전자기학 공부하기

어쩌다보니 각 전공 과목별로 공부하는 방법에 관한 글을 다 쓰게 될 것 같다. 이번에는 전자기학에 관한 글이다. 어디까지나 이 글은 좀 더 고급의 공부를 원하는 고등학생, 물리를 전공하지 않았지만 뭔가 해보려는 일반인 또는 비전공자 대학생 등을 대상으로 하고 있다. 이미 다 배우신 분들에게는 해당되지 않으므로 그런 분들은 이 글의 오류와 부족한 점을 지적해 주시면 되겠다.

전자기학은 물리학의 4대역학, 그리고 다른 물리학 과목을 통틀어서도, 가장 핵심적이고 중요한 과목이라고 할 수 있다. 의외로 양자역학보다 더 중요하다고 할 수 있는데, 그 이유는 실제로 사람들이 가장 많이  느끼고 있는 물리학의 응용 사례가 바로 전자기학이기 때문이다. 당장 많이 사용하는 스마트폰 등의 통신기기, 그리고 그 통신기기를 연결하는 통신망(전기통신, 전파통신, 광통신 등), 그 통신기기를 작동시키고 업무와 게임을 할 수 있게 해주는 컴퓨터, 거기에 세탁기, 전자레인지, 선풍기 등등과 같은 가전제품에 이르기까지 전자기학의 손이 닿지 않은 곳이 없다. 심지어 에어컨과 같이 열역학/통계역학을 적용한 것 같은 제품이라 해도 핵심 원리를 제외한 구동, 제어 부분은 여전히 전자기학의 응용이라고 볼 수 있다. 역사적으로도 전자기학은 특수 상대성이론을 만든 모티브가 되었고, 고전 전자기학으로 설명할 수 없는 광전효과와 수소 원자핵 모형은 양자역학의 뿌리가 되었다. 본-오펜하이머 근사는 원래 전자기학의 후속편인 광학에서 등장한 방법론일 지경이다. 게다가 전자기학에 양자역학을 끼얹은 양자전기역학은 핵물리학으로 끝날 것 같아 보였던 기본입자의 세계를 더 작은 광자와 전자, 그리고 쿼크와 같은 기본입자들의 상호작용으로 분해할 수 있게 한 양자장론 및 게이지 장론의 기본적인 아이디어를 제공한다. 전자기학은 그만큼 실험적으로나 이론적으로나 역사적으로나 개념적으로나 엄청나게 중요한 과목이다.

전자기학에서는 그럼 어떤 문제를 풀어야 하는가? 전자기학은 전기장, 자기장의 변화와 전하의 움직임에 관한 이론이다. 즉, 당신이 주어진 조건에서 전기장의 분포와 변화, 자기장의 분포와 변화, 전하의 움직임을 모두 알아냈다면 전자기학 문제는 다 푼 것이다. 하지만 그것이 골치아픈 이유는 전기장과 자기장이 벡터장이라는 것과, 전하가 전자기장을 만들면서 동시에 전자기장이 다른 전하의 움직임에 영향을 주기 때문이다. 다행히(?) 전하가 전자기장을 만들면서 동시에 전자기장에 영향을 받는 경우에 대한 이론은 전하가 많아지고 전자기장이 강력해질 때는 너무 어렵고 복잡하기 때문에 “플라즈마 물리학”과 “비선형 동역학” 등으로 떨어져 나갔다. 만약 당신이 플라즈마 물리학을 전공할 생각이라면 전자기학은 껌처럼 씹을 수 있어야 할 것이다. 이 분야가 “전자기학”이라는 학문의 큰 범주에는 포함되어 있지만, 전자기학이라는 “과목”에는 들어가지 않으니 초심자인 당신에게 다행이라면 다행이다.

전자기학에도 풀어야 할 운동방정식이 있다. 크게 분류하자면 2개이다. 하나는 전하가 공간에 분포하고 있을 때 전기장과 자기장이 어떻게 생성되는가에 대한 방정식, 즉 맥스웰 방정식이고, 다른 하나는 전기장과 자기장이 공간에 분포하고 있을 때 전하가 어떻게 움직이는가에 대한 방정식, 즉 로렌츠 방정식이다. 이 두 종류의 방정식을 자유롭게 갖고 놀 수 있다면 당신은 전자기학을 잘 공부한 것이다. 이제, 어떻게 그것들을 갖고 놀아야 하는지 살펴보자.

맥스웰 방정식은 다시 4개의 방정식으로 나누어지고, 그 방정식의 항에는 모두 이름이 붙어있다. 그 법칙과 이름 자체는 모든 전자기학 책에서 당연히 나오기 때문에 여기서 굳이 설명을 하지는 않도록 하겠다. 중요한 것은, 그 법칙의 모든 것을 다 알아야 한다는 점이다. 이것은 물리학을 공부하는데 있어 여러가지 의미를 갖는다. 첫째, 당연한 말이지만 전자기학은 그 자체로 중요하다. 둘째, 맥스웰 방정식의 각 항마다, 심지어 그 항에 붙어있는 +와 -부호에도, 역사와 실험이 숨쉬고 있는데 전자기학의 역사에서 그 항이 어떻게 추가되었는지 공부하는 것은 물리학적 직관을 얻는데 도움이 된다. 셋째, 맥스웰 방정식의 풀이에서 나온 미분방정식들은 물리학을 공부하는 한, 심지어 물리학이 아닌 다른 분야로 가더라도, 다른 과목에서 계속해서, 꾸준히, 끝까지 나타나서 당신을 괴롭힌다. 그러므로 미리 익숙해 지는 것이 좋다.

그럼 이번엔 교재를 어떻게 파헤쳐야 할지 살펴보자. 대부분의 학부 전자기학 교재는 전기력에 대한 이야기를 먼저 풀고, 그 다음 전류, 자기장, 맥스웰 방정식 순서로 설명을 하고 있다. 특히, 첫 챕터에서는 전자기학에 관한 소개, 둘째 챕터에서는 쿨롱 법칙, 셋째 챕터에서 가우스 법칙과 라플라스 방정식, 푸아송 방정식에 대해 소개를 하고 있다. 쿨롱 법칙까지는 고등학교 때 배우기 때문에 크게 고민하지 않고 그냥 넘어갈 수 있겠지만, 그 다음 세번째 챕터는 그렇지 않다. 바로 이 세번째 챕터에서 소개하는 라플라스 방정식을 얼마나 잘 이해하고 잘 다루느냐가 앞으로 당신의 전자기학 성적 및 물리 실력에 큰 영향을 줄 것이다. 반복하는데, 라플라스 방정식을 얼마나 잘 이해하고 잘 다루느냐가 앞으로 당신의 전자기학 성적 및 물리 실력에 큰 영향을 줄 것이다. 너무 중요해서 두번 말하고 굵은 글씨에 빨간색으로 칠했다. 왜냐하면, 라플라스 방정식은 죽지않고 살아남아서 옴의 법칙에서 당신을 또 괴롭힐 것이고, 자기 스칼라 퍼텐셜에서 당신을 세번째로 괴롭힐 것이기 때문이다. 그리고 여기서 등장한 르장드르 함수, 베셀 함수와 같은 특수 함수는 양자역학과 광학에서, 그리고 또 다른 과목에서도, 다시 되살아나서 마주치게 된다. 그러니까 라플라스 방정식의 풀이법은 아무리 연습을 많이 하더라도 부족함이 없다. 또, 대칭성에 관한 논의가 여기서 처음으로 나오게 되는데 이 개념 또한 물리학에서 두고두고 우려먹을 예정이기 때문에 깊이있게 이해하는 것이 좋다.

그렇다면, 그 중요한 라플라스 방정식은 어떻게 접근해야 좋은가? 라플라스 방정식의 수학적 구조 중에서 가장 중요한 것은 바로 “선형성”이다. 선형성(Linearity)이란 무엇인가? 미래의 언젠가 비선형 미분 방정식을 만나게 되면 울면서 이 방정식의 선형성을 되찾아 달라고 할지도 모르는 바로 그것이다. 라플라스 방정식의 선형성이란 만약 f(x)이 하나의 솔루션이고, 또 다른 g(x)가 하나의 솔루션이라면 그 둘의 선형 결합인 af(x)+bg(x) 또한 그 라플라스 방정식의 솔루션이라는 뜻이다. 미분방정식과 선형대수학 수업을 들은 사람들에게는 당연히 익숙한 개념이겠지만, 대부분의 물리학과 학생들은 미처 그 사실을 깨닫지 못한 채, 또는 그것이 얼마나 중요한지 알지 못한 채 전자기학의 고통 속으로 내던져지기 때문에 고난의 행군을 시작하는 경우가 많다. 다시 말하지만, 라플라스 방정식의 선형성은 매우 중요하다.

라플라스 방정식의 선형성은 또 다른 특징인 “유일성(Uniqueness)”과 만나면서 그 참다운 빛을 발한다. 라플라스 방정식의 유일성이란, 주어진 경계조건에서 만약 어떤 솔루션을 하나 찾아냈다면, 그 솔루션은 반드시 유일한 솔루션이며, 다른 솔루션은 존재하지 않는다는 뜻이다. 이게 왜 중요하냐고? “어떻게든 답을 찾기만 하면 그건 정답”이기 때문이다. 이 챕터에서 변수분리법을 이용해서 좌표계마다 해법이 등장하고, 영상전하법이 등장하게 되는데, 그것들이 없었다면 전자기학은 아마 지금보다 수십배는 더 어려운 과목이었을 것이다. (물론 지금도 어렵다고 생각하는 사람이 있겠지만.) 각종 하모닉스 함수들은 라플라스 방정식의 선형성에 의해 그 함수들의 선형 결합으로 솔루션을 나타낼 수 있게 해 주고, 그 선형 결합의 계수를 찾아내기만 하면 유일성에 의해 정답인 것이 보장된다. 즉, 매개변수가 3개인 2차 편미분 방정식이 그냥 산수 문제로 바뀌는 것이다. 이것이 어찌 축복이 아닐 수 있을까?

