하자. 그 직선은 무한히 먼 곳에서 시작하여 무한히 먼 곳에서 끝난다. 낭만적이지 않은가? 그렇게 길게 이어진 직선은 평면을 두 영역으로 나눈다. 그것이 남과 북이 되었든, 좌와 우가 되었든 문제는 되지 않는다. 평면 위에 있는 모든 점은 따라서 평면에 있는 세개의 부분집합 중 하나에 반드시 포함된다. 왼쪽에 있거나, 오른쪽에 있거나, 또는 직선 위에 있거나. 그중에 없다면 이 점은 평면 위에 있는 점이 아니다.

직선의 방정식은 일반적으로 다음과 같다.

$ax+by+c=0$

이 방정식에다가 어떤 점 (p,q)가 세 집합 중 어디에 있는지 알아보려면?

이렇게 하면 될 것 같다.

$ap+bq+c < 0$ : 왼쪽
$ap+bq+c=0$ : 직선 위

$ap+bq+c >$ 0 : 오른쪽

(여기서, 왼쪽이냐 오른쪽이냐는 전혀 시각적인 이미지가 아니며, 대충 말로 정한 값이다.)

따라서, 어떤 점 두개 (p,q)와 (r,s) 가 있을 때, 직선이 나누는 세 영역 중에서 같은 쪽에 있는지 확인하려면 다음과 같이 하면 된다.

$sgn(ap+bq+c)*sgn(ar+br+c) > 0 $ : 같은쪽

$sgn(ap+bq+c)*sgn(ar+br+c) < 0 $: 다른쪽
$sgn(ap+bq+c)*sgn(ar+br+c) = 0 $: 둘 중 한놈이 직선 위에 있는 놈이다.

그래서, 일단 벡터가 주어졌을 때 직선의 방정식을 한번 써 보자.

벡터가 (x1,y1), (x2,y2) 라고 한다면

$y=\frac{y2-y1}{x2-x1} (x1-x) +y1$

이 수식을 $ax+by+c$ 형태로 바꾸면

$a=y2-y1$

$b=x1-x2$

$c=y1*x2-x1*y2$

이 된다.

이제, 삼각형 내부에 점이 있는지 없는지 판정하는 함수를 만들 준비가 끝났다.

어떤 점이 주어진 삼각형 내부에 있는지 외부에 있는지 판정하는 방법을 드디어 알아냈다. 자세한 증명은 좀 더 명확히 해 보도록 하고 일단 방법부터 설명하도록 한다.

삼각형에 있는 세개의 변 중에 임의의 2개를 고른다. 그리고 그 2개의 변을 양쪽으로 연장해서 평면을 4개로 분할한다. 적당히 그 4개의 분할된 영역을 분면이라고 하고, 1,2,3,4분면이라는 이름을 붙여두자.

[보조정리]

이제, 점이 삼각형 내부에 있다고 가정하자. 그럼 그 점은 반드시 4개의 분면중에 1개에는 들어 있어야 한다. “내부”라고 하였으므로 직선 위에 있는 경우는 없다.

또한, 나머지 한개의 변의 중점을 생각하자. 그 중점 역시 4개의 분면중에 1개에 들어가 있다.

점이 삼각형 내부에 있다면, 나머지 한 변의 중점과 주어진 점은 반드시 같은 분면에 들어간다.

[증명] 일단 생략

[정리]

어떤 점이 삼각형 내부에 있다면, 삼각형에 있는 3개의 변 중에서, 어떤 임의의 2개 변을 선택하더라도 나머지 한 변의 중점과 그 점은 같은 분면 안에 반드시 포함된다. 즉, 2개씩 고르는 작업을 3번 하면 삼각형 내부에 있는지 아닌지를 알아낼 수 있다.

[증명] 어쨌든 일단 생략

직관적으로는 일단 옳다는 결론을 내렸다. 상세한 증명은 그림을 좀 더 그려본 후에 작성해볼 예정이다.

