Legendre는 유명한 수학자의 이름이다. 물리를 공부하다보면 Legendre equations을 구경하면서 그의 이름을 처음으로 듣게 될 것이다. 하지만 통계역학에서도 그의 이름은 많이 나오는데, 이른바 Legendre transformation이다. 이것은 변수를 다른 것으로 바꾸는 변환인데, 사실 별거 없다.
[작성자:] snowall
-
Toefl TWE exercise, problem 73
<br />
73
Some
people say that computers have made life easier and more convenient.
Other people say that computers have made life more complex and
stressful. What is your opinion? Use specific reasons and examples to
support your answer.
There
are many argumenets whether computers help human life easier and more
convenient or not. I am convinced by the statement because of the
following three reasons, saving time, shortening distance, and
interactive interfaces.
First
of all, computers make it possible that people process their works
with them faster than without them. For example, imagine that you are
dealing with millions of records of customers in your business.
Unless you do use spreadsheet program on your computer,probably you
could not finish it on time. Even though you have any complex work
process, computers could help your working by their proper programs.
Moreover, we may save time by using computer, and saved time allows
us to do something else which we want to do. This is one reason why I
advocate the statement.
Secondly,
using computers, we can do so much things over long distance. In the
age without the Internet, no person could communicate other person in
other location within a minute. However, the technical development
nowadays allows us to do. For instance, I have an experience that
when I studied English, I trained speaking skills with talking a
foreign teacher living in U.S., Also it is easy to find other
examples. If the development of computers does not exist, that could
not be.
Additionally,
people would use computers easily with developing interactive user
interface. We can see icons and graphics on computer moniters and
know what to do in order to task we want to do. Moreover,
touch-screen technics will be spreading, so young children or old
persons will spend computers more easily. The touch-screen is just an
example to understand how to allow computers to help us.
In
conclusion, growing computer technics could make people life easier
and more convenient. Saving time, communicating over distance, and
easily using computers could be the reason why we do not give it up
to using computers. I conclude that computers should be useful for
us.
28분, 362단어
-
Toefl TWE exercise (26)
<br />
26
It
has recently been announced that a new movie theatre may be built in
your neighborhood. Do you support or oppose this plan? Why? Use
specific reasons and details to support your answer.
I
totally support the plan that builds a new movie theatre in my
neighborhood. This is because the following two reasons, more
possibility for watching movies and more growth of local economy.
First
of all, my friends as well as I like to watch movies. The news about
building a new theatre makes the friends and me more friendly because
it provides more chances to meet each other and to get the same
experiences. In my opinion, this is the fact that would be applied
not only to my friends but also members of the local community.
Moreover, fortified friendship between members of the community could
help them feel so happy in their everyday life. Therefore I strongly
support the plan to build it.
Secondly,
the new movie theatre can help the local economy grown because it
leads to the result that new economic area is composed in order to
sell the goods and foods to the customers of the theatre. Moreover,
invisible economic effects might be more than visible ones. For
example, people to want to watch the movie should use transportations
which use gasoline or other kinds of fuel. This makes indirect
economic effects which help labors in gas station. This is why I
agree the plan.
From
the reasons that I mentioned above, I advocate the plan to build a
new movie theatre. It can make me, my friends, and my neighborhood in
local community happier and richer.
15분, 275단어.
-
TOEFL TWE, writing exercise
<br />
3
Nowadays,
food has become easier to prepare. Has this change improved the way
people live? Use specific reasons and examples to support your
answer.
I
could not agree the statement that the change in food getting easier
prepared makes the way people live better. This is because the
following two reasons, happiness and health of people.
First,
eating means not only provide nutrition to one’s body but also make
the one happier. It is the fact that human could not be alive without
feeding. However, what makes human more special is that human want to
find happiness from all time in their life even in the time to
preparing food. If cooking were just feeding nutrition, human might
be just a type of animals. Moreover, food can be more delicious and
more beautiful if the cook to make it his or her own energy and
skill. It should take probably long time but it will be hopefully
delicious.
