함수? 2

벡터를 처음 배울 때, 화살표를 갖고 배운다. 그리고 가장 쉽게 그릴 수 있는 2차원 평면 위에 있는 화살표를 갖고 배운다. 2차원 화살표는 2개의 수로 표현할 수 있다. (x, y) 처럼. 만약 2개의 화살표가 있다면 더할 수 있다. (x, y) + (w, z) = (x+w, y+z) 처럼. 이것은 실수(또는 복소수)에서만 정의된 +라는 연산의 정의를 벡터에 대해서 확장한 경우이다. 이걸 다시 임의의 n차원에 대한 벡터로 확장하고, n이 무한대로 갈 경우에 대해 생각한다. 그럼 벡터의 각 성분은 어떤 수열이 될 것이다. 수열의 첨자 n을, 지난번에 말했듯이 연속성을 갖도록 새롭게 정의하면, 이제 f(x)라 부르는 함수가 사실은 우리가 잘 알던 화살표의 한 형태라는 사실을 알게 된다.



<sup>[각주:

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그럼, 하나의 화살표에 하나의 수를 대응시키는 규칙이 있다면, 그것 또한 함수이다. 그리고 그걸 Functional이라고 부른다.

가장 쉽게 생각할 수 있는 예제로는 사영(Projection)이 있다. 이건 어떤 벡터A의 k번째 성분을 선택하는 함수이다. 임의의 벡터 A에 대해서, f(A) = Ak라고 정의하면 된다. 만약 벡터A가 수열이 아니라 연속적인 변수를 갖는 함수F로 주어져 있다면 k대신에 특정한 변수 a를 써서 f(F) = F(a)라고 정의하면 된다.

또 다른 예제로는 내적(Inner product)이 있다. 이것은 특정한 벡터 하나를 정해놓고, 그 벡터와 내적한 값을 함수값으로 선택한다. 가령, V가 정해져 있다고 하면 f(A) = V$\cdot$A 라고 정의한다. 벡터가 수열이 아니라 연속 함수로 주어지는 경우에는 덧셈이 아니라 적분으로 그 값을 계산해야 하지만, 계산이 복잡해질 뿐 그 본질적인 측면에 있어서는 전혀 변하지 않는다.

가장 유명한 Functional은, 이 블로그에서도 여러번 얘기했던 적이 있는 라그랑지안(Lagrangian)이다. 라그랑지안은 위치와 위치의 도함수에 대한 범함수이다. 그리고 위치는 시간에 대한 함수이다.



<sup>[각주:

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이제 범함수의 미분에 대해서 생각해 보자. 사실 범함수의 미분은 편미분의 일반화된 형태이다. 미분을 처음 배울 때, f(x)에 대해서 f(x+D)가 f(x)와 얼마나 차이가 날 지 생각해서, df/dx = (f(x+D)-f(x))/D로 정해놓고 D를 0으로 보내는 극한을 취해서 계산한다고 배웠다. 편미분은 x가 하나의 수가 아니라 벡터로 주어져 있을 때, 그 벡터중에서 다른 성분은 다 고정되어 있고 어떤 k번째 성분에 대한 함수라고 생각하고 미분을 계산한다. 그럼 k가 1부터 n까지 다 등장하므로, 편미분한 함수들을 다 긁어모으면 하나의 벡터가 등장한다. 여기에 다시 어떤 방향으로 움직이는지에 대한 정보를 알려 주면, 그 방향으로 향할 때의 도함수를 구하게 된다.

범함수의 미분은 편미분의 첨자를 연속적으로 일반화 시킨 형태이다.