——

더불어, 이 과정은 볼록다각형으로 확장할 수 있다. 볼록다각형은 한 점을 잡고서, 순서대로 점을 두개씩 골라가면 삼각형으로 분할할 수 있기 때문에 각각의 삼각형에 대해서만 판정하면 된다. 물론, 이 경우, 실제로 다각형의 변을 이루는 삼각형의 변과, 다각형 내부에 있는 삼각형의 변 중에서, 만약 그 점이 다각형 내부에 있는 삼각형의 변 위에 있다면 그것은 다각형 내부에 있다는 점을 염두하여 계산할 필요가 있다.

그리고 볼록다각형으로 확장한 다음에는 오목다각형을 포함할 수도 있다. 오목다각형은 볼록다각형 여러개로 잘라낼 수 있기 때문이다.

또한, 다시 이 과정을 다차원으로 확장할 수도 있다. 가령, 3차원의 경우에는 임의의 사면체에 대해서 먼저 증명하면 된다. 이 경우에는 사면체 중 꼭지점 하나를 공유하는 평면 3개를 정하고, 나머지 한 평면의 중점과 필요한 점이 8개의 분할된 공간 중 같은 공간에 속하는지를 판정하면 된다.

4차원에서도 가능할 것 같다. 이 경우에는 사면체 5개로 이루어진 초사면체에서 꼭지점 하나를 공유하는 사면체 4개를 정하고, 나머지 한 사면체의 중점과 필요한 점이 16개의 분할된 공간 중 같은 공간에 속하는지를 판정하면 된다. 물론, 복잡하다. -_-;

고율님 블로그에서 보고 따라해 봤다.

11명 중에 한 사람을 선정하기 위해서 주사위를 굴리기로 했다.

주사위를 유한한 횟수 이내로 굴려 균등한 확률로 11명 중의 한 명을 선정할 수 있는 방법을 서술하시오. (단, 주사위는 정 6면체이다.)

*읽기전에 알아둘 것 :

이 논리는 틀렸습니다!


$(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab$

기본 아이디어는 이항전개다.

각 면에 써 있는 숫자를 n이라고 놓고, k번 던진 다음에 나오는 숫자를 계산해 보면

$\left(\sum^6_{i=1}e^n \right)^k$

으로 쓸 수 있고, 이 식에서 각 항마다 있는 계수는 정해진 합에 대해서 그 합이 나오는 경우의 수가 몇개인지 알려준다. 그럼, 적당히 큰 k를 고르고, 그중에 계수가 11을 넘는 합 하나를 가져오자. 합 자체는 얼마가 되든 상관 없다. 그냥 a라고 하자. 그리고 그 계수를 m이라고 하자. m은 이항전개에서 해당 항이 나오는 횟수가 몇번인지 알려준다. 따라서, 이항전개에서 그 항은 11번 이상 나온다.

이 말은 바꿔 말하면, 주사위를 k번 던질 때 전체 가능한 경우의 수 중에서 합이 a가 되는 경우가 m번 있다는 뜻이다. 그럼, 이제 합이 a가 되는 경우 각각을 11명의 사람들에게 배정한다. 경우의 수가 11을 넘어갈 수도 있지만, 나머지는 무시해 버려도 된다. 순서 따져서 각각이 구별 가능하기만 하면 된다.

이제 주사위를 k번 던지는데, 합이 a가 되지 않으면 무시하고, 합이 a가 되면 그렇게 된 경우가 11명의 사람이 배정받게 된 경우 중 어느 것에 해당하는지 따져본다. 아무도 배정받지 않았다면 다시 던진다.

이것이 가능한 이유는 전체 경우의 수 각각이 발생할 확률은 똑같기 때문에, 우리가 원하는 만큼만 골라내고 나머지는 다 버려도 문제가 없다는 것이다.

또한, 합이 a가 나올 확률은 0이 아니므로 반드시 유한한 횟수 안에 끝난다. (물론 계속 합이 a가 나오질 않아서 조금 더 길어질 수는 있으나, 확률이 0이 아니기 때문에 무한히 시행하다보면 실제로 무한까지 가기 전에 유한 횟수 내에 끝나는 것이 보장된다.)

Askhow.co.kr 에 올라왔던 질문이다.

