위 등식이 성립하는가에 대한 논의는 너무 많이 이루어져 왔다.
수학에서 두 수가 같은지 판단하려면 빼서 0이 되는지 살펴보면 된다. 양변에서 0.99999…를 빼 보자.
0.0….1 = 0
물론 …사이에는 0이 무한히 많이 들어가 있다. 사실 1이 언젠가 나오기는 할까? 결코 인간은 1을 구경할 수 없다.
이것은 “극한”의 개념에 대한 이해와 관련되어 있다. 인간은 무한을 상상조차 하지 못하기 때문에 논리라고 하는 갑옷 속에서만 그것을 다뤄볼 수 있다. 마치, 우주에 맨몸으로 나갈 수 없기 때문에 우주복을 입어야 하는 것과 비슷하다.
다음과 같은 수열을 생각해 보자.
0.1
0.01
0.001
0.0001
…
이 수열의 규칙은 (내가 그렇게 하기로 결정하였으므로) n번째 항은 1을 10으로 n번 나눈 값이라고 한다.
이 수열은 0이 되는가? 알다시피, 이 수열은 어떠한 정수 n에 대해서도 0이 되지 않는다. n을 아무리 큰 값을 가지고 오더라도 결코 0이 되지 않는다. 하지만, 우리는 이 수열이 n이 커짐에 따라 0에 점점 가까워 지고 있다는 사실을 알 수 있다. 하지만 그것이 과연 모든 정수 n에 대해서 정말 그렇게 되는지 전부 조사해 볼 수도 없다. 10억보다 작은 n에 대해서는 그렇다고 말할 수 있다. 하지만 100억보다 작은 n에 대해서는? 100억보다 작은 n에 대해서도 물론 성립한다. 하지만 그렇다고 그것이 1000억보다 작은 n에 대해서 이 수열이 점점 0에 가까워 지고 있다는 것을 보증해 주지는 못한다. 조사해 보기 전에는 알 수 없는 것이다.
이러한 문제를 해결하기 위해서 수학자들은 “극한”이라는 개념을 만들고, “수렴성”에 대해서 일반적으로 사용할 수 있는 방식으로 정의하였다.
저기서 나온 작대기 두개는 절대값 기호다. 즉, 아무 숫자라도 좋으니, 아무거나 갖고 오라는 거다. d로서 어떤 숫자를 제시하더라도 정수 N을 제시할 수 있어서, N번째 항 이후의 모든 항이 특정한 값인 a에 d만큼의 거리보다는 가깝게 있도록 할 수 있다는 뜻이다. 여기서 d는 양의 실수이다. 0이 아니다. 아무리 작아도 좋고 아무리 커도 좋다. d를 0.000000000000000000000000000000001421로 잡아보자. 난 N을 40을 제시할 수 있다. 더 작은 값을 갖고 와도 좋다.
즉, 이 수열은 0으로 수렴한다.
수식에 무한대 기호가 등장한다면, 그 기호는 무한대 그 자체를 의미하는 경우는 거의 없다. 무한대 기호는 대부분의 경우 “일단 계산부터 하고, 나중에 무한대에 해당하는 n을 무한히 커지는 극한으로 보내서 계산을 완료한다”는 뜻이다.
다시, 원래의 문제로 돌아와 보자.
위의 등식이 틀렸다고 주장하는 사람들은 좌변과 우변 사이에 0이 아닌 차이가 있어야 함을 증명해야 한다. 그런데, 양 변의 차이가 0인지 어떤지는 모르겠지만, 0이 아닌 그 어떠한 숫자를 갖고 와서 그 차이와 비교하더라도 그 숫자보다 더 작다.
즉, 좌변에서 우변을 뺀 값의 크기는, 0이 아닌 양의 실수 중 아무거나 (작거나, 크거나, 어떻든) 갖고 와서 비교하도라도 항상 그 실수보다는 작다. “아무거나” 적용해도 성립한다는 것은, “모든” 수에 대해서 성립한다는 뜻과 같고 (아니라고 생각하는가?) 그 크기(절대값)를 비교했을 때, 0이 가장 작은 수가 된다. 만약 0이 아닌 다른 수가 온다면, 그 수와 0의 사이에는 항상 다른 수가 있어서 그보다 더 작은 수를 만들어 낼 수 있기 때문에 가장 작은 수가 되지 않는다.