Second,
fast food may have probable hazards. From a study, it is revealed
that too high temperature of frying oil gets the oil ruined. If the
cook try to make food in short time, he or she should maintain the
temperature higher than the safe temparature. This is just a example.
There are so many examples which implies that fastly cooked food may
have much hazardaous matters. That is why I do not like to eat fast
food. Fast food is good for your tongue, much bad for your body.
I
argue that easily prepared food could not help people life more
improved with the reasons that I mentioned above. Even though I have
not so much time to eat, I prefer to slowly prepare food which I eat
than kinds of fast food.
295단어, 22분.
-
토플 등록하기
간단히 말해서, 리눅스에서 등록 못한다.
ETS 웹 페이지 프레임 안에서 한글을 보게 될 줄이야…
그리고 BC카드 홈페이지는 IE전용이다.추가 : 윈도우에서도 잘 안된다. IE8에서 오류남. BC카드 홈페이지 가서 뭔가의 비밀번호를 등록하고, 액티브X를 잔뜩 설치한 후에 다시 해봐야겠다. 그건 이따가…
-
수학 공부방법
– 중3에 올라가는 사촌동생에게 해준 조언 –이 글을 읽기 전에 아래의 두 글도 읽어보기를 바란다.
http://snowall.tistory.com/1
http://snowall.tistory.com/7
수학은 어떻게 공부해야 하는가? 수학을 잘 하기 위해서 필요한 것은 여러가지가 있는데, 그중 가장 중요한 것은 집중력이다. 꼼꼼하게 문제를 읽고 풀지 않으면 수학 문제는 틀릴 수밖에 없다.
우선, 수학에 있어서 빠르게 성과를 내겠다는 욕심을 버려야 한다. 한달 내에 중학교 과정을 끝내고 고등학교 과정을 선행으로 공부하겠다는 건, 이미 그렇게 할 수 있는 능력자라면 모를까 굳이 그렇게 할 이유가 없다. 중학교 과정을 충분히 이해하고 있다면 고등학교 과정은 굳이 선행학습을 할 이유가 없다.
1. 기초를 다지자.
중학교 과정은 고등학교 과정의 기초이다. 당연한 말이겠지만 초등학교 과정은 중학교 과정의 기초이다. 다른 과목도 대부분 그렇겠지만, 수학이 더 그런 경우가 있는데, 기초가 튼튼하지 못하면 그 이후는 모래성 위에 벽돌 쌓기나 마찬가지다. 수를 배우지 않고 덧셈을 할 수 없고, 덧셈을 모르고 곱셈을 할 수 없으며, 곱셈을 모르고 나눗셈을 할 수 없다. 아주 간단한, 남들이 너무나 쉽다는 1자리수 숫자들 끼리의 덧셈에서 시작해서 그것을 확장시켜서 2자리수끼리, 3자리수끼리 더하는 법을 배운다. 1자리수 수를 더할 수 없다면 그 이상은 꿈꿀 수 없다. 물론 중학생 씩이나 되어서 초등학교 과정을 잘 모르고 있는 학생은 없으리라 믿는다. 하지만 중학생이 초등학교 수학 문제를 스스로 풀 수 없다면 반성해 볼 필요가 있다. “설마 내가 그거 하나 못풀겠어?”라고 자만하지 말고, 일단 풀어보고 풀 수 있는 걸 확인한 후 넘어가야 한다. 점점 어려운 문제를 풀어 나가면서 자신의 실력을 점검할 수 있다. 중학교 과정까지 모두 문제를 풀어 보았을 때, 단순한 계산 실수 이외에는 풀지 못하는 문제가 없을 때 스스로 기초가 잘 다져졌구나 하면서 생각하고 넘어가야 한다. 그렇지 않다면 기초가 부실하다고 봐야 한다. 수학에 있어서 기초라는 것은 운동을 하기 위한 근육과 마찬가지로, 가장 중요한 부분이다. 쉬운 걸 무시하면 결코 어려운 문제를 풀 수 없다.2. 반복 연습 + 모르면 암기
실수를 자주 하는 학생이 있다. 실수하지 않을 때 까지 계속해서 문제를 풀어봐야 한다. 100문제든 1000문제든 끝없이 문제를 풀어야 한다. 물론 계속해서 수학만 공부하면 지겨우므로 다른 과목도 같이 공부를 해 주자. 계속해서 실수하는 유형의 문제가 있다면 아예 문제와 해설을 통째로 외워 버리자. 무식하게 공부하는 것이 때로 도움이 될 경우가 있다. 틀리는 문제가 많아져도 일단 무조건 다 외운다. 외우다보면 그 속에서 해법이 떠오르고, 풀이가 펼쳐지는 기적이 일어난다. 하지만 그렇게 되기까지 계속 노력해야 한다.3. 질문. 선생님이 월급을 받는 이유는?
