토끼와 거북이 이야기에서 결국은 거북이가 이긴다.
물리학자의 질문 – 평균 속력은 누가 더 큰가? 순간 속력은? 평균 가속도는 누가 더 클까? 순간 가속도는?
적절한 가정과 추론을 바탕으로 답을 유도해 보자. – 해설은 미래의 언젠가…
토끼와 거북이
코멘트
“토끼와 거북이”에 대한 4개 응답
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음…일단 숨어있는 가정은 “직선운동을 했다고 하자”가 되겠네요.
저는 “평균 가속도”를 어떻게 정의하느냐의 문제를 생각해 보고 싶었어요.
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그 공식이 v-t 그래프를 응용해서 나온건데 .. 빼먹은게 있는데요 거리 = 초속도*시간 + 1/2가속도*시간^2 이죠 여기서 거북이는 초속도가 일정하다고 해도(애초에 일정하게 달리니까) 토끼는 초속도가 구간마다 다르니까 문제가 생기고.. 그리고 그 공식은 “등가속도직선운동”에서 적용되는 거라서 가속도를 평균가속도로 뭉뚱그려서 표현해도 직선운동이 아닌데 이렇게 이용할 수 있나요? 애초에 방향이 일정하다고 할 수 없는 것을 일정한 방향을 기준으로 운동한 물체의 v-t그래프에서 도출된 공식을 함부로 적용하면 안 되죠..
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평균가속도는 속도 변화량과 속력을 이용할 수도 있지만, 거리 = 1/2 가속도 * 시간 *시간 공식을 이용할 수도 있죠. 그 경우, 거리는 같고, 시간은 거북이가 작으므로 평균 가속도는 거북이가 더 커지게 됩니다.
그런데, 거북이는 아무래도 거의 일정한 속력으로 달렸으므로 (나중속도-처음속도)/시간 값은 작고, 토끼는 최종속력은 어쨌든 거북이보다 빠르므로 (나중속도-처음속도)/시간 값은 거북이보다 클 거예요.
이렇게 따진다면, 모순일까요?
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평균속력 = 총이동거리/총운동시간 에서 이동거리가 일정하지만 운동시간이 토끼가 더 크므로 평균속력은 거북이가 더빠릅니다 (물론 둘이 지나간 코스는 완벽히 일치한다는 가정에서)
순간속력은 s-t 그래프의 접선의 기울기를 봐야되는데 … 음… 일단 초반엔 토끼가 빠르다가 기울기가 0인지점(sleep)이 나오니까 순간속력은 시간 t를 어디에서 잡느냐에 따라 다른데 토끼더 빠르다가 중반엔 거북이가 더 빠르고, 최후반엔 토끼가 더 빠르다고 하는게 옳겠죠? (자고일어나면 달려야죠..ㅎㅎ)
평균가속도는 총속도변화량/시간 인데 이건 말할 것도 없죠 거북이가 “꾸준히”달리는게 이야기의 모티브니까 가속도는 0인 반면 토끼는 빨랐다 느렸다 빨라지니까 .. 아무래도 자고일어나면 더 빠르게 달려야 하니까 마지막에 갔을 때의 속도변화량은 더 커진다고 해야죠.
순간가속도도는 v-t그래프의 접선의 기울기인데 거북이는 always 꾸준히 달리니까 위에서처럼 가속도는 항상 0이고, 토끼는 v 형태의 속도그래프가 나오는데… 가속도는 벡터량이니까 부호는 따지지 않고 크기는 항상 토끼가 더 크게 되죠. 자고있을때는 서로 같고….
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