라플라스 방정식을 이해하고 나면 그 이후는 맥스웰 방정식이 나오기 전까지는 쉽다. (어딜봐서?) 쉽다니까.

라플라스 방정식을 비균일한 편미분 방정식(우변이 0이 아닌 경우)으로 바꾼 것이 푸아송 방정식인데, 이건 또한 반대로 전혀 쉽지 않다. 물론 많은 수학자들이 푸아송 방정식의 해법을 샅샅히 파헤쳐 놓았기 때문에 열심히 공부하면 잘 할 수 있겠지만, 푸아송 방정식에 주어진 전하분포가 대칭적이지 않고 막돼먹은 경우를 마주쳤을 때 생기는 그 당혹감은 앞에서 라플라스 방정식을 처음 마주쳤을 때에 못지 않다. 당혹스럽지 않다면 그건 당신이 아직 푸아송 방정식이 왜 어려운지 잘 이해하지 못한 것이다. 푸아송 방정식은 우변이 0이 아니다보니 아무래도 대학원 과정에서 깊이있게 배우게 되는데, 만약 깊이있게 보고 싶다면 그 중에서도 가장 중요한 것이 그린 함수 기법(Green function method)이다. 그린 함수 기법은 푸아송 방정식에 주어진 전하분포를 점전하들의 집합으로 보고, 그 점전하들이 만들어 내는 전기장을 전부 다 더해서 풀어버리겠다는 발상에서 시작한다. 여기서 그 자세한 내용을 다 설명할 수는 없지만, 딱 하나만 언급하자면, 그린 함수 기법은 나중에 양자장론에서 다시 등장한다. 그린 함수 기법의 그린 함수가 양자장론의 Propagator 함수와 동등하기 때문인데, 이게 무슨 뜻인지는 양자장론을 공부할 때 가서 알게 될 것이므로 여기서는 더 이상의 자세한 설명은 생략한다.

가우스 법칙과 전기장에 관한 라플라스 방정식을 공부하고 나면, 옴의 법칙, 자기장에 관한 가우스 법칙, 암페어의 법칙, 패러데이의 법칙, 렌츠의 법칙을 공부하게 된다. 그리고 이 모든 것들을 종합하고 변위 전류(Displacement current)를 끼얹은 맥스웰 방정식에 도달하게 된다. 이 법칙들은 각각의 물리적 의미가 있으므로 잘 알아두자. 특히, 자기장에 관한 가우스 법칙 \nabla\cdot\vec{B}=0은 어떤 물리적 조건에 대해서도 우변이 항상 0이라서 별 것 없어 보이지만, 실제로는 “우리 우주에는 자기 홀극(Magnetic monopole)이 없다”는 아주 중요한 물리적 의미가 있기 때문에 결코 가볍게 넘어갈 수 없다. 렌츠의 법칙도 자기 유도 항의 부호가 -라는 간단한 공식이지만 물리학에서 가장 중요한 법칙 중 하나인 “에너지 보존법칙”을 뜻하기 때문에 당연히 중요하다.

공부를 하다 보면 책 중간쯤 어딘가에서 축전기와 코일에 관한 챕터를 만나게 되는데, 쉬어가는 코너라고 생각하면 된다. 전자공학에서 다루는 전자회로이론 중 가장 간단한 키르히호프의 법칙 2개를 배우고, 선형 회로만 풀기 때문에, 이 부분은 고등학교 수준의 물리를 열심히 공부한 사람이라면 어렵지 않게 넘어갈 수 있을 것이다.

자, 이제 맥스웰 방정식까지 오면서 많은 연습문제들을 만났을 텐데, 그 많은 연습문제를 고등학생이나 학부생 때 처럼 시간이 많을 때 가능한 한 많이 풀어보는 것이 좋다. 이게 수학인지 물리학인지 모를 정도로 많은 계산을 하게 되는데, 그 때 철저하게 훈련이 되어야 대학원에 가서 그나마 덜 고생할 것이다.

맥스웰 방정식을 지나고 나면 당연히 전자기파에 관한 파동방정식을 유도하게 될 것이고, 그 파동방정식의 솔루션을 구하게 될 것이다. 여전히 맥스웰 방정식의 파동 방정식은 “전자기학”의 수준에서는 선형 편미분 방정식이기 때문에 앞에서 배운 여러가지 수학적 기술들을 잘 써먹을 수 있다. 이쯤 되면 이제 당신은 전자기학 공부를 한번 했다고 할 만한 정도에 이른 것이다. 이렇게 말할 수 있는 것은 이보다 더 어려운 전자기학은 광학, 플라즈마 물리학, 비선형 광학, 양자전기역학 등으로 떨어져 나갔기 때문이다.

그럼 로렌츠 방정식은 어떠한가? 로렌츠 방정식은 안타깝게도 학부 수준의 전자기학에서 깊이있게 다루지는 않는다. 하지만 당신이 고전역학을 열심히 공부했다면, 주어진 전자기장에서 움직이는 전하에 대한 고전역학적인 운동방정식을 세울 수 있을 텐데, 그것이 바로 로렌츠 운동방정식이다. 그러므로 이 부분의 풀이는 고전역학에서 배운 기법으로 풀 수 있다.

전자기학은 다른 어떤 과목보다도 계산 문제가 많다. 물론 다른 과목도 계산하려고 작정하면 어렵고 복잡한 계산 문제가 많이 있겠지만, 전자기학은 당신이 굳이 작정하지 않더라도 복잡한 계산을 많이 다룬다. 하지만 전자기학은 그 어려움에 비례하여 물리학과의 물부심이 어디서 생겨났는지 말해주는 과목이라고 할 수 있다. 앞으로 물리학을 더 깊이있게 공부하기 위해서 대학원에 가게 되면 이론을 하든가 실험을 하든가 할텐데, 그 어디에서도 전자기학에서 배운 기술은 다 써먹을 수 있다. 이론을 하는 경우는 그 수많은 편미분 방정식과 적분을 연습한 것이 헛되지 않을 것이며, 실험을 하는 경우는 차라리 전자공학과를 갈걸 그랬나 싶을 만큼 깊이있게 전자회로를 다뤄야 하는데 전자기학의 기초가 탄탄할 수록 빠르게 적응할 수 있다. 실험 할 때 양자역학을 써먹을 수 있을 것 같은가? 양자역학은 실험 결과의 해석에서 써먹는 이론이지 실험 셋업을 꾸리고 장비 세팅하는데에는 아무런 도움이 안된다. 그러므로 앞으로 물리학을 깊이있게 공부하고 싶은 사람이라면 전자기학만큼은 절대 포기해서는 안된다.

Melotopia 1-14

숲에 한밤중에 들어간다는 것은 용맹한 전사나 마법사들도 달가워 하지 않는 일이다. 어둠이 모든 위험한 것들을 감추기 때문에 웬만큼 경험이 많은 자들이 아니고서는 힘들고 아프게 죽고 싶은 자들이 흔히 들어가는 곳이다.

이제 해가 모두 지고, 본격적으로 어두워진 숲 길 앞에서 공주 구출대의 세사람은 빵을 씹고 있었다.

“저, 실례합니다.”

그때, 일행에게 누군가 말을 걸었다.

“누구시죠?”

“왕궁에서 오신 분들 맞으시죠?”

말을 건 사람은 끝이 각진 수정으로 장식된 흰색 법사용 지팡이와 검정색과 흰색으로 이루어진 수녀복을 입은 어느 젊은 수녀였다.

“저는 이곳 성당에서 파견나온 그레이스라고 합니다.”

“파견? 요청한 적 없는데.”

루카가 고개를 갸우뚱 하며 다시 물었다.

“누가 파견했지?”

“성당의 주임 신부님께서, 여러분이 숲으로 들어가려 한다는 것을 아시고 저에게 길 안내와 혹시 부상이 있으면 치료를 부탁하셨습니다.”

“오호… 길을 아는가?”

“저희 성당은 신의 가호만으로 구할 수 없는 환자들을 위하여 약물치료를 함께 하고 있습니다. 그 약물들 중 인간의 기술력으로 만들 수 없는 것을 구하기 위해 이 숲의 엘프들과 교류하고 있어서 길을 알고 있습니다. 엘프들은 인간세계로 나오는 것을 좋아하지 않거든요.”

“그렇군. 전투 경험은?”

“종군 치료사 과정은 이수했지만 실전 경험은 아직 없습니다.”

“도와준다면 큰 힘이 될 것 같지만, 여기부터는 국경을 넘어가서 임무를 수행할지도 모르는데, 괜찮겠나?”

“괜찮습니다.”

“고맙다. 그럼 길 안내를 부탁하지. 숲의 괴물들이 있다는데, 괜찮은 건가?”

“그 점은 걱정 안하셔도 됩니다. 숲에는 괴수들이 출몰합니다만, 저는 엘프의 문장을 갖고 있기 때문에 제 근처에 있는 한은 그들이 접근하지 않을 겁니다.

그레이스가 지팡이 끝의 수정 장식을 가리키며 설명했다. 투명한 수정 장식 안에는 역시 투명하지만 구분되는 모습으로 어떤 문장이 그려져 있었다.

“그럼 들어가자. 공주님께서 헤매고 계실거야. 괴수들에게 벌써 당했을지도 모르지만, 부디 그런 최악의 경우는 피했기만을 바라야겠지.”