자신있게 문제를 풀었는데, 정답을 맞춰보니 틀렸다. 해설을 봐도 왜 틀렸는지 모르겠다. 그 유형의 문제를 다시 풀었는데 계속 틀린다. 그럼 그 문제를 들고 선생님에게 가서 질문을 던지자. 선생님들이 하는 일은 학생을 가르치는 것이고, 질문에 답해주는 것은 그 의무중에 하나이다. 물론 바보같은 학생을 만나서 아무리 설명해도 못알아듣는 학생을 가르쳐야 하는 괴로움은 있다. 하지만 그건 선생님 사정이고, 내 사정은 그 문제를 풀어야 성적이 오르고 실력이 쌓이는 사정이다. 당연히 내가 알아들을 때 까지 계속해서 질문해야 한다. 모르는건 문제가 아니지만, 모르는데 질문을 안하는건 문제이다.4. 문제 풀기 연습
문제를 풀 때, 정확하게 읽고 풀어야 한다. 시험이란 결국 제한 시간 내에 주어진 문제를 정확하게 풀어야 한다. 정확하게 풀려고 하면 시간이 없고, 빠르게 풀려고 하면 틀리기 쉽다. 이 두마리 토끼를 모두 잡기 위해서 연습이 필요하다. 우선 정확하게 푸는 것을 연습해야 한다. 시간이 오래 걸리더라도 정확히 이해하고 문제를 푸는 연습을 먼저 하자. 더불어, 한 문제를 푸는데 걸리는 시간을 시계로 재 두면 좋다. 점점 빨라지는 문제 해결 시간을 보면서 성취감을 느낄 수 있다. 연습하면 문제를 푸는 속도는 빨라질 수 있지만, 정확하게 푸는 것은 신경쓰지 않으면 안된다. 정확히 푸는 연습을 먼저 하자.5. 잔머리를 굴려라
수학의 특징중 하나가 수단과 방법을 가리지 않고 정답을 찾기만 하면 된다는 점이다. 객관식 문제인 경우, 선택지에는 반드시 정답이 포함되어 있어야 하고, 가령 방정식 문제라면 선택지의 숫자를 방정식에 대입해서 답을 찾아낼 수 있다. 그것도 올바른 수학적 방법이다. 다른 과목에서는 불가능하지만 수학에서 가능한 다양한 방법이 있다. 굳이 천재가 아니더라도 꼼꼼하게 문제를 읽어보면 어이없게 쉬운 문제가 많다. 문제가 복잡해 보인다고 해서 겁먹지 말고, 일단 꼼꼼하게 살펴보고 정답이 어디에 있을지 잔머리를 굴려보자.각 단원별로 공부하는 방법이 달라질 수 있지만, 각론에 대해서는 이만 줄인다. 그건 수학 교과서 차림표를 보고 얘기해야 하는 것이라서…
그리고 선행학습하는 다른 친구들을 결코 부러워하지 말 것. 괜히 자기 페이스 못찾고 남들 하는대로 따라하다가는 아무것도 못하게 된다. 자신있는 만큼 앞서가고, 하고싶은 만큼 공부하는 느긋함도 필요하다.
