Harmonic oscillator를 확장한다는 것은 뭘까?

Harmonic oscillator 문제란 운동에너지에 potential 에너지 항을 위치의 제곱에 비례하는 것을 넣어서 문제를 계산하는 것을 말한다. 그리고 이 문제를 양자화시키면 위치 연산자는 상태를 올리는 연산자와 내리는 연산자의 합으로 표시된다. 그리고 운동량 연산자는 그 차로 표시된다. 또한 계를 기술하는 해밀토니안은 두 연산자의 곱으로 표시된다. 그리고 이것을 이용해서 Harmonic oscillator의 모든 양자적인 상태를 알 수 있게 된다.

이것을 Field의 continuum limit으로 확장하게 되면, 일단 위치는 field strength로 변하게 되고, 그에 대한 운동량은 field gradient로 변하게 된다. 따라서 해밀토니안은 field strength의 제곱과 field gradient의 제곱을 더한 것으로 변한다. 여기에, 다른 상호작용이 전혀 없다면, 이 해밀토니안으로부터 유도된 오일러-라그랑지 운동 방정식은 정확히 Klein-Gordon 방정식이 된다. KG방정식은 아인슈타인의 질량-에너지-운동량 공식을 양자화해서 얻은 공식이고, 상대론적인 양자역학의 첫 기초가 되는 방정식이다. 따라서, 우리는 맞는 길을 가고 있다고 봐도 좋은 것이다.

그리고 이 방정식은 푸리에 변환을 통해서 손쉽게 해결할 수 있다. 어떻게 해결하는지는 Field theory책을 찾아봤으면 좋겠다.

이제, 여기에 상호작용을 넣어보자. 상호작용을 넣게 되면, field strength의 제곱항이 아닌 다른 이상한 항들이 더 들어가게 된다는 것을 뜻한다. 여기서 이상한 항들이 될 수 있는 후보는 로렌츠 변환에 대해서 불변인 것들만 가능하게 된다. Field strength의 4제곱항이 그 대표적인 예가 될 수 있겠다. 문제는, 4제곱항을 넣게 되면 그로부터 유도되는 운동방정식에는 field strength의 3차항이 반드시 들어가게 되는데, 이렇게 되면 비선형 연산자가 들어간 운동방정식이 되므로 푸리에 변환을 통해서 풀 수가 없게 되고, 이 문제는 대단히 어려운 문제가 된다. 따라서, 이 문제를 직접 공략하지 말고 멀리 돌아가야 할 필요가 생기게 된다.

양자역학은 현대 물리학 연구의 기초 도구이자 패러다임이다. 하지만 실험을 계속해 나가면서 단순히 주어진 Potential을 돌아다니는 Particle-wave의 개념으로는 설명하기 힘든 현상들이 나타나기 시작했는데, 이를 해결하기 위한 양자역학이 Quantum Field Theory이다. QFT는 말 그대로 Field Theory이다. Field Theory란 전자기학에서 도입되어 일반화된 이론인데, 어떤 두 입자의 상호작용을 설명하기 위해서 Field라는 것을 이용한다.

가령, 두 사람이 지나가다가 “안녕!”이라고 인사하고 서로 자기 갈 길을 갔다고 하자. 이렇게 되면 두 사람은 각각 입자로 생각할 수가 있고, “안녕!”이라는 인사를 상호작용이라고 보면 된다. 그리고 그 상호작용에 의해서 두 사람은 기분이 좋아질 수도 있으며 이것이 상호작용의 결과이다.

입자도 마찬가지로, 두 입자가 공간 속에서 움직일 때 서로 영향을 주고받을 수 있는데, 그 영향을 상호작용이라고 하고, 이 상호작용을 매개하는 것을 Field라고 부른다. 고전적으로 Field는 공간에 펼쳐진 벌판이다. 산도 있고 봉우리도 있고 골짜기도 있으며 깊은 계곡도 있다. 그리고 입자들은 그 벌판을 굴러가는 공이다. 공이 벌판을 굴러가는 모습을 위에서 바라보면 벌판의 높낮이는 잘 보이지 않겠지만 공이 움직이는 모습은 보인다. 그리고 그 위에서 움직이는 공은 벌판의 굴곡을 따라서 움직이기 때문에 이리저리 흔들리면서 움직일 것이다. 이것이 바로 Field Theory에서 설명하는 개념이다.

입자는 공간에 펼쳐진 Field를 따라서 움직인다.