그레이스와 시에나가 각자의 지팡이에 마법으로 불을 밝혔다.

양자역학 공부하기

이번에는 양자역학을 공부하는 방법에 대해서 써 보도록 하겠다. 이 글은 양자역학에 관심이 많지만 아직 공부해볼 기회를 얻지 못한 고등학생, 물리학 전공자가 아닌 일반인, 물리학과 초심자를 위한 글이다. 당신이 이미 양자역학을 많이 공부한 상태라면 “후훗”하고 비웃어 주면서 이 글의 부족한 부분과 오류를 바로잡아주기를 바란다.

양자역학은 고전역학에서 통하던 물리적 직관이 대체로 통하지 않는다. 물론 고전역학을 완전히 포함하고 있기 때문에, 고전역학에서 설명하던 모든 현상은 당연히 양자역학으로도 설명할 수 있지만, 거기에 “어라, 뭐지?” 싶은 새로운 현상들이 추가된다. 다시 말해서, 당신이 직관적으로 생각했던 모든 현상은 양자역학에서도 일어난다. 그러나 그렇지 않은 일도 일어나기 때문에, 양자역학을 공부하면서 그냥 “고전역학이랑 똑같네”하고 넘어간다면 놓치고 넘어가는 것이 매우 많다는 뜻이다. 이것을 극복하기 위해서는 고전역학적인 직관에 추가적으로 양자역학적인 직관을 훈련해야 한다.

양자역학은 수학이 매우 중요한 과목이다. 양자역학을 공부하기 전에 기본적으로 미분적분학, 선형대수학, 미분방정식의 기본적인 부분을 공부해야 하고, 편미분방정식에 대해서도 알고 있으면 좋다. 당신이 고급 과정까지는 필요 없고 양자역학의 껍데기를 핥아보고 싶은 정도라면 미분적분학과 선형대수학만 알아도 좋다. 특히 선형대수학은 단어만 좀 바꾸면 양자역학이라고 불러도 될 정도로 양자역학과 매우 밀접한 관련을 갖고 있기 때문에 가장 필수적이라고 보면 된다. 물론 이런거 다 몰라도 양자역학 교과서 중간 부분을 딱 펼쳤는데 막힘없이 술술 넘어갈 수 있다면 당신은 선택받은 사람이니 물리학과로 진학해도 좋다.

양자역학을 공부하는 자세는 꼼꼼함과 수식을 믿는 것이다. 양자역학에서 다루는 세계는 기본적으로 미시세계이다. 플랑크상수를 0으로 간주하면 틀릴 정도로 아주 작은 세계에서 나타는 현상을 다루고 있으며, 그것은 곧 눈으로 볼 수 없다는 뜻이다. 양자역학 공부에서는 아무리 말이 안되는 결론이라 하더라도 수식을 계산하는 산수에서 틀리지 않았다면 결론을 믿어야 하는 경우가 많다. 또, 말이 안되는 결론이라고 생각했다가 이후에 실험적으로 증명된 것들도 많기 때문에 수식의 결과를 믿고 그 결과를 이해, 해석 하는 것이 매우 중요하다. 바로 이 부분이 고전역학과 차이가 나는 부분인데, 고전역학의 경우 기존에 알고 있던 직관적인 결과와 수식의 결론이 다르다면 직관을 믿어도 되는 경우가 많다. 대체로 수식을 계산하는 과정에서 틀렸기 때문이다. 하지만 양자역학에서는 직관과 수식의 결론이 다른 경우, 수식을 다시한번 꼼꼼히 검토하고 산수에서 틀리지 않았다면 그 계산 결과를 믿어야 한다. 유명한 불확정성 원리의 경우에도, 언뜻 보기에는 말도 안되는 결과지만, 이론으로 나타나고 실험으로 증명된 결과라는 점을 생각해 보자.

계산을 자세히 검토하는 꼼꼼함은, 물론 안 그런 과목과 학문이 없겠지만, 양자역학 공부에서도 중요한 학문적 미덕이다. 미시세계에서는 고전적인 직관을 믿을 수 없기 때문에 믿을 수 있는 것은 계산 결과뿐이다. 그러므로 계산 과정에서 실수를 하면 걷잡을 수 없이 그 오류가 전파된다. 어디서 틀렸는지 찾기도 어렵고 어디부터 고쳐야 하는지 감도 안온다. 그러므로 처음부터 틀리지 않도록 꼼꼼하게 계산하는 습관을 들이는 것이 좋다.

이런 자세를 갖고 있으면, 양자역학 공부는 어떻게 시작해야 할까? 물론 어느 과목이든지 다 그렇듯 좋은 교과서를 하나 붙들고 처음부터 끝까지 차분히 읽으면서 예제와 연습문제를 모두 풀어가면 된다. 하지만 문제는 첫 장, 첫 페이지부터 막히는 것이다. 양자역학 교재를 보면 어떤 책은 역사적 순서로, 어떤 책은 개념적 순서로, 어떤 책은 수학적 순서로, 어떤 책은 그냥 자기가 생각난대로(…) 서술하는 등, 다양한 방식이 있다. 어떤 책을 붙들고 읽든지 배우는 내용은 크게 차이가 없지만, 그런 설명과 당신의 사고방식이 얼마나 궁합이 맞느냐에 따라 체감 난이도가 달라진다. 그러므로 많은 책을 추천 받아보고, 도서관에 가서 다양한 교재를 조금씩 읽어보고(서문이라도 읽자), 이거 한권 읽어서 끝나는게 아니라는 걸 감안하고 교재를 선택하자. 읽다가 막히면 다른 책에서 해당 개념을 어떻게 설명하고 있는지 찾아보는 것도 좋다. 양자역학은 교재에 따라서 설명하는 방식이 판이하게 다른데 그건 저자가 갖고 있는 물리적인 이해에 기반하고 있다. 하지만 양자역학 교재는 모두 같은 개념을 다루고 있고, 그 개념들은 설명이 다를지는 몰라도 물리적 실체와 그 안의 수학적 구조는 같은 것이다. 따라서, 가장 중요한 것은 당신이 양자역학의 개념에 대한 당신 나름의 이해와 설명을 갖는 것이다.

자기 나름의 이해를 갖기 위해서 내가 추천하는 방법은 일단 교재를 한번 읽어서 전체적인 구조를 파악하고, 거기에 살을 붙여가면서 이해하는 것이다. 물론 논리적 순서나 수학적 엄밀성을 갖고 쓴 책의 경우 앞에서부터 꼼꼼히 이해해 가면서 읽는 것이 좋긴 한데, 그런 경우에 “내가 이 개념을 왜 배우지?”라는 질문이 해결되지 않은 채 무작정 습득해야 하는 상황이 벌어진다. 그러므로 전체적으로 한번 훑어보고 지금 배우는 개념이 뒤에 가서 어떻게 쓰이는지 감을 잡아가면서 공부하는 것이 좋다. 아무리 대충 쓴 교재라 하더라도 앞에서 썼던 개념은 다 뒤에서 다시 쓰이는 법이다.

또, 교재의 각 챕터 첫 부분에는 그 챕터에서 다루는 개념이 왜 등장했고, 왜 중요하고, 어떻게 쓰이게 될 것인지 간략하게 설명이 되어 있다. 그런 부분들을 꼼꼼하게 읽어야 양자역학을 공부하는데 재미를 붙일 수 있다. 더불어, 역사적으로 어떻게 그런 개념이 등장했고, 실험적으로는 어떻게 검증되었는지를 인터넷(=구글)에서 검색하면서 공부한다면 더욱 좋을 것이다.

교재의 연습문제는 어떻게 해야 할까? 대부분의 물리학 전공 과목들이 그렇겠지만, 연습문제는 방대한 계산을 필요로 하는 것들도 있으며, “이게 연습인가?” 싶을 정도로 복잡한 문제들이 많다. 여기서 복잡하다는 것은 어렵지는 않은데 계산이 복잡한 것을 뜻한다. 가능하면 그런 계산 문제들을 꼭 풀어보고 넘어갈 것을 권한다. 많이 풀다 보면 드디어 양자역학적 직관이 생길 것이다. 만약 그러기 귀찮거나(?) 다 알 것 같거나(?) 하는 경우라면 연습문제 중 앞에 5개 정도는 꼭 풀어보도록 하자. 자기가 진짜 아는지 모르는지 테스트 해 볼 수 있다. 진짜 알고 있다면 그정도는 손쉽게 풀 수 있어야 한다.

앞서 고전역학 공부하는 법을 다룬 글에서 고전역학적인 운동방정식을 얻는 세가지 방법에 대해 이야기 했었는데, 그렇다면 그에 대응하는 양자역학에서의 논의는 무엇일까?

고전역학에서 중요한 것은 물체의 위치와 속도라고 했다. 그것을 구할 수 있다면 고전역학의 문제를 다 해결한 것이다. 양자역학에서는 그에 해당하는 것이 파동함수이다. 만약 당신이 어떤 입자 또는 물리계의 파동함수를 구할 수 있다면 그 계에 대해서 모든 것을 알고 있는 것과 같다. 이 파동함수를 구하기 위해서 찾아야 하는 것이 운동방정식일텐데, 양자역학에서는 그에 해당하는 방정식이 여러개가 있다. 슈뢰딩거 방정식, 디락 방정식, 클라인-고든 방정식, 폰 노이만 방정식 등등. 양자역학 교과서에서는 이런 운동방정식들을 일반 원리에서부터 (대충) 유도하거나, 아니면 그냥 던져주거나 한 후, 곧바로 예제와 연습문제가 등장한다. 이미 양자역학을 한번 공부하고서 복습하거나, 고급 과정으로 들어가기 위해 고급 교재를 읽는 경우에는 별 문제가 없겠지만, 이 글을 읽고 있는 초심자인 당신이 이렇게 덜컥 내던져준 운동방정식을 곧바로 받아들이기에는 무리가 있을 것이다. 이런 경우에 좋은 교재는 이 방정식이 튀어나온 역사적 맥락이나 이유를 설명해주겠지만 대부분은 그렇지 않다. 하지만 걱정마시라. 이런 경우를 대비해서 있는 것이 바로 “현대물리학(Modern physics)”이다. 현대물리학이라는 이름이 붙은 과목은 양자역학이나 상대성이론같은 학부 심화 전공 과목의 역사적인 이해와 개념적인 설명을 보다 자세하게 설명하는 역할을 한다. 그래서 초심자가 양자역학을 공부할 때는 “현대물리학(Modern physics)”이라는 교재를 같이 두고 필요할 때 마다 찾아보는 것이 좋다.