-
미친짓
가끔 미친짓이 필요할 때가 있다.갑자기 프린스턴으로 유학을 가고 싶어졌다. 토플이나 IELTS점수 중 하나가 있으면 되는데…일단 108점이 입학생들 평균이랜다. 그럼 아무리 못해도 90점은 받아야 다른걸로 때울 수 있지 않을까…
SOP랑 Resume/CV는 적당히 잘 쓰면 될거고…
일단 목표는 프린스턴 물리학과. 전공은 이론…을 하고 싶긴 한데, 일단 프린스턴에 어떤 분야가 잘나가는지 조사해야겠다.
(학교를 보고 전공을 고르는건 별로 원하지 않지만, 전공은 물리학이기만 하면 뭘 해도 재밌을 것 같으므로 학교를 골라봤다. 안되면 말고. ㅋㅋ)
-
당황스러운 방통대
오랜만에 학교 홈페이지에 접속했다.
처음으로 배워보는 C프로그래밍 “과목”이라, 교수님 홈페이지를 방문해 보았다. 일단 앞에 있는 곽덕훈 교수님 홈페이지…
음…이건 뭐 지난학기부터 알려져 있던 사실이니까. 그 다음으로 김형근 교수님 홈페이지…
…그럼 학사는 누가 담당하는거여…-_-;
아무리 촬영된 동영상 강의가 있고 모든게 온라인으로 처리 된다고는 하지만 이건 너무한거 아님?
-
라그랑지안? (4)
<br />
물리 법칙
:
물리학의 라그랑지안은 운동에너지에서
위치에너지를 뺀 함수이다
.
왜 그런 법칙이
정해졌을까
?
이것은
,
뉴턴 역학과 답을 맞추기 위해서 필요한
가정이다
.
뉴턴 역학의
물리 법칙은 또한 딱 하나인데
,
그것이 바로 그 유명한
F=ma
이다
.
여기서 정말 느껴주고 넘어가야 하는 부분은
바로 하나하나가 다 소중한 법칙들이라는 점이다
.
F>ma
도 아니고
F
도
아닌
F=ma
라는 점
.
F=-ma
가 아니라 바로
F=ma
라는
점
. F=2ma, F=3ma
도 아닌
바로
F=ma
라는 점
.
부호
,
등호
,
상수의 크기 등 모든 것이 법칙에 포함된다
.
운동에너지는
대체로 속도의 제곱에 비례한다
.
위치 에너지는 대체로 위치에만 관계가
된다
.
따라서
,
라그랑지안을 세워놓고 라그랑지안 방정식을
유도하면
,
속도에
대해 미분하고 다시 시간에 대해 미분하는 항에서는
곧 “가속도” 항이 나온다
.
위치에너지를 위치에 대해 미분하면 곧
“힘” 항이 나온다
.
만약
이 둘이
=
으로 연결되기
위해서는
,
둘을 빼서
0
이 나와야 한다
.
결국
,
최종적으로
둘을 빼주기 위해서는 처음부터 빼주는 관계가 되어야
한다
.
따라서 운동에너지에서
위치에너지를 뺀 것을 라그랑지안으로 선택한다
.
동시에
,
뉴턴 역학이 라그랑지안 역학과 동등하다는
것도 위와 같이 알 수 있다
.
하지만 라그랑지안
역학은 뉴턴 역학보다 좀 더 어려운 것들을 좀 더 쉽게
할 수 있는 경우가 있다
. (
때로는
뉴턴 역학이 더 쉬운 경우가 있다
.
어느것으로 문제를 풀든
,
일단 풀 수 있다면 그 결과는 같다
.
하지만 풀 수 없을 수도 있다
.)
뉴턴 역학은 좌표계를 어떻게 바꾸더라도
3
차원 데카르트 좌표계를
사용해서 문제를 풀게 된다
.
하지만 라그랑지안 역학은 관찰하려는 대상을
나타내는 수이기만 하면 무엇을 쓰더라도 상관이 없다
.
즉
,
전문용어로
“일반화된 좌표계”를 사용해서 문제를 표현하고 풀
수 있다는 점이다
.