그럼, 입자 두개가 서로 끌어당기거나 밀쳐내는 건 어떻게 설명하냐고? 이제, Field가 공간에 대해 펼쳐진 것일 뿐만 아니라 시간이 흘러가면서 변한다는 것이 요점이다. 그리고 입자는 공간의 구성을 바꿀 수 있어서, Field의 생김새를 시간의 흐름에 따라 바꿀 수가 있다.이 문장 이후부터는 Field를 상상할 때 산과 계곡을 상상하지 말고, 바다에 휘몰아치는 파도를 상상하기 바란다. 그리고 입자는 그 위에 떠 있는 한 척의 배라고 생각하기 바란다.

입자는 시간에 따라 Field를 바꾼다.

이제 Field Theory를 수학 없이 말로만 얘기해 보자. Field가 생긴 모양을 그냥 하염없이 바라보다보면, 뭔가 툭 치면 위아래로 꿈틀거리는 걸 관찰할 수 있을 것이다. 이러한 점에 착안하여, 물리학자들은 이것을 Harmonic Oscillator로 근사해 보았다. Harmonic Oscillator란 우리 말로는 조화 진동자라고 부르는데, 그냥 용수철과 무게추를 아주 많이 연결해둔 것이라고 보면 된다. 용수철과 무게추를 아주 많이 연결해둔 것을, 만약 어느 한 점을 툭 건드린다면 그 점에서 생긴 진동이 다른 점으로 전달될 것이다. 이 진동이 전달되는 과정에 대해서 물리학자들은 아주 많은 얘기들을 할 수 있고, 이것은 그대로 Field Theory에 이용된다. 즉, Harmonic Oscillator의 연속체 극한을 취하면 Field Theory가 된다. 연속체라는 것은 용수철-무게추 라는띄엄띄엄 떨어진 것을 연속적으로 움직이는, 즉 바닷물과 같은, 물체로 생각한다는 것이다.

여기까지는 고전적인 Field Theory이다. 전자기학이나 일반 상대성 이론이 이러한 고전적 Field Theory의 좋은 예가 된다. 문제는 양자역학이다. 양자역학을 이용해서 잘 풀리던 문제들을 Field Theory만 이용해서는 풀 수가 없는 것이다. 왜냐하면, Field Theory는 어디까지나 고전 역학에 해당하지 양자이론은 아닌 것이다. 따라서 이것을 양자화 하는 문제를 해결하지 못하면 아주 작은 세계를 설명하기에는 너무나 부족한 이론일 수밖에 없는 것이다. 물론 아주 큰 세계인 태양계, 은하계 등을 설명하는 데는 일반 상대성 이론도 충분한 이론이다. 아무튼 이것을 양자화한 결과가 Quantum Field Theory이다.

더군다나, 아주 작은 세계를 설명하기 위해서는 큰 에너지 이용하는 실험이 필요한데, 큰 에너지를 이용한다는 것은 곧 아주 빠르게 움직이는 입자들을 이용해서 실험을 한다는 뜻이고, 이것은 바꿔 말하면 적어도 특수 상대성 이론은 만족해야 한다는 것을 뜻한다. 하지만 양자역학의 가장 기본 방정식인 슈뢰딩거 방정식은 특수 상대성 이론을 만족하지 않으며, 이것은 당연히 문제가 될 수밖에 없었다.

Quantum Field Theory는 양자역학에서 초반에 등장하는 harmonic oscillator 문제를 확장하는 것으로 시작한다.

이 글을 읽은 후, 한시간 내에 다른 게시판에 올리지 않으면 오늘 밤 12시에 저승사자가 당신을 찾아갑니다.

이런 무서운 글, 인터넷을 돌아다니다보면 우연찮게 자주 보게 되는데요, 기분 나쁘죠? 하지만 이런 글을 전혀 무서워할 필요가 없다는 사실을 한번 수학적으로 밝혀 보도록 하겠습니다.

우리가 준비해야 하는 무기는 수학적으로 생각하는 머리와 “귀류법”입니다.

수학적으로 생각하는 머리는 이 글을 읽는 여러분이라면 누구나 갖고 있을테니 걱정하지 않겠습니다. 귀류법은 결론이 틀렸음을 가정하고서, 모순을 유도하여 우리의 가정이 틀렸다는 것을 증명하는 방법입니다. “결론이 틀리다”는 가정이 틀렸으면 당연히 결론은 맞겠죠? 그럼, 이제 귀신을 잡아보도록 하죠.

우리가 증명할 결론은 무엇일까요?

결론 : “이 글을 다른 게시판에 올리지 않더라도 저승사자가 나를 찾아오지 않을 것이다”

결론의 부정 : “이 글을 다른 게시판에 올리지 않으면 저승사자가 나를 찾아올 것이다”

결론의 부정이 올바른 말이라고 가정해 봅시다. 그럼 어떤 일이 일어날까요?

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