수학적인 기법도 중요한데, 양자역학 문제는 교재의 초반부에 나오는 것들을 빼면 후반부 또는 연구 과정에서는 섭동법(Perturbation method)을 쓰는 경우가 많다. 섭동법을 써야 하는 이유는 “잘 모르니까”인데, 대표적으로 본-오펜하이머 근사가 그런 것이다. 만약 우리가 물리 문제의 정답을 알고 있다면 그 정답을 대입해서 검증하면 된다. 하지만 문제를 풀기 전에 그걸 알 수 있을리 없으니 정답을 찾아야 하는데, 그 정답을 찾으려면 정답을 알아야 한다는 모순이 발생한다. (본-오펜하이머 근사법을 공부해 보면 이 말이 왜 나오는지 알게 될 것이다.) 따라서 문제를 근사적으로 풀어야 하는 기법을 동원하는데, 여기서 바로 당신의 물리학적 수학적 센스가 중요하다. 근사적으로 푸는 기법은 결국 파동함수를 어떤 무한 급수로 근사하는데, 그걸 다 계산하려면 무한한 시간이 필요하다. 하지만 당신의 수명은 유한하므로 그걸 다 풀 수는 없고, 적당한 시점에서 끊어야 한다. 바로 그 “적당한” 시점을 얼마나 잘 정하느냐가 당신의 물리학적 센스에 달려있다. 1차, 2차항 정도는 이미 기존에 많은 물리학자들이 다 풀어놓았을 것이고, 3차나 4차도 논문 수준에서는 다 풀려있는 경우가 많다. 그럼 당신은 5차항에 도전할 것인가? 아니면 다른 기법을 쓸 것인가? 아니면 문제를 포기하고 다른 문제에 도전할 것인가? 이걸 잘 하는 것이 중요하다. 특히 고급의 물리학을 공부하면 할 수록 중요해지는 것이니 이게 무슨 말인지 잘 이해하도록 하자.

그렇다면, 이제 당신이 양자역학을 잘 알게 되었는지는 어떻게 판단할 수 있을까? 사람마다 판단 기준이 다르겠지만 나는 다음과 같이 생각한다. 어떤 물리계 또는 물리 문제가 주어져 있을 때, 1. 그 계를 설명하는 해밀토니안을 찾고 2. 그 해밀토니안에 걸맞는 적절한 운동방정식을 찾을 수 있으며, 3. 그 운동방정식을 양자화 할 수 있어야 하고 4. 양자화된 운동방정식을 5. 필요하다면 적당한 근사식을 통해서 풀 수 있어야 한다. 이렇게 다섯가지 단계를 성공적으로 할 수 있다면 양자역학을 그럭저럭 이해했다고 할 수 있겠다.

이쯤에서 양자역학을 공부하는 방법에 관한 글을 마무리 지으려고 한다. 당신의 양자역학 공부에 깨달음이 함께 하기를.

추신 – 이 글을 읽고 나서, 이 글 자체가 이해가 안된다면 아직 당신은 양자역학을 공부할 준비가 되지 않은 것이다. 일반물리학 부터 보시라.

추신2 – “양자역학 쉽게 이해하기” 종류의 교양 책은 양자역학을 공부하는데에는 전혀 도움이 되지 않는다. 그런 종류의 책은 양자역학에서 어려운 부분은 다 빼고 달달한 부분만 추출해서 만든 책이라고 보면 된다. 앞으로 물리를 공부할 생각이 없다면 모르겠지만, 만약 물리를 진지하게 공부할 생각이 있는 경우에는 교양 책은 들여다보지 않아도 된다.

고전역학 공부하기

이번에는 고전역학을 어떻게 공부할 것인가에 대한 글을 써 본다. 고전역학은 양자역학에서 플랑크 상수가 0인 경우에 대한 근사 이론이다. 뉴턴의 역학은 여기에다가 상대성이론에서 빛의 속력이 무한대인 경우에 대한 근사이론이다. 즉, 흔히 “물리학과”에서 이야기하는 고전역학이란 플랑크 상수는 0이고 빛의 속력은 유한한 경우에 대한 역학 이론이다. 이런 포함관계가 있다는 것을 알고서 고전역학을 공부하는 것이 고전역학을 공부하면서 개념 전개에 도움이 될 것이다.

고전역학을 어떻게 공부할 것인가에 대해서 이야기하기 전에, 고전역학이 왜 중요한 과목인지를 먼저 짚고 넘어가는 것이 좋을 것 같다. 고전역학은 다른 모든 역학 이론의 기본이며, 역사적으로는 고전역학의 이론과 실험에서 발생한 모순점을 해결하기 위해서 상대성이론, 양자역학 같은 이론이 고안된 것이기도 하다. 하지만 상대성이론이나 양자역학은 그 뿌리를 고전역학에 두고서 확장한 이론이기 때문에 고전역학 자체를 깊이 이해하지 않으면 이 이론들을 공부하는데 어려움이 있을 것이다. 또, 똑같은 상황에서 고전역학에서 나타나는 현상과 상대성이론이나 양자역학에서 나타나는 현상의 유사점과 차이점을 공부하는 것은 여러분들이 물리를 공부하는데 깊은 영감을 줄 수 있고, 만약 그 중에 아직 풀리지 않은 문제가 있다면 그 문제는 매우 중요한 문제이고, 깊이 연구해볼만한 가치가 있는 문제이다. 즉, 고전역학과 양자역학이 어떻게 다른지 모른다면 여러분들은 뭐가 중요한지 모르고 넘어가는 것이기도 하다. 이를 위해서 고전역학을 공부하는 것은 중요한 일이다.

고전역학에서 다루는 역학이란 물체의 위치와 속도에 관한 이론이다. 역학을 공부하면서 가장 중요한 것은 바로 끝까지 이 개념을 고수하면서 지금 풀고 있는 문제에서 물체의 위치와 속도를 어떻게 구할 것인가를 생각해야 한다. 반대로, 물체의 위치와 속도에 관한 문제는 반드시 역학 문제이다. 사실 물리에서 역학이라고 이름 붙은 많은 과목들이 있다. 고전역학, 열역학, 통계역학, 양자역학, 전자기역학 등등. 이것들은 모두 물체의 위치와 속도를 어떻게 표현하고 구할 것인가에 대한 이론이며, 각각의 분야에 맞는 적당한 이론 체계와 근사가 적용된 것이다. 이 글에서는 그 중에서 고전 역학을 어떻게 공부할 것인가에 대해서 다루어 보려고 한다.

앞에서 고전역학은 물체의 위치와 속도에 관한 이론이라고 했다. 즉, 위치와 속도는 우리가 풀게 될 문제의 “답”에 해당하는 것이다. 그렇다면 그 답에 대응하는 “문제”는 무엇일까? 그 문제를 우리는 “운동방정식”이라고 부른다. 고전역학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 운동방정식을 푸는 것이 아니라 운동 방정식을 구하는 것이다. 즉, 주어진 상황에 맞는 운동방정식을 구하는 것이 오히려 어렵다. 일단 운동방정식을 구한 다음에 그 운동방정식을 푸는 것은 어떻게든 할 수 있다. 만약 당신이 공부하는 것이 고등학교나 대학교 학부 수준의 교재라면 그 운동방정식은 쉬운 해법을 갖고 있으며, 아마도 답을 외워서 풀 수 있을 정도로 쉬울 것이다. 또, 당신이 풀고 있는 문제가 대학원 수준의 어려운 문제라면 적당한 적분식으로 바꾸는 정도에서 해법이 끝나게 될 것이다. 더 어려운 문제는 아직 답이 알려지지 않았거나, 알려진 답이 없다고 알려진 미분방정식인 경우인데, 연구 과정에서 흔히 만나게 된다. 하지만 이런 문제의 경우 수치해석적 기법으로 풀면 대체로 손쉽게 풀 수 있다. 중요한 것은 운동방정식을 찾아내는 것이다.

고전역학에서 운동방정식을 만드는 방법은 크게 세가지 방법이 알려져 있다. 뉴턴의 방법, 라그랑주의 방법, 해밀톤의 방법이다. 이 세가지 방법은 어떤 고전역학 문제에든지 적용 가능하며, 당신이 운동방정식을 찾아낼 수 있고, 그 운동방정식을 풀어낼 수만 있다면 모두 같은 답을 알려준다. 앞에서 서론이 길었는데, 결국 고전역학을 공부한다는 것은 이 세가지 기법을 어떤 문제를 만나더라도 능숙하게 사용할 수 있도록 연습한다는 뜻이다. 각 기법에 대해서 하나씩 그 특징을 알아보자.

뉴턴의 방법은 고전역학에서 가장 먼저 알려졌고, 가장 널리 알려진 방법이다. 대부분의 학생은 고등학교에서(또는 중학교에서) 배우므로 가장 처음 만나는 방법이기도 하다. 뉴턴의 운동방정식은 아주 간단하다.