이것이
뉴턴 역학이 양자역학에 가서 살아남지 못했지만
,
라그랑지안은 양자역학 문제를 풀 때에도
도입되는 이유이다
.
뉴턴
역학은 정해진 좌표계가 없는 문제는 풀 수가 없다
.
양자역학에서는 라그랑지안을 잘 설정할
수만 있으면 운동방정식을 유도할 수 있다
.
그것이 그 유명한 슈뢰딩거 방정식
,
디랙 방정식
,
아인슈타인의
중력 방정식 등이다
. (
사실은
이 방정식들도
F=ma
를
“양자역학적”으로 표현한 하나의 형태라고 간주할
수도 있다
.
하지만
F=ma
를 고전역학적으로
정의하는 한 결코 양자역학 문제를 정확히 풀 수는
없다
. )
이제
,
라그랑지안이 갖고 있는 대칭성과 그에
따라서 유도되는 결론에 대해서 살펴보자
.
이 부분에 관한 연구는 유명한 수학자 에미
뇌터가 중요한 정리를 증명하였다
.
바로 “라그랑지안에 대칭성이 있으면 이에
따라서 보존되는 양이 반드시 존재하며
,
그 역도 참이다”는 보존법칙과 대칭성
사이의 관계에 대한 정리이다
.
여기서
,
라그랑지안에
대칭성이 있다는 말이 무엇인지 알아보자
.
대칭성이란
,
무언가를 바꾸었는데 실제로 관찰되는 것이
바꾸기 전과 비교해서 구별되지 않는 것을 말한다
.
가령
,
쌍둥이
끼리 서로 위치를 바꾸더라도 웬만해서는 그것이 잘
구별되지 않는다
.
하지만
쌍둥이라고 하더라도 머리카락 길이는 조금 다를 수
있는데
,
그런 것을
자발적 대칭성 붕괴
(Spontaneous
symmetry breaking)
라고 부른다
.
아무튼 라그랑지안도 대칭성을 가질 수
있는데
,
가령 위치
x
를
-x
로
바꾸는 삽질을 하더라도 라그랑지안이 바뀌지 않는
경우가 있다
.
이런
일은 용수철의 운동을 표현할 때 나타나는데
,
용수철의 움직임을 나타내는 라그랑지안은
속도의 제곱
,
위치의
제곱 항만을 포함하고 있기 때문에
-1
을
곱한 것은 제곱되어서 없어지게 된다
.
따라서 용수철의 운동에서는
x
를
-x
로 바꾸는 작업에
대해 보존되는 양이 하나 존재한다
.
그것의 이름을
Parity
라고
부른다
. (Parity
는 많은
물리적 현상에서 보존되는 법칙이다
.)
대표적으로
우주에서 보존된다고 믿어지는
3
가지
양이 있는데
,
운동량
,
각운동량
,
에너지이다
.
물리학자들은 이
3
가지
보존법칙은 절대로 깨지지 않을 것이라고 믿고 있다
.
초대형 입자 가속기 등을 이용해서 입자들의
충돌 실험을 했을 때
,
물리학자들이
가장 먼저 검토하는 부분중의 하나가 이러한 보존법칙이
얼마나 깨졌는지 계산하는 것이다
.
대부분의 경우 실험 오차 내에서 모두 잘
맞는다
.
가끔 보존법칙이
틀린거 아닐까 의심될 정도로 실험 오차를 벗어나서
안 맞는 경우가 있는데
,
그때는
항상 우리가 모르고 있던 새로운 입자가 발견되었다
.
대표적으로
,
그런식으로
발견된 입자가 중성미자
(Neutrino)
이다
.
그럼 이 세가지
보존되는 양들은 각각 어떤 삽질에 대한 대칭성일까
?
운동량을 갖고 있는 물체를 잘 관찰하면
,
여기에 있던 것이 잠시후에는 저기에 있다
.
여기에 있든 저기에 있든 운동량이 같다는
것은
,
위치에 대한
움직임이 운동량에 영향을 주지 않는다는 뜻이다
.