좌변과 우변의 차이는 0이어야만 하는 것이다.
좌변에서 우변의 차이를 계산했는데 0이 나왔다면, 우리는 그 두 수를 “같다”라고 생각한다. 다른 것은 표현 방식일 뿐이다.
코멘트
“무한소”에 대한 11개 응답
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음…
어쨌든 그게 그겁니다. -
조금 다른 내용으로
칸토어의 무한대에 대한 정의인데요.
어떤 반직선이 있습니다.
수직선이라서 0부터 양의 실수라 칩니다.
그럼 0부터 1과 1부터 무한대가 있습니다.
그럼 1에서 양쪽으로 수를 증가감소시킬수 있는데요.
r을 증가감소시키는 수라고 하고
음의 방향으로 가면 값은 1/(1+r)
양의 방향으로 가면 값은 1+r이 됩니다.
r이 1이라면 음의 방향으로 간 값은 1/2
양의 방향으로 간 값은 2입니다.
1을 중심으로 실수 r을 0에서 무한대까지
증가시킬수가 있겠지요.
그러면 음의 방향으로 간 값은 0이고
양의 방향으로 간 값은 무한대가 됩니다.
양쪽에 똑같은 r에 대해서 계산을 했으니
r에 대해서 양쪽 다 1대1 대응이 됩니다.
신기한것은 양쪽 다 무한대로 갔는데
한곳은 정말 극한으로 무한대로 뻗어 나가고 있고
하나는 어느 한점으로 계속 달려가고 있죠.
제논의 화살이나 아킬레스와 거북이 같은 논리라면
음쪽으로 간 값이 절대로 0이 되지 않겠지만
실세계에는 속도란 것이 있으니 결국
무한대의 점을 통과해서 음쪽으로 간것은 0이 됩니다.
즉 선분의 점의 갯수와 반직선의 점의 갯수는
똑같이 무한대 이지만 그 성질 또한 밀도또한
같은 무한대란 것입니다. 선분은 길이의 제한이
되어 있으니 반직선 쪽이 훨씬 많을 듯 한데
말입니다. 이 실험으로 알 수 있는 건
0에서부터의 이 반직선을 한바퀴 회전시키면
원 안의 점의 갯수와 원 밖의 점의 갯수가
실수체계에서는 같다라는 것이지요.
결국 적분으로 풀면
원안의 점의 갯수를 다 더한게 원의 면적인데
그것과 그 바깥 면적이 같다?라는 희한한
결과가 나오게 되더이다.
물론 제 논리에 오류투성이겠지만
전 그렇게 이해했습니다. -
약간 보충하면
무한소는 실제 0은 아니잖아요.
또한 무한소는 방향이 있지요.
마이너스쪽에서 다가가는 무한소와
플러스쪽에서 다가가는 무한소
0.999…를 극한으로 표현하면
미분이 존재하지 않는 식
예로 x<=1에서 x=0
x>1에서 x=1
이란 곳에서는 0.999…의 극한 값은 0이 되겠죠.
플러서쪽의 1에 가까이 가는 극한값은 1이겠지만요.
플러스쪽의 1에 가까이 가는 극한값을 표현하려면
1.0000….1? 이건 없다했으니 1+e가 되려나요? -
0.999..=1을 극한으로 보시는 분들이 많으신데요.
왜 그런지 알수가 없군요.
lim x->1 (x)와0.999…는 같지가 않지요.
그말인즉슨
루트2가 0.14어쩌구로 무한히 다른 숫자가 나오는데
그게 실선의 수직선위의 한점 루트2라는 점으로 다가가는 걸 의미하지는 않잖아요.
0.14어쩌구로 표현한다고 해서 거기로 가는 걸 표현한게 아니라
루트2인걸 소수점 몇백만짜리까지 정확하게 십진수로 표현하느냐의 차이이지요.