\vec{F}=m\vec{a}

이게 끝이다. 하지만 구체적인 운동방정식은 결코 간단하지 않은데, 이 방법을 이용해서 문제를 해결하기 위해서 당신은 문제에서 주어진 힘과 물체의 위치, 물체의 질량을 모두 찾아내야 하기 때문이다. 만약 그중에 하나라도 빠트린다면 문제를 제대로 풀 수 없다. 운동방정식이 틀렸으니까 그 답도 틀릴 수 밖에 없다. 뉴턴의 방법을 적용하기에 적당한 문제는 주어진 계가 중력이나 전기력 상호작용을 하는 입자 2개로 이루어진 경우, 강체의 운동 문제, 마찰력이 존재하는 경우에 미끄러지거나 굴러가는 문제 등이 있다.

라그랑주의 방법은 그 이론적 근원은 뉴턴의 방법보다 복잡하지만 운동방정식을 찾아내는데 좀 더 쉬운 방법을 제공한다. 뉴턴의 방법과 비교할 때 가장 구분되는 점은 “일반화된 좌표”를 사용할 수 있다는 점이다. 뉴턴의 방법에서 사용하는 좌표계는 대체로 (x,y,z)로 이루어진 3차원 직교 좌표계이다. 하지만 만약, 어떤 시스템의 움직임이 여러개의 입자로 이루어져 있는데, 그 입자들 중 어떤 것들은 직교좌표계로 표현하는 것이 쉽고, 또 다른 것들은 구면좌표계로 표현하는 것이 쉽다면? 게다가 주어진 힘은 원통좌표계에서 표현하는 것이 쉽다면? 이런 경우 뉴턴의 방법은 운동방정식을 찾아내는 것 자체가 굉장히 어려운 문제가 된다. 물론 그렇게 찾아냈다 해도 문제를 푸는 것은 또한 어려운 일이 될 것이다.

라그랑주의 방법은 직교좌표계로 나타나는 힘과 위치를 찾을 필요 없이, 주어진 문제의 물리계를 나타내는 “일반화된 좌표”를 편한대로 설정한 후, 여기서부터 일반화된 힘을 유도해 낼 수 있다.

\frac{\partial}{\partial q}L - \frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial \dot{q}}L=0

여기서 L은 라그랑지안이고, 위치에너지에서 운동에너지를 뺀 값이다. \dot{q}은 일반화된 좌표 q의 시간 미분으로, 보통 “일반화된 속도”라고 부르는 값이다.

이렇게 라그랑지안을 썼을 때의 장점은, 연속체를 다루기가 쉬워진다는 것이다. 연속체의 경우 질점이 모두 다닥다닥 붙어있어서 각 “입자” 하나하나를 생각하기가 어려운데, 라그랑지안은 그 부분에 저장된 “에너지”만 생각해도 되므로 운동방정식을 세우기가 쉬워진다. 또, “힘”에 대해서 생각할 필요가 없으므로 좌표계 변환을 고민할 필요가 없다. 뉴턴의 방법에서 힘은 벡터량이므로 좌표계를 어떻게 표현하느냐에 따라서 똑같은 힘이라도 그 표현 방식이 달라지고, 그렇기 때문에 좌표변환이 매우 중요한 문제가 되는데, 라그랑지안은 에너지로 이루어져 있으므로 어떻게 좌표를 바꾸더라도 좌표변환을 고민할 필요가 없다. 라그랑주의 방법을 적용하기 좋은 문제는 연속체 문제, 입자가 여러개인 문제, 그 외 골치아픈 문제 전부 다이다.

해밀톤의 방법은 라그랑주의 방법과 비슷한데, 라그랑주의 방법에서 주는 운동방정식이 2차 미분 방정식이라면, 해밀톤의 방법에서는 1차 미분방정식을 준다. 물론 그 대신 운동방정식의 양이 2배로 늘어나긴 하지만. 일단 먼저 일반화된 운동량을 유도해야 한다. 일반화된 운동량은 라그랑지안을 일반화된 속도로 미분한 것이다.

p = \frac{\partial}{\partial \dot{q}}L

그리고 나서 라그랑지안에 대해서 르장드르 변환을 취해서 해밀토니안을 얻는다. 르장드르 변환은 다음과 같은 계산을 하면 된다.

 H = \sum_i p_i \dot{q}_i - L

인덱스 i는 입자가 여러개 있는 경우이며, 만약 연속체인 경우에는 적분으로 바뀌게 된다. 아무튼, 좀 복잡해 보이지만 이렇게 얻은 해밀토니안으로부터 다음과 같은 운동방정식을 얻으면 된다.

 \dot{p}=- \frac{\partial}{\partial q}H

 

 \dot{q} = +\frac{\partial}{\partial p}H

이렇게 하면 운동량과 속도에 관한 1차 연립 미분방정식 2개가 나오는데 이것이 바로 해밀톤 방법에서 말하는 운동방정식이다.

해밀톤 방법은 사실 운동량도 구해야 하고 르장드르 변환도 해야 하기 때문에 좀 더 까다로울 수 있지만, 1차 미분방정식을 얻을 수 있기 때문에 컴퓨터로 구현하기에 좋다. 또, 해밀톤 방법의 이론적 토대로부터 양자역학으로 확장되는 부분이 있어서 양자역학을 보다 깊이 공부하기 위해서 해밀톤 방법도 깊이 이해하는 것이 좋다. 그리고 상대성이론에서 물체의 속도보다 운동량을 생각해야 하는 경우가 자주 나오는데, 이 때 적용하기에 편하다. 즉, 해밀톤 방법을 쓰는 경우는 상대성 이론이 등장했을 때 좋다.

앞의 내용에서 고전역학 문제를 다루는 세가지 방법에 대해서 아주 간단하게 설명을 해 보았고, 각 설명의 마지막 부분에 어떤 문제에 적용하면 좋은지 적어두었다. 하지만 그런 것은 여러분들이 아주 많이 문제를 풀어보고 고전역학에 익숙해진 후에 저절로 알게 되는 것이고, 만약 당신이 아직 공부를 열심히 해야 하는 학생이라면 이 세가지 방법을 모두 배운 후 모든 문제를 세번씩 풀어 보는 것이 좋다. 즉, 어떤 하나의 주어진 역학 문제를 이 세가지 방법으로 모두 풀기 위해서 시도해 보는 것이다. 앞서 말했듯이 이 세가지 방법은 물리적으로, 그리고 수학적으로도(!) 동등한 방법이므로 당신이 문제를 제대로 풀었다면 동일하고 동등한 운동방정식을 얻게 된다. 즉, 이 세가지 방법으로 모두 풀어보라는 뜻은 세가지 방법을 이용해서 운동방정식을 얻어보라는 뜻이다. 그렇게 많은 연습문제를 풀어보다 보면 점점 이 방법들에 익숙해지고, 역학 문제를 바라보는 자신만의 관점이 생길 것이다.

소셜 그래프 게임의 분석

소셜 그래프 게임은 최근에 새로 생긴 도박의 한 형태이다. 게임 방식은 아주 간단한데, 판돈을 걸면 게임이 시작된다. 그래프에 숫자가 시간이 지남에 따라 올라가는데, 그 숫자만큼의 배율에 판돈을 곱해서 보상을 받는다. 단, 플레이어가 게임을 먼저 “종료”해서 적당한 배율을 얻어내야 한다. 만약 숫자를 올리고 있는 딜러가 먼저 “종료”한다면 판돈은 딜러가 가져가고 플레이어는 보상을 받지 못한다. 게임을 언제 종료할 것인가는 전적으로 플레이어와 딜러의 선택이다. 또한, 딜러와 플레이어는 서로 상대방이 언제 종료할 것인지 알지 못하는 상태에서 게임을 하게 된다.

이 게임은 위와 같은 인터페이스를 갖고 있는데 저기 숫자로 표시된 것이 배율이다. 자, 그럼 이제 이게 뭐가 문제인지 본격적으로 분석해 보자.

x_d를 딜러가 종료할 때의 배율이라 하고, x_p를 플레이어가 종료할 때의 배율이라고 하자. x_p < x_d인 경우 플레이어는 x_p의 이익을 보고, x_p \geq x_d인 경우 플레이어는 -1의 손해를 본다. 여기서 -1로 정할 수 있는 이유는 어차피 판돈에 비례한 배율이기 때문에 손해를 보는 경우 판돈만큼 잃기 때문이다. 이것을 수익 함수 f(x_p, x_d)로 쓸 수 있다.

그 다음, 서로 언제 종료할지에 대해서는 아무런 정보가 없으므로 일단 균등분포를 가정하자. 균등분포를 가정할 경우, 최대 배율 x_{max}가 있다고 해야 하는데, 그렇게 하면 확률밀도함수를 다음과 같이 규격화 할 수 있다.

P(x_p, x_d)=\frac{1}{x_{max}^2}

그럼 이제 평균적인 수익을 계산해 볼 수 있다. A영역에 있는 경우는 수익이 -1이다. B영역에 있는 경우는 수익이 x_p이다. 구간에 따라 적분을 계산하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

\int_A dx_d dx_p f(x_p, x_d)P(x_p, x_d) = -\frac{1}{2}

 

\int_B dx_d dx_p f(x_p, x_d)P(x_p, x_d) = \frac{x_{max}}{6}

 

\int_{A+B} dx_d dx_p f(x_p, x_d)P(x_p, x_d) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}x_{max}-1\right)

마지막 식의 의미는 무엇일까? x_{max}<3이면 평균 수익이 음수가 된다. 즉, 플레이어가 손해를 본다. 배율을 3배 이하로 유지하는 경우에는 플레이어가 무슨 전략을 써도 평균적으로 반드시 손해를 본다는 뜻이다.