만약, 레이저포인터를 수평 방향으로 해 놓고 킨 뒤,

그 레이저 포인트의 레이저에 수직한 거울을 놓으면 다시 반사되는데,

이 때 재빠르게 거울에 또 다른 거울을 평행하게 놓으면 거울에 반사되어 나가던 빛이 또 반사되고 반사되고…. 할 수 있나요?

그리고 그 거울의 거리를 계속 줄여나가면 빛이 짧아지고, 그 상태에서 거울과 거울 사이를 밀봉하면 빛이 그 안에서 못 빠져나오겠죠?

또, 그런 빛을 적외선으로 하고 위와 같은 과정을 한다면 밀봉한 거울 상자에서 열이 나올 수 있나요?

대칭성을 이용한 간단한 증명.

사고실험을 해 보았다. 몇가지 간단한 가정들이 필요한데, 다음과 같다.

1. 거울은 완벽하게 평평하고 완벽하게 매끄러워서 난반사란 없다. 오직 정반사만 있을 뿐이다. (정반사 = 입사각과 반사각이 같은 반사)

2. 빛은 정확히 직진한다. (즉, 기하광학을 쓰겠다는 얘기)

상황 1. 거울 두개가 완벽하게 평행하게 있다.

이 상황에서, 빛이 진행하는 방향이 거울의 면에 대해서 수직이 되지 않는다면, 빛은 분명히 삼각형 톱날 모양을 그리면서 거울 사이를 왕복할 것이다. 그리고 이 때의 톱날 모양의 크기는 진행 방향이 직각에 가까워짐에 따라 점점 작아질 것이다. 따라서 직각이 되면 완벽하게 크기가 0이 되고, 한 위치에서 왕복할 것이다.

물론 빛이 레이저 포인터를 출발한 후, 거울에 반사되어 다시 되돌아 오기 전에 레이저 포인터를 없애는 것은 실제로 가능하다. 거울이 충분히 멀리 있기만 하면 갔다 오는데 시간이 걸리므로 얼마든지 할 수 있는 일이다.

상황 2. 거울 두개가 평행하지 않다.

이 상황에서, 마찬가지로 빛은 거울에 대해서 수직으로 입사하지 못하므로 톱날 모양을 그리게 될 것이다. 거울 두개를 점점 평행하게 만들면서 두 거울 중의 한개를 빛의 진행 방향에 대해서도 수직으로 서게 만든다면, 앞서와 마찬가지로 톱날 모양은 점점 작아지면서 한 위치에서 왕복하게 된다.

상황 3. 따라서 한 위치에서 왕복한 후, 거울을 좁혀나간다.

거울을 좁혀나가게 되면 빛이 왕복할 수 있는 거리는 짧아질 것이다. 만약 빛이 충돌하는 순간에 거울이 움직이고 있었다면 도플러 효과가 있을 것이므로 빛의 파장도 같이 짧아질 것이다. 기술적으로 빛이 충돌하는 순간에는 거울이 움직이지 못하게 할 수 있다면, 빛의 파장은 유지될 것이다.

상황 4. 그래서 거울 두개가 붙어버리면?

거울 두개가 붙어버리면 빛은 점점 갈 곳이 없어지다가 완벽하게 거울 두개가 붙은 이후에는 반드시 거울에 흡수될 것이다. 따라서 거울의 온도가 올라간다.

아무튼, 밀봉할 필요는 없다. 적외선이 될 필요도 없다. 거울에 반사만 되는 정도의 빛이면 충분하다.

빛을 파동으로 생각하면 이 논의는 이제 산으로 흘러가게 된다.

상황 5. 빛이 파동이면?

빛이 파동이라면 거울에 닿을 때마다 반사되는 점을 기준으로 구면파 형태로 퍼져나가게 된다. 따라서 빛이 흩어져 버릴 것이다. 이 경우에도 빛이 가진 에너지는 흩어지기만 할 뿐 사라지지는 않으므로 거울을 좁혀나가다 보면 거울에 반드시 흡수되어야 할 것이다. 물론 거울이 충분히 (무한히) 커야 할 것이다.