즉 0.999…=1 1 그 자체입니다.
그러나 0.000…1 이런건 있을 수 없지만 십진수에서
왜냐하면 0이 무한대란 거잖아요. 무한대의 끝이 있다면 그게 무한대인가요?
그러니 0.000….1은 무한소도 아닙니다. 그런수는 표현할 수 없죠. 십진수로요.
만약 무한소를 어떤 수로 정의해서 e라하면
1-e도 0.999…는 아니겠지요.
0.999로 무한히 9가 늘어나는게 아니라 단지 표현을 못한 것 뿐이죠.
마찬가지로 1/3도 십진수 1은 3으로 나눠지지를 않으니 끝없이 나눠가는 것처럼 보일 뿐
실제로는 1/3이란 점 그점을 의미하는 것이죠.
어제 책으로 테일러전개를 보면서
무한등비급수의 합식을 보면서 생각난건데요.
1/(1-x)=1+1/x+1/x2+1+1/x3+1/x4… 조건 -1
우변은 0.999나오잖아요.
좌변은 9/0.9-9=(9-8.1)/0.9=0.9/0.9=1이니까 결국 극한의 개념이 되는건가요?
전개식이란게 결국에는 1/(x의 무한대승)에 따라서 결정되니까요?
그게 결국 무한소겠죠?
근데 이 식의 전개라든지 테일러 전개라든지 무한등비급수의 합의 식이라든지
그 수열의 무한번째 항이 즉 마지막항의 극한 무한대값이 0이어야지 합의식이 만족한다고
쓰여있네요. 이 0은 실제 0인지 무한소인지 알 수 없지만 극한내용안에서니
무한소겠네요…근데 그책에는 무한소를 0으로 그냥 쓰던데 그럼 결국
짝수와 홀수이야기 처럼 되고 ….재밌네요….무한소가 0이란 전제를 안하고도 0이라고하니까요..
암튼 요즘 전 9땡이야기는 무조건 수직선 상의 1이다라고 주장하고 있답니다.
예로 두 직선의 평행선의 정의에서 사이각이 90도면 평행이죠
직선이니까 89.9999999….도라도 평행은 아니죠…직선이니까 어느 끝에서는 두 직선이
만나고 있을테니까요. 그러나 90도에선 두 직선이 만나는 곳이 없답니다.
그러면 89.9999….이건 잘못된 표현이 되겠네요..왜냐하면 이건 90도라고 위에서
설명했으니 말이죠…즉 90도로 가는 90-e라는 표현을 써야했겠죠.
혹은 쉽게 lim x->90 (x)으로 표현하든지 89.999는 90의 또 다른 십진수의 표현이니까요.
이렇게 되면 계속 제 머릿속에서 맴돕니다. 어떤 땡이란 표현은 십진수의 약점으로서
단지 한점을 말한다란 것과 그 점에 가까이가는 십진수의 표현이란 것 사이에서 말입니다.
그러니 디씨에서도 공지란에 올라가고 그러겠죠…ㅋㅋ
공지에서도 설명은 극한이던데 왠지 맘에 안드는…한 사람이었습니다. -
그러게 말이죠.
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아무도 1/3 = .33333… 에 대해서는 불만이 없으면서 말입니다.
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.9999… /3 = .3333…
The distributive property is only true for finite sums. Before writing this equality, one needs to show that the expressions actually converge to something.
1/3 = .33333….
People take this for granted. But writing this is no different from writing
1 = .99999…
In both equalities, the right hand side is an infinite sum, that is, a limit, which most people don’t think about at all.
In short, this “proof” is not a proof at all.
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양자 조화 진동이 뭔지는 알겠는데, 이 댓글이 무슨 뜻인지 모르겠습니다.
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우와 이쁘다
http://www.falstad.com/qm2dosc/
양자조화진동이라는데 뭔지 모르겠음 -
……………
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0.9999…/3 = 0.3333…
1/3 = 0.3333…
0.9999…/3 = 1/3
0.9999… = 1
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