하지만 동영상을 보면 배율이 3배를 넘어서 수십배, 수백배, 수천배까지 가는데요? 이런 질문이 나올 수 있다. 물론 그 경우에도 위와 같은 계산을 해서 플레이어가 평균적으로 손해를 보도록 만들 수 있다. 위의 적분 영역에서 A부분은 x_{max}의 제곱에 비례해서 늘어나는데, B부분은 확률밀도함수 P(x_p, x_d)의 구조에 따라 달라진다. 즉, 원하는 최대 배율을 설계하고서 확률밀도함수를 포함한 B영역의 전체 부피를 A영역의 부피보다 작게 유지한다면, 가끔 대박이 터지는 일은 있겠지만 전체적으로는 플레이어가 손해를 본다. 그것은 곧 딜러의 수익으로 이어진다. 심지어 이 분석은 딜러가 사기를 치지도 않고, 먹튀를 하지도 않고, 주어진 확률분포를 조작하지도 않는 나름 공정한 게임인 경우에도 성립하는 결론이다. 가령, 확률밀도함수의 중간 부분을 얇게 설계하고 최대 배율 근처와 작은 배율 근처만 두껍게 해서 대박이 좀 더 자주 터지는 것 처럼 설계할 수도 있다는 뜻이다. 또, B영역의 전체 부피가 A영역의 부피보다 작기만 하면 되므로, 아주 조금만 더 작게 설계해서 플레이어가 실제로 누군가는 이득을 보는 것 처럼 보이게 할 수도 있다.

결론 – 하지 마라.

Melotopia 1-13

성당에서는 신의 가호를 구하여 아프거나 다친 사람들을 낫게하는 치료소를 운영하고 있다. 50개 정도의 침대를 운영하는 병실은 환자들로 가득 차 있었다. 루카 일행이 병실에 들어서자, 저녁 시간이 되었기 때문에 수녀들이 환자들에게 식사를 배급하고 있었다.

“대장, 우리는 밥 안 먹어요?”

민트가 출발 후 지금까지 아무것도 먹지 못했다는 것을 새삼 느끼며 루카에게 물어보았다.

“그렇군. 나는 지금 뭘 먹고싶은 기분이 아니지만… 식사를 좀 부탁해야겠군.”

루카가 치료실에서 식사를 나눠주고 있는 수녀를 보고 말을 걸었다.

“우리 대원들이 허기를 채울만한 분량이 혹시 남는다면 부탁하고 싶네만.”

“아, 물론입니다. 그레이스! 여기 왕궁에서 오신 분들께도 식사를 드려요!”

그 수녀가 느닷없이 큰 소리로 외치는 바람에 식사하고 있던 환자들이 모두 일제히 두 사람을 쳐다보았다. 루카는 공연히 시끄럽게 굴었다는 생각에 환자와 수녀들에게 미안하다고 말하려 했다. 하지만 뭔가 이상한 느낌이 들었다. 병실에는 수녀와 환자들 외에도, 환자의 보호자들도 같이 와서 간호를 돕고 있었는데 남자 하나가 아레스로부터 고개를 돌린 채 자기 환자만을 돌보고 있었다. 그리고 그 환자는 머리에 붕대를 감고 있었다.

“어라? 시에나! 민트!”

루카가 배고프다는 눈빛으로 자신을 바라보고 있던 둘에게 그 남자와 환자를 붙잡도록 했다.

“우왓!”

시에나와 민트가 달려들자 그는 자기 앞에 놓여 있던 식기와 그릇을 집어 던지며 도망치기 시작했다.

퍼엉! 쨍그랑! 퍽!

“윽…”

“가긴 어딜가?”

미리 길을 봐두었던 민트가 도망치려던 남자의 뒷덜미를 금세 붙잡아서 바닥에 눕혀놓고 있었다. 그 사이 시에나는 그가 돌보고 있던 환자에게 다가가서 뒤집어 엎고 목에 칼을 들이댔다. 민트가 칼을 꺼내서 남자의 목에 겨누고 루카에게 데려왔다.

“크윽…죽여라!”

그 남자가 벗어나려는지 꿈틀거렸지만, 민트가 양 팔을 붙잡은 채 체중을 실어서 누르고 있었기 때문에 어떻게도 할 수 없었다.

“아직 아무것도 말하지 않았어. 뭐가 그렇게 급했는지 모르겠지만, 아마 너희들이 우리가 찾던 그 자들인 것 같은데. 지금부터 알게 되겠지만 인간은 그렇게 쉽게 죽지 않아. 넌 내가 죽으라고 할 때 죽게 될 테니까. 여기 수석 간호 수녀 있는가?”

“말씀하십시오.”

“이 자와 같이 온 자들이 누구인가?”

루카는 그가 간호하고 있던 세명의 부상자를 추가로 붙잡았다. 그 셋은 모두 머리에 붕대를 칭칭 감아놓아서 무슨 일이 일어나는지 알지도 못한채 묶여서 끌려왔다.

“이보게, 혹시 여기 조용한 빈 방 하나 있나?”

“네, 안내해 드리겠습니다.”

루카 일행은 수석 간호 수녀의 안내를 받아서 성당의 한쪽 구석에 있는 방으로 들어갔다.

“이곳은 원래 순례자들이 하루 쉬어 가는 곳입니다만, 지금은 순례 기간이 아니기 때문에 방이 모두 비어있습니다. 편한 대로 사용하십시오.”

“알겠네. 물러가도록. 그리고 지금 시간부로 성당 폐쇄는 해제하니, 문을 열어도 좋다.”

“감사합니다. 시키실 일이 있으시면 종을 울리십시오.”

그리고 그 수녀는 방 문을 닫고 나갔다.

철컥.

루카는 수녀가 방 문을 닫는 것을 보고, 문으로 가서 문을 잠궜다.

“자, 일단 어디 면상들을 살펴 보실까?”

멀쩡한 남자 한명을 제외하고, 붕대를 감은 셋의 붕대를 풀었다.

“으으윽…”

“조용히 안해?”

“으으…”

부상당한 셋은 아주 조화롭게 부상을 입었다. 한명은 왼쪽 귀가 터지고 얼굴의 왼쪽 전체에 멍이 들어 있었다. 한명은 코가 뭉개져 있었고, 아래턱에서 인중을 지나 이마로 올라가는 검붉은 피멍이 비쳤다. 나머지 하나는 턱이 왼쪽으로 꺾인 채 아직 돌아오지 못한 상태였다.

“음… 보아하니 지금 말할 수 있는 건 너 뿐인 것 같은데, 그렇지?”

“죽여라!”

“아냐, 여긴 성당이잖아. 그런 끔찍한 소리를 하면 안돼. 넌 곧 왕궁으로 가야 할건데, 거기 가면 아마 국왕 폐하께서 적절한 처분을 결정하실 것이다. 내가 감히 너의 처분을 결정할 수는 없지. 어떤게 적절한 처분일지는 나도 모르겠지만. 그보다, 듣고 싶은 이야기가 있는데, 해주었으면 좋겠는데.”

“여기서 죽여라.”

“안된다니까.”

“흐으읍! 터헙!”

와그작.

그 남자가 혀를 깨물고 죽으려는 것을 민트가 구둣발로 턱을 옆으로 차버리면서 무산시켰다.

“대장, 이 사람 말하기 좀 어려울 것 같은데?”

“아니, 이정도에 말을 못하진 않을거야.”

우두둑.

“우욱!!!”

루카가 빠져서 덜렁거리는 그의 턱을 붙들어서 끼워 맞췄다.

“내가 물어보는 말에 아는대로 대답한 것 같으면 일단은 더 다치지는 않을 것이고, 거짓말을 하는 것 같으면 많이 다칠거야. 속일 수 있으면 속여봐. 공주님을 납치한게 너 맞지?”

“죽여라…”

우두둑.

“으으으아아아아아아악!!!!!”

루카는 그의 오른손 손가락을 모두 거꾸로 꺾어버렸다. 그리고 다시 묻는다.

“왜 그랬는지, 누가 시켜서 그랬는지는 나중에 왕궁에 가서 대답해도 돼. 나도 널 죽이고 싶지만, 설마 폐하만큼 널 죽이고 싶겠어? 내가 지금 널 죽이면 죄를 짓는 거야. 그러니 말해. 공주님은 지금 어디에 있지?”

“모…모른다.”

우두둑.

“으아아아아아악!!!!! 지…진…짜…”

그의 나머지 왼손 손가락도 마찬가지로 뒤집어 꺾였다.

“아, 그래? 미안. 한번은 봐줄게. 그러니까 다시한번 물어볼게, 공주님은 지금 어디에 있지?”

“으…모…모른…”

“뭐라고? 이런식으로 그 한번을 날려버리면 너무 아깝지 않겠어?”

그때, 왼쪽 귀가 터진 남자가 뭔가 소리를 냈다.

“내…내가 봤다…”

“어라? 혀는 살아있었구나?”

올렸던 발을 내려놓고 루카는 왼쪽 귀가 터진 남자를 멱살을 잡고 일으켰다.

“다시 얘기해봐. 알아들을 수 있게.”

“그…그녀니…”

“뭐라고?”

“고…고주가…우리…치고…가서…”

“아니, 그건 왕궁에 가서 얘기하라고. 내가 궁금한건 공주님이 어디에 있느냐야. 너도 저렇게 해줘?”

“수…”

“어디?”

“수…”

“뭐라고 하는거야? 들리게 얘기하란 말야!”

루카가 그를 멱살째로 들어올렸다.