즉
,
운동량은
위치 변화
(
평행이동
,
Parallel translation)
에 대한 불변양이다
.
각운동량은 물론 회전
(rotation)
에
대한 불변양이 된다
.
에너지가
도대체 무엇의 불변양인지 궁금할 수 있는데
,
외부와 상호작용하지 않는 계를 그냥
관찰하다보면 에너지가 보존된다는 것을 알 수 있다
.
그냥 관찰할 때
,
무엇이
변하는지 가만히 생각해 보자
.
문득
,
아무것도
안하고 시간만 낭비하고 있다는 생각이 들 것이다
.
그렇다
.
에너지는
시간이 지나가는 것에 대한 불변양이다
.
운동량
,
각운동량
,
에너지
외에 보존되는 양이 하나 더 있다
.
바로
CPT
값이다
.
CPT
란
3
가지
서로 다른 변환을 연속적으로 적용시켰을 때에 관한
이야기이다
. P
는 앞에서
말한
Parity
인데
,
물론
x
를
-x
로 바꾸는 변환을
말한다
. T
는 시간
역전
(Time reversal)
이다
.
흘러가는 시간을 과거
->
미래로
한다면
,
이것을
미래
->
과거로 바꾸는
것이다
.
이것이 어떻게
가능하냐고
?
그냥
변수
t
를
-t
로
바꾸면 된다
. (
실제로는
t
를
-t
로
바꾸기 위해서 해야 할 삽질이 좀 더 있긴 하다
.
상대론적으로 올바르게 하기 위해서는
말이다
.) C
는 전하
반전
(Charge conjugation)
이다
.
전하라는 것은 힘에 반응하는 정도를 뜻하는데
,
전자기력
,
약한
상호작용
,
강한
상호작용에 각각 전하가 붙어 있다
.
쉽게 말해서
+
전기가
–
전기로
,
–
전기가
+
전기로
바뀌는 것을 뜻한다
.
물론
전하가 없는 것들은 바뀌지 않는다
.
우리 우주를 설명하는 라그랑지안은
CPT
변환에
대해서 대칭이 되도록 작성한다
.
물론 실험적으로도 계속 검증하고 있는데
,
아직까지
CPT
변환이
틀린 것은 발견되지 않고 있다
.
CP
대칭성도 거의 깨지지 않는 양인데
,
아주 조금 깨지는 것이 발견되고 있다
.
CP
대칭성과
P
대칭성의
붕괴에 대해서는 다른 글에서 좀 더 재밌는 얘기를 할
수 있을 것이다.
다음은 라그랑지안의 친구인 해밀토니안이다.
-
snowall의 요리교실
기본 재료 – 감자, 고구마, 양파, 두부, 돼지고기카레
추가재료 : 카레 가루
감자, 고구마, 양파, 두부, 돼지고기를 깨끗히 썰어서 적당한 크기로 자른다. 이 재료를 후라이팬에 적당히 볶는다. 끓는 물에 카레가루와 함께 이것들을 쓸어넣고 적당히 중간 세기의 불에서 끓인다. 맛있어 질 때까지 끓이면, 이제 맛있는 카레요리 완성.된장찌개
추가재료 : 굵은 멸치, 된장
감자, 고구마, 양파, 두부, 돼지고기를 깨끗히 썰어서 적당한 크기로 자른다. 멸치를 냄비에 넣고 끓이다가, 적당히 끓은 것 같으면 이 재료를 된장과 함께 쓿어넣고 적당히 중간 세기의 불에서 끓인다. 여기서 포인트는 물론 맛있어 질 때까지 끓이는 것.볶음밥
추가재료 : 밥
감자, 고구마, 양파, 두부, 돼지고기를 적당히 ?底 적당한 크기로 자른다. 이 재료를 밥과 함께 후라이팬에 적당히 볶는다. 맛있어 질 때까지 볶을 것.김치볶음밥
추가재료 : 밥, 김치
볶음밥 할 때 김치도 썰어서 넣으면 된다.