“케케켁…수우…프…컥…컥…”

“대장, 숲이라는 것 같은데요”

시에나가 그의 말을 알아듣고 루카에게 전달했다.

“음, 여기서 숲이라면 국경을 가로막고 있는 <깊은 잠의 숲> 뿐인데. 시에나, 깊은 잠의 숲에 가본 적 있어?”

루카는 다시 그를 내려놓고 시에나에게 물었다.

“그곳은 엘프족 중 갈란다 가족이 통치하고 있다는 것 외에는 알려진 게 없어요. 특히, 자생하는 괴수들이 있는데 마침 국경을 넘어가는 것을 방지하고 있어서 적극적으로 토벌하고 있지는 않아요. 만약 공주님이 그곳으로 들어가셨다면…”

이것은 아무래도 안좋은 소식인 듯 싶다.

“이봐, 맞아? 그곳으로 들어간 것이?”

루카가 아직 누워서 신음하고 있는 남자에게 물었다.

“죽여…커헉!”

계속해서 죽여달라는 남자의 입을 다시 발로 틀어막으며 루카가 다시 이야기했다.

“확인 안해줘도 돼. 우린 공주님을 찾기 위해서는 지옥이라도 갈 생각이니까. 민트, 시에나, 이것들 잘 묶어.”

땡땡땡!

그리고 루카는 방 한켠에 걸려있던 종을 울렸다.

똑똑똑.

그러자 금방 누가 와서 문을 두드렸다. 루카는 잠궜던 문을 열고 밖에 있던 수녀를 들어오도록 했다.

“이자들, 반역죄로 처리할 거니까 죽지 않을 만큼만 치료하고, 혹시라도 스스로 죽지 못하도록 하게. 내일 날이 밝는대로 국경 수비대에 연락해서 왕궁으로 압송하도록. 그리고 빵과 물을 가져다 주게나. 곧바로 떠날 참이니.”

“알겠습니다.”

Melotopia 1-12

공주와 아레스가 숲으로 걸어들어가자 한낮의 무더위는 사라지고 상쾌한 숲의 바람이 그 둘의 몸을 휘감았다. 공주는 문득 사람들이 많이 사는 곳으로 더 늦기 전에 되돌아 가야 하는 것 아닐까 하는 생각이 들었지만, 아무래도 아까 그 위험한 남자들이 다시 자신을 붙잡아 갈 것 같았기 때문에 마을로 다시 되돌아 가기는 싫었다. 두 사람이 숲으로 들어오는 것을 그 사람들이 보지 못했기를 바랐지만, 아무래도 그건 틀린 것 같았다.

“저 사람들, 어디까지 쫒아오려는 거지?”

“왜?”

“저쪽에서 아까 그 아저씨들이 오는 것 같아서.”

“공주님 귀 좋네. 난 안 들리는 것 같은데.”

숲으로 들어오고 나서 얼마 지나지 않아서, 조용한 바람 소리에 섞여서 사람들의 말 소리가 들렸기 때문에 공주는 그들이 뒤따라 오고 있다는 사실을 눈치챌 수 있었다. 하지만 그 이후로 한참을 걸어 들어가자, 사람들의 말소리는 들려오지 않았지만 이제 숲의 소리가 들려오기 시작했다. 두 사람이 걸어가고 있기 때문에 나는 바스락 소리에 뒤섞여서, 발걸음과 박자가 맞지 않는 다른 소리들이 들렸다. 해가 지려면 아직 시간이 조금 남아 있었지만, 울창하게 우거진 숲은 어두울 정도로 햇살을 가리고 있었고, 한낮의 온기에 적응되어 있던 두 사람은 이제 오히려 서늘함을 느끼고 있었다.

그때였다.

“안돼!!!!”

“끄아아아아!!!!”

저 멀리서 비명소리가 들렸다.

“꺄아악!”

비명 소리를 들은 공주는 놀란 바람에 그 자리에 귀를 막으며 주저앉았다.

“뭐… 뭐야?”

무서움에 잠시 눈을 질끈 감았지만, 곧 자신에게는 아직 별일이 일어나지 않았다는 사실을 알고 천천히 눈을 떠서 주변을 둘러보았다. 처음 들어왔을 때 보다 조금 더 어두워졌다는 것 외에는 별로 다를 것이 없는 숲 속 풍경이 펼쳐져 있었다. 하지만, 나름 꽤 걸었다고 생각이 드는데도 별로 달라진 것이 없다는 것에 또한 불안했다.

“비명소리였어… 괴물이라도 있는 걸까? 누군가 잡아먹힌걸까?”

“그런 얘기 하지 마. 무섭잖아.”

살짝 떨리는 아레스의 대답에도 불구하고 마음대로 상상하며 공주는 다시 천천히 일어섰다.

“아… 휴우…”

하지만 다리가 아팠다. 하루종일 도망다니느라 뛰어다녔더니 이제 긴장이 풀렸는지 다리가 아파왔다.

“흐응…”

분명 어제 밤까지만 하더라도 루카가 이야기해주는 옛날 이야기를 들으며 푹신한 침대에 파묻혀 잠들었었다. 왜 오늘은 아무 예고도 없이 힘든 일이 벌어진 것일까. 그리고 옆에 있는 얘는 누구지.

“흑흑…”

공주는 다시 주저앉아서 무릎을 끌어안고 앉았다. 눈에서 눈물이 흘렀다. 소리내어 울고 싶었지만, 아까 그 비명이 만약 괴물에게 잡아먹힌 사람이 지른 것이라면 소리를 내면 안될 것 같다는 생각에 입을 손으로 가리고 울었다.

“이봐…”

얼마나 시간이 지났을까. 누군가, 공주의 어깨를 툭 쳤다.

“꺄악!”

공주는 드디어 괴물이 자기 울음소리를 듣고 자기를 잡아먹으려고 왔을 거라는 생각에 화들짝 놀라며 도망가려고 했다. 하지만 그 시도는 이번에도 팔목을 붙들리면서 좌절되었다. 공주는 다시 한번 손에 쥐고 있던 후라이팬을 보지도 않고 휘둘렀다.

까앙!

“이런 이런, 위험하잖아.”

그 말에 공주는 눈을 뜨고 자신의 팔목을 붙들은 존재를 제대로 쳐다보았다. 일단 사람처럼은 생긴 것 같았다. 그 사람은 공주의 후라이팬을 자신의 손목에 있던 팔찌로 막아낸 상태였다.

깡그랑.

그리고 그 때 후라이팬이 휘어지면서 손잡이가 떨어졌다.

“어맛! 미안해!”

그제서야 공주는 후라이팬을 버리고 그에게 사과했다.

“그건 다시 안 휘두를거지?”

그가 공주의 팔목을 붙들고 있던 손을 놓았다. 공주는 한걸음 뒤로 물러서서 그를 바라보았다. 일단, 아까 자신을 뒤쫒아오던 사람같아 보이지는 않았다. 어두운 가운데서도 환하게 빛나는 눈부신 피부를 아까 그 남자들에게 비교한다면, 그건 그 자체로 죄를 짓는 것 같다는 생각이 들었기 때문이다.

“너는 누구…야?”

“나는 레스톨, 이 숲에 살고 있어. 너희 인간들은 나를 엘프라고 부르지.”

“응? 레스톨?”

함수를 함수로 미분하기: 변분

물리학 문제를 풀다보면 흔히 변분 문제를 풀어야 하고, 변분 문제를 풀기 위해서는 라그랑지안이라는 함수에 관한 함수를 함수로 미분해야 하는 문제가 발생한다. 이것을 어떻게 해석해야 할까? 일단은 흔한 미분법에서부터 시작을 해야 한다.

 \frac{d}{dx} f(x) = \lim_{\Delta\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta}

이 경우 f(x)는 변수가 1개인 함수이고, 그 값도 스칼라로 주어져 있게 된다. 여기서 x을 x=\vec{a}\cdot\vec{v}로 정의해 보자. 그리고 \vec{v}=(v_1,v_2,...v_n)이라고 해 보자. 그럼 이제 다음과 같은 미분이 가능해 진다.

\frac{\partial f}{\partial v_i}=\frac{df}{dx}\frac{\partial x}{\partial v_i}

여기서 x=\vec{a}\cdot\vec{v} 라고 했으므로 \frac{\partial x}{\partial v_i}=a_i가 성립한다. 즉, 다시 쓰면 다음과 같은 식이 성립한다.

\frac{\partial f}{\partial v_i}=\frac{df}{dx} a_i

그럼 i는 인덱스인데, 이 인덱스를 연속화 한다면 어떻게 될까? 벡터 \vec{a}\vec{a}=(a_1,a_2,...,a_n) 으로 주어져 있고, 이 벡터는 일종의 유한수열이다. 또, 수열은 인덱스 i가 주어지면 그 인덱스에 해당하는 값인 a_i을 주기 때문에 일종의 함수로 볼 수도 있다. 그럼 일반화시켜서 \vec{a}=a(t)라고 해 보자. 과감하지만 그렇게 봐 보자. 이 경우에도 \vec{a}는 벡터이며, 거기에 해당하는 함수 \vec{v}=v(t)와 내적도 잘 정의된다.

\vec{a}\cdot\vec{v}=\int a(t)v(t)dt

이걸 다시 앞에서 썼던 f(x)에 넣고 위와 비슷한 방식의 편미분을 취해 보자.

\frac{df}{d(v(t))}=\frac{df}{dx}\frac{\partial x}{\partial v(t)}

자, 뭔가 이상하다는 느낌이 들지 않는가? 안 이상하다면 이상한 것이므로 여기서 당신은 이상하게 여겨야 한다. 앞에서 인덱스 i를 이야기 했을 때에는 자연스러웠는데, 그걸 연속화해서 변수 t를 쓰니까 뭔가 이상하다. 그렇다. 이상하다. 따라서 여기서는 “미분”이라는 것의 정의를 따라가야 한다. 편미분에서 시작했으니 편미분의 정의를 다시 살펴보자.

 \frac{\partial}{\partial v_i} f(x) = \lim_{\delta v_i\rightarrow 0} \frac{f(\vec{a}\cdot(\vec v+\delta \vec{v}))-f(\vec{a}\cdot\vec v)}{\vec{a}\cdot\delta \vec{v}}\frac{\vec{a}\cdot\delta \vec{v}}{\delta v_i}

위의 극한을 이용한 정의는 앞부분과 뒷부분으로 나눠지게 되는데, 그중 앞부분은 df/dx와 같으므로 뒷부분을 연속화 하는데만 신경쓰면 된다.

뒷부분은 인덱스 i가 주어져 있을 때 그 벡터의 변화량이다. 마찬가지로 매개변수 t가 주어져 있을 때 그 벡터의 변화량은 함수 자체의 변화량으로 주어진다. 따라서, 어떤 함수 v=v(t)가 주어져 있을 때, 그 함수의 변화량은 역시 어떤 함수로 주어지며 v+\delta v = v(t)+\delta v(t)이 된다. 이 때, 불연속적인 인덱스를 쓰는 경우에서 i이 바뀔 때마다 \Delta v_i이 바뀌어 가며 주어지므로 (즉, 극한으로 달려가는 속도가 각각 독립이므로), 연속적인 인덱스를 쓰는 경우에도 \delta v(t)는 매개변수 t에 관한 함수가 된다. 이제 다음과 같은 해석이 가능하다.

\frac{\partial x}{\partial v(t)}=\lim_{\delta v(t)\rightarrow 0}\frac{\vec{a}\cdot\delta \vec{v}}{\delta v(t)}=a(t)

이렇게 생각하는 것은 수학자들이 들으면 천인공노할 만행이기 때문에 이런식으로 정의하는 것이 변분의 엄밀한 정의는 아니다. 하지만 수열을 일반화한 것이 함수이고, 벡터의 내적을 함수에 대해 일반화한 것이 적분이라는 관점에서 편미분을 연속화해서 일반화한 것이 변분이라고 생각하면 변분법에 대해 조금 더 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

Melotopia 1-11

슬슬 해가 지고 있었기 때문에 어두워 지기 전에 구출대 세사람은 성당으로 향했다. 검문소를 빠져나온 루카는 빠른 걸음으로 성당으로 향했다. 성당으로 가는 길목에서 루카는 길바닥에 뿌려진 붉은 자국을 보았다.

“이건… 핏자국 같은데.”

루카는 손가락으로 굳어버린 자국을 문질렀다. 아주 완전히 굳지 않아서 약간 끈적거리는 느낌과, 검붉은 색을 띠는 액체는 그리 많지 않다.

“아저씨, 말씀 좀 여쭙겠습니다.”

“뭐요?”

루카는 옆에 가게에서 남은 상품을 정리하고 있던 상인에게 말을 걸었다.

“혹시 아까 낮에 이 앞에서 싸움 같은게 있었습니까?”

“싸움? 아아, 그래. 그거 있었지. 그래서 이 앞에 곡물거래소 사장이 아주 화를 냈었어.”

“어떤 싸움이었죠?”

“여자애 하나가 거기 사장한테 아주 반말을 하는거야. 지가 공주라나 뭐랬다나. 하여튼, 사장이 아주 화가 나서 그 여자애를 저기로 집어 던졌거든.”

“네? 그 아이는 다쳤습니까?”

“아니, 몇바퀴 구르긴 했지만 다치진 않았던 것 같아. 그런데, 그 다음에 갑자기 웬 남자들 여럿이 그 여자애를 붙잡으려고 달려들더라고.”

“어떻게 되었습니까? 붙잡혔나요?”

“아니지. 그 여자애가 갑자기 옆에 있던 후라이팬을 붙잡더니 정말 쾅! 하는 느낌으로, 알겠지? 그 남자 머리를 후려 친거야. 여기 피는 그 때 튄 것들이고.”

“그리고 어디로 갔죠?”

“모르겠어. 저쪽으로 달려가긴 했는데 나야 가게 봐야 하니까 그 다음은 못봤지.”

“감사합니다!”

루카가 보기에 머리를 그렇게 다쳤다면 분명히 치료를 받으러 성당으로 갔을 것이었다. 아무래도 단서를 찾아낸 듯 싶다.

성당은 마을에서 가장 높은 언덕 위에 지어져 있었다.

“헤엑…헤엑…”

성당의 정문에 도착한 루카는 시에나와 민트가 기다리고 있는 것을 보았다.

“대장, 이제 오시는군요.”

“오래 기다렸나?”

“아닙니다. 얼마 안 기다렸어요. 그보다 술집에서 들은 얘긴데요…”

“아니, 그보다는 일단 이 안으로 들어간다.”

“네?”

이야기를 하려는 민트를 제치면서 루카는 성당 문을 열고 안으로 들어갔다.

“어디서 오셨습니까?”

“왕실에서 나왔다.”

“네에?”

왕실에서 나왔다는 말에 문에서 손님을 맞이하던 수녀는 루카가 내보인 왕실의 문장을 확인하더니 바로 고개를 숙이고 예를 취했다.

“일단 우리가 여기 왔다는 것을 알리지 마라.”

“네, 알겠습니다. 무슨 일로 오셨습니까?”

“급한 일이다. 이유는 나중에 알려줄테니, 혹시 아까 낮에 머리를 다친 자가 찾아오지 않았는가?”

“네, 마침 그런 환자가 있었습니다.”

“여럿인가?”

“네, 머리를 다친 환자가 오늘따라 꽤 들어왔습니다.”

“그 자들이 있는 곳으로 안내하게. 아무에게도 알리지 말고.”

“모시겠습니다.”

“그리고 지금 이 성당의 모든 문을 폐쇄한다. 내 허락 없이 아무도 빠져나가서는 안된다.”

“이 성당의 문은 이곳 뿐입니다. 봉인하도록 하겠습니다.”

그 수녀는 자물쇠로 문을 잠그고, 경비병에게 아무도 나가지 못하게 하도록 지시한 후 세 사람을 병실로 안내하였다.

Melotopia 1-10

작정 달리기 시작한 공주는 점점 자신에게 다가오는 남자들과, 점점 다가오는 마을의 끝을 보게 되었다.

“내가 잡힐줄 알고? 절대로!”

숨이 턱에 차오르고 있었지만, 여기서 잡히면 더 힘든 일이 기다리고 있다는 정도는 알고 있었다. 그러나 손에 들고 있는 무기는 후라이팬 하나. 저쪽은 건장한 남자 둘이다. 그리고 점점 길의 끝도 공주를 향하여 다가오고 있었다.

“하아… 하아…”

막다른 골목이다.

“헉..헉… 너, 이제 도망 못가니까 포기해라! 하아…하아…”

세사람 모두 지쳤지만, 남자 중 하나가 공주에게 말했다.

“싫어! 베~”

공주는 혀를 내밀며 거부한다는 뜻을 보였다.

“이게! 너 잡히면 보자!”

잠시 숨을 고른 두 남자가 공주에게 달려들었다. 공주는 다시 있는 힘껏 후라이팬을 휘둘렀다. 하지만 도망치느라 너무 힘들었는지 손에 힘이 풀리면서 후라이팬이 날아갔다.

“아앗!”

날아간 후라이팬은 앞에 있던 남자의 어깨를 스치고 지나갔다.

깡!

그리고 뒤에서 같이 달려들던 남자의 안면에 명중했다.

“윽…”

후라이팬을 얼굴에 세로로 얻어맞은 남자는 고통을 못 이기고 쓰러졌고, 앞서서 달려들던 남자는 잠시 주춤했지만 자신이 맞지 않은 것을 알고 다시 달려들었다. 그 순간, 뒤에서 다시 날아온 아까 그 후라이팬이 그의 뒤통수를 때렸고, 그는 정신이 아득해지는 것을 느끼며 그제서야 흐릿하게 자기 뒤에 소년 하나가 서 있는 것을 보았다.

“공주님?”

“너? 음…너, 일단 이쪽으로 가자!”

두 소년 소녀의 재회는 나눌만한 추억은 없었고, 상황은 긴박했다.

“잡아라!”

두 사람이 무작정 뛰어서 골목을 벗어나자 마자 또다시 다른 두명이 공주를 발견하고 달려오기 시작했다. 공주는 그 두사람을 피해서 다시 골목을 달려가기 시작했다. 이 자리에서 일단 벗어나야만 한다는 생각에 아무 것도 생각할 수 없었다. 계속 달려가던 공주는 문득 길가의 집들이 사라지고, 어느새 울창한 숲이 펼쳐져 있는 것을 알았다.

“숲이다.”

숨을 고르기 위해 잠시 멈춰선 두 사람에게 길거리는 너무 더웠다. 분명히 오전에는 학교 입학식에 참석하고 있었는데, 지금 왜 이 무더운 길거리를 뛰고 있는 것인지. 오후의 태양에 이성이 살짝 마비된 공주는 시원한 숲으로 들어가야겠다는 생각이 들었다. 그리고 숲으로 들어가면 저 나쁜 아저씨들이 자기를 찾기도 어려워질 것이고, 어쩌면 샘물이 있어서 목을 축일 수도 있을 것 같았다.

“그래, 들어가자.”

그녀는 울창한 숲으로 발걸음을 옮겼다. 옆에 서 있던 아레스는 영문도 모르고 그녀가 이끄는 대로 숲으로 끌려갔다.

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